第2章 第5节 对数运算与对数函数-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第五节　对数运算与对数函数 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 [学习要求]　1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般 对数转化成自然对数或常用对数.　2.通过具体实例，了解对数函数的概 念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解 对数函数的单调性与特殊点.　3.知道对数函数 y ＝log ax 与指数函数 y ＝ ax ( a ＞0，且 a ≠1)互为反函数. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点一　对数与对数运算 1. 对数的概念 一般地，如果 a ( a ＞0，且 a ≠1)的 b 次幂等于 N ，即 ⁠，那么 数 b 称为以 为底 的对数，记作 .其中 a 叫作对 数的 数， N 叫作 数. 以10为底的对数叫作常用对数，记作 ⁠. 以e为底的对数叫作自然对数，记作 ⁠. ab ＝ N 　 a 　 N 　 log aN ＝ b 　 底　 真　 lg N 　 ln N 　 2. 对数的性质与运算性质 (1)对数的性质 log a 1＝ ，log aa ＝ ， ＝ ( a ＞0，且 a ≠1， N ＞0). (2)对数的运算性质( a ＞0，且 a ≠1， M ＞0， N ＞0) ①log a ( MN )＝ ⁠； ②log a ＝ ⁠； ③log aMn ＝ ( n ∈R). 0　 1　 N 　 log aM ＋log aN 　 log aM －log aN 　 ③ n log aM 　 (3)对数的重要公式 ①换底公式： ( a ＞0，且 a ≠1； b ＞0； c ＞0，且 c ≠1)； ②log ab ＝ . log ab ＝ 　 知识点二　对数函数的图象与性质 a ＞1 0＜ a ＜1 图象 定义域 ⁠ 值域 R (0，＋∞)　 a ＞1 0＜ a ＜1 性质 过定点 ，即 x ＝ 时， y ＝ ⁠ 当 x ＞1时， ⁠； 当0＜ x ＜1时， ⁠ 当 x ＞1时， ⁠； 当0＜ x ＜1时， ⁠ 在(0，＋∞)上是 ⁠函数 在(0，＋∞)上是 ⁠函数 增　 减　 (1，0)　 1　 0　 y ＞0　 y ＜0　 y ＜0　 y ＞0　 知识点三　反函数 　指数函数 y ＝ ax ( a ＞0，且 a ≠1)与对数函数 y ＝log ax ( a ＞0，且 a ≠1)互 为反函数，它们的图象关于直线 对称. y ＝ x 　 [小题诊断] 1. 求值：2log510－log54＝(　C　) A. 1 B. log516 C. 2 D. log596 2log510－log54＝log5100－log54＝log525＝2. C 2. 若函数 f ( x )＝log a ( x ＋2)＋2( a ＞0，且 a ≠1)的图象恒过点 M ，则点 M 的坐标为(　B　) A. (－1，3) B. (－1，2) C. (－2，2) D. (－2，3) ∵当 x ＝－1时， f (－1)＝log a (－1＋2)＋2＝2，与 a 的值无关，∴点 M 的坐标为(－1，2). B 3. 给出三个数 a ＝ ， b ＝ ， c ＝log3 ，则它们的大小顺序为(　D　) A. b ＜ c ＜ a B. b ＜ a ＜ c C. c ＜ a ＜ b D. c ＜ b ＜ a 因为 a ＝ ＞1，0＜ b ＝ ＜1， c ＝log3 ＜0，所以 c ＜ b ＜ a . D 4. (易错题)函数 y ＝lo (－ x 2＋ x ＋6)的单调增区间为(　A　) A. B. C. (－2，3) D. 由－ x 2＋ x ＋6＞0，解得－2＜ x ＜3，故函数的定义域为(－2，3)，令 t ＝－ x 2＋ x ＋6，则 y ＝lo t ，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数 t ＝－ x 2＋ x ＋6在(－2，3)上的减区间.利用二次函数的性质可得 t ＝－ x 2＋ x ＋6在定义域(－2，3)上的减区间为 . A 关键能力　重点探究 考点一　对数式的化简与求值 (1)(2024·山东德州模拟)已知2 a ＝7 b ＝ k ，若 ＋ ＝1，则 k 的值为(　A　) A A. 28 B. C. 14 D. 例1 ∵2 a ＝7 b ＝ k ， ∴ a ＝log2 k ， b ＝log7 k ，∴ ＝log k 2， ＝log k 7， ∴ ＋ ＝2log k 2＋log k 7＝log k 28＝1， ∴ k ＝28. (2)(2024·天津模拟)计算log332·log49－log2 ＋log26的值为 ⁠； 原式＝log325· 32－log2 ＋log26＝5log32·log23－log2 ＋log26 ＝5－log2 ＋log26＝5＋log2 ＝5＋log28＝8. (3)(2024·辽宁沈阳模拟)已知lg a ＋ b ＝－2， ab ＝10，则 a ＝ ⁠. 由题设 b ＝log a 10＝ ，则lg a ＋ ＝－2且 a ＞0，所以lg2 a ＋2lg a ＋1＝(lg a ＋1)2＝0，即lg a ＝－1，故 a ＝ . 8　 　 对数运算的一般思路 1. 将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. 2. 将同底对数的和、差、倍合并. 3. ab ＝ N ⇔ b ＝log a N ( a >0，且 a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效 方法，在运算中应注意互化. 4. 利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式. 方法总结 1. (2024·山东淄博模拟)设 p ＞0， q ＞0，满足log4 p ＝log6 q ＝log9(2 p ＋ q )，则 ＝ 　 　. 令log4 p ＝log6 q ＝log9(2 p ＋ q )＝ k ，则 p ＝4 k ， q ＝6 k ，2 p ＋ q ＝9 k ， 所以2 p ＋ q ＝2·4 k ＋6 k ＝9 k ，整理得2· ＋ ＝1，解得 ＝ (负 值舍去)，所以 ＝ ＝ ＝ . 　 跟踪训练 2. 计算： ＋eln 3＋lo －log34·log23＝ ⁠. 原式＝ ＋3－ ·log2 －2log32·log23＝ ＋3－ －2＝3. 3　 3. 已知 a ＞ b ＞1，若log ab ＋log ba ＝ ， ab ＝ ba ，则 a ＝ ， b ