第8章 第1节 直线的方程-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第一节　直线的方程 第八章　直线和圆的方程 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 [学习要求]　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位 置的几何要素.　2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻 画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.　3.根据确定直 线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式 及一般式). 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点一　直线的倾斜角与斜率 1. 直线的倾斜角 (1)对于一条与 x 轴相交的直线 l ，把 x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点 旋转到和直线 l 首次重合时所成的角，称为直线 l 的倾斜角. (2)范围：直线 l 的倾斜角α的取值范围是 ⁠. 0°≤α＜180°　 2. 直线的斜率 (1)过两点的直线的斜率公式：如果直线经过两点 P 1( x 1， y 1)， P 2( x 2， y 2)( x 1≠ x 2)，其斜率 k ＝ . (2)把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字 母 k 表示，即 k ＝ . tan α　 知识点二　直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 ⁠ 与 x 轴不垂 直的直线 点斜式 过一点、斜率 ⁠ ⁠ 两点式 过两点 ＝ ( x 1≠ x 2， y 1≠ y 2) 与两坐标轴均 不垂直的直线 y ＝ kx ＋ b 　 y － y 0＝ k ( x － x0)　 名称 几何条件 方程 适用条件 截距式 纵、横截距 ＋ ＝1 不过原点且与两坐标 轴均不垂直的直线 一般式 Ax ＋ By ＋ C ＝0 ( A 2＋ B 2≠0) 所有直线 1. 已知直线 l 的倾斜角为120°，则直线 l 的斜率为(　D　) A. B. C. － D. － D [小题诊断] 2. 已知直线 l 过点(1，1)，且倾斜角为90°，则直线 l 的方程为(　D　) A. x ＋ y ＝1 B. x － y ＝1 C. y ＝1 D. x ＝1 因为直线 l 的倾斜角为90°， 所以该直线的斜率不存在，与 x 轴垂直. 又因为直线 l 过点(1，1)， 所以直线 l 的方程为 x ＝1. D 3. 若直线 l ： y ＝－( a ＋1) x ＋ a －2不经过第二象限，则实数 a 的取值范 围为 ⁠. 因为直线不过第二象限， 所以解得 a ≤－1， 所以实数 a 的取值范围为(－∞，－1]. (－∞，－1]　 4. 过点 P (2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ⁠ ⁠. 3 x －2 y ＝0或 x ＋ y －5＝0　 关键能力　重点探究 考点一　直线的倾斜角与斜率 　(1)已知点 A (2，3)， B (－3，－2)，若直线 l 过点 P (1，1)，且 与线段 AB 始终没有交点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是(　)A　) A. B. ∪(2，＋∞) C. D. (－∞，2) A 例1 (1)由已知得 kAP ＝ ＝2， kBP ＝ ＝ .如图，因为过 P (1，1)的直线 l 与线段 AB 始终没有交点，所以斜率 k 的取值范围是 . (2)直线2 x cos α－ y －3＝0 的倾斜角的变化范围是(　B　) A. B. C. D. B (2)直线2 x cos α－ y －3＝0的斜率 k ＝2 cos α. 由于α∈ ，所以 ≤ cos α≤ ， 因此 k ＝2 cos α∈[1， ]. 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， ]. 由于θ∈[0，π)， 所以θ∈ ，即倾斜角的变化范围是 . 直线的斜率与倾斜角的区别与联系 方法总结 1. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所 在直线的斜率分别为 ， ⁠. 在正方形 OABC 中，对角线 OB 所在直线的斜率为2，建立如图所示的平 面直角坐标系. 设对角线 OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2， 　 －3　 跟踪训练 由正方形性质可知，直线 OA 的倾斜角为θ－45°，直线 OC 的倾斜角为θ ＋45°， 故 kOA ＝tan(θ－45°)＝ ＝ ＝ ， kOC ＝tan(θ＋45°)＝ ＝ ＝－3. 考点二　直线方程的求法 (1)直线过点(－4，0)，倾斜角为30°的直线方程为 ⁠； (1) k ＝tan 30°＝ ，由点斜式得 y ＝ ( x ＋4)，即 x － y ＋4＝0. x － y ＋4＝0　 例2 (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线方程 为 ⁠； (2)由题设知纵、横截距不为0，设直线方程式为 ＋ ＝1，又直线过 点(－3，4)， 从而 ＋ ＝1，解得 a ＝－4或 a ＝9. 故所求直线方程为4 x － y ＋16＝0或 x ＋3 y －9＝0. 4 x － y ＋16＝0或 x ＋3 y －9＝0　 (3)欧拉线：三角形外心、垂心、重心依次位于同一直线上，且重心到外 心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称为三角形的欧拉 线.△ ABC 的顶点 A (2，0)， B (0，4)，｜ AC ｜＝｜ BC ｜，△ ABC 的欧拉线方程为 ⁠. (3)因为 A (2，0)， B (0，4)，则线段 AB 的中点为 M (1，2)， kAB ＝ ＝ －2，所以线段 AB 的垂直平分线为 y －2＝ ( x －1)， 即 x －2 y ＋3＝0. 因为｜ AC ｜＝｜ BC ｜，所以△ ABC 的外心、重心、垂心都位于线段 AB 的垂直平分线上，因此△ ABC 的欧拉线方程为 x －2 y ＋3＝0. x －2 y ＋3＝0　 求直线方程时的注意点 1. 在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件. 2. 对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用：若采 用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距 是否为零. 3. 截距是数，不是距离.它是直线与坐标轴交点的坐标，在 x 轴上的截 距是直线与 x 轴交点的横坐标，在 y 轴上的截距是直线与 y 轴交点的纵 坐标.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要 注意“截距为0”的情况，以防漏解. 方法总结 2. 已知直线 l 的一个方向向量为 n ＝(2，3)，若 l 过点 A (－4，3)，则直线 l 的方程为(　C　) A. y －3＝－ ( x ＋4) B. y ＋3＝ ( x －4) C. y －3＝ ( x ＋4) D. y ＋3＝－ ( x －4) 法一：因为直线 l 的一个方向向量为 n ＝(2，3)， 所以直线 l 的斜率 k ＝ ， 故直线 l 的方程为 y －3＝ ( x ＋4). C 跟踪训练 法二：设 P ( x ， y )是直线 l 上的任意一点(不同于 A )，则 ＝( x ＋4， y －3). 因为直线 l 的一个方向向量为 n ＝(2，3)， 所以3( x ＋4)－2( y －3)＝0， 故直线 l 的方程为 y －3＝ ( x ＋4). 3. 一条直线经过点 A (－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，则此直线的方程为 ⁠. 设直线为 y －2＝ k ( x ＋2)，当 x ＝0时， y ＝2 k ＋2. 当 y ＝0时， x ＝－ －2， S ＝ ×｜2 k ＋2｜ ＝1， ∴ k ＝－ 或 k ＝－2， ∴直线为 x ＋2 y －2＝0或2 x ＋ y ＋2＝0. x ＋2 y －2＝0或2 x ＋ y ＋2＝0　 考点三　直线方程的应用 已知直线 l 过点 P (3，2)，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A ， B 两点，如图所示，求△ AOB 的面积的最小值及此时直线 l 的方程. 例3 [解]　法一：依题意，设直线 l 的方程为 ＋ ＝1( a ＞0， b ＞0)，将点 P (3，2)的坐标代入方程得 ＋ ＝1≥2 ，即 ab ≥24，当且仅当 ＝ 时，等号成立，从而 S △ AOB ＝ ab ≥12，故△ AOB 的面积的最小值为 12，此时直线 l 的斜率 k ＝－ ＝－ ，从而所求直线 l 的方程为2 x ＋3 y －12＝0，所以△ AOB 的面积的最小值为12，此时直线 l 的方程为2 x ＋3 y －12＝0. 法二：依题意，直线 l 的斜率 k 存在，且 k ＜0，可设直线 l 的方程为 y －2 ＝ k ( x －3)( k ＜0)，则 A ， B (0，2－3 k )， 所以 S △ AOB ＝ (2－3 k ＝ ≥ ［12＋2 ］＝ ×(12＋12)＝12， 当且仅当－9 k ＝ ，即 k ＝－ 时，等号成立.此时直线 l 的方程为2 x ＋ 3 y －12＝0.所以△ AOB 的面积的最小值为12，此时直线 l 的方程为2 x ＋3 y －12＝0. 与直线有关的求最值的常用方法 1. 与直线的倾斜角、斜率、方程等有关的最值问题，常常转化为求函 数最值、利用基本不等式求最值等. 2. 直线过定点问题，常常把直线方程整理变为含有参数为主元的方 程，得到两个关于直线方程中的变量的方程组求解得到定点坐标. 方法总结 4. 若例3条件不变， 求 · 的最大值及此时直线 l 的方程. 解：由原例题法二知 A ， B (0，2－3 k )， k ＜0. 故 · ＝ ·(－3，－3 k )＝ ＋6 k ＝ －［ ＋(－6 k )］≤－2 ＝－12， 当且仅当－ ＝－6 k ，即 k ＝－1时，等号成立. 此时直线 l 的方程为 x ＋ y －5＝0. 所以 · 的最大值为－12，此时直线 l 的方程为 x ＋ y －5＝0. 跟踪训练 课时作业　巩固提升 [A组　基础保分练] 1. 过点 P (－1， 且倾斜角为30°的直线方程为(　A　) A. x －3 y ＋4 ＝0 B. x － y ＋2 ＝0 C. x －3 y ＋2 ＝0 D. x － y ＝0 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2. (2024·山东济南模拟)在等腰三角形 MON 中， MO ＝ MN ，点 O (0， 0)， M (－1，3)，点 N 在 x 轴的负半轴上，则直线 MN 的方程为(　C　) A. 3 x － y －6＝0 B. 3 x ＋ y ＋6＝0 C. 3 x － y ＋6＝0 D. 3 x ＋ y －6＝0 因为 MO ＝ MN ，所以直线 MN 的斜率与直线 MO 的斜率互为相反数，所 以 kMN ＝－ kMO ＝3，所以直线 MN 的方程为 y －3＝3( x ＋1)，即3 x － y ＋ 6＝0. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 3. 若将直线 l 沿 x 轴正方向平移3个单位长度，再沿 y 轴负方向平移2个单 位长度，又回到了原来的位置，则 l 的斜率是(　C　) A. － B. C. － D. 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为0， 设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0)， 则平移后直线的方程为 y ＝ k ( x －3)＋ b －2＝( kx ＋ b )＋(－3 k －2)， 可得 kx ＋ b ＝( kx ＋ b )＋(－3 k －2)，即 k ＝－ . C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 4. 直线 x －2 y ＋ b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么 b 的取值范围是(　C　) A. [－2，2] B. (－∞，－2]∪[2，＋∞) C. [－2，0)∪(0，2] D. (－∞，＋∞) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 所以所求三角形的面积为 ｜－ b ｜＝ b 2， 且 b ≠0， b 2≤1，所以 b 2≤4， 所以 b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]. 令 x ＝0，得 y ＝ ，令 y ＝0，得 x ＝－ b ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5. 已知在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， BC ＝3， AC ＝4， P 是线段 AB 上的 点，则点 P 到 AC ， BC 的距离的乘积的最大值为(　A　) A. 3 B. 2 C. 2 D. 9 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 以 C 为坐标原点， CB 所在直线为 x 轴， CA 所在直线为 y 轴建立平面直 角坐标系(如图所示)，则 A (0，4)， B (3，0)，直线 AB 的方程为 ＋ ＝ 1.设 P ( x ， y )(0≤ x ≤3)，所以点 P 到 AC ， BC 的距离的乘积为 xy .因为 ＋ ≥2 ，当且仅当 ＝ ＝ 时取等号，所以 xy ≤3，所以 xy 的最 大值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6. 已知函数 f ( x )＝ a sin x － b cos x ( a ≠0， b ≠0)，若 f ＝ f ， 则直线 ax － by ＋ c ＝0的倾斜角为(　D　) A. B. C. D. 由 f ＝ f 知函数 f ( x )的图象关于 x ＝ 对称，所以 f (0)＝ f ，所以－ b ＝ a ，由直线 ax － by ＋ c ＝0知其斜率 k ＝ ＝－1，所以 直线的倾斜角为 . D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7. (多选)下面说法错误的是(　ABC　) A. 经过定点 P ( x 0， y 0)的直线都可以用方程 y － y 0＝ k ( x － x 0)表示 B. 不经过原点的直线都可以用方程 ＋ ＝1表示 C. 经过定点 A (0， b )的直线都可以用方程 y ＝ kx ＋ b 表示 D. 经过任意两个不同的点 P ( x 1， y 1)， Q ( x 2， y 2)的直线都可以用方程 ( x 2－ x 1)( y － y 1)＝( y 2－ y 1)( x － x 1)表示 A错，斜率不存在，则不可用. B错，与坐标轴垂直的直线不可用. C错， y 轴不可用. ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8. (多选)下列四个结论中正确的是(　BC　) A. 方程 k ＝ 与方程 y －2＝ k ( x ＋1)可表示同一直线 B. 直线 l 过点 P ( x 1， y 1)，倾斜角为90°，则其方程是 x ＝ x 1 C. 直线 l 过点 P ( x 1， y 1)，斜率为0，则其方程是 y ＝ y 1 D. 所有的直线都有点斜式和斜截式方程 A不正确，方程 k ＝ 不含点(－1，2)；B正确；C正确；D只有斜率 k 存在时成立. BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9. (多选)若直线过点 A (1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直 线 l 的方程为(　ABC　) A. x － y ＋1＝0 B. x ＋ y －3＝0 C. 2 x － y ＝0 D. x － y －1＝0 当直线经过原点时，斜率为 k ＝ ＝2， 所求的直线方程为 y ＝2 x ，即2 x － y ＝0； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为 x ± y ＝ a ， 把点 A (1，2)代入可得1－2＝ a 或1＋2＝ a ， 求得 a ＝－1或 a ＝3，故所求的直线方程为 x － y ＋1＝0或 x ＋ y －3＝0. 综上知，所求的直线方程为2 x － y ＝0， x － y ＋1＝0或 x ＋ y －3＝0. ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10. 过点 ，且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为 ⁠ ⁠. 因为直线在两坐标轴上的截距互为倒数， 所以可设直线方程为 ＋ ay ＝1( a ≠0). 又直线过点 ，所以 ＋ a ＝1，解得 a ＝2，所以所求直线方程为 x ＋2 y ＝1，即 x ＋4 y －2＝0. x ＋4 y －2＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11. 若 ab ＞0，且 A ( a ，0)， B (0， b )， C (－2，－2)三点共线，则 ab 的 最小值为 ⁠. 依题意，设过点 A ， B 的直线的方程为 ＋ ＝1，又点 C (－2，－2)在 该直线上，所以 ＋ ＝1，所以－2( a ＋ b )＝ ab .又因为 ab ＞0，所以 a ＜0， b ＜0， 所以 ab ＝－2( a ＋ b )≥4 ，从而 ≤0(舍去)或 ≥4，故 ab ≥16，当且仅当 a ＝ b ＝－4时，等号成立.故 ab 的最小值为16. 16　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12. 在△ ABC 中，点 A (2，1)， B (1，3)， C (5，5).若 D 为 BC 的中点，则 直线 AD 所在直线方程为 ⁠. 因为 D 为 BC 的中点， 所以 D (3，4)，直线 AD 的斜率 k ＝ ＝3， 所以直线 AD 所在的直线方程为 y －4＝3( x －3)，即直线 AD 方程为 y ＝3 x －5. y ＝3 x －5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13. 已知直线 l 1： ax －2 y ＝2 a －4， l 2：2 x ＋ a 2 y ＝2 a 2＋4，当0＜ a ＜ 2时，直线 l 1， l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小 时，求实数 a 的值. 解：由题意知直线 l 1， l 2恒过定点 P (2，2)，直线 l 1的纵截距为2－ a .因 为0＜ a ＜2，所以2－ a ＞0.直线 l 2的横截距为 a 2＋2，所以四边形的面 积 S ＝ ×2(2－ a )＋ ×2( a 2＋2)＝ a 2－ a ＋4＝ ＋ . 又0＜ a ＜2，所以当四边形的面积最小时， a ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14. 直线 l ： x sin 30°＋ y cos 150°＋1＝0的斜率是(　A　) A. B. C. － D. － 设直线 l 的斜率为 k ，则 k ＝－ ＝ . A [B组　能力提升练] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15. 直线 l ： x － y ＋2＝0与 x 轴交于点 A ，把 l 绕点 A 顺时针旋转45°得 直线 m ， m 的倾斜角为α，则 cos α等于(　C　) A. － B. C. D. 设 l 的倾斜角为θ，则tan θ＝ ，∴θ＝60°. 由题意知α＝θ－45°＝60°－45°， ∴ cos α＝ cos (60°－45°)＝ cos 60° cos 45°＋ sin 60°· sin 45°＝ × ＋ × ＝ . C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16. 已知两点 A (3，0)， B (0，4)，动点 P ( x ， y )在线段 AB 上运动，则 xy (　D　) A. 无最小值，且无最大值 B. 无最小值，但有最大值 C. 有最小值，但无最大值 D. 有最小值，且有最大值 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 线段 AB 的方程为 ＋ ＝1(0≤ x ≤3)，则 y ＝4· (0≤ x ≤3)，所以 xy ＝4 x ＝－ · ＋3，显然当 x ＝ 时， xy 取最大值3；当 x ＝0或3时， xy 取最小值0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17. (多选)垂直于直线3 x －4 y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面 积为6的直线在 x 轴上的截距是(　CD　) A. 4 B. －4 C. 3 D. －3 设直线方程是4 x ＋3 y ＋ d ＝0，分别令 x ＝0和 y ＝0，得直线在两坐标轴 上的截距分别是－ ，－ ，所以6＝ × × ＝ ， 所以 d ＝±12，则直线在 x 轴上的截距为3或－3. CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18. (多选)已知直线 x sin α＋ y cos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是 (　BD　) A. 直线的倾斜角是π－α B. 无论α如何变化，直线不过原点 C. 直线的斜率一定存在 D. 当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当 x ＝ y ＝0时， x sin α＋ y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α ＝ 时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它 和坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝ · ＝ ≥1， 所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19. 过点 P (－1，0)且与直线 l 1： x － y ＋2＝0的夹角为 的直线的一 般式方程是 ⁠. 直线 l 1的倾斜角β∈[0，π)且tan β＝ ，则β＝ . 因为所求直线与直线 l 1的夹角为 ， 所以所求直线的倾斜角为 或 ， 当所求直线的倾斜角为 时，直线为 x ＝－1； 当所求直线的倾斜角为 时，直线为 y ＝ ( x ＋1)， 故直线为 x － y ＋1＝0. 综上，所求直线为 x ＋1＝0或 x － y ＋1＝0. x ＋1＝0或 x － y ＋1＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20. 已知不全为零的实数 a ， b ， c 成等差数列，过点 A (1，2)作直线 l ： ax ＋ by ＋ c ＝0的垂线与直线 l 交于点 P ，点 Q 在直线3 x －4 y ＋12＝0 上，则｜ PQ ｜的最小值为 ⁠. ∵不全为零的实数 a ， b ， c 成等差数列， ∴ b ＝ ，代入动直线 l ： ax ＋ by ＋ c ＝0， 得 ax ＋ y ＋ c ＝0，即 a (2 x ＋ y )＋ c ( y ＋2)＝0. ∵ a ， c 不全为零，∴解得 x ＝1， y ＝－2， 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ∴动直线 l 过定点 N (1，－2). 设点 P ( x ， y )， ∵当点 P 与点 N 不重合时， AP ⊥ NP ， ∴ · ＝( x －1， y －2)·( x －1， y ＋2)＝0， 整理，得 x 2＋ y 2－2 x －3＝0，即( x －1)2＋ y 2＝4， ∴点 P 在以(1，0)为圆心，2为半径的圆上， 点 Q 在直线3 x －4 y ＋12＝0上，圆心(1，0)到直线3 x －4 y ＋12＝0的距 离 d ＝ ＝3＞2， ∴｜ PQ ｜的最小值等于圆心(1，0)到直线3 x －4 y ＋12＝0的距离 d 减去 圆的半径2，∴｜ PQ ｜的最小值为3－2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [C组　高考新动向] 21. 斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉 索的合力方向与中央索塔一致.如图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有10 对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距 ｜ PiPi ＋1｜( i ＝1，2，3，…，9)均为3.4 m，拉索下端相邻两个锚的间距｜ AiAi ＋1｜( i ＝1，2，3，…，9)均为16 m.最短拉索的锚 P 1 A 1满足 ｜ OP 1｜＝66 m，｜ OA 1｜＝86 m，则最长拉索所在直线的斜率为(　C　) A. ±0.47 B. ±0.45 C. ±0.42 D. ±0.40 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 根据题意，｜ OA 10｜＝｜ OA 1｜＋｜ A 1 A 10｜＝86＋9×16＝230，即点 A 10(230，0)，同理 B 10(－230，0)，又｜ OP 10｜＝｜ OP 1｜＋｜ P 1 P 10｜＝66＋9×3.4＝96.6，即点 P 10(0，96.6)，所以 ＝ ＝ －0.42， ＝ ＝0.42. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22. 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝ ( n ∈N＋)，其前 n 项和 Sn ＝ ，则直线 ＋ ＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为 ⁠. 由 an ＝ 可知 an ＝ － ，所以 Sn ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝1－ .又 Sn ＝ ，所以1－ ＝ ，所以 n ＝9， 所以直线方程为 ＋ ＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以 直线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ×10×9＝45. 45　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $$