第2章 第7节 第1课时 方程解的存在性及方程的近似解-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第七节　函数的应用 第一课时　方程解的存在性及方程的近似解 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 [学习要求]　1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.　 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，并能简 单应用二分法求方程的近似解. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点一　函数的零点 1. 函数零点的概念 使得 f ( x 0)＝0的 称为方程 f ( x )＝0的解，也称为函数 f ( x )的 ⁠. 2. 函数零点与方程实数解的关系 方程 f ( x )＝0有实数解⇔函数 y ＝ f ( x )有 ⇔函数 y ＝ f ( x )的图象 与 有公共点. 数 x 0　 零点　 零点　 x 轴　 3. 零点存在定理 若函数 y ＝ f ( x )在闭区间[ a ， b ]上的图象是一条 ⁠的曲线，并且 在区间端点的函数值一正一负，即 ，则在开区间( a ， b )内，函数 y ＝ f ( x ) 零点，即在区间( a ， b )内相应的方 程 f ( x )＝0至少有一个解. 连续　 f ( a )· f ( b )＜0　 至少有一个　 知识点二　二分法的定义 对于一般的函数 y ＝ f ( x )， x ∈[ a ， b ]，若函数 y ＝ f ( x )的图象是一 条 的曲线， f ( a )· f ( b )＜0，则每次取区间的 ⁠，将区 间 ⁠，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似 解的方法称为二分法. 连续　 中点　 一分为二　 [小题诊断] 1. (多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有(　ACD　) A. f ( x )＝3 x －1 B. f ( x )＝ x 2－2 x ＋1 C. f ( x )＝log4 x D. f ( x )＝e x －2 f ( x )＝ x 2－2 x ＋1＝( x －1)2， f (1)＝0，当 x ＜1时， f ( x )＞0；当 x ＞1 时， f ( x )＞0，在零点两侧附近函数值同号，不能用二分法求零点，其 余选项中的函数在函数的零点两侧附近函数值异号. ACD 2. 函数 f ( x )＝的所有零点构成的集合为(　C　) A. {1} B. {－1} C. {－1，1} D. {－1，0，1} 当 x ≤0时， f ( x )＝ x ＋1＝0⇒ x ＝－1，当 x ＞0时， f ( x )＝log2 x ＝0⇒ x ＝ 1，所以函数 f ( x )的所有零点构成的集合为{－1，1}. C 3. (2024·福建宁德模拟)函数 f ( x )＝ x 3－ x ＋1的零点所在的区间是 (　A　) A. (－2，－1) B. (－1，0) C. (0，1) D. (1，2) f (－2)＝－5， f (－1)＝1， f (0)＝1， f (1)＝1， f (2)＝7.因为 f (－2)· f (－1) ＜0， f (－1)· f (0)＞0， f (0)· f (1)＞0， f (1)· f (2)＞0，所以函数 f ( x )＝ x 3－ x ＋1的零点所在的区间是(－2，－1). A 4. (易错题)已知函数 f ( x )＝3 x 2＋4 x － a 在区间(－1，1)内存在零点，则 实数 a 的取值范围为 ⁠. 函数 f ( x )在区间(－1，1)内存在零点， 等价为3 x 2＋4 x － a ＝0在区间(－1，1)上有解， 即 a ＝3 x 2＋4 x ， 　 ∴当 x ∈(－1，1)时，－ ≤ g ( x )＜7， 即－ ≤ a ＜7， 故实数 a 的取值范围是 . 设 g ( x )＝3 x 2＋4 x ，则 g ( x )＝3 － ，∵ x ∈(－1，1)， ∴当 x ＝－ 时， g ( x )取得最小值－ ， 当 x ＝1时， g (1)＝7. 关键能力　重点探究 考点一　判断函数零点所在的区间 (1)函数 f ( x )＝ln x ＋2 x －6的零点所在的区间是(　B　) A. (1，2) B. (2，3) C. (3，4) D. (4，5) 由题意得， f ( x )＝ln x ＋2 x －6在定义域内单调递增， f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0， f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0， ∴ f (2) f (3)＜0， ∴零点在区间(2，3)上. B 例1 (2)(2024·湖北荆州模拟)若 x 0是方程 ＝ 的根，则 x 0属于区间 (　C　) A. B. C. D. 构造函数 f ( x )＝ － ， 易知函数 f ( x )在R上单调递减，且函数 f ( x )的图象是一条连续不断 的曲线， C 易知 f (0)＝ －0＝1＞0， f ＝ － ＞0， f ＝ － ＜0， f ＝ － ＜0， f (1)＝ －1＝－ ＜0， 结合选项，因为 f · f ＜0， 故函数 f ( x )的零点所在的区间为 ， 即方程 ＝ 的根 x 0属于区间 . 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 1. 利用函数的零点存在定理：首先看函数 y ＝ f ( x )在区间[ a ， b ]上的 图象是否连续，再看是否有 f ( a )· f ( b )<0，若有，则函数 y ＝ f ( x )在区 间( a ， b )内必有零点. 2. 数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有 交点来判断. 方法总结 1. (2024·湖南长沙模拟)设函数 f ( x )＝ x －ln x ，则函数 y ＝ f ( x )(　D　) A. 在区间 ，(1，e)内均有零点 B. 在区间 ，(1，e)内均无零点 C. 在区间 内有零点，在区间(1，e)内无零点 D. 在区间 内无零点，在区间(1，e)内有零点 D 跟踪训练 作出函数 y ＝ x 和 y ＝ln x 的图象，如图，显然 y ＝ f ( x )在 内无 零点，在(1，e)内有零点. 令 f ( x )＝0得 x ＝ln x . 2. (2024·山东滨州模拟)[ x ]表示不超过 x 的最大整数，例如[3.5]＝3， [－0.5]＝－1.已知 x 0是方程ln x ＋3 x －15＝0的根，则[ x 0]＝(　C　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 设 f ( x )＝ln x ＋3 x －15，显然 f ( x )在定义域(0，＋∞)上单调递增，故 f ( x )＝0只有一个根， 又 f (4)＝ln 4－3＝2ln 2－3＜2(ln 2－1)＜0， f (5)＝ln 5＞0，所以 x 0∈ (4，5)，故[ x 0]＝4. C 考点二　判断函数的零点个数 (1)若函数 f ( x )＝｜ x ｜，则函数 y ＝ f ( x )－ ｜ x ｜的零点个 数是(　D　) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 在同一平面直角坐标系中作出 f ( x )＝｜ x ｜， g ( x )＝ ｜ x ｜的图象 (图略)，则 y ＝ f ( x )－ ｜ x ｜的零点个数，即 f ( x )与 g ( x )图象的交点 个数，由图象可知有2个交点. D 例2 (2)设函数 f ( x )是定义在R上的奇函数，当 x ＞0时， f ( x )＝e x ＋ x －3，则 f ( x )的零点个数为(　C　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 因为函数 f ( x )是定义域为R的奇函数，所以 f (0)＝0，即 x ＝0是函数 f ( x ) 的1个零点. C 当 x ＞0时，令 f ( x )＝e x ＋ x －3＝0，则e x ＝－ x ＋3，分别画出函数 y ＝e x 和 y ＝－ x ＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点， 所以函数 f ( x )有1个零点. 根据对称性知，当 x ＜0时，函数 f ( x )也有1个零点.综上所述， f ( x )的零点个数为3. 函数零点个数的判断方法 1. 直接求零点. 2. 利用零点存在定理，再结合函数的单调性确定零点个数. 3. 利用函数图象的交点个数判断. 方法总结 3. (2024·山东济南质检)函数 f ( x )＝ x · cos 2 x 在区间[0，2π]上的零点的个 数为(　D　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 f ( x )＝ x · cos 2 x ＝0⇒ x ＝0或 cos 2 x ＝0.又 cos 2 x ＝0在[0，2π]上有 ， ， ， 共4个根，故原函数有5个零点. D 跟踪训练 考点三　函数零点的综合应用 (1)(2024·陕西安康模拟)若函数 f ( x )＝ －ln( x ＋ a )在(0，＋∞) 上存在零点，则实数 a 的取值范围是(　D　) D 例3 A. B. (－e，＋∞) C. D. (－∞，e) 由题意知，函数 y ＝e－ x 与 g ( x )＝ln( x ＋ a )的图象在(0，＋∞)上有交点. 