第2章 第7节 第2课时 实际问题中的函数模型-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第七节　函数的应用 第二课时　实际问题中的函数模型 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 [学习要求]　理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数 学工具.在实际情境中，会选择合适的函数. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点一　指数、对数、幂函数模型性质比较 　　　函数 性质　　　　 y ＝ ax ( a ＞1) y ＝log ax ( a ＞1) y ＝ xn ( n ＞0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表现 为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表现 为与 x 轴平行 随 n 值变化 而各有不同 知识点二　几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f ( x )＝ ax ＋ b ( a ， b 为常数， a ≠0) 二次函数模型 f ( x )＝ ax 2＋ bx ＋ c ( a ， b ， c 为常数， a ≠0) 与指数函数相 关的模型 f ( x )＝ bax ＋ c ( a ， b ， c 为常数， a ＞0，且 a ≠1， b ≠0) 与对数函数相 关的模型 f ( x )＝ b log ax ＋ c ( a ， b ， c 为常数， a ＞0，且 a ≠1， b ≠0) 与幂函数相关 的模型 f ( x )＝ ax α＋ b ( a ， b ，α为常数， a ≠0) [小题诊断] 1. 已知 f ( x )＝ x 2， g ( x )＝2 x ， h ( x )＝log2 x ，当 x ∈(4，＋∞)时，对三个 函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　B　) A. f ( x )＞ g ( x )＞ h ( x ) B. g ( x )＞ f ( x )＞ h ( x ) C. g ( x )＞ h ( x )＞ f ( x ) D. f ( x )＞ h ( x )＞ g ( x ) 由图象(图略)知，当 x ∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为 g ( x )＞ f ( x )＞ h ( x ). B 2. 某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入 x (万元)与药品 利润 y (万元)存在的关系为 y ＝ xa ( a 为常数)，其中 x 不超过5万元.已知去 年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元.若今年投入广告费用5 万元，预计今年药品利润为 万元. 由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入 y ＝ xa 中， 得3 a ＝27，解得 a ＝3，故函数解析式为 y ＝ x 3，所以当 x ＝5时， y ＝ 125. 125 3. 里氏震级 M 的计算公式为： M ＝lg A －lg A 0，其中 A 是测震仪记录的 地震曲线的最大振幅， A 0是标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震 仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震 的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 ⁠ 倍. M ＝lg 1 000－lg 0.001＝6，9＝lg A －lg 0.001， ∴ A ＝106，5＝lg A －lg 0.001，∴ A ＝102， ∴ ＝104. 6　 10 000 (或104)　 4. 图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费 y (元)与通话 时间 t (min)之间的函数关系的图象，根据图象判断：通话2 min，需付电 话费 元；通话5 min，需付电话费 元；如果 t ≥3，那么电话费 y (元)与通话时间 t (min)之间的函数关 系式是 ⁠. 由题图知，通话2 min，需付电话费3.6元，通话5 min，需付电话费6元. 当 t ≥3时，设 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0)，则有解得 ∴ t ≥3时， y ＝1.2 t . 3.6　 6　 y ＝1.2 t ( t ≥3)　 关键能力　重点探究 考点一　利用函数的图象刻画实际问题 输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，如图所示.开始输液时，滴 管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计)，设输液开始后 x 分钟，瓶内 液面与进气管的距离为 h 厘米，已知当 x ＝0时， h ＝13.如果瓶内的药液 恰好156分钟滴完，则函数 h ＝ f ( x )的图象为(　C　) C 例1 由题意知，瓶内药液的体积为156π cm3，所以每分钟滴下π cm3药液.当 4≤ h ≤13时， x π＝π·42·(13－ h )，即 h ＝13－ ，此时0≤ x ≤144；当1 ≤ h ＜4时， x π＝π·42·9＋π·22(4－ h )，即 h ＝40－ ，此时144＜ x ≤156，所以函数 h ＝ f ( x )单调递减，且144＜ x ≤156时，递减速度变快. 根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋 势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况 的答案. 方法总结 1. (多选)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为 y ， 观影人数记为 x ， y 关于 x 的函数图象如图(1)所示.由于目前该片盈利未 达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别 为调整后 y 关于 x 的函数图象. 给出下列四种说法，其中正确的说法是 (　BC　) BC 跟踪训练 A. 图(2)对应的方案是：提高票价，并提高固定成本 B. 图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本 C. 图(3)对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变 D. 图(3)对应的方案是：提高票价，并降低固定成本 由题图(1)可设 y 关于 x 的函数为 y ＝ kx ＋ b ， k ＞0， b ＜0， k 为票价， 当 k ＝0时， y ＝ b ，则－ b 为固定成本.由题图(2)知，直线向上平移， k 不变，即票价不变， b 变大，则－ b 变小，固定成本减小，故A错误、B 正确；由题图(3)知，直线与 y 轴的交点不变，直线斜率变大，即 k 变 大，票价提高， b 不变，即－ b 不变，固定成本不变，故C正确、D错误. 考点二　已知函数模型的实际问题 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才 能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个 重要依据.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行， 发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的 刹车距离略超过6 m，乙车的刹车距离略超过10 m.已知甲车的刹车距离 S m与车速 v km/h之间的关系为 S 甲＝ v 2－ v ，乙车的刹车距离 S m 与车速 v km/h之间的关系为 S 乙＝ v 2－ v .请判断甲、乙两车哪辆车 有超速现象(　C　) C A. 甲、乙两车均超速 B. 甲车超速但乙车未超速 C. 乙车超速但甲车未超速 D. 甲、乙两车均未超速 例2 对于甲车，令 v 2－ v ≈6，即 v 2－10 v －600≈0， 解得 v ≈－20 km/h(舍)或 v ≈30 km/h，所以甲未超速； 对于乙车，令 v 2－ v ≈10，即 v 2－10 v －2 000≈0，解得 v ≈－40 km/h (舍)或 v ≈50 km/h，所以乙超速. 求解已知函数模型解决实际问题的关键 1. 认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. 2. 根据已知，利用待定系数法确定模型中的待定系数. 3. 利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行 检验. 方法总结 2. (2024·云南保山模拟)下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格： 一次购买件数 5～10件 11～50件 51～100件 101～300件 300件以上 每件价格 37元 32元 30元 27元 25元 张师傅准备用2 900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具(　C　) C 跟踪训练 A. 116件 B. 110件 C. 107件 D. 106件 设购买的件数为 x ，花费为 y 元， 则 y ＝当 x ＝107时， y ＝2 889＜2 900， 当 x ＝108时， y ＝2 916＞2 900，所以最多可购买这种产品107件. 考点三　构建基本初等函数模型求解实际问题 (2024·重庆模拟)某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一 种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值 y ( y 值越大产品的性 能越好)与这种新合金材料的含量 x (单位：克)的关系：当0≤ x ＜7时， y 是 x 的二次函数；当 x ≥7时， y ＝ .测得的部分数据如表所示. x 0 2 6 10 … y －4 8 8 … 例3 (1)求 y 关于 x 的函数关系式； [解]　当0≤ x ＜7时， y 是 x 的二次函数，设 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ( a ≠0). 由 x ＝0， y ＝－4可得 c ＝－4， 由 x ＝2， y ＝8可得4 a ＋2 b ＝12，① 由 x ＝6， y ＝8可得36 a ＋6 b ＝12，② 由①，②解得 a ＝－1， b ＝8， 即 y ＝－ x 2＋8 x －4(0≤ x ＜7). 当 x ≥7时， y ＝ ，由 x ＝10， y ＝ 可得 m ＝8， 即 y ＝ ( x ≥7). 综上可得， y ＝ (2)求该新合金材料的含量 x 为何值时产品的性能达到最佳. [解]　当0≤ x ＜7时， y ＝－ x 2＋8 x －4＝－( x －4)2＋12， 即当 x ＝4时， y 取得最大值12； 当 x ≥7时， y ＝ 单调递减，可得 y ≤3，即当 x ＝7时， y 取得最大值3. 综上所述，该新合金材料的含量 x 为4时，产品的性能达到最佳. 构建基本初等函数模型的注意点 构建基本初等函数包括构建一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型和构建 y ＝ ax ＋ 函数模型. 构造指数函数、对数函数、幂函数模型，求解时应关注以下三点： 1. 认清构造函数模型，弄清哪些量为待定系数. 2. 根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 3. 利用该模型求解实际问题. 方法总结 3. 某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120° 的等腰梯形(如图)，水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为 了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万 元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数 据： ≈1.732)(　B　) A. 0.58米 B. 0.87米 C. 1.17米 D. 1.73米 B 跟踪训练 如图，设过水横断面为等腰梯形 ABCD ， BE ⊥ CD 于 E ，∠ BAD ＝∠ ABC ＝120°， 要使过水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完， 则100×( AB ＋ BC ＋ AD )×100＝30 000，解得 AB ＋ BC ＋ AD ＝3， 设 BC ＝ x ，则 AB ＝3－2 x ， BE ＝ x ， CE ＝ x ，故 CD ＝3－ x ，且 0＜ x ＜ ， 梯形 ABCD 的面积 S ＝ ＝ (－ x 2＋2 x )， 当 x ＝1时， S max＝ ， 此时 BE ＝ ≈0.87， 即当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为0.87米. 考点四　运用数据拟合函数模型的建立及求解实际问题 某纪念章每1枚的市场价(单位：元)与上市时间(单位：天)的关系 如下： 上市时间x/天 4 10 36 市场价y/元 90 51 90 例4 (1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市 场价 y 与上市时间 x 的变化关系并说明理由：① y ＝ ax ＋ b ；② y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ；③ y ＝ a log bx . [解]　∵随着时间 x 的增加， y 的值先减后增， 而所给的三个函数中 y ＝ ax ＋ b 和 y ＝ a log bx 显然都是单调函数不满足 题意， ∴选取 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c . (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低 的价格. [解]　把点(4，90)，(10，51)，(36，90)代入 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 中，得 解得 a ＝ ， b ＝－10， c ＝126，∴ y ＝ x 2－10 x ＋126＝ ( x －20)2＋26， ∴当 x ＝20时， y 有最小值26. 故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为26元. 构建函数模型解决实际问题的步骤 1. 建模：抽象出实际问题的数学模型； 2. 推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数 学意义上的解； 3. 评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释、 返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解. 方法总结 4. 某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市 初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大 于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数：① f ( x )＝ p · qx ；② f ( x ) ＝ px 2＋ qx ＋1；③ f ( x )＝ x ( x － q )2＋ p (以上三式中 p ， q 均为常数，且 q ＞1). (1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)？ 解：因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连 续下跌， 所以在所给出的函数中应选模拟函数 f ( x )＝ x ( x － q )2＋ p . 跟踪训练 (2)若 f (0)＝4， f (2)＝6.求出所选函数 f ( x )的解析式(注：函数定义域是 [0，5]，其中 x ＝0表示8月1日， x ＝1表示9月1日，以此类推). 解：对于 f ( x )＝ x ( x － q )2＋ p ， 由 f (0)＝4， f (2)＝6， 可得 p ＝4，(2－ q )2＝1. 又 q ＞1， 所以 q ＝3， 所以 f ( x )＝ x 3－6 x 2＋9 x ＋4(0≤ x ≤5). (3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府 计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价 格下跌. 解：因为 f ( x )＝ x 3－6 x 2＋9 x ＋4(0≤ x ≤5)， 所以 f '( x )＝3 x 2－12 x ＋9， 令 f '( x )＜0，得1＜ x ＜3. 所以函数 f ( x )在(1，3)内单调递减， 所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌. 课时作业　巩固提升 [A组　基础保分练] 1. (2024·江苏泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和 水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度 降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所 需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做 出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以 近似地刻画茶水温度 y 随时间 x 变化的规律(　B　) B A. y ＝ mx 2＋ n ( x ＞0) B. y ＝ max ＋ n ( m ＞0，0＜ a ＜1) C. y ＝ max ＋ n ( m ＞0， a ＞1) D. y ＝ m log ax ＋ n ( m ＞0， a ＞0， a ≠1) 由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且 m ＞0，0＜ a ＜1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. (2024·湖南益阳模拟)我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数 据，分别是小数记录与五分记录，如图所示(已隐去数据)，其部分数据 如下表： 小数记录 x 0.1 0.12 0.15 0.2 … ？ … 1.0 1.2 1.5 2.0 五分记录 y 4.0 4.1 4.2 4.3 … 4.7 … 5.0 5.1 5.2 5.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 现有如下函数模型：① y ＝5＋lg x ，② y ＝5＋ lg ， x 表示小数记录 数据， y 表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明 同学检测视力时，医生告诉他视力为4.7，则小明同学的小数记录数据 为(参考数据：1 ≈0.5， ≈0.7，1 ≈0.8)(　B　) A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.8 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题中数据可知，当 x ＝1时， y ＝5，两个函数模型都符合； 当 x ＝0.1时，由 y ＝5＋lg x ，得 y ＝5＋lg 0.1＝4，与表中的数据符合，而 y ＝5＋ lg ＝5.1，与表中的数据不符，所以选择模型 y ＝5＋lg x 更合适，此时令 y ＝4.7，则lg x ＝－0.3，所以 x ＝1 ≈0.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. (2024·安徽淮南模拟)2020年9月22日，我国在第七十五届联合国大会上提出：二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本 y (单位：万元)与处理量 x (单位：吨)( x ∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为 y ＝为使二氧化碳每吨处理成本最低，则处理量 x 等于(　D　) D A. 120吨 B. 200吨 C. 240吨 D. 400吨 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本 S ＝ 当 x ∈[120，144)时， S ＝ x 2－80 x ＋5 040； 当 x ＝120时， S 取得最小值240； 当 x ∈[144，500]时， S ＝ x －200＋ ≥2 －200＝200， 当且仅当 x ＝ ， 即 x ＝400时取等号，此时 S 取得最小值200. 综上，所求处理量为400吨. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为 R ％(即每 销售100元征税 R 元)，若每年销售量为 万件，要使附加税不 少于128万元，则 R 的取值范围是(　A　) A. [4，8] B. [6，10] C. [4％，8％] D. [6％，10％] 根据题意，要使附加税不少于128万元，需 ×160× R ％≥128， 整理得 R 2－12 R ＋32≤0，解得4≤ R ≤8， 即 R ∈[4，8]. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. (多选)(2024·山东青岛质检)某城市为了解游客人数的变化规律，提高 旅游服务质量，收集并整理了2021年1月至2023年12月期间月接待游客 量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图. 根据该折线图，下列结论正确的是(　BCD　) BCD A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化 比较平稳 由题图可知，2021年8月到9月的月接待游客量在减少，则A错误.其余全部正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. (多选)已知一容器中有 A ， B 两种菌，且在任何时刻 A ， B 两种菌的个 数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用 PA ＝lg nA 来记录 A 菌个 数的资料，其中 nA 为 A 菌的个数.现有以下几种说法，其中正确的是 (　BD　) BD A. PA ≥1 B. PA ≤10 C. 若今天的 PA 值比昨天的 PA 值增加1，则今天的 A 菌个数比昨天的 A 菌 个数多10 D. 假设科学家将 B 菌的个数控制为5万，则此时5＜ PA ＜5.5(注：lg 2≈0.3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当 nA ＝1时， PA ＝0，故A错误； 又 nA · nB ＝1010，且 nA ， nB ∈N＋， ∴ nA ≤1010，∴ PA ≤lg 1010＝10，故B正确； 若 PA ＝1，则 nA ＝10；若 PA ＝2，则 nA ＝100，故C错误； 设 B 菌的个数为 nB ＝5×104， ∴ nA ＝ ＝2×105，则 PA ＝lg nA ＝5＋lg 2. 又lg 2≈0.3，∴5＜ PA ＜5.5，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. (多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距 离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到 乙同学家经过的路程 y (km)与时间 x (min)的关系，下列结论正确的是 (　BD　) A. 甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B. 甲从家到公园的时间是30 min C. 甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D. 当0≤ x ≤30时， y 与 x 的关系式为 y ＝ x BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在A中，甲在公园休息的时间是10 min， 所以只走了50 min，A错误； 由题中图象知，B正确； 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相 等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误； 当0≤ x ≤30时，设 y ＝ kx ( k ≠0)，则2＝30 k ，解得 k ＝ ，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业 的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年1月起开 展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现， 产品的月销量 x 万件与投入实体店体验安装的费用 t 万元之间满足函数 关系式 x ＝3－ ，已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品 每1万件进货价格为32万元.若每件产品的售价定为“进货价的150％”与 “平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利 润是 万元. 37.5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，产品的月销量 x 万件与投入实体店体验安装的费用 t 万元之间 满足 x ＝3－ ， 即 t ＝ －1(1＜ x ＜3)， 所以月利润为 y ＝ x －32 x －3－ t ＝16 x － －3＝ 16 x － － ＝45.5－ ≤45.5－2 ＝37.5， 当且仅当16(3－ x )＝ ，即 x ＝ 时取等号，即该公司最大月利润为 37.5万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (2024·广东广州模拟)据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害.在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大.沙漠蝗虫的繁殖速度很快，迁徙能力很强.已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍.该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过 天，蝗虫数量会达到4 000亿只.(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 54　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则有1×(1＋ a ) x ＝4 000， 所以1 ＝4 000，即 ＝lg 4 000， 故 ＝3＋lg 4＝3＋2lg 2≈3＋2×0.3＝3.6，所以 x ＝54， 故经过54天，蝗虫数量会达到4 000亿只. 由题意知，每经过15天，蝗虫的数量就会增长为原来的10倍，设每天的 增长率为 a ，则有(1＋ a )15＝10，解得 a ＝ －1. 设经过 x 天后，蝗虫数量会达到4 000亿只， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2024·山东临沂模拟)已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品 x 千件(0＜ x ≤25)并全部销售完，每千件的销售收入为 R ( x )(单位：万元)，且 R ( x )＝ (1)写出年利润 f ( x )(单位：万元)关于年产量 x (单位：千件)的函数 解析式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：当0＜ x ≤10时， f ( x )＝ xR ( x )－(100＋27 x )＝81 x － －100； 当10＜ x ≤25时， f ( x )＝ xR ( x )－(100＋27 x )＝－ x 2＋30 x ＋75. 故 f ( x )＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本) 解：当0＜ x ≤10时， 由 f '( x )＝81－ x 2＝－( x ＋9)( x －9)， 得当 x ∈(0，9)时， f '( x )＞0， f ( x )单调递增； 当 x ∈(9，10)时， f '( x )＜0， f ( x )单调递减. 故 f ( x )max＝ f (9)＝81×9－ ×93－100＝386. 当10＜ x ≤25时， f ( x )＝－ x 2＋30 x ＋75＝－( x －15)2＋300≤300. 综上，当 x ＝9时，年利润取最大值386万元， 所以当年产量为9千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [B组　能力提升练] 11. 在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没 有免疫力的情况下，每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的 基本传染数为 R 0，1个感染者在每个传染期会接触到 N 个新人，这 N 个 人中有 V 个人接种过疫苗 ，那么1个感染者传染的人数 为 ( N － V ).已知某种传染病在某地的基本传染数 R 0＝4，为了使1个感 染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为(　D　) A. 45％ B. 55％ C. 65％ D. 75％ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 为了使1个感染者传染人数不超过1，只需 ( N － V )≤1，即 R 0· ≤1. 因为 R 0＝4，所以1－ ≤ ， 解得 ≥ ＝75％. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. (2024·江苏连云港质检)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每 年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的 维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万 元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为(　B　) A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以 x 年的平均费用为 y ＝ ＝ x ＋ ＋ ≥2 ＋ ＝ (万元)， 当且仅当 x ＝10时，等号成立， 因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10. 设该企业需要更新设备的年数为 x ( x ∈N＋)，设备年平均费用为 y 万元， 则 x 年的设备维护费用为2＋4＋6＋…＋2 x ＝ ＝ x ( x ＋1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. (多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程 fi ( x )( i ＝1，2，3，4)关于时间 x ( x ≥0)的函数关系式分别为 f 1( x )＝2 x －1， f 2( x )＝ x 2， f 3( x )＝ x ， f 4( x )＝log2( x ＋1)，则下列结论正确的是(　CD　) A. 当 x ＞1时，甲走在最前面 B. 当 x ＞1时，乙走在最前面 C. 当0＜ x ＜1时，丁走在最前面，当 x ＞1时，丁走在最后面 D. 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 甲、乙、丙、丁的路程 fi ( x )( i ＝1，2，3，4)关于时间 x ( x ≥0)的函数关 系式分别为 f 1( x )＝2 x －1， f 2( x )＝ x 2， f 3( x )＝ x ， f 4( x )＝log2( x ＋1)， 它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数 模型、对数型函数模型. 当 x ＝2时， f 1(2)＝3， f 2(2)＝4，所以A不正确； 当 x ＝5时， f 1(5)＝31， f 2(5)＝25，所以B不正确； 根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当 x ＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0＜ x ＜1时，丁走在最前面，当 x ＞1时，丁走在最后面，所以C正确； 指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. (2024·河南郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个 口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙 所示，给出以下3个论断： ①0时到3时只进水不出水； ②3时到4时不进水只出水； ③4时到5时不进水也不出水. 则一定正确的论断是 .(填序号) ①　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由甲、乙、丙图可得进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜 率可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故①正确；不进只 出水时，蓄水量减少的速度为2，故②不正确；两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故③不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元～1 000万 元的收益.现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：奖金 y (单位： 万元)随收益 x (单位：万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同 时奖金总数不超过收益的20％. (1)若建立奖励方案的函数模型为 y ＝ f ( x )，试研究这个函数的定义域、 值域和 的取值范围. 解： y＝ f ( x )的定义域是[10，1 000]，值域是(0，9]， ∈(0，0.2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)现有两个奖励方案的函数模型：① y ＝ ＋2；② y ＝4lg x －3.试分 析这两个函数模型是否符合公司的要求，并说明理由. 解：①不符合要求，②符合要求，理由如下. 当 y ＝ ＋2时， ＝ ＋ 的最大值是 ＞0.2，不符合要求. 当 y ＝4lg x －3时，该函数在定义域上为增函数，最大值为9. ≤0.2⇔ y －0.2 x ≤0.令 g ( x )＝4lg x －3－0.2 x ，则 g '( x )＝ ＜0.所 以 g ( x )≤ g (10)＝－1＜0，即 ≤0.2.故函数 y ＝4lg x －3符合公司的要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [C组　高考新动向] 16. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达 到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧 化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该 地下车库一氧化碳浓度 y (ppm)与排气时间 t (分钟)之间存在函数关系 y ＝ c ( c ， m 为常数). (1)求 c ， m 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：由题意可列方程组 两式相除，解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？ 解：由题意可列不等式128 ≤0.5， 所以 ≤ ，即 t ≥8，解得 t ≥32. 故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常 状态. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $$