第2章 第6节 函数的图象-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第六节　函数的图象 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 [学习要求]　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图 象法、列表法、解析式法)表示函数.　2.会运用函数图象理解和研究函 数的性质. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点　函数的图象 1. 描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线，具体为： 首先：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性). 其次：列表(尤其注意零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等 特殊点). 最后：描点，连线. 2. 利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y ＝ f ( x ) y ＝ ⁠； y ＝ f ( x ) y ＝ ⁠； y ＝ f ( x ) y ＝ ⁠. y ＝ ax ( a ＞0，且 a ≠1) y ＝ ⁠. － f ( x )　 f (－ x )　 － f (－ x )　 log ax ( a ＞0，且 a ≠1)　 (3)翻折变换 y ＝ f ( x ) y ＝ ⁠. y ＝ f ( x ) y ＝ ⁠. ｜ f ( x )｜　 f (｜ x ｜)　 [小题诊断] 1. 函数 y ＝lg( x ＋1)－1的图象可以由函数 y ＝lg x 的图象(　B　) A. 上移1个单位长度再左移1个单位长度得到 B. 下移1个单位长度再左移1个单位长度得到 C. 上移1个单位长度再右移1个单位长度得到 D. 下移1个单位长度再右移1个单位长度得到 B 2. 在同一平面直角坐标系中， y ＝2 x 与 y ＝log2(－ x )的图象可能是(　B　) 因为 y ＝2 x 的图象过点(0，1)，且单调递增，故排除选项C，D； y ＝ log2(－ x )的图象为过点(－1，0)的单调递减的函数图象，故排除选项A. B 3. 函数 f ( x )＝( x 2－4 x ＋1)·e x 的大致图象是(　A　) A 当 x ＜0时， x 2－4 x ＋1＞0，e x ＞0， 所以 f ( x )＞0，故可排除B，C； 当 x ＝2时， f (2)＝－3e2＜0，故可排除D. 4. 如图是下列四个函数中某个函数的图象，这个函数是(　C　) A. f ( x )＝ln B. f ( x )＝ln C. f ( x )＝ ＋ D. f ( x )＝ － C 对于A，当 x ＝ 时， f ＝ln ＝ln 3＞0，不符合；对于B，当 x ＝2时， f (2)＝ln ＝ln ＜0，不符合；对于D，当 x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， f ( x )＝ ＝ ＜0，不符合. 关键能力　重点探究 考点一　作函数的图象 分别作出下列函数的图象： (1) y ＝｜lg x ｜； [解]　 y ＝图象如图①所示. [解]　 y ＝图象如图①所示. 例1 (2) y ＝2 x ＋2； [解]　将 y ＝2 x 的图象向左平移2个单位长度.图象如图②所 示. [解]　将 y ＝2 x 的图象向左平移2个单位长度.图象如图②所示. (3) y ＝ ； [解]　 因为 y ＝ ＝2＋ ，故函数图象可由 y ＝ 的图象向右平移1 个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图③. [解]　 因为 y ＝ ＝2＋ ，故函数图象可由 y ＝ 的图象向右平移1 个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图③. (4) y ＝ sin ｜ x ｜. [解]　当 x ≥0时， y ＝ sin ｜ x ｜与 y ＝ sin x 的图象完全相同.又 y ＝ sin ｜ x ｜为偶函数，图象关于 y 轴对称，其图象如图④. [解]　当 x ≥0时， y ＝ sin ｜ x ｜与 y ＝ sin x 的图象完全相同.又 y ＝ sin ｜ x ｜为偶函数，图象关于 y 轴对称，其图象如图④. 函数图象的常见画法及注意事项 1. 直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键 点，直接作图. 2. 转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数 来画. 3. 