当 a ＞0时， g ( x )＝ln( x ＋ a )的图象是由函数 y ＝ln x 的图象向左平移 a 个单位长度得到的， 根据图象可知此时只需要 g (0)＝ln a ＜1， 即0＜ a ＜e； 当 a ≤0时， g ( x )＝ln( x ＋ a )的图象是由函数 y ＝ln x 的图象向右平移－ a 个单位长度得到的， 此时在(0，＋∞)上 y ＝e－ x 与 g ( x )的图象恒有交点，满足条件. 综上， a ＜e，即实数 a 的取值范围是(－∞，e). (2)(2024·河北唐山模拟)已知函数 f ( x )＝若 g ( x )＝ f ( x )－ a 有3个零点，则实数 a 的取值范围为(　B　) A. (－1，0) B. C. D. ∪{－1} B 令 h '( x )＞0，得0＜ x ＜e，令 h '( x )＜0，得 x ＞e， 所以函数 h ( x )在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减.所以 h ( x )max＝ h (e)＝ . 因为函数 g ( x )＝ f ( x )－ a 有3个零点， 所以方程 f ( x )＝ a 有3个解. 作出函数 y ＝ f ( x )和 y ＝ a 的图象如图所示， 设 h ( x )＝ ( x ＞0)，则 h '( x )＝ ， 所以实数 a 的取值范围为 . 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 1. 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等 式确定参数范围. 2. 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. 3. 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象，然后数形结合求解. 方法总结 4. (2024·北京模拟)已知函数 f ( x )＝3 x － .若存在 x 0∈(－∞，－1)，使 得 f ( x 0)＝0，则实数 a 的取值范围是(　B　) A. B. C. (－∞，0) D. 由 f ( x )＝3 x － ＝0，可得 a ＝3 x － ， 令 g ( x )＝3 x － ，其中 x ∈(－∞，－1)， 由于存在 x 0∈(－∞，－1)，使得 f ( x 0)＝0， B 跟踪训练 所以实数 a 的取值范围即为函数 g ( x )在(－∞，－1)上的值域. 由于函数 y ＝3 x ， y ＝－ 在区间(－∞，－1)上均单调递增， 所以函数 g ( x )在(－∞，－1)上单调递增. 当 x ∈(－∞，－1)时， g ( x )＝3 x － ＜ g (－1)＝3－1＋1＝ ， 又 g ( x )＝3 x － ＞0， 所以函数 g ( x )在(－∞，－1)上的值域为 .因此实数 a 的取值范围 是 . 课时作业　巩固提升 [A组　基础保分练] 1. (2024·山东潍坊模拟)函数 f ( x )＝( x 2－ x )ln｜2 x －3｜在区间[－2，2] 上的零点个数是(　A　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 求函数 f ( x )＝( x 2－ x )ln｜2 x －3｜在区间[－2，2]上的零点个数， 转化为方程( x 2－ x )ln｜2 x －3｜＝0在区间[－2，2]上的根的个数. 由( x 2－ x )ln｜2 x －3｜＝0，得 x 2－ x ＝0或ln｜2 x －3｜＝0， 解得 x ＝0或 x ＝1或 x ＝2， 所以函数 f ( x )＝( x 2－ x )ln｜2 x －3｜在区间[－2，2]上的零点个数为3. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2. (2024·上海模拟)若函数 f ( x )＝ln x － ＋ a 在区间(1，e)上存在零点， 则实数 a 的取值范围为(　C　) A. (0，1) B. C. D. ∵函数 f ( x )＝ln x － ＋ a 在区间(1，e)上为增函数，且在区间(1，e)上存在零点，∴ f (1)＝ln 1－1＋ a ＜0， f (e)＝ln e－ ＋ a ＞0，解得 －1＜ a ＜1. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3. (2024·河北唐山模拟)函数 f ( x )＝3 x ＋2 x 的零点所在的一个区间是 (　C　) A. (1，2) B. (0，1) C. (－1，0) D. (－2，－1) ∵ f ( x )＝3 x ＋2 x 在R上的图象是连续不断的， f (－2)＝3－2＋2×(－2)＝ －4＜0， f (－1)＝3－1＋2×(－1)＝ －2＜0， f (0)＝1＞0， f (1)＝3＋2＞0， f (2)＝ 9＋4＞0， ∴ f (－1) f (0)＜0，∴函数 f ( x )的零点所在的一个区间是(－1，0). C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4. (2024·江西南昌模拟)函数 f ( x )＝ sin 2 x － · cos 2 x ＋1在区间[0，π] 内的零点个数是(　A　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 由 f ( x )＝2 sin ＋1＝0， 得 sin ＝－ ， 又0≤ x ≤π，所以－ ≤2 x － ≤ ， 所以2 x － ＝－ 或 ， 解得 x ＝ 或 ， 所以函数 f ( x )在[0，π]的零点个数是2. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5. (2024·江苏南通模拟)已知方程ln x ＝11－2 x 的实数解为 x 0，且 x 0∈( k ， k ＋1)， k ∈N＋，则 k ＝(　D　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 令 f ( x )＝ln x ＋2 x －11， 由 f (1) f (2)＝－9(ln 2－7)＞0， f (2) f (3)＝(ln 2－7)(ln 3－5)＞0， f (3) f (4)＝(ln 3－5)(ln 4－3)＞0， f (4) f (5)＝(ln 4－3)(ln 5－1)＜0， 可知 k ＝4. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6. (多选)设函数 f ( x )＝若函数 g ( x ) ＝[ f ( x )]2＋ bf ( x )＋ c 有三个零点 x 1， x 2， x 3，则下列说法正确的是 (　ABC　) A. b 的值为－2 B. c 的值为1 C. a 的值无法确定 D. x 1 x 2＋ x 2 x 3＋ x 1 x 3＝10 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 作出函数 f ( x )的大致图象如图所示，由图可得关于 x 的方程 f ( x )＝ t 的根 有两个或三个( t ＝1时有三个， t ≠1时有两个)，所以关于 t 的方程 t 2＋ bt ＋ c ＝0只能有一个根 t ＝1(若有两个根，则关于 x 的方程[ f ( x )]2＋ bf ( x ) ＋ c ＝0有四个或五个根)，由根与系数的关系得－ b ＝1＋1， c ＝1×1＝ 1，得 b ＝－2，所以A，B正确；不妨设 x 1＜ x 2＜ x 3，令 f ( x )＝1，可得 x 1， x 2， x 3的值分别为1，2，3，则 x 1 x 2＋ x 2 x 3＋ x 1 x 3＝1×2＋2×3＋1×3＝11，由log a ｜1－2｜＋1 ＝1，得 a 0＝1( a ＞1)，故 a 的值无法确定，所以C 正确、D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7. (多选)若函数 f ( x )＝有两个不同的零点，则实数 a 的 取值可能为(　BC　) A. －1 B. C. 1 D. 2 当 x ＞0时，由 f ( x )＝ln x ＝0，得 x ＝1. 因为函数 f ( x )有两个不同的零点， 所以当 x ≤0时，函数 f ( x )＝2 x － a 有一个零点. 令 f ( x )＝0，得 a ＝2 x . 因为0＜2 x ≤20＝1， 所以0＜ a ≤1，所以B，C正确. BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8. 函数 f ( x )＝｜ x 2－2 x ｜－ a 2－1( a ＞0)的零点的个数是 ⁠. 令 f ( x )＝0，则｜ x 2－2 x ｜＝ a 2＋1. 因为 a ＞0，所以 a 2＋1＞1. 作出函数 y ＝｜ x 2－2 x ｜的图象如图所示， 所以函数 y ＝｜ x 2－2 x ｜的图象与 y ＝ a 2＋1的图象总有两个交点，因 此函数 f ( x )＝｜ x 2－2 x ｜－ a 2－1有2个零点. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9. 已知函数 f ( x )＝3 x ＋ x －5的零点 x 0∈[ a ， b ]，且 b － a ＝1， a ， b ∈ N＋，则 a ＝ ， b ＝ ⁠. ∵函数 f ( x )＝3 x ＋ x －5，∴ f (1)＝31＋1－5＝－1＜0， f (2)＝32＋2－5＝ 6＞0， ∴ f (1) f (2)＜0，且函数 f ( x )在R上单调递增， ∴ f ( x )的零点 x 0在区间(1，2)内，∴ a ＝1， b ＝2. 1　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10. 函数 f ( x )＝ x 2－2 x －1－｜ x －1｜的所有零点之和等于 ⁠. f ( x )＝ x 2－2 x －1－｜ x －1｜＝｜ x －1｜2－｜ x －1｜－2.令 t ＝｜ x －1｜( t ≥0)，则 g ( t )＝ t 2－ t －2＝ － .若 g ( t )＝0，则 t ＝2，所以｜ x －1｜＝2，所以 x ＝3或 x ＝－1，故所有零点之和为2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11. (2024·四川遂宁模拟)已知 a ＞0且 a ≠1，方程 xa ＝ln x ( x ＞0)有且仅有 两个不等根，则 a 的取值范围为 ⁠. 由 xa ＝ln x ＞0，得ln(ln x )＝ a ln x ( x ＞1). 令ln x ＝ t ( t ＞0)，则 a ＝ ， 设函数 g ( t )＝ ，得 g '( t )＝ .令 g '( t )＝0，得 t ＝e. 在(0，e)上， g '( t )＞0， g ( t )单调递增；在(e，＋∞)上， g '( t )＜0， g ( t ) 单调递减， 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 所以 g ( t )max＝ g (e)＝ ， g ＝－e＜0，又当 t ＞1时， g ( t )＞0 恒成立， 因为方程 xa ＝ln x ( x ＞0)有且仅有两个不等根， 所以曲线 y ＝ g ( t )＝ 图象与直线 y ＝ a 有两个交点的充分必要条件是 0＜ a ＜ ， 所以 a 的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [B组　能力提升练] 12. (2024·天津模拟)已知三个函数 f ( x )＝2 x ＋ x －2， g ( x )＝ x 3－8， h ( x )＝log2 x ＋ x －2的零点依次为 a ， b ， c ，则 a ＋ b ＋ c ＝(　C　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 已知三个函数 f ( x )＝2 x ＋ x －2， g ( x )＝ x 3－8， h ( x )＝log2 x ＋ x －2的零点依次为 a ， b ， c ，令 f ( x )＝2 x ＋ x －2＝0， h ( x )＝log2 x ＋ x －2＝0，则2 x ＝2－ x ，log2 x ＝2－ x ，即 a ， c 分别为直线 y ＝2－ x 与函数 y ＝2 x ， y ＝log2 x 图象交点的横坐标.因为 y ＝2 x ， y ＝log2 x 互为反函数，其图象关于直线 y ＝ x 对称，而直线 y ＝2－ x 与 y ＝ x 垂直，交点坐标为(1，1)，故 a ＋ c ＝2.又由 b 3－8＝0，得 b ＝2，所以 a ＋ b ＋ c ＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13. 若函数 f ( x )＝(其中e为自然对数的底数)，则函 数 h ( x )＝ f ( f ( x ))－ f ( x )的零点个数为(　D　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 根据题意，函数 h ( x )零点的个数等价于方程 f ( f ( x ))＝ f ( x )解的个数， f ( f ( x ))＝ f ( x )的解等价于 f ( x )＝ x 的解，画出函数 y ＝ f ( x )的图象和直线 y ＝ x ，可知函数 y ＝ f ( x )的图象与直线 y ＝ x 有(－2，－2)和(e，e)两个 公共点. ∵ f ( x )在 ，(0，＋∞)上为增函数，在 上为减函数， f ＝－ ＜－2，∴ f ( x )＝－2有两个解.∵ f (0)＝1，且当 x 从0的左侧趋近于0时，函数 f ( x )的值趋近于4，比e大， ∴ f ( x )＝e有三个解，∴函数 h ( x )的零点共有5个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14. 已知函数 f ( x )＝若 f ( x )＝ a ( a ∈R)有四个不等 实根，则所有实根之积的取值范围是(　B　) A. (－∞，1) B. [0，1) C. (0，1) D. (1，＋∞) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 lg x 3＋lg x 4＝lg( x 3 x 4)＝0， ∴ x 3 x 4＝1，∴ x 1 x 2 x 3 x 4＝ x 1 x 2＝(－2－ x 2)· x 2＝－( x 2＋1)2＋1∈[0，1). 设四个根依次为 x 1， x 2， x 3， x 4( x 1＜ x 2＜ x 3＜ x 4)， 则－2≤ x 1＜－1，－1＜ x 2≤0， x 1＋ x 2＝－2， 由｜lg x 3｜＝｜lg x 4｜，得－lg x 3＝lg x 4，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15. (多选)若函数 f ( x )＝恰有两个零点，则实数 a 的取值可能为(　BCD　) A. 0 B. C. 2 D. 3 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 当 a ＝2时， f ( x )＝ 当 a ＝3时， f ( x )＝通过画图(图略)很容易判断 B，C，D成立，A不成立. 当 a ＝0时， f ( x )＝ 当 a ＝ 时， f ( x )＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16. (多选)已知函数 f ( x )是定义在R上的奇函数，且 x ＞0时， f ( x )＝( x － 2)e x ，则下列结论正确的是(　ABD　) A. f ( x )＞0的解集为(－2，0)∪(2，＋∞) B. 当 x ＜0时， f ( x )＝( x ＋2)e－ x C. f ( x )有且只有两个零点 D. ∀ x 1， x 2∈[1，2]，｜ f ( x 1)－ f ( x 2)｜≤e ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 当 x ＞0时， f ( x )＜0的解集为(0，2)， f ( x )＞0的解集为(2，＋∞)，由 f ( x )为奇函数可知选项A正确；当 x ＜0时， f ( x )＝－ f (－ x )＝－(－ x －2)e－ x ＝( x ＋2)·e－ x ，选项B正确；当 x ＞0时， x ＝2为 f ( x )的零点，因为 f ( x )是定义在R上的奇函数，所以 f (0)＝0， f (－2)＝0，故 f ( x )有且只有三个零点，选项C错误；当 x ＞0时， f '( x )＝( x －1)e x ，故 f ( x )在[1，2]上单调递增，所以 f ( x )min＝ f (1)＝－e， f ( x )max＝ f (2)＝0，所以｜ f ( x 1)－ f ( x 2)｜≤ f ( x )max－ f ( x )min＝e，选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17. (2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知实数 x ， y 满足ln ＋ y ＝2，e x ＋ x ＝5，则 x ＋2 y ＝ ⁠. 由ln ＋ y ＝2，即ln ＝2－ y ， 即e4－2 y ＝2 y ＋1， 令4－2 y ＝ t ，则2 y ＝4－ t ， 即e t ＝5－ t ，即e t ＋ t －5＝0. 由e x ＋ x ＝5，得e x ＋ x －5＝0， 设函数 f ( x )＝e x ＋ x －5，显然该函数为增函数， 又 f (1)· f (2)＝(e－4)×(e2－3)＜0， 4　 所以函数 f ( x )＝e x ＋ x －5在(1，2)上有唯一的零点， 因此 t ＝ x ，即4－2 y ＝ x ， 所以 x ＋2 y ＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [C组　高考新动向] 18. (2024·山东烟台模拟)已知函数 f ( x )＝若 f ( x )＝ m 存在四个不相等的实根 x 1， x 2， x 3， x 4( x 1＜ x 2＜ x 3＜ x 4)，则4 ＋ x 1 x 2 x 4的最小值是 ⁠. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 由图可得0＜ m ＜1， ∵ f ( x )＝ m 存在四个不相等的实根 x 1， x 2， x 3， x 4， 可得 x 1＜－1＜ x 2＜ x 3＜1＜ x 4， 可得ln(－ x 1)＝－ln(－ x 2)， x 3＝ ，即 x 1 x 2＝1， x 3 x 4＝1， 作函数 f ( x )＝与 y ＝ m 图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 所以4 ＋ x 1 x 2 x 4＝4 ＋ x 4＝4 ＋ x 4＝4 ＋ ＋ ≥3 ＝3， 当且仅当4 ＝ ，即 x 4＝2且 x 3＝ 时等号成立，则4 ＋ x 1 x 2 x 4的 最小值是3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $$