第8章 第2节 两条直线的位置关系-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第二节　两条直线的位置关系 第八章　直线和圆的方程 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 [学习要求]　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.　2.能用解方程组 的方法求两条直线的交点坐标.　3.探索并掌握平面上两点间的距离公 式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点一　两直线的位置关系 直线 l 1： y ＝ k 1 x ＋ b 1， l 2： y ＝ k 2 x ＋ b 2， l 3： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1＝ 0， l 4： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2＝0(其中 l 1与 l 3是同一条直线， l 2与 l 4是同 一条直线)的位置关系如下表： 位置 关系 l 1， l 2满足的条件 l 3， l 4满足的条件 平行 ⁠ ⁠ ⁠ 垂直 ⁠ ⁠ 相交 ⁠ ⁠ k 1＝ k 2且 b 1≠ b 2　 A 1 B 2－ A 2 B 1＝0且 A 1 C 2－ A 2 C 1 ≠0　 k 1· k 2＝－1　 A 1 A 2＋ B 1 B 2＝0　 k 1≠ k 2　 A 1 B 2－ A 2 B 1≠0　 知识点二　距离公式 1. 两点间的距离公式 平面上任意两点 P 1( x 1， y 1)， P 2( x 2， y 2)间的距离公式为｜ P 1 P 2｜ ＝ ⁠. 特别地，原点 O (0，0)与任一点 P ( x ， y )的距离｜ OP ｜＝ . 　 2. 点到直线的距离公式 平面上任意一点 P 0( x 0， y 0)到直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0的距离 d ＝ .( A 2＋ B 2≠0) 3. 两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线 l 1： Ax ＋ By ＋ C 1＝0， l 2： Ax ＋ By ＋ C 2＝0间 的距离 d ＝ .( A 2＋ B 2≠0) [小题诊断] 1. 经过两点 A (－2，5)， B (1，－4)的直线 l 与 x 轴的交点的坐标是 (　A　) A. B. (－3，0) C. D. (3，0) 过点 A (－2，5)和 B (1，－4)的直线方程为3 x ＋ y ＋1＝0，故它与 x 轴的 交点的坐标为 . A 2. 点 A (2，5)到直线 l ： x －2 y ＋3＝0的距离为(　C　) A. 2 B. C. D. 点 A (2，5)到直线 l ： x －2 y ＋3＝0的距离为 ＝ . C 3. 直线2 x ＋( m ＋1) y ＋4＝0与直线 mx ＋3 y －2＝0平行，则 m ＝(　C　) A. 2 B. －3 C. 2或－3 D. 3 C 4. 已知点 A (3，2)和 B (－1，4)到直线 ax ＋ y ＋1＝0的距离相等，则 a 的 值为 ⁠. 由点到直线的距离公式可得 ＝ ，解得 a ＝ 或 a ＝－4. 或－4　 关键能力　重点探究 考点一　两直线的位置关系 ◉角度(一)　判断两直线的位置关系 (2024·天津模拟)“ a ＝1”是“直线 ax ＋2 y －8＝0与直线 x ＋ ( a ＋1) y ＋4＝0平行”的(　A　) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 A 例1 设直线 l 1： ax ＋2 y －8＝0，直线 l 2： x ＋( a ＋1) y ＋4＝0.若 l 1与 l 2平 行，则 a ( a ＋1)－2＝0，即 a 2＋ a －2＝0，解得 a ＝1或 a ＝－2.当 a ＝－ 2时，直线 l 1的方程为－2 x ＋2 y －8＝0，即 x － y ＋4＝0，直线 l 2的方程 为 x － y ＋4＝0，此时两直线重合，故 a ≠－2.当 a ＝1时，直线 l 1的方程 为 x ＋2 y －8＝0，直线 l 2的方程为 x ＋2 y ＋4＝0，此时两直线平行.故 “ a ＝1”是“直线 ax ＋2 y －8＝0与直线 x ＋( a ＋1) y ＋4＝0平行”的充 要条件. ◉角度(二)　由两直线的位置关系求参数 　已知两直线 l 1：( m －1) x －6 y －2＝0， l 2： mx ＋ y ＋1＝0，若 l 1⊥ l 2，则 m ＝ ；若 l 1∥ l 2，则 m ＝ ⁠. 因为 l 1：( m －1) x －6 y －2＝0， l 2： mx ＋ y ＋1＝0， 所以，若 l 1⊥ l 2，则 m ( m －1)－6＝0，解得 m ＝3或 m ＝－2. 若 l 1∥ l 2，则 m －1＋6 m ＝0，解得 m ＝ ，经检验符合题意. 3或－2　 　 例2 两直线位置关系的三种判断方法 方法总结 1. “ m ＝3”是“直线 l 1：2( m ＋1) x ＋( m －3) y ＋7－5 m ＝0与直线 l 2： ( m －3) x ＋2 y －5＝0垂直”的(　A　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 由 l 1⊥ l 2得，2( m ＋1)( m －3)＋2( m －3)＝0，解得 m ＝3或 m ＝－2，即 m ＝3是 l 1⊥ l 2的充分不必要条件. A 跟踪训练 2. 若直线 x ＋(1＋ m ) y －2＝0与直线 mx ＋2 y ＋4＝0平行，则实数 m 的值 为(　A　) A. 1 B. －2 C. 1或－2 D. － 由题意可知2－ m (1＋ m )＝0，解得 m ＝－2或 m ＝1. 经检验，当 m ＝－2时，两直线重合，不符合题意，舍去；当 m ＝1时， 符合题意.故 m 的值为1. A 3. 若直线(2 m －1) x ＋ my ＋1＝0和直线 mx ＋3 y ＋3＝0垂直，则实数 m 的值为(　D　) A. 1 B. 0 C. 2 D. －1或0 由题意可知 m (2 m －1)＋3 m ＝0，解得 m ＝0或 m ＝－1. D 考点二　两直线的交点问题 已知： a 为实数，两直线 l 1： ax ＋ y ＋1＝0， l 2： x ＋ y － a ＝0相交于一点.求证：交点不可能在第一象限及 x 轴上. 例3 [证明]　∵两直线 l 1： ax ＋ y ＋1＝0， l 2： x ＋ y － a ＝0相交于一点， ∴ a ≠1，∴由方程组解得 即交点坐标为 . ①若交点在第一象限，则解得 ∴ a ∈⌀，故交点不可能在第一象限内. ②若交点在 x 轴上，则 ＝0( a ≠1)，方程无解，故交点也不可能在 x 轴上. 综上可知，直线 l 1， l 2的交点不可能在第一象限及 x 轴上. 　　在解决与两直线的交点坐标有关的题目时，先求出两直线的交 点，再结合其他条件求解. 方法总结 4. (多选)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知直线 l 经过点 P (3，1)，且被两条 平行直线 l 1： x ＋ y ＋1＝0和 l 2： x ＋ y ＋6＝0截得的线段长为5，则直线 l 的方程为(　AB　) A. y ＝1 B. x ＝3 C. y ＝0 D. x ＝2 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x ＝3， 此时 l 与直线 l 1， l 2的交点分别为 A (3，－4)， B (3，－9)， 截得的线段｜ AB ｜＝｜－4＋9｜＝5，符合题意. 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y －1＝ k ( x －3)， AB 跟踪训练 且设直线 l 与直线 l 1和 l 2的交点分别为 C ， D . 联立得 C ； 联立得 D . 由｜ CD ｜＝5， 得 ＋ ＝52， 解得 k ＝0，即所求直线 l 的方程为 y ＝1. 综上所述，所求直线 l 的方程为 x ＝3或 y ＝1. 考点三　距离问题 　(2024·福建厦门模拟)若两平行直线3 x －2 y －1＝0，6 x ＋ ay ＋ c ＝ 0之间的距离为 ，则 c 的值是 ⁠. 依题意， ＝ ≠ ，解得 a ＝－4， c ≠－2，则直线方程6 x ＋ ay ＋ c ＝0可化为3 x －2 y ＋ ＝0.又两平行线之间的距离为 ，所以 ＝ ，解得 c ＝2或 c ＝－6. 2或－6　 例4 距离问题的常见题型及解题策略 1. 求两点间的距离.关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般 用来判断三角形的形状等. 2. 解决与点到直线的距离有关的问题.应熟记点到直线的距离公式，若 已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨 论斜率是否存在. 3. 求两条平行线间的距离.要先将直线方程中 x ， y 的对应项系数转化成 相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题. 方法总结 5. (2024·广东广州模拟)已知点 P (4， a )到直线4 x －3 y －1＝0的距离不大 于3，则 a 的取值范围为 ⁠. 点 P 到直线的距离为 ＝ . 由 ≤3，即｜15－3 a ｜≤15，得0≤ a ≤10，所以 a 的取值范 围为[0，10]. [0，10]　 跟踪训练 教材延展　直线系方程 　过直线 x ＋2 y ＋1＝0与直线2 x － y ＋1＝0的交点，且在两坐 标轴上的截距相等的直线方程为 ⁠. x －3 y ＝0或5 x ＋5 y ＋4＝0　 例1 设所求直线方程为 x ＋2 y ＋1＋λ(2 x － y ＋1)＝0，当直线过原点时，1＋ λ＝0得，λ＝－1，此时所求直线方程为 x －3 y ＝0；当直线不过原点 时，令 x ＝0，得 y ＝ ，令 y ＝0，得 x ＝－ .由题意得 ＝ － ， 解得λ＝ 或λ＝－1(舍)， 此时所求直线方程为5 x ＋5 y ＋4＝0. 综上所述，所求直线方程为 x －3 y ＝0或5 x ＋5 y ＋4＝0. 　经过两条直线2 x ＋3 y ＋1＝0和 x －3 y ＋4＝0的交点，且垂直 于直线3 x ＋4 y －7＝0的直线的方程为 ⁠. 4 x －3 y ＋9＝0　 例2 法一：由解得故交点的坐标为 . 因为所求直线与直线3 x ＋4 y －7＝0垂直，所以所求直线的斜率为 ，所 以所求直线的方程为 y － ＝ ，即4 x －3 y ＋9＝0. 法二：由垂直关系可设所求直线方程为4 x －3 y ＋ m ＝0. 由可解得交点的坐标为 . 将点 的坐标代入4 x －3 y ＋ m ＝0，得 m ＝9， 故所求直线的方程为4 x －3 y ＋9＝0. 1. 过直线交点的直线系 过直线 l 1： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1=0与直线 l 2： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2=0交点的直 线系方程为 A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1＋λ( A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2)=0(λ为参数),其中不 包括直线 l 2 2. 平行直线系 与 Ax ＋ By ＋ C =0平行的直线设为 Ax ＋ By ＋ n =0 3. 垂直直线系 与 Ax ＋ By ＋ C =0垂直的直线设为 Bx － Ay ＋ m =0 方法总结 1. 过直线3 x － y ＋5＝0与2 x － y ＋6＝0的交点，且垂直于直线 x －2 y ＋ 1＝0的直线方程是 ⁠. 由解得直线 x －2 y ＋1＝0的斜率为 ， 故过点(1，8)且垂直于直线 x －2 y ＋1＝0的直线方程为 y －8＝－2( x － 1)，即2 x ＋ y －10＝0. 2 x ＋ y －10＝0 跟踪训练 2. 求经过 A (2，4)，且与直线2 x ＋ y －1＝0垂直的直线 l 的方程. 解：设所求直线方程为 x －2 y ＋ m ＝0，∵直线过定点(2，4)， ∴2－2×4＋ m ＝0，∴ m ＝6， ∴直线 l 的方程为 x －2 y ＋6＝0. 课时作业　巩固提升 [A组　基础保分练] 1. 过点 A (2，3)且垂直于直线2 x ＋ y －5＝0的直线方程为(　A　) A. x －2 y ＋4＝0 B. 2 x ＋ y －7＝0 C. x －2 y ＋3＝0 D. x －2 y ＋5＝0 由题意可设所求直线方程为 x －2 y ＋ m ＝0，将 A (2，3)代入上式得 2－2×3＋ m ＝0，即 m ＝4，所以所求直线方程为 x －2 y ＋4＝0. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2. 已知直线3 x ＋2 y －3＝0和6 x ＋ my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距 离是(　D　) A. 4 B. C. D. 因为3 x ＋2 y －3＝0和6 x ＋ my ＋1＝0互相平行，所以3∶2＝6∶ m ，所 以 m ＝4.直线6 x ＋4 y ＋1＝0可以转化为3 x ＋2 y ＋ ＝0，由两条平行直 线间的距离公式可得 d ＝ ＝ ＝ . D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 3. 已知△ ABC 的三个顶点坐标分别为 A ， B ， C ， 则其形状为(　A　) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 由题意得 kAB ＝ ＝－ ； kBC ＝ ＝2， ∴ kAB · kBC ＝－1，∴ AB ⊥ BC ，∴△ ABC 为直角三角形. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4. 若直线2 x － y －3＝0与4 x －2 y ＋ a ＝0之间的距离为 ，则 a 的值为 (　C　) A. 4 B. －6 C. 4或－16 D. 8或－16 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 根据题意可得 ＝ ，即｜ a ＋6｜＝10，解得 a ＝4或 a ＝－16， 所以 a 的值为 a ＝4或 a ＝－16. 将直线2 x － y －3＝0化为4 x －2 y －6＝0， 则直线2 x － y －3＝0与直线4 x －2 y ＋ a ＝0之间的距离 d ＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 5. 若点( m ， n )在直线 l ：3 x ＋4 y －13＝0上，则( m －1)2＋ n 2的最小值 为(　B　) A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 由( m －1)2＋ n 2的几何意义为点( m ， n )到点(1，0)距离的平方， 得其最小值为点(1，0)到直线 l ：3 x ＋4 y －13＝0的距离的平方， 即 d 2＝ ＝4. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 6. 过直线 l 1： x －3 y ＋4＝0和 l 2：2 x ＋ y ＋5＝0的交点，且过原点的直 线的方程为(　D　) A. 19 x －9 y ＝0 B. 9 x ＋19 y ＝0 C. 19 x －3 y ＝0 D. 3 x ＋19 y ＝0 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 法一：解方程组可得直线 l 1和 l 2的交点坐标为 .又所求直线过原点，所以所求的直线方程为 y ＝－ x ，即3 x ＋19 y ＝0. 法二：根据题意可设所求的直线方程为 x －3 y ＋4＋λ(2 x ＋ y ＋5)＝0， 因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－ ，所以所求直线的方程 为 x －3 y ＋4－ (2 x ＋ y ＋5)＝0，即3 x ＋19 y ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7. (多选)已知直线 l ： x － y ＋1＝0，则下列结论正确的是(　CD　) A. 直线 l 的倾斜角是 B. 若直线 m ： x － y ＋1＝0，则 l ⊥ m C. 点( ，0)到直线 l 的距离是2 D. 过点(2 ，2)且与直线 l 平行的直线方程是 x － y －4＝0 CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 对于A，直线 l ： x － y ＋1＝0的斜率 k ＝ ，所以直线 l 的倾斜角是 ，故A选项中结论错误；对于B，因为直线 m ： x － y ＋1＝0的斜率 k '＝ ， kk '＝1≠－1，所以直线 l 与直线 m 不垂直，故B选项中结论错 误；对于C，点( ，0)到直线 l 的距离 d ＝ ＝2，故C选 项中结论正确；对于D，过点(2 ，2)且与直线 l 平行的直线方程是 y － 2＝ ( x －2 ，整理得 x － y －4＝0，故D选项中结论正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8. (多选)已知直线 l 1：3 x － y －1＝0， l 2： x ＋2 y －5＝0， l 3： x － ay － 3＝0不能围成三角形，则实数 a 的取值可能为(　BCD　) A. 1 B. C. －2 D. －1 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 因为直线 l 1的斜率为3，直线 l 2的斜率为－ ，所以直线 l 1， l 2一定相 交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为(1，2).当 a ＝0时，直线 l 3与横轴垂直，方程为 x ＝3不经过点(1，2)，所以三条直 线能构成三角形；当 a ≠0时，直线 l 3的斜率为 .当直线 l 1与直线 l 3的斜 率相等时，即 ＝3⇒ a ＝ ，此时这两直线平行，因此这三条直线不能 构成三角形；当直线 l 2与直线 l 3的斜率相等时，即 ＝－ ⇒ a ＝－2， 此时这两直线平行，因此这三条直线不能构成三角形；当直线 l 3过直线 l 1， l 2交点(1，2)时，三条直线不能构成三角形，即有1－2 a －3＝0⇒ a ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9. 直线( m －1) x －( m ＋3) y －( m －11)＝0( m 为常数)恒过定点的坐标 为 ⁠. 由题意得 mx － x － my －3 y － m ＋11＝0， 即 m ( x － y －1)－( x ＋3 y －11)＝0， 由得即直线恒过定点 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10. 一条与直线 x －2 y ＋3＝0平行且距离大于 的直线方程为 ⁠ ⁠. 设该直线方程为 x －2 y ＋ b ＝0，由距离公式可知 ＞ ，解得 b ＜－2或 b ＞8，则该直线可为 x －2 y ＋9＝0(答案不唯一). x －2 y ＋9＝0(答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11. 已知直线 l 1： ax ＋ y －1＝0，直线 l 2： x － y －3＝0，若直线 l 1的倾 斜角为 ，则 a ＝ ；若 l 1⊥ l 2，则 a ＝ ；若 l 1∥ l 2，则两平 行直线间的距离为 ⁠. 若直线 l 1的倾斜角为 ，则－ a ＝ k ＝tan ＝1，故 a ＝－1；若 l 1⊥ l 2， 则 a ×1＋1×(－1)＝0，故 a ＝1；若 l 1∥ l 2，则 a ＝－1， l 1： x － y ＋1＝ 0，两平行直线间的距离 d ＝ ＝2 . －1　 1　 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 12. 已知直线 l 过点 P (－1，2)，且点 A (2，3)， B (－4，5)到直线 l 的距离 相等，求直线 l 的方程. 解：法一：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y －2＝ k ( x ＋1)， 即 kx － y ＋ k ＋2＝0.由题意知 ＝ ，即｜3 k － 1｜＝｜－3 k －3｜，解得 k ＝－ ，所以直线 l 的方程为 x ＋3 y －5＝0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x ＝－1，符合题意.故直线 l 的 方程为 x ＋3 y －5＝0或 x ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 法二：当 AB ∥ l 时，直线 l 的斜率 k ＝ kAB ＝－ ，则直线 l 的方程为 y － 2＝－ ( x ＋1)，即 x ＋3 y －5＝0.当直线 l 过 AB 的中点(－1，4)时，又直 线 l 过点 P (－1，2)，所以直线 l 的方程为 x ＝－1.故直线 l 的方程为 x ＋3 y －5＝0或 x ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 13. 点(0，－1)到直线 y ＝ k ( x ＋1)距离的最大值为(　B　) A. 1 B. C. D. 2 设点 A (0，－1)，直线 l ： y ＝ k ( x ＋1)，由 l 过定点 B (－1，0)，知当 AB ⊥ l 时，距离最大，最大值为 . B [B组　能力提升练] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14. 已知点 A (1，3)， B (5，－2)，在 x 轴上有一点 P . 若｜ AP ｜－ ｜ BP ｜最大，则点 P 的坐标为(　B　) A. (3，0) B. (13，0) C. (5，0) D. (－13，0) 作出点 A 关于 x 轴的对称点 A '(1，－3)，则 A ' B 所在直线方程为 x －4 y －13＝0.令 y ＝0得 x ＝13，所以点 P 的坐标为(13，0). B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 15. 已知直线 mx ＋4 y －2＝0与2 x －5 y ＋ n ＝0互相垂直，垂足坐标为 (1， p )，则 m － n ＋ p 的值为(　D　) A. －4 B. 0 C. 16 D. 20 由两条直线互相垂直，得－ × ＝－1， m ＝10.又垂足坐标为(1， p )， 代入直线10 x ＋4 y －2＝0，得 p ＝－2.将(1，－2)代入直线2 x －5 y ＋ n ＝0，得 n ＝－12.故 m － n ＋ p ＝20. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16. (多选)已知直线 l 1： x － y －1＝0，动直线 l 2：( k ＋1) x ＋ ky ＋ k ＝0( k ∈R)，则下列结论正确的是(　ABD　) A. 存在 k ，使得 l 2的倾斜角为90° B. 对任意的 k ， l 1与 l 2都有公共点 C. 对任意的 k ， l 1与 l 2都不重合 D. 对任意的 k ， l 1与 l 2都不垂直 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 对于动直线 l 2：( k ＋1) x ＋ ky ＋ k ＝0( k ∈R)，当 k ＝0时，斜率不存在， 倾斜角为90°，故A正确；由方程组可得(2 k ＋1) x ＝0，对任意的 k ，此方程有解，可得 l 1与 l 2有交点，故B正确；当 k ＝ － 时， ＝ 成立，此时 l 1与 l 2重合，故C错误；由于直线 l 1： x － y －1＝0的斜率为1，动直线 l 2的斜率为 ＝－1－ ≠－1，故对任意的 k ， l 1与 l 2都不垂直，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17. (多选)定义点 P ( x 0， y 0)到直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0( A 2＋ B 2≠0)的有 向距离为 d ＝ .已知点 P 1， P 2到直线 l 的有向距离分别是 d 1， d 2，则下列命题中正确的是(　CD　) A. 若 d 1＝ d 2，则直线 P 1 P 2与直线 l 平行 B. 若 d 1＝－ d 2，则直线 P 1 P 2与直线 l 垂直 C. 若 d 1· d 2＞0，则直线 P 1 P 2与直线 l 平行或相交 D. 若 d 1· d 2＜0，则直线 P 1 P 2与直线 l 相交 CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 若 d 1＝ d 2＝0，则 P 1∈ l ， P 2∈ l ，故A不正确；若 d 1＝－ d 2，则 P 1与 P 2在直线 l 两旁，故 P 1 P 2与 l 相交，不一定垂直，故B不正确；若 d 1· d 2＞ 0，则 P 1与 P 2在 l 同旁，则 P 1 P 2∥ l 或 P 1 P 2与 l 相交，故C正确； 若 d 1· d 2＜0，则 P 1与 P 2在 l 两旁，则 P 1 P 2与 l 相交，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18. 已知在△ ABC 中，点 A (1，1)， B (4，2)， C (－4，6)，则△ ABC 的面积为 ⁠. 由两点式得直线 BC 的方程为 ＝ ，即为 x ＋2 y －8＝0，由点 A 到 直线 BC 的距离公式得 BC 边上的高 d ＝ ＝ ， B ， C 两点之 间的距离为 ＝4 ，∴△ ABC 的面积为 ×4 × ＝10. 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19. 已知0＜ k ＜4，直线 l 1： kx －2 y －2 k ＋8＝0和直线 l 2：2 x ＋ k 2 y －4 k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，求使得这个四边形面积最小的 k 的值. 解：由题意知直线 l 1， l 2恒过定点 P (2，4)，直线 l 1的纵截距为4－ k ， 直线 l 2的横截距为2 k 2＋2，如图，所以四边形的面积 S ＝ ×2 k 2×4＋ (4－ k ＋4)×2× ＝4 k 2－ k ＋8，故四边形面积最小时， k ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 20. 已知直线 l 与直线 x ＋2 y ＋1＝0垂直，若直线 l 的倾斜角为θ，则 sin θ sin ＝(　D　) A. B. C. － D. － 因为直线 l 与直线 x ＋2 y ＋1＝0垂直， 所以直线 l 的斜率为2，所以tan θ＝2， 所以 sin θ sin ＝ sin θ·(－ cos θ)＝－ ＝－ ＝－ . D [C组　高考新动向] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21. (多选)已知直线 l ： mx ＋ y － m ＋1＝0， A (1，2)， B (3，4)，则下列 结论正确的是(　ABD　) A. 存在实数 m ，使得直线 l 与直线 AB 垂直 B. 存在实数 m ，使得直线 l 与直线 AB 平行 C. 存在实数 m ，使得点 A 到直线 l 的距离为4 D. 存在实数 m ，使得以线段 AB 为直径的圆上的点到直线 l 的最大距离 为 ＋ ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ∵直线 l ： mx ＋ y － m ＋1＝0， A (1，2)， B (3，4)，∴直线 l 的斜率为 － m ，直线 AB 的斜率为1，故当 m ＝1时，直线 l 与直线 AB 垂直；当 m ＝－1时，直线 l 与直线 AB 平行，故A，B正确；直线 l ： mx ＋ y － m ＋1 ＝0，即 m ( x －1)＋ y ＋1＝0，令求得可得直线 经过定点 P (1，－1)，由于 AP ＝3，故点 A 到直线 l 的最大距离为3，故C 错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 由于 A (1，2)， B (3，4)， AB ＝ ＝2 ，故以 AB 为直径的圆的 圆心 Q (2，3)，且 PQ ＝ ＝ ，故圆的半径为 ，圆心 Q 到 直线 l 的最大距离为 ，故以线段 AB 为直径的圆上的点到直线 l 的最 大距离为 ＋ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 $$