图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸 缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图." @4".画函数的图象 一定要注意定义域. 方法总结 1. 作出下列函数的大致图象. (1) y ＝ x －｜ x －1｜； 解： 根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数 y ＝可见其图象是由两条射线组成，如图①所示. 跟踪训练 (2) y ＝ ； 解：作出 y ＝ 的图象，保留 y ＝ 的图象中 x ≥0的部分，加上 y ＝ 的图象中 x ＞0部分关于 y 轴的对称部分，即得 y ＝ 的图象，如图②中实线部分. (3) y ＝｜log2 x －1｜. 解：先作出 y ＝log2 x 的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留 x 轴上方的部分，将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，即得 y ＝｜log2 x － 1｜的图象，如图③所示. 考点二　函数图象的辨识 ◉角度(一)　由式识图或由图辨式 (1)(2023·天津卷)函数 f ( x )的图象如图所示，则 f ( x )的解析式可能 为(　D　) D A. f ( x )＝ B. f ( x )＝ C. f ( x )＝ D. f ( x )＝ 例2 由题图可知 f ( x )为偶函数，而选项A，B中的函数均为奇函数，所以排除A，B. 又因为选项C中， f ( x )＝ ＞0恒成立，故排除C. (2)(2024·山东烟台模拟)函数 y ＝ x ( sin x － sin 2 x )的部分图象大致为 (　C　) C 由 y ＝ f ( x )＝ x ( sin x － sin 2 x )， 得 f (－ x )＝－ x [ sin (－ x )－ sin (－2 x )]＝ － x (－ sin x ＋ sin 2 x )＝ f ( x )， 所以 f ( x )为偶函数，故排除B，D. 当 x ＝ 时， y ＝ f ＝ ＝ ＞0，排除A. 函数性质 函数图象特征 函数的定义域 图象的左右位置 函数的值域 图象的上下位置 函数的奇偶性 图象的对称性 函数的单调性 图象的变化趋势 函数的周期性 图象的循环往复 函数的零点 图象与 x 轴的交点情况 函数经过的定点、极值点等 函数图象上的特殊点 知式选图或知图选式时的解题技巧 　　根据函数性质与函数图象特征的对应关系切入.具体如下： 方法总结 ◉角度(二)　借助动点探究函数的图象 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称 为“阴阳鱼太极图”.如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆 组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为 O ， O 1， O 2.若一动点 P 从点 A 出 发，按路线 A → O → B → C → A → D → B 运动(其中 A ， O 1， O ， O 2， B 五点共线)，设 P 的运动路程为 x ， y ＝ ， y 与 x 的函数 关系式为 y ＝ f ( x )，则 y ＝ f ( x )的图象大致为(　A　) A 例3 根据题图中信息，可将 x 分为4个区间，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)， [4π，6π]，当 x ∈[0，π)时，函数值不变， y ＝ f ( x )＝1；当 x ∈[π，2π) 时，设 与 的夹角为θ，因为｜ ｜＝1，｜ ｜＝2，θ＝ x －π，所以 y ＝｜ － ｜2＝5－4 cos θ＝5＋4 cos x ，所以 y ＝ f ( x )的图象是曲线，且单调递增；当 x ∈[2π，4π)时， ＝ － ，设 与 的夹角为α，｜ ｜＝2，｜ ｜＝1，α＝2π－ x ，所以 y ＝｜ ｜2＝｜ － ｜2＝5－4 cos α＝5－4 cos ， 函数 y ＝ f ( x )的图象是曲线，且单调递减. 根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法 1. 定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数 图象. 2. 定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同位置时图象 的变化特征，从而做出选择. 注意：求解的过程中注意实际问题中的定义域问题. 方法总结 2. (2024·安徽安庆模拟)函数 f ( x )＝ ＋ sin 2 x 的部分图象大致是 (　B　) B 跟踪训练 由解析式可得 x ≠± ， f (0)＝－1＜0，排除A； 观察C，D选项，其图象关于 y 轴对称， 而 f (－ x )＝ － sin 2 x ≠ f ( x )， 说明 f ( x )不是偶函数，即其函数图象不关于 y 轴对称，排除C，D；显然 选项B符合题意. 3. (2024·福建永安模拟)如图，已知 l 1⊥ l 2，圆心在 l 1上、半径为1 m的圆 O ，在 t ＝0 s时与 l 2相切于点 A ，圆 O 沿 l 1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线 l 2所截上方圆弧长记为 x (单位：m)，令 y ＝ cos x ，则 y 与时间 t (0≤ t ≤1，单位：s)的函数 y ＝ f ( t )的图象大致为(　B　) B 取 t ＝0，则 x ＝0，此时 y ＝ cos x ＝1，所以函数 y ＝ f ( t )的图象经过点 (0，1)，据此可排除选项A，D(或者取 t ＝1，易知 x ＝π，此时 y ＝ cos π ＝－1，所以函数 y ＝ f ( t )的图象经过点(1，－1)，据此可排除选项A，D).取 t ＝ ，设圆 O 与 l 2的交点为 C ， D ，连接 OC ， OD ，画出图形(如图所示)，此时 OA ＝ ， OD ＝1， OA ⊥ CD ，所以∠ AOD ＝ ，所以∠ COD ＝2∠ AOD ＝ ，从而可知 x ＝1× ＝ ， 此时 y ＝ cos x ＝－ ，所以函数 y ＝ f ( t )的图 象经过点 ，据此可排除选项C. 考点三　函数图象的应用 ◉角度(一)　由图象选表达式 (2024·四川遂宁模拟)数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到 的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为 某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为(　A　) A 例4 A. y ＝ sin x ＋ sin 2 x ＋ sin 3 x B. y ＝ sin x － sin 2 x － sin 3 x C. y ＝ sin x ＋ cos 2 x ＋ cos 3 x D. y ＝ cos x ＋ cos 2 x ＋ cos 3 x 对于A，函数 y ＝ f ( x )＝ sin x ＋ sin 2 x ＋ sin 3 x ， 因为 f (－ x )＝－ sin x － sin 2 x － sin 3 x ＝－ f ( x )，所以函数为 奇函数， 又 f ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＞0，故A正确； 因为 f (－ x )＝－ sin x ＋ sin 2 x ＋ sin 3 x ＝－ f ( x )，所以函数为 奇函数， 又 f ＝ － － ＝ － ＜ － ＝0，故B错误； 对于C，函数 y ＝ f ( x )＝ sin x ＋ cos 2 x ＋ cos 3 x ， 对于B，函数 y ＝ f ( x )＝ sin x － sin 2 x － sin 3 x ， 因为 f (0)＝ ＋ ＝ ≠0，故C错误； 对于D，函数 y ＝ f ( x )＝ cos x ＋ cos 2 x ＋ cos 3 x ， f (0)＝1＋ ＋ ＝ ≠0，故D错误. 由图象判断表达式的基本方法 1. 从定义域值域判断图象位置. 2. 从奇偶性判断对称性. 3. 从周期性判断循环往复. 4. 从单调性判断变化趋势. 5. 从特征点排除错误选项. 方法总结 ◉角度(二)　图象法解不等式 (2024·河南商丘模拟)已知定义在R上的奇函数 f ( x )在[0，＋∞)上 的图象如图所示，则不等式 x 2 f ( x )＞2 f ( x )的解集为(　C　) C 例5 A. (－ ，0)∪( ，2) B. (－∞，－2)∪(2，＋∞) C. (－∞，－2)∪(－ ，0)∪( ，2) D. (－2，－ )∪(0， )∪(2，＋∞) 根据奇函数的图象特征，作出 f ( x )在(－∞，0)上的图象，如图所示， 由 x 2 f ( x )＞2 f ( x )，得( x 2－2) f ( x )＞0， 则或 解得 x ＜－2或 ＜ x ＜2或－ ＜ x ＜0， 故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－ ，0)∪( ，2). 用图象法解不等式的适用情况 　　当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其 对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问 题，从而利用数形结合思想求解. 方法总结 ◉角度(三)　求参数的取值范围 (2024·浙江湖州模拟)已知函数 f ( x )＝若实 数 a ， b ， c 互不相等，且 f ( a )＝ f ( b )＝ f ( c )，则 a ＋ b ＋ c 的取值范围 是 ⁠. (2，2 025)　 例6 不妨令 a ＜ b ＜ c ， 由正弦曲线的对称性可知 a ＋ b ＝1， 而1＜ c ＜2 024，所以2＜ a ＋ b ＋ c ＜2 025. 函数 f ( x )＝的图象如图所示， 方法总结 1. 利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶 性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性 质与图象特征的对应关系. 2. 利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否 有解，有多少个解，数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化 为两函数图象的上下关系问题. 4. 如图可能是下列哪个函数的图象(　C　) A. y ＝2 x － x 2－1 B. y ＝ C. y ＝( x 2－2 x )e x D. y ＝ 函数的定义域为R，排除D； 当 x ＜0时， y ＞0，A中， x ＝－1时， y ＝ －1－1＝－ ＜0， 排除A； B中，当 sin x ＝0时， y ＝0，∴ y ＝ 有无数个零点，排除B. C 跟踪训练 5. 已知函数 f ( x )＝则 f ( x )≤ x 的解集为(　C　) A. (－∞，0] B. (－1，0] C. (－1，0]∪[1，＋∞) D. [1，＋∞) 作出函数 y ＝ f ( x )与 y ＝ x 的图象，如图. 结合图象知不等式 f ( x )≤ x 的解集为(－1，0]∪[1，＋∞). C 6. (2024·河南郑州模拟)若关于 x 的不等式 a e x ＋ bx ＋ c ＜0的解集是(－1，1)，则(　D　) A. b ＞0 B. a ＋ c ＞0 C. a ＋ b ＋ c ＞0 D. 8 a ＋2 b ＋ c ＞0 D 依题意两函数图象的交点横坐标为－1，1， 则－ ＞0，－ ＞1， 所以 b ＜0，－ c ＞ a ，A，B错误； 当 x ＝1时， a e＋ b ＋ c ＝0，而 a ＋ b ＋ c ＜ a e＋ b ＋ c ＝0，C错误； 当 x ＝2时， a e2＋2 b ＋ c ＞0，而8 a ＋2 b ＋ c ＞ a e2＋2 b ＋ c ＞0，D正确. 显然 a ＞0，不等式可化为e x ＜－ x － ，在同一直角坐标系中作出函数 y ＝e x ， y ＝－ x － 的图象(图略)， 课时作业　巩固提升 [A组　基础保分练] 1. (2024·四川乐山模拟)函数 f ( x )＝ cos (e x －e－ x － x )在[－2，2]上的图 象大致为(　A　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 因为 f ( x )＝ cos (e x －e－ x － x )， x ∈[－2，2]， 所以 f (－ x )＝ cos (e－ x －e x ＋ x )＝ cos (e x －e－ x － x )＝ f ( x )， 所以 f ( x )为偶函数，函数图象关于 y 轴对称，故排除C，D； 又 f (2)＝ cos (e2－e－2－2)， 由于 ＜e2－e－2－2＜2π， 所以 f (2)＞0，故排除B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2. (2024·天津模拟)函数 f ( x )＝ 的图象大致为(　D　) 因为 f (1)＝1＞0，故A，C错误； D 又因为 f (0)＝ ＝ ＜1＝ f (1)，故B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 3. (2024·贵州遵义模拟)已知函数 f ( x )在[－4，4]上的大致图象如图所示，则 f ( x )的解析式可能为(　B　) A. f ( x )＝ B. f ( x )＝ C. f ( x )＝｜ x ｜·(4－｜ x ｜) D. f ( x )＝｜ x ｜· sin B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 函数图象关于 y 轴对称，函数为偶函数，选项D中函数满足 f (－ x )＝ ｜－ x ｜ sin ＝－｜ x ｜ sin ＝－ f ( x )，为奇函数，排除D； 又选项C中函数满足 f (2)＝4，与图象不符，排除C； 选项A中函数满足 f (2)＝ ＝3，与图象不符，排除A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4. (2024·陕西咸阳模拟)已知函数 f ( x )＝则函数 g ( x )＝ f ( f ( x ))－1的零点个数是(　A　) A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 函数 f ( x )＝ 对 y ＝－ x e x ⇒ y '＝－( x ＋1)e x ，令 y '＞0⇒ x ＜－1，令 y '＜0⇒0＞ x ＞－1， A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 可知 y ＝－ x e x 在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减， 且 x ∈(－∞，0)时， y ＞0， x ＝－1时， y max＝ ， 故结合对数函数图象，可画出函数 f ( x )图象如图所示. 函数 g ( x )＝ f ( f ( x ))－1的零点，即 f ( f ( x ))＝1，令 t ＝ f ( x )，代入可得 f ( t )＝1＞ ， 由图象可知 t ＝e－1，即 f ( x )＝e－1， 结合函数图象可知， f ( x )＝e－1有1个解， 综上可知，函数 g ( x )＝ f ( f ( x ))－1的零点有1个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 5. 若函数 f ( x )＝(4 mx － n )2的大致图象如图所示，则(　B　) A. m ＞0，0＜ n ＜1 B. m ＞0， n ＞1 C. m ＜0，0＜ n ＜1 D. m ＜0， n ＞1 令 f ( x )＝0，即4 mx ＝ n ，则 mx ＝log4 n ，即 x ＝ log4 n ，由题图可知 log4 n ＞0，故当 m ＞0时， n ＞1；当 m ＜0时，0＜ n ＜1，排除A，D；当 m ＜0时，易知 y ＝4 mx 是减函数，且当 x →＋∞时， y →0，则 f ( x )→ n 2，C不合题意，排除C. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 6. 设函数 f ( x )＝若互不相等的实数 a ， b ， c 满足 f ( a )＝ f ( b )＝ f ( c )，则2 a ＋2 b ＋2 c 的取值范围是(　B　) A. (16，32) B. (18，34) C. (17，35) D. (6，7) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 不妨令 a ＜ b ＜ c ，则1－2 a ＝2 b －1， ∴2 a ＋2 b ＝2. 结合图象可得4＜ c ＜5，故16＜2 c ＜32， ∴18＜2 a ＋2 b ＋2 c ＜34. 画出函数 f ( x )的图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7. (多选)已知函数 f ( x )＝方程｜ f ( x )－1｜＝2－ m ( m ∈R)，则下列判断正确的是(　BD　) A. 函数 f ( x )的图象关于直线 x ＝ 对称 B. 函数 f ( x )在区间(3，＋∞)上单调递增 C. 当 m ∈(1，2)时，方程有3个不同的实数根 D. 当 m ∈(－1，0)时，方程有4个不同的实数根 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 显然函数 f ( x )的图象不关于直线 x ＝ 对称； 对于选项B， f ( x )＝ x 2－3 x 的图象是开口向上的抛物线，所以函数 f ( x ) 在区间(3，＋∞)上单调递增； 作出函数 y ＝｜ f ( x )－1｜的图象，如图所示， 对于选项C，当 m ∈(1，2)时，2－ m ∈(0，1)，结合图象可知方程｜ f ( x )－1｜＝2－ m ( m ∈R)有2个不同的实数根； 对于选项D，当 m ∈(－1，0)时，2－ m ∈(2，3)，结合图象可 知方程｜ f ( x )－1｜＝2－ m ( m ∈R)有4个不同的实数根. 对于选项A， f (4)＝4， f (－1)＝1－e， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8. (多选)关于函数 f ( x )＝｜ln｜2－ x ｜｜，下列描述正确的有(　ABD　) A. 函数 f ( x )在区间(1，2)上单调递增 B. 函数 y ＝ f ( x )的图象关于直线 x ＝2对称 C. 若 x 1≠ x 2，但 f ( x 1)＝ f ( x 2)，则 x 1＋ x 2＝4 D. 函数 f ( x )有且仅有两个零点 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 函数 f ( x )＝｜ln｜2－ x ｜｜的图象如图所示， 由图可得， 函数 f ( x )在区间(1，2)上单调递增，A正确； 函数 y ＝ f ( x )的图象关于直线 x ＝2对称，B正确； 若 x 1≠ x 2，但 f ( x 1)＝ f ( x 2)，则 x 1＋ x 2的值不一定等于4，C错误； 函数 f ( x )有且仅有两个零点，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9. (多选)(2024·江苏苏州模拟)已知函数 f ( x )＝ ( a ∈R)，则 y ＝ f ( x )的大致图象可能为(　ABD　) ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 该曲线是圆心在原点，半径为 的圆的上半部分(含端点)， 若 x ∈(－∞，－ )∪( ，＋∞)， x 2－ y 2＝ a ( y ≥0)， 则该曲线是焦点在 x 轴上的双曲线位于 x 轴上方的部分，即为B. 当 a ＜0时， y ＝ ，即 y 2－ x 2＝－ a ( y ≥0)， 所以该曲线是焦点在 y 轴上的双曲线的上半支，即为D； 当 a ＝0时， y ＝ ＝｜ x ｜，即为A； 当 a ＞0时，若 x ∈[－ ， ]，则 y 2＋ x 2＝ a ( y ≥0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10. (2024·山东淄博质检)设函数 y ＝ f ( x )的图象与 y ＝ 的图象关 于直线 y ＝－ x 对称，且 f (－3)＋ f ＝4，则实数 a ＝ ⁠. 设 f ( x )上任意一点为( x ， y )，则( x ， y )关于直线 y ＝－ x 对称的点为 (－ y ，－ x )，把(－ y ，－ x )代入 y ＝ ，得－ x ＝ ， ∴ f ( x )＝log3(－ x )＋ a ， x ＜0. ∵ f (－3)＋ f ＝4， ∴1＋ a －1＋ a ＝4，解得 a ＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11. (2024·吉林长春模拟)设函数 f ( x )＝则 f ( f (0))＝ ；若 f ( m )＞1，则实数 m 的取值范围是 ⁠. f ( f (0))＝ f (1)＝ln 1＝0，如图所示，可得 f ( x )＝的图象与 直线 y ＝1的交点分别为(0，1)，(e，1).若 f ( m )＞1，则实数 m 的取值范 围是(－∞，0)∪(e，＋∞). 0　 (－∞，0)∪(e，＋∞)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 12. 已知函数 y ＝ f (－ x )的图象过点(4，2)，则函数 y ＝ f ( x )的图象一定 过点 ⁠. y ＝ f (－ x )与 y ＝ f ( x )的图象关于 y 轴对称，故 y ＝ f ( x )的图象一定过点 (－4，2). (－4，2)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 13. (2024·江苏扬州模拟)已知 f ( x )＝若函数 g ( x )＝ f ( x )－ k 有两个零点，则实数 k 的取值范围是 ⁠. g ( x )＝ f ( x )－ k 有两个零点，即 f ( x )＝ k 有两个根，即函数 y ＝ f ( x )与 y ＝ k 有两个交点，如图所示，显然，当 k ＝2或－2＜ k ＜0时，函数 y ＝ f ( x )与 y ＝ k 有两个交点，符合题意. (－2，0)∪{2}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [B组　能力提升练] 14. (2024·山东潍坊期末)函数 y ＝ f ( x )与 y ＝ g ( x )的图象如图所示，则 y ＝ f ( x )· g ( x )的部分图象可能是(　A　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 由图象可知 y ＝ f ( x )是偶函数， y ＝ g ( x )是奇函数，并且 y ＝ g ( x )的定义域为{ x ｜ x ≠0}，∴ y ＝ f ( x )· g ( x )的定义域是{ x ｜ x ≠0}，并且是奇函数，排除B，C； x ∈ 时， f ( x )＞0， g ( x )＜0，∴此时 f ( x )· g ( x )＜0，排除D. 满足条件的只有A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 15. (2024·河南郑州模拟)已知定义在R上的函数 f ( x )在(－∞，－2)上是减 函数.若 g ( x )＝ f ( x －2)是奇函数，且 g (2)＝ g (0)＝0，则不等式 xf ( x )≤0 的解集是(　C　) A. (－∞，－2]∪[2，＋∞) B. [－4，－2]∪[0，＋∞) C. (－∞，－4]∪[－2，＋∞) D. (－∞，－4]∪[0，＋∞) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 g ( x )＝ f ( x －2)的图象是由函数 f ( x )的图象向右平移2个单位长度得到的，且 g (2)＝ g (0)＝0，所以 f (－4)＝ g (－2)＝－ g (2)＝0， f (－2)＝ g (0)＝0， f (0)＝ g (2)＝0，画出 f ( x )的大致图象，如图所示. 结合函数的图象可知，当 x ≤－4或 x ≥－2时， xf ( x )≤0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16. 设函数 f ( x )＝ f ( x )＝ a 有四个实数根 x 1， x 2， x 3， x 4，且 x 1＜ x 2＜ x 3＜ x 4，则 ( x 3＋ x 4) x 1＋ 的取值范围是 (　A　) A. B. (0，1) C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 当1＜ x ≤2时， f ( x )∈ [0，＋∞)，且单调递减； 当2＜ x ≤3时， f ( x )∈(0，1]，且单调递增； 当3＜ x ＜4时， f ( x )∈(0，1)，且单调递减； 当 x ≥4时， f ( x )∈[0，＋∞)，且单调递增. f ( x )的图象如图所示. 由分段函数知， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 f ( x )＝ a 有四个实数根 x 1， x 2， x 3， x 4，且 x 1＜ x 2＜ x 3＜ x 4. 由图知，当0＜ a ＜1时， f ( x )＝ a 有四个实数根， 且 ＜ x 1＜2＜ x 2＜3＜ x 3＜4＜ x 4＜5. 又 x 3＋ x 4＝8， 由对数函数的性质知( x 1－1)( x 2－1)＝ x 1 x 2－( x 1＋ x 2)＋1＝1， 可得 ＝1－ . 设 ( x 3＋ x 4) x 1＋ ＝2 x 1－ ＋1＝ t ，且 ＜ x 1＜2. 由 g ( x )＝2 x － ＋1在 上单调递增， 可知 g ＜2 x － ＋1＜ g (2)，所以 ＜ t ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17. (多选)(2024·山东青岛模拟)已知函数 f ( x )是定义在R上的奇函数，当 x ＜0时， f ( x )＝e x ( x ＋1)，则下列命题正确的是(　BCD　) A. 当 x ＞0时， f ( x )＝－e－ x ( x －1) B. 函数 f ( x )有3个零点 C. f ( x )＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1) D. ∀ x 1， x 2∈R，都有｜ f ( x 1)－ f ( x 2)｜＜2 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ∴ f ( x )＝－ f (－ x )＝e－ x ( x －1). 又当 x ＝0时， f (0)＝0， 因此函数 f ( x )有3个零点：0，±1. 当 x ＜0时， f ( x )＝e x ( x ＋1)， f '( x )＝e x ( x ＋2)， 函数 f ( x )是定义在R上的奇函数， 当 x ＜0时， f ( x )＝e x ( x ＋1). 设 x ＞0，则－ x ＜0， f (－ x )＝e－ x (－ x ＋1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 f ( x )＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1). ∀ x 1， x 2∈R，都有｜ f ( x 1)－ f ( x 2)｜＜2. 综上，B，C，D都正确. 可得当 x ＝－2时，函数 f ( x )取得极小值， f (－2)＝ ，作出 y ＝ f ( x )的 图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18. (多选) (2024·山东滨州模拟)在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形 ABCD 沿 x 轴滚动(无滑动滚动)，点 D 恰好经过坐标原点，设顶点 B ( x ， y )的轨迹方程是 y ＝ f ( x )，则对函数 y ＝ f ( x )的判断正确的是(　BCD　) A. 函数 y ＝ f ( x )是奇函数 B. 对任意 x ∈R，都有 f ( x ＋4)＝ f ( x －4) C. 函数 y ＝ f ( x )的值域为[0，2 ] D. 函数 y ＝ f ( x )在区间[6，8]上单调递增 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 由题意得，当－4≤ x ＜－2时，点 B 的轨迹是以(－2，0)为圆心，2为半 径的 圆； 当－2≤ x ＜2时，点 B 的轨迹是以原点为圆心，2 为半径的 圆； 当2≤ x ＜4时，点 B 的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的 圆，如图所示. 此后依次重复，所以函数 f ( x )是以8为周期的周期函数，由图象可知， 函数 f ( x )为偶函数，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 因为 f ( x )以8为周期，所以 f ( x ＋8)＝ f ( x )， 即 f ( x ＋4)＝ f ( x －4)，故B正确； 由图象可知， f ( x )的值域为[0，2 ]，故C正确； 由图象可知， f ( x )在[－2，0]上单调递增，因为 f ( x )以8为周期， 所以 f ( x )在[6，8]上的图象和在[－2，0]上的图象相同，即单调递增，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19. (2024·福建莆田模拟)已知 f ( x )是R上的偶函数，且 f ( x )＝若关于 x 的方程2[ f ( x )]2－ af ( x )＝0有三个不相等的实 数根，则 a 的取值范围为 ⁠. (0，2]∪[3，4]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 如图所示， ∈(0，1]∪ ，即 a ∈(0，2]∪[3，4]. 由方程2[ f ( x )]2－ af ( x )＝0得 f ( x )＝0或 f ( x )＝ . 因为 f ( x )是R上的偶函数， f (0)＝0，所以只需当 x ＞0时， f ( x )＝ 有唯 一解即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 20. (2024·山东济南模拟)若平面直角坐标系内 A ， B 两点满足：(1)点 A ， B 都在 f ( x )的图象上；(2)点 A ， B 关于原点对称，则称点对( A ， B ) 是函数 f ( x )的一个“和谐点对”，( A ， B )与( B ， A )可看作一个“和谐点 对”.已知函数 f ( x )＝则 f ( x )的“和谐点对”有 个. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 作出函数 y ＝ x 2＋2 x ( x ＜0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部 分)，看它与函数 y ＝ ( x ≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交 点个数为2，即 f ( x )的“和谐点对”有2个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [C组　高考新动向] 21. 对实数 a 与 b ，定义新运算ⓧ： a ⓧ b ＝设函数 f ＝ ⓧ ，若函数 y ＝ f － c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是(　A　) A A. ∪ B. C. ∪ D. ∪ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 令 － ≤1，解得－1≤ x ≤ ， 所以 f ( x )＝ 当 x ＝ 时， x － x 2＝－ ， x 2－2＝ ； 当 x ＝－1时， x － x 2＝－2， x 2－2＝－1； 作出函数 f ( x )的图象，如图， 若 y ＝ f ( x )－ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点， 即直线 y ＝ c 与函数 f ( x )的图象恰有两个交点，数形结合可得实数 c 的取 值范围是(－∞， ∪ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 $$