第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 第八章　直线和圆的方程 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 [学习要求]　1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆 的位置关系.　2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实 际问题. 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点一　直线与圆的位置关系 　设圆 C ：( x － a )2＋( y － b )2＝ r 2，直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0，圆心 C ( a ， b )到直线 l 的距离为 d ，由 消去 y (或 x )得到关于 x (或 y )的一元二次方程，其判别式为Δ. 方法 位置关系　　 几何法 代数法 相交 ⁠ Δ＞0 相切 d ＝ r ⁠ 相离 d ＞ r Δ＜0 d ＜ r 　 Δ＝0　 知识点二　圆与圆的位置关系 　设两个圆的半径分别为 R ， r ， R ＞ r ，圆心距为 d ，则两圆的位置关 系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 d ＞ R ＋ r d ＝ R ＋ r R － r ＜ d ＜ R ＋ r d ＝ R － r d ＜ R － r 代数特征 无实 数解 一组实 数解 两组实 数解 一组实 数解 无实 数解 公切线条数 4 ⁠ 2 ⁠ 0 3　 1　 [小题诊断] 1. 直线3 x ＋4 y ＝5与圆 x 2＋ y 2＝16的位置关系是(　A　) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交 圆心到直线的距离为 d ＝ ＝1＜4，所以直线与圆相交. A 2. 圆( x ＋1)2＋( y －2)2＝4与直线3 x ＋4 y ＋5＝0的位置关系为(　B　) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 由题意知，圆( x ＋1)2＋( y －2)2＝4的圆心为(－1，2)，半径 r ＝2， 则圆心到直线3 x ＋4 y ＋5＝0的距离 d ＝ ＝2＝ r ， 所以直线3 x ＋4 y ＋5＝0与圆( x ＋1)2＋( y －2)2＝4的位置关系是相切. B 3. 在平面直角坐标系中，圆 O 1：( x －1)2＋ y 2＝1和圆 O 2： x 2＋( y －2)2 ＝4的位置关系是(　B　) A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 B 由题意知，圆 O 1：( x －1)2＋ y 2＝1，可得圆心坐标 O 1(1，0)，半 径 r 1＝1， 圆 O 2： x 2＋( y －2)2＝4，可得圆心坐标为 O 2(0，2)，半径 r 2＝2， 则两圆的圆心距｜ O 1 O 2｜＝ ＝ ， 则2－1＜ ＜2＋1，即 r 2－ r 1＜｜ O 1 O 2｜＜ r 1＋ r 2， 所以圆 O 1与圆 O 2相交. 4. 直线 m ： x ＋ y －1＝0被圆 M ： x 2＋ y 2－2 x －4 y ＝0截得的弦长为 (　B　) A. 4 B. 2 C. D. B ∵ x 2＋ y 2－2 x －4 y ＝0， ∴( x －1)2＋( y －2)2＝5， ∴圆 M 的圆心坐标为(1，2)，半径为 . 又点(1，2)到直线 x ＋ y －1＝0的距离 d ＝ ＝ ， ∴直线 m 被圆 M 截得的弦长等于2 ＝2 . 关键能力　重点探究 考点一　直线与圆的切线问题 　 已知点 P ( ＋1，2－ ，点 M (3，1)，圆 C ：( x －1)2＋( y －2)2 ＝4. (1)求过点 P 的圆 C 的切线方程； [解]　由题意得圆心 C (1，2)，半径 r ＝2. 例1 (1)∵( ＋1－1)2＋(2－ －2)2＝4， ∴点 P 在圆 C 上.又 kPC ＝ ＝－1， ∴过点 P 的切线的斜率为－ ＝1， ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y －(2－ ＝1×[ x －( ＋1)]，即 x － y ＋1－2 ＝0. (2)求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长. [解](2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4， ∴点 M 在圆 C 外. 当过点 M 的直线的斜率不存在时， 直线方程为 x ＝3，即 x －3＝0. 又点 C (1，2)到直线 x －3＝0的距离 d ＝3－1＝2＝ r ， ∴直线 x ＝3是圆 C 的切线； 当切线的斜率存在时，设切线方程为 y －1＝ k ( x －3)， 即 kx － y ＋1－3 k ＝0， 由圆心 C 到切线的距离 d '＝ ＝ r ＝2，解得 k ＝ ，∴切线 方程为 y －1＝ ( x －3)， 即3 x －4 y －5＝0. 综上，过点 M 的圆 C 的切线方程为 x －3＝0或3 x －4 y －5＝0. ∵｜ MC ｜＝ ＝ ，∴过点 M 的圆 C 的切线长为 ＝ ＝1. 1. 圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为 y － y 0＝ k ( x － x 0),利用点到直线的距离公式 表示出圆心到切线的距离 d ，然后令 d ＝ r ，进而求出 k ； (2)代数法：设切线方程为 y － y 0＝ k ( x － x 0),与圆的方程组成方程组， 消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ=0进而求得 k . 方法总结 2. 与圆的切线有关的结论 (1)与圆 x 2＋ y 2＝ r 2相切于点 P ( x 0， y 0)的切线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2； (2)与圆( x － a )2＋( y － b )2＝ r 2 "相切于点 P ( x 0， y 0)的切线方程为( x 0－ a )( x － a )＋( y 0－ b )( y － b )＝ r 2； (3)过圆 x 2＋ y 2＝ r 2 "外一点 P ( x 0， y 0)作圆的两条切线，切点分别为" A"，" B"，则过" A"，" B"两点的直线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2 方法总结 1. 由直线 y ＝ x ＋1上的一点向圆( x －3)2＋ y 2＝1引切线，则切线长的最 小值为 ⁠. 　 跟踪训练 设圆心为 C (3，0)， P 为直线 y ＝ x ＋1上一动点，过点 P 向圆引切线， 切点设为 N ，所以｜ PN ｜min＝( min＝ . 又｜ PC ｜min＝ ＝2 ， 所以｜ PN ｜min＝ . 考点二　直线与圆的弦长与最值问题 　(1)直线2 x · sin θ＋ y ＝0被圆 x 2＋ y 2－2 y ＋2＝0截得的弦长的最 大值为(　D　) A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 D 例2 (1)易知圆的标准方程为 x 2＋( y － 2＝3，所以圆心为(0， ，半径 r ＝ . 由题意知圆心到直线2 x · sin θ＋ y ＝0的距离 d ＝ ＜ ，解得 sin 2θ＞ ，所以弦长为2 ＝2 .因为 ＜4 sin 2θ＋ 1≤5，所以1≤ ＜3， 所以2 ＝2 ∈(0，2 ]. 当4 sin 2θ＋1＝5，即 sin 2θ＝1时，弦长有最大值2 . (2)已知☉ M ： x 2＋ y 2－2 x －2 y －2＝0，直线 l ：2 x ＋ y ＋2＝0， P 为 l 上的动点.过点 P 作☉ M 的切线 PA ， PB ，切点为 A ， B ，当｜ PM ｜·｜ AB ｜最小时，直线 AB 的方程为(　D　) A. 2 x － y －1＝0 B. 2 x ＋ y －1＝0 C. 2 x － y ＋1＝0 D. 2 x ＋ y ＋1＝0 D (2)圆 M 的方程可化为( x －1)2＋( y －1)2＝4，点 M 到直线 l 的距离为 d ＝ ＝ ＞2，所以直线 l 与圆相离. 由圆的知识可知， A ， P ， B ， M 四点共圆，且 AB ⊥ PM ，所以｜ PM ｜·｜ AB ｜＝4 S △ PAM ＝4× ×｜ PA ｜×｜ AM ｜＝4｜ PA ｜，而｜ PA ｜＝ ， 当直线 PM ⊥ l 时，｜ PM ｜min＝ ，｜ PA ｜min＝1， 此时｜ PM ｜·｜ AB ｜最小. 易知直线 PM 的方程为 y －1＝ ( x －1)， 即 y ＝ x ＋ . 由解得 所以以 PM 为直径的圆的方程为( x －1)( x ＋1)＋ y ( y －1)＝0，即 x 2＋ y 2 － y －1＝0， 两圆的方程相减可得2 x ＋ y ＋1＝0，即为直线 AB 的方程. (3)已知直线 x － y ＋8＝0和圆 x 2＋ y 2＝ r 2( r ＞0)相交于 A ， B 两点. 若｜ AB ｜＝6，则 r 的值为 ⁠. (3)设圆心(0，0)到直线 x － y ＋8＝0的距离为 d ， 则 d ＝ ＝4， 所以 r 2＝ ＋ d 2＝32＋42＝25. 又因为 r ＞0，所以 r ＝5. 5　 1. 求直线与圆相交弦长的常用方法 (1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成 的直角三角形，计算弦长｜ AB ｜= (2)代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二 次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为 . 方法总结 2. 与圆有关的最值问题及解决方法 圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问 题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线 的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为 圆心到圆心的距离问题. 方法总结 2. 已知直线 l 1： y ＝ x ＋1与 l 2： y ＝ x ＋ m 之间的距离为2，则直线 l 2被 圆 C ：( x ＋1)2＋ y 2＝8截得的弦长为(　A　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 由题意可知，直线 l 1过圆心 C (－1，0)，则圆心 C 到直线 l 2的距离等于 直线 l 1与 l 2之间的距离2，故直线 l 2被圆 C 截得的弦长为2 ＝4. A 跟踪训练 3. (2024·福建龙岩模拟)已知点 P ( x 0， y 0)是直线 l ： x ＋ y ＝4上的一点， 过点 P 作圆 O ： x 2＋ y 2＝2的两条切线，切点分别为 A ， B ，则四边形 PAOB 的面积的最小值为 ⁠. 由圆 O ： x 2＋ y 2＝2，得 r ＝ ， 四边形 PAOB 的面积 S ＝2 S △ PAO ＝｜ PA ｜·｜ AO ｜＝ ｜ PA ｜.∵点 P ( x 0， y 0)是直线 l ： x ＋ y ＝4上的一点， ∴ P ( x 0，4－ x 0)， 则｜ PA ｜＝ ＝ . 2 　 又｜ PO ｜2＝ ＋(4－ x 0)2＝2 －8 x 0＋16＝2( x 0－2)2＋8≥8，∴｜ PO ｜2－2≥6，则｜ PA ｜≥ ， ∴四边形 PAOB 的面积的最小值为 × ＝2 . 考点三　圆与圆的切线问题 　 已知圆 C ： ＋ y 2＝1与圆 E ： x 2＋ ＝1，写出圆 C 和圆 E 的一条公切线的方程为 ⁠ ⁠. 设圆的公切线为 y ＝ kx ＋ b ，则⇒｜ k ＋ b ｜＝｜ b － ｜，即 k ＝－ 或 k ＝ －2 b ， x － y ＋1＝0或 x ＋ y － －2＝ 0或 x ＋ y － ＋2＝0.　 例3 代入求解得或 所以切线方程为 y ＝－ x ＋ ＋2，或 y ＝－ x ＋ －2，或 x － y ＋1＝0. 圆与圆的公切线问题:如图所示,已知圆 C 1 以( a , b )为圆心, r 1 为半径的圆 的标准方程为( x - a )2+( y - b )2= r ,已知圆 C 2 以( c , d )为圆心, r 2 为半径的 圆的标准方程为( x - c )2+( y - d )2= r ,其位置关系如下表. 方法总结 位置关系 图象 圆心距 d 公切线 外离 d ＝｜ C 1 C 2｜＝ 4条 外切 d ＝｜ C 1 C 2｜＝ 3条 位置关系 图象 圆心距 d 公切线 相交 d ＝｜ C 1 C 2｜＝ 2条 位置关系 图象 圆心距 d 公切线 内切 d ＝｜ C 1 C 2｜＝ 1条 内含 d ＝｜ C 1 C 2｜＝ 无 4. 若圆 C ： x 2＋ y 2＝5－ m 与圆 E ：( x －3)2＋( y －4)2＝16有三条公切 线，则 m 的值为(　C　) A. 2 B. C. 4 D. 6 由题意可知两圆外切，圆 C 的圆心坐标为(0，0)，半径为 ，圆 E 的圆心坐标为(3，4)，半径为4，则 ＝ ＋4，解得 m ＝4. C 跟踪训练 考点四　圆与圆的弦长问题 　圆 C 1： x 2＋ y 2－2 x ＋10 y －24＝0与圆 C 2： x 2＋ y 2＋2 x ＋2 y －8 ＝0的公共弦所在直线的方程为 ，公共弦长为 ⁠. 联立两圆的方程得 两式相减并化简，得 x －2 y ＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程. x －2 y ＋4＝0　 2 例4 法一：设两圆相交于 A ， B 两点，则 A ， B 两点的坐标满足方程组 解得或 所以｜ AB ｜＝ ＝2 ，即公共弦长为2 . 法二：由 x 2＋ y 2－2 x ＋10 y －24＝0，得( x －1)2＋( y ＋5)2＝50，圆 C 1的 圆心坐标为(1，－5)，半径 r ＝5 ，圆心到直线 x －2 y ＋4＝0的距离为 d ＝ ＝3 . 设公共弦长为2 l ，由勾股定理得 r 2＝ d 2＋ l 2， 即50＝(3 2＋ l 2，解得 l ＝ ，故公共弦长为2 . 1. 两相交圆的公共弦所在直线方程的求法 设圆 ①，圆 ②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 ③，方程③表示圆 C 1与 C 2的公共弦所在直线的方程. 2. 两圆公共弦长的求法 先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距 ，半弦长 ，半径 r 构成直角三角形，利用勾股定理求解. 方法总结 5. 圆 x 2＋ y 2＝4与圆 x 2＋ y 2－4 x ＋4 y －12＝0的公共弦所在的直线和两 坐标轴所围成的图形的面积为(　B　) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 B 跟踪训练 将两圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程，为4 x －4 y ＋8＝0，即 x － y ＋2＝0.令 x ＝0，则 y ＝2；令 y ＝0，则 x ＝－2，所以公共弦所在的 直线与两坐标轴的交点分别为(0，2)，(－2，0)，所以所围成的图形的 面积 S ＝ ×2×2＝2. 教材延展　圆系方程 圆心在直线 x － y －4＝0上，并且经过圆 x 2＋ y 2＋6 x －4＝0与 圆 x 2＋ y 2＋6 y －28＝0的交点的圆的方程为 ⁠. 例 x 2＋ y 2－ x ＋7 y －32＝0　 由题意可设所求圆的方程为( x 2＋ y 2＋6 x －4)＋λ( x 2＋ y 2＋6 y －28)＝ 0，即(1＋λ) x 2＋(1＋λ) y 2＋6 x ＋6λ y －4－28λ＝0， ∴圆心 在直线 x － y －4＝0上， ∴－ ＋ －4＝0，∴λ＝－7， ∴圆的方程为－6 x 2－6 y 2＋6 x －42 y －4＋196＝0， 即 x 2＋ y 2－ x ＋7 y －32＝0. 常用的圆系方程 1. 圆心为定点 的同心圆系方程为 ，其中 为定值， r 是参数. 2. 半径为定值" r"的圆系方程为 ，其中 为 参数， 是定值. 3. 过圆 与直线 的交点的 圆系方程为 4. 过圆 与圆 交点的圆系方程为 ,此圆系方程中不含圆 . 方法总结 (多选)已知圆 C 1： x 2＋ y 2＝ r 2，圆 C 2：( x － a )2＋( y － b )2＝ r 2( r ＞0)交 于不同的 A ( x 1， y 1)， B ( x 2， y 2)两点，下列结论正确的是(　ABC　) A. a ( x 1－ x 2)＋ b ( y 1－ y 2)＝0 B. 2 ax 1＋2 by 1＝ a 2＋ b 2 C. x 1＋ x 2＝ a D. y 1＋ y 2＝2 b ABC 跟踪训练 圆 C 2的方程可化为 x 2＋ y 2－2 ax －2 by ＋ a 2＋ b 2－ r 2＝0，则将圆 C 1与 圆 C 2的方程相减可得直线 AB 的方程为2 ax ＋2 by － a 2－ b 2＝0，即2 ax ＋2 by ＝ a 2＋ b 2.将 A ， B 两点的坐标代入直线 AB 的方程可得 两式相减可得2 a ( x 1－ x 2)＋2 b ( y 1－ y 2)＝0， 即 a ( x 1－ x 2)＋ b ( y 1－ y 2)＝0，所以A，B正确.由圆的性质可得，线段 AB 与线段 C 1 C 2互相平分，所以 x 1＋ x 2＝ a ， y 1＋ y 2＝ b ，所以C正 确，D不正确. 课时作业　巩固提升 1. 过点 P (2，4)作圆( x －1)2＋( y －1)2＝1的切线，则切线方程为(　C　) A. 3 x ＋4 y －4＝0 B. 4 x －3 y ＋4＝0 C. x ＝2或4 x －3 y ＋4＝0 D. y ＝4或3 x ＋4 y －4＝0 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [A组　基础保分练] 当斜率不存在时，直线 x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为 y －4＝ k ( x －2)， 即 kx － y ＋4－2 k ＝0，则 ＝1， 解得 k ＝ ，得切线方程为4 x －3 y ＋4＝0. 综上，得切线方程为 x ＝2或4 x －3 y ＋4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2. 过点 P (3，4)作圆 x 2＋ y 2＝4的两条切线，切点分别为 A ， B ，则｜ AB ｜＝(　D　) A. 5－ B. 5－ C. D. 设 A ( x 1， y 1)， B ( x 2， y 2)，则直线 PA 的方程为 x 1 x ＋ y 1 y ＝4，直线 PB 的方程为 x 2 x ＋ y 2 y ＝4，点 P (3，4)在这两条直线上，故3 x 1＋4 y 1＝4， 3 x 2＋4 y 2＝4，则直线 AB 的方程为3 x ＋4 y ＝4.点(0，0)到直线 AB 的距 离 d ＝ ，则｜ AB ｜＝2 ＝ . D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 3. 若圆 C 1： x 2＋ y 2＝1与圆 C 2： x 2＋ y 2－6 x －8 y ＋ m ＝0外切，则 m ＝ (　C　) A. 21 B. 19 C. 9 D. －11 圆 C 1的圆心坐标为(0，0)，半径 r 1＝1.将圆 C 2化为标准方程( x －3)2＋( y －4)2＝25－ m ( m ＜25)，得圆 C 2的圆心坐标为(3，4)，半径 r 2＝ ( m ＜25).由两圆外切，得｜ C 1 C 2｜＝ r 1＋ r 2＝1＋ ＝ 5，解得 m ＝9. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4. (2024·辽宁沈阳模拟)已知圆 C 的圆心在直线 l 1： x ＋2 y －7＝0上，且 与直线 l 2： x ＋2 y －2＝0相切于点 M (－2，2)，则圆 C 被直线 l 3：2 x ＋ y －6＝0截得的弦长为(　D　) A. 2 B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解得 a ＝－1， b ＝4， 则圆心坐标为(－1，4)，半径 r ＝ ＝ ， 则圆心到直线2 x ＋ y －6＝0的距离 d ＝ ＝ ， 则弦长为2 ＝2× ＝ . 设圆心坐标为( a ， b )，则有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5. 已知 A (2，0)，直线4 x ＋3 y ＋1＝0被圆 C ：( x ＋3)2＋( y － m )2＝13( m ＜3)所截得的弦长为4 ，且 P 为圆 C 上任意一点，则｜ PA ｜的最大值 为(　D　) A. － B. 5＋ C. 2 ＋ D. ＋ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 由题意知，圆心 C (－3， m )到直线4 x ＋3 y ＋1＝0的距离为 ＝ .整理，得｜3 m －11｜＝5. 又∵ m ＜3，∴ m ＝2，∴｜ AC ｜＝ ＝ ， ∴｜ PA ｜的最大值为 ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6. (2024·山东烟台模拟)直线 x ＋ y ＋2＝0分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两 点，点 P 在圆( x －2)2＋ y 2＝2上，则△ ABP 面积的取值范围为(　A　) A. [2，6] B. [4，8] C. [ ，3 ] D. [2 ，3 ] A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 根据题意得， A (－2，0)， B (0，－2)，所以｜ AB ｜＝2 ，圆心(2，0) 到直线 x ＋ y ＋2＝0的距离 d ＝ ＝2 ，圆的半径为 .设点 P 到直线 x ＋ y ＋2＝0的距离为 d '，则 ≤ d '≤3 ，所以 ×2 × ≤ S △ ABP ≤ ×2 ×3 ，即2≤ S △ ABP ≤6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7. (多选)已知直线 l ： ax ＋ by － r 2＝0与圆 C ： x 2＋ y 2＝ r 2，点 A ( a ， b )，则下列说法正确的是(　ACD　) A. 若点 A 在圆 C 上，则直线 l 与圆 C 相切 B. 若点 A 在圆 C 外，则直线 l 与圆 C 相离 C. 若点 A 在直线 l 上，则直线 l 与圆 C 相切 D. 若点 A 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C 相离 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 A中，若点 A 在圆 C 上，则 a 2＋ b 2＝ r 2，而圆心到直线 l 的距离 d ＝ ＝｜ r ｜，所以直线与圆相切，即A正确；B中，若点 A 在圆 C 外，则 a 2＋ b 2＞ r 2，而圆心到直线 l 的距离 d ＝ ＜｜ r ｜，所以 直线 l 与圆相交，所以B不正确；C中，若点 A 在直线 l 上，则 a 2＋ b 2＝ r 2，而圆心到直线 l 的距离 d ＝ ＝｜ r ｜，所以直线 l 与圆相切， 所以C正确；D中，若点 A 在圆 C 内，则 a 2＋ b 2＜ r 2，而圆心到直线 l 的 距离 d ＝ ＞｜ r ｜，所以直线 l 与圆相离，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8. (多选)(2024·安徽滁州模拟)已知圆 C 1：( x － a )2＋( y ＋2)2＝25，圆 C 2：( x ＋1)2＋( y ＋ a )2＝4.若圆 C 1与圆 C 2内切，则实数 a 的值是(BC　) A. －2 B. 2 C. －1 D. 1 由题可知圆心 C 1( a ，－2)，半径 r 1＝5，圆心 C 2(－1，－ a )，半径 r 2＝ 2.因为圆 C 1与圆 C 2内切，所以｜ C 1 C 2｜＝ ＝ ｜r 1－ r 2｜＝3，解得 a ＝－1或 a ＝2. BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9. (多选)若直线 y ＝ x ＋ b 与曲线 x ＝ 恰有一个交点，则实数 b 可 取(　AC　) A. － B. －1 C. 1 D. 将曲线方程 x ＝ 整理，得 x 2＋ y 2＝1， x ≥0，表示圆心在原 点，半径为1的圆的右半部分(含 y 轴上的两点).而 y ＝ x ＋ b 可以看作一 组平行线，结合图象可知 b ∈(－1，1]∪{－ }. AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10. (2024·山西阳泉模拟)若直线( m ＋1) x ＋ my －2 m －1＝0与圆 x 2＋ y 2 ＝3交于 M ， N 两点，则弦长｜ MN ｜的最小值为 ⁠. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 当 OA ⊥ MN 时，圆心 O 到直线 MN 的距离取得最大值， 此时｜ MN ｜取最小值， 故｜ MN ｜min＝2 ＝2. 直线 MN 的方程可化为 m ( x ＋ y －2)＋ x －1＝0， 由得 所以直线 MN 过定点 A (1，1). 因为12＋12＜3，即点 A 在圆 x 2＋ y 2＝3内， 圆 x 2＋ y 2＝3的圆心为原点 O ，半径为 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11. 已知圆 C 的圆心坐标是(0， m )，半径长是 r .若直线2 x － y ＋3＝0与 圆 C 相切于点 A (－2，－1)，则 m ＝ ， r ＝ ⁠. 如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得 ＝－ ，解得 m ＝－2， ∴圆心为(0，－2)，则半径 r ＝ ＝ . －2　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12. 已知直线 l ： y ＝ kx ＋ b ( k ＞0)与圆 C 1： x 2＋ y 2＝1和圆 C 2：( x －4)2 ＋ y 2＝1均相切，则 k ＝ 　 　， b ＝ 　－ 　. 　 － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 由条件得 C 1(0，0)， r 1＝1， C 2(4，0)， r 2＝1， 因为直线 l 与 C 1， C 2都相切， 故有 d 1＝ ＝1， d 2＝ ＝1， 则有 ＝ ，故可得 b 2＝(4 k ＋ b )2，整理得 k (2 k ＋ b )＝0. 因为 k ＞0，所以2 k ＋ b ＝0，即 b ＝－2 k ， 代入 d 1＝ ＝1，解得 k ＝ ，则 b ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13. (2024·黑龙江鸡西模拟)过点 P (4，2)作圆 x 2＋ y 2＝4的两条切线，切 点分别为 A ， B ，则△ PAB 外接圆的方程是 ⁠. 由圆 x 2＋ y 2＝4，得到圆心为 O (0，0)，由题意知 O ， A ， B ， P 四点共 圆，△ PAB 的外接圆即四边形 OAPB 的外接圆，又点 P (4，2)，从而 OP 的中点坐标(2，1)为所求圆的圆心， ｜ OP ｜＝ 为所求圆的半径，所以所求圆的方程为( x －2)2＋( y －1)2 ＝5. ( x －2)2＋( y －1)2＝5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14. 已知圆 C ：( x －3)2＋( y －4)2＝4. (1)若直线 l ：( m －2) x ＋(1－ m ) y ＋ m ＋1＝0( m ∈R)，证明：无论 m 为 何值，直线 l 都与圆 C 相交； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (1)证明：转化 l 的方程( m －2) x ＋(1－ m ) y ＋ m ＋1＝0， 可得 m ( x － y ＋1)－2 x ＋ y ＋1＝0， 由解得 所以直线 l 恒过点(2，3)， 由(2－3)2＋(3－4)2＝2＜4， 所以点(2，3)在圆内，即直线 l 恒过圆内一点， 所以无论 m 为何值，直线 l 都与圆 C 相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)若过点 P (1，0)的直线 n 与圆 C 相交于 A ， B 两点，求△ ABC 面积的最 大值，并求此时直线 n 的方程. (2)解：由 C 的圆心为(3，4)，半径 r ＝2， 易知此时直线 n 的斜率存在且不为0， 故设直线 n 的方程为 x ＝ my ＋1( m ≠0)， 直线 n 的一般方程为 my － x ＋1＝0， 圆心到直线 n 的距离 d ＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 所以｜ AB ｜＝2 ＝2 ， 所以 S 2＝ ＝ · ， 令 t ＝ ，可得 S 2＝4 t － t 2，当 t ＝2时， ＝4， 所以△ ABC 面积的最大值为2， 此时由2＝ ，得7 m 2－8 m ＋1＝0， 得 m ＝1或 m ＝ ，符合题意， 此时直线 n 的方程为 x － y －1＝0或7 x － y －7＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15. 已知圆 O ： x 2＋ y 2＝4与直线3 x －4 y ＋ c ＝0相交于 A ， B 两点.若∠ AOB ＝90°，则实数 c 的值为(　B　) A. ±5 B. ±5 C. ±10 D. ±10 B [B组　能力提升练] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 法一(代数法)：由消去 y ， 得25 x 2＋6 cx ＋ c 2－64＝0，Δ＝6 400－64 c 2＞0. 设 A ( x 1， y 1)， B ( x 2， y 2)，则 x 1 x 2＝ ， x 1＋ x 2＝－ .　① 由题意得 OA ⊥ OB ，即 x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 所以 x 1 x 2＋ ( c ＋3 x 1)· ( c ＋3 x 2)＝0， 化简得 x 1 x 2＋ c ( x 1＋ x 2)＋ ＝0，② 将①代入②，解得 c ＝±5 ，符合题意. 法二(几何法)：根据∠ AOB ＝90°可知圆心 O 到直线3 x －4 y ＋ c ＝0的距 离为 d ＝ ，所以 ＝ ，解得 c ＝±5 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16. 设 m ∈R，已知圆 C 1： x 2＋ y 2＝1和圆 C 2： x 2＋ y 2－6 x －8 y ＋30－ m ＝0，则“ m ＞21”是“圆 C 1和圆 C 2相交”的(　B　) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 由已知圆 C 2：( x －3)2＋( y －4)2＝ m －5， 若圆 C 1和圆 C 2相交，则｜1－ ｜＜｜ C 1 C 2｜＝ ＝5＜1 ＋ ，解得21＜ m ＜41， “ m ＞21”是“21＜ m ＜41”的必要而不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17. 已知☉ O 1：( x －2)2＋( y －3)2＝4，☉ O 1关于直线 ax ＋2 y ＋1＝0对称 的圆记为☉ O 2， E ， F 分别为☉ O 1，☉ O 2上的动点， EF 长度的最小值 为4，则 a ＝(　D　) A. － 或 B. － 或 C. － 或－ D. 或 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 由题易知两圆不可能相交或相切，如图，当直线 EF 过两圆圆心，与对 称轴垂直且点 E ， F 接近于对称轴时， EF 长度最小，此时圆心 O 1到对 称轴的距离为4，所以 ＝4，即(2 a ＋7)2＝16( a 2＋4)，解得 a ＝ 或 a ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18. (多选)点 P 是直线 x ＋ y －4＝0上的动点，由点 P 向圆 O ： x 2＋ y 2＝4 引切线 PA ( A 为切点)，则下列关于切线长 PA 的说法正确的为(　ABC　) A. 切线长没有最大值 B. 切线长可能为4 C. 切线长有最小值 D. 切线长不可能为3 根据题意，设 P ( x ，4－ x )，则｜ PA ｜＝ ＝ ＝ ≥2. ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19. (多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点 P 在圆( x －5)2＋( y －5)2＝16上，点 A (4，0)， B (0，2)，则(　ACD　) A. 点 P 到直线 AB 的距离小于10 B. 点 P 到直线 AB 的距离大于2 C. 当∠ PBA 最小时，｜ PB ｜＝3 D. 当∠ PBA 最大时，｜ PB ｜＝3 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴直线 AB 与圆( x －5)2＋( y －5)2＝16相离， ∴点 P 到直线 AB 的距离的取值范围为 . ∵ －4∈(0，1)， ＋4∈(8，9)， ∴选项A正确，选项B错误. 由题意可知直线 AB 的方程为 ＋ ＝1，即 x ＋2 y －4＝0， 则圆心(5，5)到直线 AB 的距离 d ＝ ＝ ＞4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 过点 B 作圆的两条切线，切点分别为 P 1， P 2，如图，当点 P 在切点 P 1 的位置时，∠ PBA 最小，当点 P 在切点 P 2的位置时，∠ PBA 最大，易 知｜ P 1 B ｜＝｜ P 2 B ｜，圆心(5，5)到点 B 的距离为 ，圆的半径为 4，所以｜ P 1 B ｜＝｜ P 2 B ｜＝ ＝ ＝3 ，故选项C，D 均正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20. 已知☉ O ： x 2＋ y 2＝1，点 A (0，－2)， B ( a ，2)，从点 A 观察点 B ， 要使视线不被☉ O 挡住，则实数 a 的取值范围为 ⁠ ⁠. ∪ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴切线方程为 y ＝± x －2，和直线 y ＝2的交点坐标分别为 ， .故要使视线不被☉ O 挡住， 则实数 a 的取值范围是 ∪ . 易知点 B 在直线 y ＝2上，过点 A (0，－2)作圆的切线(如图).设切线的斜 率为 k ，则切线方程为 y ＝ kx －2，即 kx － y －2＝0.由 d ＝ ＝ 1，得 k ＝± . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x 2＋ y 2－8 x ＋15＝0.若直 线 y ＝ kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最小值为 ⁠. － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 圆 C ：( x －4)2＋ y 2＝1的圆心 C (4，0)，半径 r ＝1， 以直线 y ＝ kx －2上的点 P ( x 0， kx 0－2)为圆心，3为半径的圆与圆 C 有 公共点，则｜ PC ｜≤4， 于是 ≤4， 整理得( k 2＋1 －4( k ＋2) x 0＋4≤0， 依题意，不等式( k 2＋1 －4( k ＋2) x 0＋4≤0有解，则Δ＝16( k ＋2)2－ 16( k 2＋1)≥0，解得 k ≥－ ，所以 k 的最小值为－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(2，0)， B 是第一象限内的 一点，以 C 为圆心的圆经过 O ， A ， B 三点，且圆 C 在点 A ， B 处的切 线相交于点 P . 若点 P 的坐标为(4，2)，求直线 PB 的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：因为点 A 的坐标为(2，0)，以 C 为圆心的圆经过 O ， A ， B 三点，所 以圆心 C 在线段 OA 的垂直平分线上.设圆心 C 的坐标为(1， b ).因为圆 C 在点 A ， B 处的切线相交于点 P ，点 P 的坐标为(4，2)，所以 kPA ＝ ＝1，所以 kAC ＝ ＝－1，解得 b ＝1，即 C (1，1)，所以圆 C 的半径 r ＝｜ AC ｜＝ ，所以圆 C 的方程为( x －1)2＋( y －1)2＝2.易知直线 PB 的斜率必定存在，则设直线 PB 的方程为 y －2＝ k ( x －4)，即 kx － y －4 k ＋2＝0，则有 ＝ ，解得 k ＝－ 或 k ＝1(舍去)，所以直线 PB 的方程为 y －2＝－ ( x －4)，即 x ＋7 y －18＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23. (2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆 x 2＋ y 2＝1和( x －3)2＋( y －4)2＝16都相切 的一条直线的方程 ⁠. ∵两圆 C 1： x 2＋ y 2＝1， C 2：( x －3)2＋( y －4)2＝16的圆心分别为 C 1(0，0)， C 2(3，4)， r 1＝1， r 2＝4， x ＝－1(或3 x ＋4 y －5＝0或7 x －24 y －25＝0)　 [C组　高考新动向] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴｜ C 1 C 2｜＝5＝ r 1＋ r 2，则两圆外切，如图所示均与直线 l 1： x ＝－1 相切，两圆圆心连线 C 1 C 2所在直线的方程为 y ＝ x ，记为 l ， l 1与 l 交 于点 P ，由两圆另一外公切线 l 2过点 P ，设 l 2： y ＋ ＝ k ( x ＋ 1)，由 l 2与圆 C 1： x 2＋ y 2＝1相切，得 ＝1，求出 k ＝ ，则直线 l 2的方程为7 x －24 y －25＝0，由内公切线 l 3与 l 垂直，设 l 3的方程为 y ＝ － x ＋ m ，由 l 3与圆 C 1： x 2＋ y 2＝1相切得 ＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴ m ＝ 或－ .当 m ＝－ 时， y ＝－ x － 与圆 C 2不相切，不符合题 意，舍去. 故 m ＝ ，则直线 l 3的方程为3 x ＋4 y －5＝0. 综上，可知三条切线方程分别为 x ＝－1，3 x ＋4 y －5＝0，7 x －24 y － 25＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24. (2022·新高考Ⅱ卷)设点 A (－2，3)， B (0， a )，若直线 AB 关于 y ＝ a 对称的直线与圆( x ＋3)2＋( y ＋2)2＝1有公共点，则 a 的取值范围 为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 设直线 AB 关于 y ＝ a 对称的直线为 l ，∵ kAB ＝ ，∴ kl ＝－ . 显然点 B (0， a )在直线 l 上，∴直线 l 的方程为 y ＝－ x ＋ a ，即( a － 3) x ＋2 y －2 a ＝0. ∵ l 与圆有公共点， ∴圆心(－3，－2)到直线 l 的距离 d ≤ r ， 即 ≤1，即6 a 2－11 a ＋3≤0. 解得 ≤ a ≤ ，∴实数 a 的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 $$