第3章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第一节　导数的概念及其意义、导数的运算 第三章　导数及其应用 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 [学习要求]　1.了解导数概念的实际背景.　2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.　3.能根据导数定义求函数 y ＝ C ( C 为常数)， y ＝ x ， y ＝ x 2， y ＝ x 3， y ＝ ， y ＝ 的导数.　4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.　5.了解复合函数的求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如 f ( ax ＋ b )的复合函数)的导数. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点一　导数的概念 1. 函数 y ＝ f ( x )在点 x 0处的导数，通常用符号 表示，记作 f '( x 0)＝ ＝ . 2. 函数 y ＝ f ( x )的导函数 f '( x )＝ . f '( x 0)　 知识点二　导数的几何意义 　函数 y ＝ f ( x )在 x 0处的导数 f '( x 0)，是曲线 y ＝ f ( x )在点( x 0， f ( x 0))处 的 ，函数 y ＝ f ( x )在 x 0处 ⁠反映了导数的 几何意义. 切线的斜率　 切线的斜率　 知识点三　基本初等函数的导数公式 函数 导数 y ＝ c ( c 是常数) y '＝ ⁠ y ＝ x α(α是实数) y '＝α y ＝ ax ( a ＞0， a ≠1) y '＝ ⁠ 特别地(e x )'＝ ⁠ y ＝log ax ( a ＞0， a ≠1) y '＝ 特别地(ln x )'＝ 0　 ax ln a 　 e x 　 函数 导数 y ＝ sin x y '＝ ⁠ y ＝ cos x y '＝ ⁠ y ＝tan x y '＝ － sin x 　 cos x 　 知识点四　导数的运算法则 1. 导数的运算法则 若 f '( x )， g '( x )存在，则有 [ f ( x )± g ( x )]'＝ ⁠； [ f ( x ) g ( x )]'＝ ⁠； '＝ ( g ( x )≠0)； [ kf ( x )]'＝ ( k ∈R). f '( x )± g '( x )　 f '( x ) g ( x )＋ f ( x ) g '( x )　 kf '( x )　 2. 复合函数的定义及其导数 复合函数 y ＝ f (φ( x ))对 x 的导数为： y ' x ＝[ f (φ( x ))]'＝ ⁠ ⁠. f '( u )φ'( x )，其 中 u ＝φ( x )　 [小题诊断] 1. 某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是 h ( t ) ＝10－4.9 t 2＋8 t (距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时 速度为(　C　) A. 9.1米/秒 B. 6.75米/秒 C. 3.1米/秒 D. 2.75米/秒 C 2. (多选)下列结论中不正确的是(　ACD　) A. 若 y ＝ cos ，则 y '＝－ sin B. 若 y ＝ sin x 2，则 y '＝2 x cos x 2 C. 若 y ＝ cos 5 x ，则 y '＝－ sin 5 x D. 若 y ＝ x sin 2 x ，则 y '＝ x sin 2 x ACD 3. 设函数 f ( x )＝ g ( x )＋ x 2，曲线 y ＝ g ( x )在点(1， g (1))处的切线方程为 y ＝2 x ＋1，则曲线 y ＝ f ( x )在点(1， f (1))处切线的斜率为(　A　) A. 4 B. － C. 2 D. － A 4. (2024·辽宁大连模拟)已知可导函数 f ( x )， g ( x )的定义域均为R，对任 意 x 满足 f ( x )＋2 x 2 g ＝ x －1，且 f (1)＝1，求 f '(1)＋ g ' ＝ ⁠. 由题意可知，令 x ＝1，则 f (1)＋2×12× g ＝1－1，解得 g ＝－ ＝－ ，由 f ( x )＋2 x 2 g ＝ x －1，得 f '( x )＋(2 x 2)' g ＋2 x 2 '＝( x －1)'，即 f '( x )＋4 xg ＋ x 2 g ' ＝1，令 x ＝1，得 f '(1)＋4×1× g ＋12× g ' ＝1，即 f '(1)＋4 g ＋ g ' ＝1，解得 f '(1)＋ g ' ＝1－4 g ＝1－4× ＝3. 3　 关键能力　重点探究 考点一　变化率问题 (1)(2024·云南楚雄模拟)已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度 h (单位：cm)与时间 t (单位：s)的函数关系式为 h ＝ t 3＋ t 2，当 t ＝ t 0时，液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s，则当 t ＝ t 0＋1时，液体上升高度的瞬时变化率为(　C　) C 例1 A. 5 cm/s B. 6 cm/s C. 8 cm/s D. 10 cm/s 由 h ＝ t 3＋ t 2，得h'＝ t 2＋2 t . 当 t ＝ t 0时，h'＝ ＋2 t 0＝3，解得 t 0＝1( t 0＝－3舍去). 故当 t ＝ t 0＋1＝2时，液体上升高度的瞬时变化率为22＋2×2＝8 cm/ s . A. B. 1 C. 2 D. 4 因为 f '( x 0)＝2， 所以 ＝ ＝ f '( x 0)＝1. (2)(2024·河北衡水期末)已知函数 f ( x )的导函数是 f '( x )，若 f '( x 0)＝2，则 ＝(　B　) B 方法总结 1. 求平均变化率的步骤 物体的运动方程为 y ＝ f ( x ),求在区间的平均变化率的步骤： (1)求时间的改变量Δ x ＝ x － x 0. (2)求函数值的变化量Δ y ＝ f ( x )－ f ( x 0). (3)求平均变化率 . 2. 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量Δ t 和位移改变量Δ s ＝ s ( t 0＋Δ t )－ s ( t 0). (2)求平均速度 ＝ . (3)求瞬时速度，当Δ t 无限趋近于0时， 无限趋近于常数 v ，即为瞬时 速度. 3. 求 (当Δ x 无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把Δ x 作为一个数来参与运算. (2)求出 的表达式后，Δ x 无限趋近于0，可令Δ x ＝0，求出结果即可. 1. 已知函数 y ＝ f ( x )的图象如图所示，函数 y ＝ f ( x )的导数为 y ＝ f '( x )，则(　D　) A. f '(2)＜ f '(3)＜ f (3)－ f (2) B. f '(3)＜ f '(2)＜ f (3)－ f (2) C. f '(2)＜ f (3)－ f (2)＜ f '(3) D. f '(3)＜ f (3)－ f (2)＜ f '(2) 由 f ( x )图象可知 f '(3)＜ ＜ f '(2)， 即 f '(3)＜ f (3)－ f (2)＜ f '(2). D 跟踪训练 考点二　导数的运算 求下列函数的导数. (1) f ( x )＝(－2 x ＋1)2； [解]　因为 f ( x )＝(－2 x ＋1)2＝4 x 2－4 x ＋1，所以f'( x )＝8 x －4. (2) f ( x )＝ ； [解]　因为 f ( x )＝ ，所以f'( x )＝ × ＝ . (3) f ( x )＝23 x ＋2； [解]　因为 f ( x )＝23 x ＋2， 所以f'( x )＝3×23 x ＋2ln 2. 例2 (4) y ＝ ； [解]　y'＝ ' ＝ ＝ ＝ ＝ . (5) y ＝ ； [解]　y'＝ ＝ . (6) y ＝ x sin cos . [解]　因为 y ＝ x sin cos ＝ x sin (4 x ＋π)＝－ x sin 4 x ， 所以 y '＝ ' sin 4 x ＋ ( sin 4 x )'＝－ sin 4 x － x ·4 cos 4 x ＝ － sin 4 x －2 x cos 4 x . 连乘积形式 无展开化为多项式的形式，再求导 分式形式 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分 式函数，再求导 对数形式 先化为和、差的形式，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 复合形式 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 导数运算的6种形式及技巧 方法总结 2. (多选)(2024·山东济南质检)下列求导运算正确的是(　AD　) A. '＝－ B. ( x 2e x )'＝2 x ＋e x C. '＝－ sin D. '＝1＋ AD 跟踪训练 '＝－ ·(ln x )'＝－ ，故A正确； ( x 2e x )'＝( x 2＋2 x )e x ，故B错误； '＝－2 sin ，故C错误； '＝1＋ ，故D正确. 3. 我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型分式，比如：当 x →0时， 的极限即为 型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在.为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如： ＝ ＝ ＝ e x ＝e0＝1，则 ＝ 　 　. ＝ ＝ ＝ ＝ln 1＋ ＝ . 　 考点三　导数的几何意义 ◉角度(一)　求切线方程 (1)(2023·全国甲卷)曲线 y ＝ 在点 处的切线方程为(　 　) A. y ＝ x B. y ＝ x C. y ＝ x ＋ D. y ＝ x ＋ 由 y ＝ ，可得y'＝ ， 则y'｜ x ＝1＝ ， C ∴曲线在点 处的切线方程为 y － ＝ ( x －1)，即 y ＝ x ＋ . 例3 (2)已知函数 f ( x )＝ x ln x .若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y ＝ f ( x )相 切，则直线 l 的方程为 ⁠. 因为点(0，－1)不在曲线 f ( x )＝ x ln x 上，所以设切点为( x 0， y 0).又因为 f '( x )＝1＋ln x ，所以直线 l 的方程为 y ＋1＝(1＋ln x 0) x . 所以由解得 x 0＝1， y 0＝0，所以直线 l 的方程 为 y ＝ x －1，即 x － y －1＝0. x － y －1＝0　 求曲线 y ＝ f ( x )的切线方程 若已知曲线 y ＝ f ( x )和点 P ( x 0， y 0),求过点 P 的切线方程. 1. 当点 P ( x 0， y 0)是切点时，切线方程为 y － y 0＝ f '( x 0)( x － x 0). 2. 当点 P ( x 0， y 0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标 P '( x 1， f ( x 1)); 第二步：写出过点 P '( x 1， f ( x 1))的切线方程 y － f ( x 1)＝ f '( x 1)( x － x 1); 第三步：将点 P 的坐标( x 0， y 0)代入切线方程求出 x 1； 第四步：将 x 1的值代入方程 y － f ( x 1)＝ f '( x 1)·( x － x 1)可得过点 P ( x 0， y 0)的切线方程. 方法总结 ◉角度(二)　求切点坐标 过点(0，－1)作曲线 f ( )＝ln x ( x ＞0)的切线，则切点坐标为 ⁠. 由 f ( )＝ln x ( x ＞0)，得 f ( x )＝ln x 2＝2ln x ， 则 f '( x )＝ ，设切点坐标为( x 0，2ln x 0)，显然(0，－1)不在曲线上，则 ＝ ，得 x 0＝ ，则切点坐标为( ，1). ( ，1)　 例4 求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线 的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标. 方法总结 ◉角度(三)　求与切线有关的参数值(范围) (1)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线 y ＝( x ＋ a )·e x 有两条过坐标原点的切 线，则 a 的取值范围是 ⁠. 设 f ( x )＝ y ＝( x ＋ a )e x ，则f'( x )＝( x ＋ a ＋1)e x ，设切点为( x 0，( x 0＋ a ) )， ∴切线方程为 y －( x 0＋ a ) ＝( x 0＋ a ＋1) ·( x － x 0). 又∵切线过原点(0，0)，∴－( x 0＋ a ) ＝( x 0＋ a ＋1)· (－ x 0)，整 理得 ＋ ax 0－ a ＝0，又切线有两条，∴关于 x 0的方程 ＋ ax 0－ a ＝0有两不相等的实根，故Δ＝ a 2＋4 a ＞0，解得 a ＞0或 a ＜－4. (－∞，－4)∪(0，＋∞)　 例5 (2)(2024·湖南长沙模拟)已知曲线 C 1： f ( x )＝－e x －2 x ，曲线 C 2： g ( x )＝ ax ＋ cos x .若曲线 C 1在 x ＝0处的切线与曲线 C 2在 x ＝ 处的切线平行，则实数 a ＝ ⁠. f '( x )＝－e x －2，则曲线 C 1在 x ＝0处的切线的斜率 k 1＝ f '(0)＝－3.∵ g '( x )＝ a － sin x ，∴曲线 C 2在 x ＝ 处的切线的斜率 k 2＝ g ' ＝ a －1，依题意知 a －1＝－3，∴ a ＝－2. －2　 方法总结 1. 利用点与曲线的位置关系可建立不等关系，确定过点作曲线的条数. 2. 一般已知曲线上一点 P ( x 0， y 0)的切线与已知直线的关系(平行或垂 直),先确定该切线的斜率 k ，再求出函数的导函数，然后利用导数的几 何意义得到 k ＝ f '( x 0)＝tanα，其中倾斜角 α∈[0，π),根据范围进一步求 得角度α或有关参数的取值范围. 4. (2024·安徽合肥模拟)已知函数 f ( x )＝ x ln x ，若直线 l 过点(0，－e)， 且与曲线 y ＝ f ( x )相切，则直线 l 的斜率为(　B　) A. －2 B. 2 C. －e D. e 函数 f ( x )＝ x ln x 的导数为 f '( x )＝ln x ＋1， 设切点为( m ， n )，可得切线的斜率 k ＝1＋ln m ， 则1＋ln m ＝ ＝ ， 解得 m ＝e，故 k ＝1＋ln e＝2. B 跟踪训练 5. (2024·四川成都模拟)若曲线 f ( x )＝ln x ＋ ax 2( a 为常数)不存在斜率为 负数的切线，则实数 a 的取值范围是(　D　) A. B. C. (0，＋∞) D. [0，＋∞) f '( x )＝ ＋2 ax ＝ ( x ＞0)，根据题意有 f '( x )≥0( x ＞0)恒成立，∴2 ax 2＋1≥0( x ＞0)恒成立，即2 a ≥－ ( x ＞0)恒成立，∴ a ≥0，故实数 a 的取值范围为[0，＋∞). D 6. (2024·湖北孝感模拟)若过点( a ， b )可以作曲线 y ＝ln x 的两条切线， 则(　D　) A. a ＜ln b B. b ＜ln a C. ln b ＜ a D. ln a ＜ b 设切点坐标为( x 0，ln x 0)， 由于 y '＝ ， 因此切线方程为 y －ln x 0＝ ( x － x 0). 又切线过点( a ， b )，所以 b －ln x 0＝ ， D 即 b ＋1＝ln x 0＋ ， 所以 b ＋1＝ln x 0＋ 有两个不等实根， 设 f ( x )＝ln x ＋ ，定义域是(0，＋∞)， 即直线 y ＝ b ＋1与曲线 f ( x )＝ln x ＋ 有两个不同的交点. f '( x )＝ － ＝ ， 当 a ≤0时， f '( x )＞0恒成立， f ( x )在(0，＋∞)上单调递增，不合题意； 当 a ＞0时，若0＜ x ＜ a ，则 f '( x )＜0， f ( x )单调递减， 若 x ＞ a ，则 f '( x )＞0， f ( x )单调递增. 所以 f ( x )min＝ f ( a )＝ln a ＋1， 由题意知 b ＋1＞ln a ＋1，即 b ＞ln a . 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y ＝ln x 上，且该曲线在点 A 处 的切线经过点(－e，－1)，则点 A 的坐标是 ⁠. 设 A ( m ， n )，则曲线 y ＝ln x 在点 A 处的切线方程为 y － n ＝ ( x － m ). 又切线过点(－e，－1)， 所以有 n ＋1＝ ( m ＋e). 再由 n ＝ln m ，解得 m ＝e， n ＝1， 故点 A 的坐标为(e，1). (e，1)　 (1)(2024·云南保山模拟)若函数 f ( x )＝4ln x ＋1与函数 g ( x )＝ x 2－ 2 x ( a ＞0)的图象存在公切线，则实数 a 的取值范围为(　A　) A 教材延展　两曲线的公切线问题 A. B. C. D. 例 由函数 f ( x )＝4ln x ＋1，可得f'( x )＝ . 设切点为( t ，4ln t ＋1)，则f'( t )＝ ， 公切线方程为 y －4ln t －1＝ ( x － t )，即 y ＝ x ＋4ln t －3， 与 y ＝ x 2－2 x 联立可得 x 2－ x －4ln t ＋3＝0， 所以Δ＝ －4× ×(3－4ln t )＝0，整理可得 ＝ ， 又由可得3－4ln t ＞0，解得0＜ t ＜ . 令 h ( t )＝ ，其中0＜ t ＜ ，可得h'( t )＝ ， 令φ( t )＝ t ＋4ln t －1，可得φ'( t )＝1＋ ＞0，函数φ( t )在 上单调 递增，且φ(1)＝0， 当0＜ t ＜1时，φ( t )＜0，即h'( t )＜0，此时函数 h ( t )单调递减， 当1＜ t ＜ 时，φ( t )＞0，即h'( t )＞0，此时函数 h ( t )单调递增， 所以 h ( t )min＝ h (1)＝3，且当 t →0＋时， h ( t )→＋∞，所以函数 h ( t )的值 域为[3，＋∞)，所以 ≥3且 a ＞0，解得0＜ a ≤ ，即实数 a 的取值范围 为 . (2)(2024·河北邯郸模拟)若曲线 y ＝e x 与圆( x － a )2＋ y 2＝2有三条公切线，则 a 的取值范围是 ⁠. 曲线 y ＝e x 在点( x 0， y 0)处的切线方程为 y － ＝ ( x － x 0)， 由直线 y － ＝ ( x － x 0)与圆( x － a )2＋ y 2＝2相切，得 ＝ .(*) 因为曲线 y ＝e x 与圆( x － a )2＋ y 2＝2有三条公切线，故(*)式有三个不相 等的实数根， 即方程 －2)＝2有三个不相等的实数根. (1，＋∞)　 令 g ( x )＝e2 x (( x － a －1)2－2)，则曲线 y ＝ g ( x )与直线 y ＝2有三个不同 的交点. 显然， g '( x )＝2e2 x ( x － a －2)( x － a ＋1). 当 x ∈(－∞， a －1)时， g '( x )＞0，当 x ∈( a －1， a ＋2)时， g '( x )＜0， 当 x ∈( a ＋2，＋∞)时， g '( x )＞0， 所以， g ( x )在(－∞， a －1)上单调递增，在( a －1， a ＋2)上单调递减， 在( a ＋2，＋∞)上单调递增； 且当 x →－∞时， g ( x )＝ →0，当 x →＋∞时， g ( x )＝e2 x (( x － a －1)2－2)→＋∞， 因此，只需即 解得 a ＞1. 方法总结 1. 两曲线 y ＝ f ( x )， y ＝ g ( x )在公共点( a ， b )处有相同的切线，则满足 方程组解此方程组可得 a ，进而得 b 后得出切线方程. 2. 求与曲线 y ＝ f ( x )， y ＝ g ( x )切点不同的公切线，分别设出切点坐标 ( x 1， f ( x 1))，( x 2， g ( x 2)),满足方程组 f '( x 1)＝ g '( x 2)＝ ，据 此解得 x 1或者 x 2，即可求得公切线方程. 1. 若直线 y ＝ kx ＋ b 是曲线 y ＝ 的切线，也是曲线 y ＝ 的切线，则 k ＝ ⁠. 由 y ＝ 可得， y '＝ . 设直线 y ＝ kx ＋ b 与曲线 y ＝ 相切于点( m ， n )，则有 所以切线方程可表示为 y － n ＝ ( x － m )，即 y ＝ x － . － 　 跟踪训练 由 y ＝ 可得， y '＝－ . 设直线 y ＝ kx ＋ b 与曲线 y ＝ 相切于点( s ， t )，则有 所以切线方程可表示为 y － t ＝－ ( x － s )，即 y ＝－ x ＋ . 所以消去 s ，整理得：4ln2 m －12ln m ＋9＝0，解得：ln m ＝ ，所以 m ＝ ， 所以斜率 k ＝ ＝－ . 2. 若直线 y ＝ kx ＋ b 是曲线 y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线 y ＝ln( x ＋1)的 切线，则 b ＝ ⁠. 对函数 y ＝ln x ＋2求导，得 y '＝ ，对函数 y ＝ln( x ＋1)求导，得 y '＝ .设直线 y ＝ kx ＋ b 与曲线 y ＝ln x ＋2相切于点 P 1( x 1， y 1)，与曲线 y ＝ ln( x ＋1)相切于点 P 2( x 2， y 2)，则 y 1＝ln x 1＋2， y 2＝ln( x 2＋1). 1－ln 2　 由点 P 1( x 1， y 1)在切线上，得 y －(ln x 1＋2)＝ ( x － x 1)，由点 P 2( x 2， y 2)在切线上，得 y －ln( x 2＋1)＝ ( x － x 2).因为这两条直线表示同一条直 线，所以解得 x 1＝ ，所以 k ＝ ＝2， b ＝ln x 1＋2－1＝1－ln 2. 课时作业　巩固提升 [A组　基础保分练] 1. 若 f '( x 0)＝－3，则 ＝(　B　) A. －3 B. －6 C. －9 D. －12 f '( x 0)＝－3，则 ＝ ＝ ＋ ＝2 f '( x 0)＝－6. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2. (2024·深圳检测)曲线 y ＝( x 3－3 x )·ln x 在点(1，0)处的切线方程为 (　A　) A. 2 x ＋ y －2＝0 B. x ＋2 y －1＝0 C. x ＋ y －1＝0 D. 4 x ＋ y －4＝0 由 y '＝(3 x 2－3)·ln x ＋ ·( x 3－3 x )，得所求切线斜率 k ＝ y '｜ x ＝1＝－2， 故所求切线方程为 y ＝－2( x －1)，即2 x ＋ y －2＝0. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 3. (2024·河北保定模拟)已知函数 f ( x )＝ ＋ f '(1) x 2，则 f '(1)＝(　A　) A. －2e2 B. 2e2 C. e2 D. －e2 由 f ( x )＝ ＋ f '(1) x 2， 得 f '( x )＝2 ＋2 f '(1) x ， 令 x ＝1，得 f '(1)＝2e2＋2 f '(1)， 所以 f '(1)＝－2e2. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4. (2024·河北衡水模拟)曲线 y ＝ x － x 3在横坐标为1的点处的切线为 l ， 则点 M (1，2)到直线 l 的距离为(　A　) A. B. C. D. y '＝1－3 x 2，则切线 l 的斜率 k ＝ y '｜ x ＝1＝－2.又易知切点为(1，0)，所以切线 l 的方程为2 x ＋ y －2＝0，则点 M (1，2)到直线 l 的距离为 ＝ . A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 5. 函数 f ( x )＝ln x ＋ ax 的图象上存在与直线2 x － y ＝0平行的切线，则实 数 a 的取值范围是(　B　) A. (－∞，2] B. (－∞，2) C. (2，＋∞) D. (0，＋∞) 函数 f ( x )＝ln x ＋ ax 的图象上存在与直线2 x － y ＝0平行的切线，即 f '( x )＝ ＋ a ＝2在(0，＋∞)上有解，即 a ＝2－ . 因为 x ＞0，所以2－ ＜2，所以 a 的取值范围是(－∞，2). B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 6. 若函数 y ＝ f ( x )的图象上存在两个不同的点 P ， Q ，使得在这两点处 的切线重合，则称 f ( x )为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合 函数”的为(　D　) A. y ＝ x 4－ x 2＋1 B. y ＝ sin x C. y ＝ x ＋ cos x D. y ＝ x 2＋ sin x 对于A， f ( x )＝ x 4－ x 2＋1 显然是偶函数， f '( x )＝4 x 3－2 x ＝4 x ， D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 当 x ＜－ 时， f '( x )＜0 ，函数 f ( x )在 上单调递减；当－ ＜ x ＜0时， f '( x )＞0，函数 f ( x )在 上单调递增； 当0＜ x ＜ 时， f '( x )＜0 ，函数 f ( x )在 上单调递减；当 x ＞ 时， f '( x )＞0，函数 f ( x )在 上单调递增； 当 x ＝± 时， f '( x )＝0 ，都取得极小值，由于是偶函数，所以在这两 点的切线是重合的，故A是“切线重合函数”； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 对于B， f ( x )＝ sin x 是正弦函数，显然在顶点处切线是重合的，故B是 “切线重合函数”； 对于C，考查 A (π，π－1)， B (3π，3π－1) 两点处的切线方程， ∵ y '＝1－ sin x ， ∴ A ， B 两点处的切线斜率都等于1，在 A 点处的切线方程为 y －(π－1) ＝1·( x －π) ，化简得： y ＝ x －1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 对于D， y '＝2 x ＋ cos x ，令 g ( x )＝2 x ＋ cos x ，则 g '( x )＝2－ sin x ＞0 ， g ( x )是增函数，不存在 x 1≠ x 2 时， g ( x 1)＝ g ( x 2) ，所以D不是“切线重 合函数”. 在 B 点处的切线方程为 y －(3π－1)＝1·( x －3π) ，化简得 y ＝ x －1 ，显 然重合， ∴ C是“切线重合函数”； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7. (多选)给出定义：若函数 f ( x )在 D 上可导，即 f '( x )存在，且导函数 f '( x )在 D 上也可导，则称 f ( x )在 D 上存在二阶导函数，记 f ″( x )＝( f '( x ))’，若 f ″( x )＜0在 D 上恒成立，则称 f ( x )在 D 上为凸函数.则以下四个函数在 上是凸函数的是(　AB　) A. f ( x )＝ sin x ＋ cos x B. f ( x )＝ln x －2 x C. f ( x )＝ x 3＋2 x －1 D. f ( x )＝ x e x AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 对于A， f '( x )＝ cos x － sin x ， f ″( x )＝－ sin x － cos x .∵ x ∈ ， ∴ f ″( x )＜0， f ( x )在 上是凸函数，故A正确； 对于B， f '( x )＝ －2， f ″( x )＝－ ＜0，故 f ( x )在 上是凸函数，故B正确； 对于C， f '( x )＝3 x 2＋2， f ″( x )＝6 x ＞0，故 f ( x )在 上不是凸函 数，故C错误； 对于D， f '( x )＝( x ＋1)e x ， f ″( x )＝( x ＋2)e x ＞0， 故 f ( x )在 上不是凸函数，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8. (多选)已知点 M 是曲线 y ＝ x 3－2 x 2＋3 x ＋1上任意一点，曲线在 M 处的切线为 l ，则下列结论正确的是(　BC　) A. l 斜率最小时的切点坐标为 B. l 斜率最小时的切点坐标为 C. 切线 l 的倾斜角α的取值范围为 ∪ D. l 斜率的取值范围为 k ≤1 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ∴当 x ＝2时， y 'min＝－1，此时 y ＝ ， ∴斜率最小时的切点坐标为 ，最小斜率 k ＝－1，∴A错误， B正确. 由 k ≥－1，得tan α≥－1. 又∵α∈[0，π)，∴α∈ ∪ ， 故α的取值范围为 ∪ ，∴C正确，D错误. ∵ y '＝ x 2－4 x ＋3＝( x －2)2－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9. (多选)(2024·广西桂林模拟)设 f '( x )是函数 f ( x )的导函数，若 f '( x )＞0 时，对∀ x 1， x 2∈R，且 x 1≠ x 2，总有 ＜ f ，则下列 选项正确的是(　BD　) A. f (π)＜ f (e)＜ f (2) B. f '(π)＜ f '(e)＜ f '(2) C. f '(1)＜ f (2)－ f (1)＜ f '(2) D. f '(2)＜ f (2)－ f (1)＜ f '(1) BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 由 f '( x )＞0，得 f ( x )在R上单调递增，因为π＞e＞2，所以 f (π)＞ f (e)＞ f (2)，故A不正确； 对∀ x 1， x 2∈R，且 x 1≠ x 2，总有 ＜ f ， 可得函数的图象是向上凸的，可用如图的图象来表示. 由 f '( x )表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着 x 的增大， f ( x )的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以 f '(π)＜ f '(e)＜ f '(2)，故B正确； 又 f (2)－ f (1)＝ ＝ kAB ，表示点 A (1， f (1))与点 B (2， f (2))连线 的斜率，由图可知 f '(2)＜ kAB ＜ f '(1)，故D正确，C不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10. (2024·浙江绍兴模拟)过点 作曲线 y ＝ x 3的切线，写出一条 切线方程： ⁠. 由 y ＝ x 3可得 y '＝3 x 2， 设过点 作曲线 y ＝ x 3的切线的切点为( x 0， y 0)，则 y 0＝ ， 所以切线方程为 y － y 0＝3 ( x － x 0)， 将 代入得 － ＝3 ，解得 x 0＝0或 x 0＝－1， 所以切点坐标为(0，0)或(－1，－1)， 故切线方程为 y ＝0或 y ＝3 x ＋2. y ＝0或 y ＝3 x ＋2(写出一条即可) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11. (2024·辽宁大连期末)已知曲线 y ＝ x ＋ ln x 在点(1，1)处的切线与直 线 x ＋2 y ＝0垂直，则 k ＝ ⁠. 易知点(1，1)在曲线 y ＝ x ＋ ln x 上. 令 f ( x )＝ x ＋ ln x ，则 f '( x )＝1＋ ， 所以 f '(1)＝1＋ .又该切线与直线 x ＋2 y ＝0垂直， 所以1＋ ＝2，解得 k ＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 12. 已知函数 f ( x )为奇函数，当 x ＞0时， f ( x )＝ x 3－ln x ，则曲线 y ＝ f ( x )在点(－1，－1)处的切线的斜率为 ⁠. 因为当 x ＞0时， f ( x )＝ x 3－ln x ，所以当 x ＜0时，－ x ＞0， f (－ x )＝ － x 3－ln(－ x ).因为函数 f ( x )为奇函数，所以 f ( x )＝－ f (－ x )＝ x 3＋ ln(－ x )，则 f '( x )＝3 x 2＋ ，所以 f '(－1)＝2，所以曲线 y ＝ f ( x )在点 (－1，－1)处的切线的斜率为2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 13. P 为曲线 y ＝2 x 2＋ln(4 x ＋1) 图象上的一个动点，α为曲线 在点 P 处的切线的倾斜角，则当α取最小值时 x 的值为 ⁠. 设切点为 P ( x 0， y 0) ， y '＝4 x ＋ .∵ x 0＞－ ，∴4 x 0＋1＞0， 则tan α＝4 x 0＋ ＝4 x 0＋1＋ －1≥2 －1 ＝4－1＝3， 当且仅当4 x 0＋1＝ ，即 x 0＝ 时，等号成立. 即当 x 0＝ 时，tan α最小，α取最小值. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [B组　能力提升练] 14. 已知函数 f ( x )＝ x 3－ x 和点 P (1，－1)，则过点 P 且与该函数图象相 切的直线的条数为(　B　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 因为 f (1)＝13－1＝0，所以点 P (1，－1)没有在函数 f ( x )的图象上.设切 点坐标为( x 0， y 0)，则 y 0＝ － x 0， f '( x 0)＝3 －1.由导数的几何意义 可知，切线的斜率为 k ＝3 －1，又 k ＝ ，所以 化简可得 (2 x 0－3)＝0，解得 x 0＝0或 x 0＝ ，所以切点有两个，因而 有两条切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 15. (2024·四川成都模拟)若点 P 是曲线 y ＝ln x － x 2上任意一点，则点 P 到直线 l ： x ＋ y －4＝0距离的最小值为(　C　) A. B. C. 2 D. 4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 由题知 －2 x 0＝－1得 x 0＝1或 x 0＝－ (舍)， 所以， P (1，－1)，此时点 P 到直线 l ： x ＋ y －4＝0距离 d ＝ ＝2 . 过点 P 作曲线 y ＝ln x － x 2的切线(图略)，当切线与直线 l ： x ＋ y －4＝0 平行时，点 P 到直线 l ： x ＋ y －4＝0距离的最小. 设切点为 P ( x 0， y 0)( x 0＞0)， y '＝ －2 x ， 所以，切线斜率为 k ＝ －2 x 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16. (多选)已知函数 f ( x )＝ x 3＋ x －16，则错误的结论是(　ABC　) A. 曲线 y ＝ f ( x )在点(2，－6)处的切线方程为13 x － y －19＝0 B. 直线 l 为曲线 y ＝ f ( x )的切线，且经过原点，则直线 l 的方程为 x － y ＝0 C. 直线 l 为曲线 y ＝ f ( x )的切线，且经过原点，则直线 l 的方程为 x － y ＝0或13 x － y ＝0 D. 如果曲线 y ＝ f ( x )的某一切线与直线 y ＝－ x ＋3垂直，则切点的横坐标为±1 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 所以 f ( x )在点(2，－6)处的切线的斜率为 f '(2)＝13， 所以切线方程为 y ＋6＝13( x －2)，即 y ＝13 x －32，所以A错误； 对于B，C，设切点坐标为( x 0， y 0)，则直线 l 的斜率为 f '( x 0)＝3 ＋1， 所以直线 l 的方程为 y ＝(3 ＋1)( x － x 0)＋ ＋ x 0－16. 因为直线 l 过原点，所以0＝(3 ＋1)(0－ x 0)＋ ＋ x 0－16， 整理得， ＝－8，所以 x 0＝－2， 所以 y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， 因为 f '( x )＝( x 3＋ x －16)'＝3 x 2＋1，又点(2，－6)在曲线 y ＝ f ( x )上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 f '( x 0)＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线 l 的方程为 y ＝13 x ，所以B， C错误. 对于D，因为切线与直线 y ＝－ x ＋3垂直，所以切线的斜率 k ＝4. 设切点的坐标为( x 0， y 0)，则 f '( x 0)＝3 ＋1＝4，所以 x 0＝±1，所以D 正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17. (多选)已知函数 f ( x )＝ ax 3＋3 x 2－6 ax －11， g ( x )＝3 x 2＋6 x ＋12和 直线 m ： y ＝ kx ＋9，且 f '(－1)＝0，则下列结论正确的是(　BC　) A. 直线 m 不恒过定点 B. a ＝－2 C. 若直线 m 是曲线 y ＝ g ( x )的切线，则 m 的方程为 y ＝9或 y ＝12 x ＋9 D. 若直线 m 既是曲线 y ＝ f ( x )的切线，又是曲线 y ＝ g ( x )的切线，则 m 的方程为 y ＝12 x ＋9 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 因为 f '(－1)＝0，所以3 a －6－6 a ＝0，所以 a ＝－2，所以B正确； 若直线 m 是曲线 y ＝ g ( x )的切线，则设切点为( x 0，3 ＋6 x 0＋12). 因为 g '( x 0)＝6 x 0＋6，所以切线方程为 y －(3 ＋6 x 0＋12)＝ (6 x 0＋6)( x － x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得 x 0＝±1. 当 x 0＝－1时，切线方程为 y ＝9； 当 x 0＝1时，切线方程为 y ＝12 x ＋9，所以C正确； 由已知得，直线 m 恒过定点(0，9)，所以A错误； 由已知得 f '( x )＝3 ax 2＋6 x －6 a . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ①由 f '( x )＝0得－6 x 2＋6 x ＋12＝0， 解得 x ＝－1或 x ＝2. 在 x ＝－1处， y ＝ f ( x )的切线方程为 y ＝－18； 在 x ＝2处， y ＝ f ( x )的切线方程为 y ＝9， 所以 y ＝ f ( x )与 y ＝ g ( x )的公切线是 y ＝9. 由 a ＝－2知， f ( x )＝－2 x 3＋3 x 2＋12 x －11， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ②由 f '( x )＝12得－6 x 2＋6 x ＋12＝12， 解得 x ＝0或 x ＝1. 在 x ＝0处， y ＝ f ( x )的切线方程为 y ＝12 x －11； 在 x ＝1处， y ＝ f ( x )的切线方程为 y ＝12 x －10， 所以 y ＝ f ( x )与 y ＝ g ( x )的公切线不是 y ＝12 x ＋9. 综上所述， y ＝ f ( x )与 y ＝ g ( x )的公切线是 y ＝9，所以D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18. (2024·安徽宣城模拟)若曲线 y ＝ a ln x ＋ x 2( a ＞0)的切线的倾斜角的 取值范围是 ，则 a ＝ 　 　. 因为 y ＝ a ln x ＋ x 2( a ＞0)，所以 y '＝ ＋2 x ≥2 .因为曲线的切线的 倾斜角的取值范围是 ，所以斜率 k ≥ ，所以 ＝2 ，所以 a ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19. (2024·海南海口模拟)过 x 轴上一点 P ( t ，0)作曲线 C ： y ＝( x ＋3)e x 的切线，若这样的切线不存在，则整数 t 的一个可能值为 ⁠ ⁠. 设切点为( x 0，( x 0＋3) )，因为 y '＝( x ＋4)e x ，所以切线方程为 y －( x 0＋3) ＝( x 0＋4) ( x － x 0). 因为切线 l 经过点 P ，所以－( x 0＋3) ＝( x 0＋4)· ( t － x 0)， 由题意关于 x 0的方程 －( t －3) x 0－4 t －3＝0没有实数解， 则Δ＝( t －3)2＋4(4 t ＋3)＜0，解得－7＜ t ＜－3. 因为 t 为整数，所以 t 的取值可能是－6，－5，－4. －4，－5， －6(只需写出一个答案即可)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 20. (2024·山东济南模拟)已知函数 f ( x )＝ bx －ln x ，其中 b ∈R. 若过原点 且斜率为 k 的直线与曲线 y ＝ f ( x )相切，求 k － b 的值. 解：由 f ( x )＝ bx －ln x ，得 f '( x )＝ b － . 设切点为( x 0， bx 0－ln x 0)，则 f '( x 0)＝ b － ， 则过切点的切线方程为 y － bx 0＋ln x 0＝ ( x － x 0)，代入(0，0)， 可得－ bx 0＋ln x 0＝－ bx 0＋1，得 x 0＝e，所以 k ＝ f '( x 0)＝ b － ＝ b － ，则 k － b ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [C组　高考新动向] 21. 已知函数 f ( x )＝e x ， g ( x )＝ln x .若曲线 y ＝ f ( x )在点 处 的切线与曲线 y ＝ g ( x )在点 处的切线平行，则 x 1＋ g ＝ ；若 h ( x )＝2 x － g ( x )－ ＋1，则 h ( x )的最大值为 ⁠ ⁠. 由已知 f '( x )＝e x ， g '( x )＝ ，所以 ＝ ，即 x 2＝ ， 所以 x 1＋ g ( x 2)＝ x 1＋ln ＝ x 1－ x 1＝0. h ( x )＝2 x －ln x － ＋1，定义域为 ， 0　 2－2e＋ln 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 h '( x )＝2－ － ＝ ＝ . 令 p ( x )＝ x －e2 x ，则 p '( x )＝1－2e2 x ，当 x ＞0时， p '( x )＜0，所以 p ( x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以当 x ＞0时， p ( x )＜ p (0)＝－1， 所以当0＜ x ＜ 时， h '( x )＞0， h ( x )单调递增，当 x ＞ 时， h '( x )＜0， h ( x )单调递减， 所以 h ( x )max＝ h ＝1－ln － ＋1＝2－2e＋ln 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 $$