第11章 第8节 超几何分布与正态分布-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第八节　超几何分布与正态分布 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 [学习要求]　1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简 单的实际问题.　2.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，通过 具体实例，借助频率分布直方图的几何直观了解正态分布的特征.　3.了 解正态分布的均值、方差及其意义. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点一　超几何分布 1. 一般地，设有 N 件产品，其中有 M ( M ≤ N )件次品.从中任取 n ( n ≤ N )件产品，用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件数，那么 P ( X ＝ k )＝ ，max{0， n －( N － M )}≤ k ≤min{ n ， M }(其中 k 为非负整数). 其中， n ≤ N ， M ≤ N ， n ， M ， N ∈N＋. 若一个随机变量 X 的分布列由上式确定，则称随机变量 X 服从 N ， M ， n 的超几何分布. 2. 超几何分布的均值：若 X 服从参数为 N ， M ， n 的超几何分布，则 EX ＝ . 知识点二　正态分布 1. 正态曲线的特点 (1)曲线位于 x 轴 ，与 x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线 ⁠对称； (3)曲线在 处达到峰值 ； (4)曲线与 x 轴之间的面积为 ⁠； (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 x 轴平移； 上方　 x ＝μ　 x ＝μ　 1　 (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“ ”，表示 总体的分布越集中；σ越大，曲线越“ ”，表示总体的分布 越 ⁠. 瘦高　 矮胖　 分散　 2.3σ原则 (1) P (μ－σ＜ X ≤μ＋σ)≈ ⁠； (2) P (μ－2σ＜ X ≤μ＋2σ)≈ ⁠； (3) P (μ－3σ＜ X ≤μ＋3σ)≈ ⁠. 0.682 6　 0.954 4　 0.997 4　 3. 正态分布的均值与方差 若 X ～ N (μ，σ2)，则 EX ＝ ， DX ＝ ⁠. μ　 σ2　 [小题诊断] 1. (多选)(2024·云南昆明模拟)已知两种不同型号的电子元件(分别记为 X ， Y )的使用寿命均服从正态分布， X ～ N (μ1， )， Y ～ N (μ2， )，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是(　ABD　) 参考数据：若 Z ～ N (μ，σ2)，则 P (μ－σ≤ Z ≤μ＋σ)≈0.682 6， P (μ－2σ≤ Z ≤μ＋2σ)≈0.954 4. ABD A. P (μ1－σ1＜ X ＜μ1＋2σ1)≈0.818 5 B. P ( Y ≥μ2)＜ P ( Y ≥μ1) C. P ( X ≤σ2)＜ P ( X ≤σ1) D. 对于任意的正数 t ，有 P ( X ≤ t )＞ P ( Y ≤ t ) 对于A， P (μ1－σ1＜ X ＜μ1＋2σ1)≈(0.682 6＋0.954 4)× ＝0.818 5，A选 项正确； 对于B，由正态分布密度曲线，可知μ1＜μ2， 所以 P ( Y ≥μ2)＜ P ( Y ≥μ1)，B选项正确； 对于C，由正态分布密度曲线，可知σ1＜σ2， 所以 P ( X ≤σ2)＞ P ( X ≤σ1)，C选项错误； 对于D，对于任意的正数 t ，由图象知 P ( X ≤ t )表示的面积始终大于 P ( Y ≤ t )表示的面积， 所以 P ( X ≤ t )＞ P ( Y ≤ t )，D选项正确. 2. (2024·山东济南模拟)从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了 3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是(　C　) A. B. C. D. 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问 题，故所求概率为 P ＝ ＝ . C 3. 某班有50名同学，一次数学考试的成绩 X 服从正态分布 N (110，102). 已知 P (100＜ X ≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上(包含 120分)的有 人. ∵考试的成绩 X 服从正态分布 N (110，102)， ∴该正态曲线关于 X ＝110对称. ∵ P (100＜ X ≤110)＝0.34， ∴ P ( X ≥120)＝ P ( X ≤100)＝ (1－0.34×2)＝0.16， ∴该班学生数学成绩在120分以上(包含120分)的人数约为0.16×50＝8. 8　 4. 在含有3件次品的10件产品中，任取4件， X 表示取到的次品的个数， 则 P ( X ＝2)＝ ⁠. 由题意得 P ( X ＝2)＝ ＝ . 　 关键能力　重点探究 考点一　超几何分布 (2024·天津模拟)某中学用简单随机抽样的方法抽取了100名 同学，对其社会实践次数进行调查，结果如下. 例 1 社会实 践次数 [0，3) [3，6) [6，9) [9，12) [12，15) [15，18] 男同学 人数 7 15 11 12 2 1 女同学 人数 5 13 20 9 3 2 将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”. (1)将频率视为概率，估计该校1 600名学生中“社会实践标兵”有多少人. [解]　(1)样本中社会实践次数不低于12次的学生有2＋1＋3＋2＝8(人)， 所以该校1 600名学生中“社会实践标兵”约有1 600× ＝128(人). (2)从已抽取的“社会实践标兵”中随机抽取4名同学参加社会实践表 彰活动. ①设事件 A 为“抽取的4名同学中既有男同学又有女同学”，求事件 A 发生 的概率； [解]　(2)由(1)知样本中有8名“社会实践标兵”，其中男同学3人，女同学 5人. ①记 为“抽取的4名同学全是女同学”，则 P ( )＝ ＝ ， 所以 P ( A )＝1－ P ( )＝1－ ＝ . ②用 X 表示抽取的“社会实践标兵”中男同学的人数，求随机变量 X 的分 布列和数学期望. [解]　 (2)由(1)知样本中有8名“社会实践标兵”，其中男同学3人，女同学 5人. ②由题意知 X 的所有可能取值为0，1，2，3. P ( X ＝0)＝ ＝ ， P ( X ＝1)＝ ＝ ， P ( X ＝2)＝ ＝ ， P ( X ＝3)＝ ＝ . 则 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 法一：所以 EX ＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ . 法二：因为 X 服从超几何分布，所以 EX ＝ ＝ . 1.超几何分布的特点和应用条件 (1)超几何分布的两个特点：①超几何分布是不放回抽样问题；②随机 变量表示抽到的某类个体的个数. (2)超几何分布的应用条件：①两类不同的对象(物品、人或事);②已知 各类对象的个数；③从中抽取若干个个体. 方法总结 2.求超几何分布的分布列的步骤 第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N， M， n的值； 第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值 时的概率； 第三步，用表格的形式列出分布列. 方法总结 3.求超几何分布的均值与方差的方法 (1)列出随机变量 X 的分布列，利用均值与方差的计算公式直接求解. (2)利用公式 EX ＝ ， DX ＝ 求解. 方法总结 跟踪训练 1. 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队 参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动 员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设 A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同 一个协会”，求事件 A 发生的概率； 解：(1)由已知，得 P ( A )＝ ＝ ， ∴事件 A 发生的概率为 . (2)设 X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列及数学 期望. 解：(2)随机变量 X 的所有可能取值为1，2，3，4. P ( X ＝ k )＝ ( k ＝1，2，3，4). 故 P ( X ＝1)＝ ＝ ， P ( X ＝2)＝ ＝ ， P ( X ＝3)＝ ＝ ， P ( X ＝4)＝ ＝ ， ∴随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P ​ ​ ​ ​ ∴ EX ＝ ＝ ＝ . 考点二　正态分布 ◉角度(一)　正态分布的性质 　(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布 N (10，σ2)，下列结论中不正确的是(　D　) 例 2 A. σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大 B. σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C. σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D. σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概 率相等 D 对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以 测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布 密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正 确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果 大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物 理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不 同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不 同，故D错误. 解决正态分布问题有三个关键点 1.对称轴 x ＝μ. 2.标准差σ，σ越小越集中. 3.分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；注意只有在标准正 态分布下对称轴才为 x =0. 方法总结 ◉角度(二)　正态分布的概率计算 　(1)(2024·湖北武汉模拟)已知随机变量 X 服从正态分布 N (μ，σ2).若 P ( X ＜2)＝ P ( X ＞6)＝0.15，则 P (2≤ X ＜4)＝(　B　) 例 3 A. 0.3 B. 0.35 C. 0.5 D. 0.7 (1)∵ P ( X ＜2)＝ P ( X ＞6)＝0.15， ∴μ＝ ＝4. 又 P (2≤ X ≤6)＝1－ P ( X ＜2)－ P ( X ＞6)＝0.7， ∴ P (2≤X ＜4)＝ ＝0.35. B (2)(2024·辽宁沈阳调研)为了解高三复习备考情况，其校组织了一次阶段 考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布 N (100，17.52).已知 成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生 成绩低于82.5分的概率为 ；如果成绩大于135分的为特别优秀， 那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有 人.(若 X ～ N (μ，σ2)， 则 P (μ－σ≤ X ≤μ＋σ)≈0.68， P (μ－2σ≤ X ≤μ＋2σ)≈0.96) 0.16　 10　 又 P (100－17.5×2≤ X ≤100＋17.5×2)＝ P (65≤ X ≤135)≈0.96，所以数学成绩特别优秀的概率 P ( X ＞135)＝ ≈ ＝0.02. 又 P ( X ＜82.5)＝ P ( X ＞117.5)＝0.16，则本次数学考试成绩特别优秀的 人数大约是 ×0.02＝10. (2)因为数学成绩 X 服从正态分布 N (100，17.52)，则 P (100－17.5≤ X ≤100 ＋17.5)＝ P (82.5≤ X ≤117.5)≈0.68，所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率 P ( X ＜82.5)＝ ≈ ＝0.16. 正态分布下的概率计算常见的两类问题 1.利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主 要是正态曲线关于直线 x ＝μ对称，及曲线与 x 轴之间的面积为1. 2.利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量 的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ),(μ－2σ，μ+2σ),(μ－ 3σ，μ+3σ)中的哪一个. 方法总结 ◉角度(三)　利用正态分布求容量(数) (2024·安徽合肥模拟)为了解A市高三学生的数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三学生的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图. 例 4 (1)根据频率分布直方图，试估计该市参加此次检测考试的学生的数学平 均成绩μ0.(精确到个位) [解]　(1)由题意估计该市此次检测考试中学生的数学平均成绩μ0＝ 65×0.05＋75×0.08＋85×0.12＋95×0.15＋105×0.24＋115×0.18＋ 125×0.1＋135×0.05＋145×0.03＝103.2≈103(分). (2)研究发现，本次检测考试的数学成绩 X 近似服从正态分布 N (μ，σ2)， 其中μ＝μ0，σ＝19.3. ①按以往的统计数据，数学成绩能达到升本分数要求的学生约占46 ％，据此估计在本次检测考试中达到升本的数学成绩是多少分？(精 确到个位) [解]　(2)①记在本次检测考试中达到升本的数学成绩为 x 1分，根据题 意， P ( x ≥ x 1)＝1－Φ ＝1－Φ ＝0.46， 即Φ ＝0.54. 由Φ(0.705 4)＝0.54得， ＝0.705 4， 解得 x 1≈116.6≈117， 所以，在本次检测考试中达到升本的 数学成绩约为117分. ②已知A市高三学生约有10 000名，某学生在此次检测考试中数学成绩 为107分，则该学生在全市的排名大约是多少？ (说明： P ( x ≥ x 1) ＝1－Φ 表示 x ≥ x 1的概率，Φ 用来将非标 准正态分布化为标准正态分布，即 X ～ N (0，1)，从而利用标准正态分 布表Φ( x 0)，求 x ≥ x 1时的概率 P ( x ≥ x 1)，这里 x 0＝ .相应于 x 0的值 Φ( x 0)是指总体取值小于 x 0的概率，即Φ( x 0)＝ P ( x ＜ x 0).参考数据： Φ(0.705 4)＝0.54，Φ(0.677 2)＝0.46，Φ(0.21)＝0.583 2) [解]　② P ( x ≥107)＝1－Φ ＝1－Φ(0.207 3)≈1－0.583 2 ＝0.416 8， 所以10 000×0.416 8＝4 168， 所以数学成绩为107分的该学生在全市的排名大约是第4 168名. 　　利用正态分布求容量数时首先需要求出随机变量在相应区间上的 概率. 方法总结 跟踪训练 2. (多选)(2024·山东青岛质检)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期， 某农户承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这 个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布 N (μ，302)和 N (280，402)，则下列选项正确的是(　ABD　) 附：若随机变量 X 服从正态分布 N (μ，σ2)，则 P (μ－σ≤ X ≤μ＋ σ)≈0.682 6. ABD A. 若红玫瑰日销售量范围在(μ－30，280)的概率是0.682 7，则红玫瑰日 销售量的平均数约为250 B. 红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中 C. 白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中 D. 白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.341 3 对于选项A：μ＋30＝280，μ＝250，正确；对于选项B，C：利用σ越小 越集中，30小于40，B正确，C不正确；对于选项D： P (280＜ X ＜320) ＝ P (μ＜ X ＜μ＋σ)≈0.682 6× ≈0.341 3，正确. 3. (2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量 X 服从正态分布 N (2，σ2)，且 P (2＜ X ≤2.5)＝0.36，则 P ( X ＞2.5)＝ ⁠. 由正态分布的性质可知 P ( X ＞2.5)＝ P ( X ＞2)－ P (2＜ X ≤2.5)＝0.5－ 0.36＝0.14. 0.14　 4. 中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常 重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制 造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据 统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0 L，并且汽车的耗油量 X 服 从正态分布 N (8，σ2)，已知耗油量 X ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量 大于9 L的汽车大约有 辆. 180　 所以 P (8≤ X ≤9)＝0.35. 而 P ( X ≥8)＝0.5， 所以 P ( X ＞9)＝0.15， 故耗油量大于9 L的汽车大约有1 200×0.15＝180(辆). 由题意可知 X ～ N (8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴. 又因为 P (7≤ X ≤9)＝0.7， 故 P (7≤ X ≤9)＝2 P (8≤ X ≤9)＝0.7， 考点三　3σ原则的检验 (2024·山西太原模拟)某纺织厂为了生产一种高端布料，准备 从A农场购进一批优质棉花.厂方技术人员从A农场存储的优质棉花中随 机抽取了100份棉花，分别测量了其纤维长度(单位：mm)的均值，得到 100个样本数据，并制成如下频数分布表： 例 5 长度/mm [23， 25) [25， 27) [27， 29) [29， 31) [31， 33) [33， 35) [35， 37) [37， 39] 频数 4 9 16 24 18 14 10 5 (1)求这100个样本数据的样本平均数 和样本方差 s 2(同一组数据取该区 间的中点值为代表). [解]　(1) ＝ ×(4×24＋9×26＋16×28＋24×30＋18×32＋14×34＋ 10×36＋5×38)＝31， s 2＝ ×[4×(－7)2＋9×(－5)2＋16×(－3)2＋24×(－1)2＋18×12＋14×32 ＋10×52＋5×72]＝12.28. ①利用该正态分布，求 P ( X ＞μ－2σ)； (2)由得到的数据可以认为这批棉花的纤维长度 X 服从正态分布，即 X ～ N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数 ，σ2近似为样本方差 s 2. [解]　(2)棉花的纤维长度服从 X ～ N (μ，σ2)，其中μ＝31，σ＝ ≈3.504. ① P ( X ＞μ－2σ)≈1－ ×(1－0.954 4)＝0.977 2. ①利用该正态分布，求 P ( X ＞μ－2σ)； ②纺织厂将A农场送来的这批优质棉花进行二次检验，从中随机抽取20 份测量其纤维长度的均值 Yi ( i ＝1，2，…，20)，得到的数据如下. Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 Y 8 Y 9 Y 10 24.1 31.8 32.7 28.2 28.4 34.3 29.1 34.8 37.2 30.8 Y 11 Y 12 Y 13 Y 14 Y 15 Y 16 Y 17 Y 18 Y 19 Y 20 30.6 25.2 32.9 27.1 35.9 28.9 33.9 29.5 35.0 29.9 (2)由得到的数据可以认为这批棉花的纤维长度 X 服从正态分布，即 X ～ N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数 ，σ2近似为样本方差 s 2. 若这20个样本中纤维长度的均值 Y ＞μ－2σ的频率不低于①中的 P ( X ＞μ －2σ)，则可判断该批优质棉花合格，否则认为A农场送来的棉花掺杂了 次品，判断该批棉花不合格，按照此依据判断A农场送来的这批棉花是 否为合格的优质棉花，并说明理由. 附：若 Z ～ N (μ，σ2)，则 P (μ－σ≤ Z ≤μ＋σ)≈0.682 6， P (μ－2σ≤ Z ≤μ＋2σ)≈0.954 4； ≈3.504. ②A农场送来的这批棉花是合格的优质棉花，理由如下. μ－2σ ≈31－2×3.504＝23.992，故 P ( Y ＞μ－2σ)＝ P ( Y ＞23.992)＝1＞ 0.977 2， 所以A农场送来的这批棉花为合格的优质棉花. [解]　(2)棉花的纤维长度服从 X ～ N (μ，σ2)，其中μ＝31，σ＝ ≈3.504. 　　服从正态分布的随机变量取值落在(μ－3σ，μ+3σ)之外的概率为 0.0027，几乎不可能发生，称为小概率事件.依据小概率事件在一次实 验中几乎不可能发生可做出相应判断. 方法总结 跟踪训练 5. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线 上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可 以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N . (1)假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 之外的零件数，求 P(X≥1) 及 X 的数学期望. 解：(1)抽取的一个零件的尺寸在 之间的概率约为 0.997 4，从而零件的尺寸在 之外的概率约为0.002 6， 故 X ～ B . 因此 P(X≥1) ＝1－ P ≈1－0.997 416≈0.040 8， X 的数学期望为 EX ≈16×0.002 6＝0.041 6. (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零 件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对 当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性. 解：(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在 之外的 概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在 之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小.因此一旦发生这种 情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情 况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合 理的. ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 ＝ xi ＝9.97， s ＝ ＝ ≈0.212，其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸， i ＝1，2，…，16. 用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差 s 作为σ的估计值 ， 利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01). 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N ，则 P ≈0.997 4，0.997 416≈0.959 2， ≈0.09. 解：②由 ＝9.97， s ≈0.212，得μ的估计值为 ＝9.97，σ的估计值为 ＝0.212.由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 之 外，因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除 之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 × ＝10.02， 因此μ的估计值为10.02. ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134.剔除 之外的 数据9.22，剩下数据的样本方差为 × ≈0.008. 因此σ的估计值为 ≈0.09. 教材延展　二项分布与超几何分布的区别与联系 某批 n 件产品的次品率为2％，现从中任意地依次抽出3件进行 检验，问： 例 2 当 n ＝500，5 000，50 000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好 抽到1件次品的概率各是多少？ [解]　在放回的方式抽取中，每次抽取时都是从这 n 件产品中抽取，从 而抽到次品的概率都为0.02.可以把3次抽取看成是3次独立重复试验，这 样抽到的次品数 X ～ B (3，0.02)，恰好抽到1件次品的概率为 P ( X ＝1)＝ ×0.02×(1－0.02)2＝3×0.02×0.982≈0.057 624. 在不放回的方式抽取中，抽到的次品数 X 是随机变量， X 服从超几何分 布， X 的分布与产品的总数 n 有关，所以需要分3种情况分别计算. ① n ＝500时，产品的总数为500件，其中次品的件数为500×2％＝10， 合格品的件数为490.从500件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的 概率为 P ( X ＝1)＝ ＝ ≈0.057 853. ③ n ＝50 000时，产品的总数为50 000件，其中次品的件数为50 000×2 ％＝1 000，合格品的件数为49 000.从50 000件产品中抽出3件，其中恰 好抽到1件次品的概率为P ( X ＝1)＝ ＝ ≈0.057 626. ② n ＝5 000时，产品的总数为5 000件，其中次品的件数为5 000×2％＝ 100，合格品的件数为4 900.从5 000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1 件次品的概率为P ( X ＝1)＝ ＝ ≈0.057 647. 1.根据计算结果可以看出，当产品的总数很大时，超几何分布近似为 二项分布.这也是可以理解的，当产品总数很大而抽出的产品较少时， 每次抽出产品后，次品率近似不变，这样就可以近似看成每次抽样的 结果是互相独立的，抽出产品中的次品件数近似服从二项分布. 方法总结 2. n 次试验中，某一事件 A 出现的次数 X 可能服从超几何分布或二项分 布.当这 n 次试验是独立重复试验时，X服从二项分布；当这 n 次试验是 不放回摸球问题，事件 A 为摸到某种特性(如某种颜色)的球时， X 服从 超几何分布. 方法总结 3.在不放回 n 次摸球试验中，摸到某种颜色的次数 X 服从超几何分布， 但是当袋子中的球的数目 N 很大时， X 的分布列近似于二项分布，并 且随着 N 的增加，这种近似的精度也增加. 从以上分析可以看出两者之间的联系： 当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条 件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项 分布. 方法总结 超几何分布与二项分布是有联系的，看它们的期望公式： (1)在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，随 机变量 X 服从超几何分布，超几何分布的期望计算公式为 EX ＝ (可 以根据组合数公式以及期望的定义推导); (2)随机变量 X 服从二项分布，记作 X ～ B ( n ， p ), EX ＝ np ； 当超几何分布中的 N →＋∞时， → p ，此时可以把超几何分布中的不 放回抽样问题，近似看作是有放回抽样问题，再次说明" N →＋∞时， 可以把超几何分布看作是二项分布. 方法总结 跟踪训练 已知10个产品中有6个次品，分别采取放回和不放回的方式随机抽取的4 件产品，次品数为 X ，求随机变量 X 的分布列. 解：若采取放回的方式，则每次抽到次品的概率为0.6，且各次抽样的 结果相互独立，则 X 服从二项分布，即 X ～ B (4，0.6). 若采取不放回的方式，虽然每次抽到次品的概率为0.6，但每次抽取不 是同一个试验，各次抽取的结果也不独立，不符合 n 重伯努利试验的特 征，因此 X 不服从二项分布，服从超几何分布. 次品数 X 的取值为0，1，2，3，4. P ( X ＝0)＝ ＝ ；P ( X ＝1)＝ ＝ ； P ( X ＝2)＝ ＝ ；P ( X ＝3)＝ ＝ ； P ( X ＝4)＝ ＝ . 所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P ​ ​ ​ ​ ​ 课时作业　巩固提升 [A组　基础保分练] 1. 一批产品共50件，次品率为4％，从中任取2件，则抽到1件次品的概 率为(　B　) A. 0.78 B. 0.078 C. 0.007 8 D. 0.04 依题意，共有2件次品，所以从中任取2件，抽到1件次品的概率为 ≈0.078. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. (2024·福建福州检测)某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩 X 近似服从正态分布 N (80，σ2)，且 P (75＜ X ≤80)＝0.1.该市某校有350人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于85分的人数为(　A　) A. 140 B. 105 C. 70 D. 35 因为 X 近似服从正态分布 N (80，σ2)，所以 P (80＜ X ≤85)＝ P (75＜ X ≤80)＝0.1，即有 P ( X ≥85)＝0.5－0.1＝0.4，故该校数学成绩不低于 85分的人数为350×0.4＝140. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红 球得2分，取到一个黑球得1分.从袋中任取4个球，则小明得分大于6分 的概率是(　A　) A. B. C. D. 记得分为 X ，则 X 的可能取值为5，6，7，8， P ( X ＝7)＝ ＝ ； P ( X ＝8)＝ ＝ ，所以 P ( X ＞6)＝ P ( X ＝7)＋ P ( X ＝8)＝ ＋ ＝ . A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 已知随机变量 X 服从正态分布 N ( a ，4)，且 P ( X ＞1)＝0.5， P ( X ＞2) ＝0.3，则 P ( X ＜0)＝(　B　) A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 因为随机变量 X 服从正态分布 N ( a ，4)，所以曲线关于 x ＝ a 对称，且 P ( X ＞ a )＝0.5.由 P ( X ＞1)＝0.5，可知 a ＝1，所以 P ( X ＜0)＝ P ( X ＞2)＝ 0.3. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 在某次数学测试中，学生成绩 X 服从正态分布 N (100，σ2)(σ＞0).若 X 在(80，120)内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学 生成绩不高于80的概率为(　C　) A. 0.16 B. 0.24 C. 0.32 D. 0.48 ∵ X 服从正态分布 N (100，σ2)，∴正态曲线的对称轴是直线 X ＝100. ∵ X 在(80，120)内的概率为0.6，∴ X 在(80，100)内的概率为0.3， ∴ X 在(0，80)内的概率为0.5－0.3＝0.2. 故任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率 P ＝ ×0.2×(1－0.2)＝0.32. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. (多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道. 现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合 格.则下列选项正确的是(　CD　) A. 答对0题和答对3题的概率相同，都为 B. 答对1题的概率为 C. 答对2题的概率为 D. 合格的概率为 CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 则 X ＝0，1，2，3， P ( X ＝0)＝ P ( X ＝3)＝ ＝ ， 故选项A错误； P ( X ＝1)＝ ＝ ，故选项B错误； P ( X ＝2)＝ ＝ ，故选项C正确； 至少答对2题的概率为 ＋ ＝ ， 故选项D正确. 设此人答对题目的个数为 X ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数 不超过1人的概率是 ⁠. 设所选女生人数为 X ，则 X 服从超几何分布，其中 N ＝6， M ＝2， n ＝ 3，则 P ( X ≤1)＝ P ( X ＝0)＋ P ( X ＝1)＝ ＋ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. (2024·河北秦皇岛模拟)在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成 绩 X 服从正态分布 N (105，σ2)(σ＞0)，若 P ( X ＜120)＝0.75，则 P (90≤ X ≤120)＝ ⁠. 因为 X ～ N (105，σ2)，且 P ( X ＜120)＝0.75， 所以 P (105≤ X ≤120)＝0.25， 所以 P (90≤ X ≤105)＝0.25， 所以 P (90≤ X ≤120)＝0.5. 0.5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径(单 位：mm)进行测量，得出这批钢管的直径 X 服从正态分布 N (65，4.84). (1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73 mm，他立即要求停 止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道 理，并说明判断的依据； 解：(1)因为μ＝65，σ＝2.2，μ－3σ＝58.4，μ＋3σ＝71.6，而73∈(μ＋ 3σ，＋∞)，所以 P ( X ＞71.6)＝ ＝ ＝0.001 5.此事 件为小概率事件，所以该质检员的决定有道理. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)如果钢管的直径 X 满足60.6 mm～69.4 mm之间为合格品(合格品的概 率精确到0.01)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数 Y 的分 布列和数学期望. (参考数据：若 X ～ N (μ，σ2)，则 P (μ－σ≤ X ≤μ＋σ)≈0.683； P (μ－2σ≤ X ≤μ＋2σ)≈0.954； P (μ－3σ≤ X ≤μ＋3σ)≈0.997) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：(2)因为μ＝65，σ＝2.2，μ－2σ＝60.6，μ＋2σ＝69.4， 由题意可知钢管直径满足μ－2σ≤ X ≤μ＋2σ为合格品，所以该批钢管为合 格品的概率约为0.95. 所以在60根钢管中，合格品约57根，次品约3根，任意挑选3根，则次品 数 Y 的可能取值为0，1，2，3. P ( Y ＝0)＝ ， P ( Y ＝1)＝ ， P ( Y ＝2)＝ ， P ( Y ＝3)＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Y 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 所以 EY ＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝0.15. 则次品数 Y 的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　能力提升练] 10. (多选)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用 与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水 稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世 界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株 高，得出株高 X (单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为 f ( x )＝ · ， x ∈(－∞，＋∞)，则下列说法正确的是(　AC　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A. 该地水稻的平均株高为100 cm B. 该地水稻株高的方差为10 C. 随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下 的概率大 D. 随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的 概率一样大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案：AC f ( x )＝ ，故μ＝100，σ2＝100，故A正确，B错误； P ( X ＞120)＝ P ( X ＜80)＞ P ( X ＜70)，故C正确；根据正态分布的对称性知 P (100＜ X ＜110)＝ P (90＜ X ＜100)＞ P (80＜ X ＜90)，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 不透明的盒中有大小、形状完全相同的5＋ m 个球，其中 m 个红球， 2个绿球，3个黄球，若从盒中任取3个球，其中至多有一个红球的概率 为 ，则 m ＝ ；记 X 为取出的3个球中的红球的个数，则随机变量 X 的数学期望 EX ＝ ⁠. 3　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 从5＋ m 个球中任取3个球，共有 种情况，由题意得 ＝ ，所以 m ＝3， X 的所有可能取值为0，1，2，3，所以 P ( X ＝0)＝ ＝ ＝ ， P ( X ＝1)＝ ＝ ＝ ， P ( X ＝2)＝ ＝ ， P ( X ＝3)＝ ＝ ， 所以 EX ＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中有10个粽子，其中豆 沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任 意选取3个. (1)求三种粽子各取1个的概率； 解：(1)令 A 表示事件“三种粽子各取1个”， 则由古典概型的概率计算公式有 P ( A )＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列，并求 EX . 解：(2) X 的所有可能值为0，1，2，且 P ( X ＝0)＝ ＝ ， P ( X ＝1)＝ ＝ ， P ( X ＝2)＝ ＝ . 综上知， X 的分布列为 X 0 1 2 P ​ ​ ​ 所以 EX ＝0× ＋1× ＋2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. (2024·广东佛山模拟)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应 聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规 定：至少正确完成其中2道题便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道 题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 ， 且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：(1)设甲正确完成面试的题数为 X ，则 X 的可能取值为1，2，3. P ( X ＝1)＝ ＝ ；P ( X ＝2)＝ ＝ ； P ( X ＝3)＝ ＝ . 应聘者甲正确完成题数 X 的分布列为 X 1 2 3 P ​ ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 EX ＝1× ＋2× ＋3× ＝2. 设乙正确完成面试的题数为 Y ，则 Y 的可能取值为0，1，2，3. P ( Y ＝0)＝ ＝ ； P ( Y ＝1)＝ ＝ ； P ( Y ＝2)＝ ＝ ； P ( Y ＝3)＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Y 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ EY ＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝2. ​ 应聘者乙正确完成题数 Y 的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 解：(2)因为 DX ＝(1－2)2× ＋(2－2)2× ＋(3－2)2× ＝ ， DY ＝3× × ＝ ， 所以 DX ＜ DY . 综上所述，从做对题数的数学期望来看，两人水平相当；从做对题数的 方差来看，甲较稳定； 从至少完成2道题的概率来看，甲面试通过的可能性大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [C组　高考新动向] 14. 若随机变量 X 服从正态分布 N (μ，σ2)， P (μ－σ≤ X ≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ≤ X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，设 X ～ N (1，σ2)，且 P ( X ＞3)＝0.158 7，在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 x 2＋ y 2＝σ2上有四个点到直线12 x － 5 y ＋ c ＝0的距离为1，则实数 c 的取值范围是 ⁠. (－13，13)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为 d ＝ ＝ ，所以0≤ ＜1， 所以0≤｜ c ｜＜13， 所以－13＜ c ＜13，所以实数 c 的取值范围是(－13，13). 因为 X ～ N (1，σ2)，所以μ＝1，所以 P ( X ＞3)＝ P ( X ＜－1)＝ [1－ P (－1≤ X ≤3)].因为 P ( X ＞3)＝0.158 7，所以 P (－1≤ X ≤3)＝0.682 6， 所以1－σ＝－1，1＋σ＝3，所以σ＝2，由题意知，只需圆心(0，0)到直 线12 x －5 y ＋ c ＝0的距离 d 满足0≤ d ＜1即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$