第3章 第2节 导数在研究函数中的应用-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第二节　导数在研究函数中的应用 第三章　导数及其应用 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 [学习要求]　1.了解函数的单调性和导数的关系.　2.能利用导数研究函 数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次).　 3.了解函数在某点取得极值的充要条件.　4.会用导数求函数的极大值、 极小值(其中多项式函数一般不超过三次).　5.会求闭区间上函数的最大 值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 必备知识　自主梳理 内容索引 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点一　利用导数研究函数的单调性 1. 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数 y ＝ f ( x )在区间( a ， b )上可导 f '( x )＞0 f ( x )在区间( a ， b )上 ⁠ f '( x )＜0 f ( x )在区间( a ， b )上 ⁠ f '( x )＝0 f ( x )在区间( a ， b )上是 ⁠ ⁠ 单调递增　 单调递减　 常数函数 2. 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的 ⁠； 第2步，求出导数 f '( x )的 ⁠； 第3步，用 f '( x )的零点将 f ( x )的定义域划分为若干个区间，列表给出 f '( x )在各区间上的正负，由此得出函数 y ＝ f ( x )在定义域内的单调性. 定义域　 零点　 知识点二　利用导数研究函数的极值与最值 1. 函数的极大值 若函数 y ＝ f ( x )在区间( a ， x 0)内 ，在区间( x 0， b )内 ⁠ ，则 x 0是极大值点， f ( x 0)是极大值. 2. 函数的极小值 若函数 y ＝ f ( x )在区间( a ， x 0)内 ，在区间( x 0， b )内 ⁠ ，则 x 0是极小值点， f ( x 0)是极小值. 单调递增　 单 调递减　 单调递减　 单 调递增　 (1)函数 f ( x )在区间[ a ， b ]上有最值的条件： 如果在区间[ a ， b ]上函数 y ＝ f ( x )的图象是一条连续不断的曲线，那么 它必有最大值和最小值. (2)求 y ＝ f ( x )在区间[ a ， b ]上的最大(小)值的步骤： ①求函数 y ＝ f ( x )在区间( a ， b )上的 ⁠； ②将函数 y ＝ f ( x )的各极值与 ⁠比较，其 中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 极值　 端点处的函数值 f ( a )， f ( b )　 3. 函数的最值 [小题诊断] 1. 函数 f ( x )＝ x 2－2ln x 的单调递减区间是(　A　) A. (0，1) B. (1，＋∞) C. (－∞，－1) D. (－1，0)∪(0，1) A 2. (多选)如果函数 y ＝ f ( x )的导函数 y ＝ f '( x )的图象如图所示，则以下关 于函数 y ＝ f ( x )的判断正确的是(　BD　) A. 在区间(2，4)内单调递减 B. 在区间(2，3)内单调递增 C. x ＝－3是极小值点 D. x ＝4是极大值点 BD 3. (易错题)若函数 f ( x )＝ kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则 k 的取 值范围是(　D　) A. (－∞，－2] B. (－∞，－1] C. [2，＋∞) D. [1，＋∞) 因为 f ( x )＝ kx －ln x ，所以 f '( x )＝ k － .因为 f ( x )在区间(1，＋∞)上单 调递增， 所以当 x ＞1时， f '( x )＝ k － ≥0恒成立， 即 k ≥ 在区间(1，＋∞)上恒成立. 因为 x ＞1，所以0＜ ＜1，所以 k ≥1. D 4. (易错题)已知函数 f ( x )＝ x 3＋ ax 2＋3 x －9.若 x ＝－3是函数 f ( x )的一 个极值点，则实数 a ＝ ⁠. f '( x )＝3 x 2＋2 ax ＋3.由题意知， x ＝－3是方程 f '( x )＝0的根，所以 3×(－3)2＋2 a ×(－3)＋3＝0，解得 a ＝5.经检验，当 a ＝5时， f ( x )在 x ＝－3处取得极值. 5　 $$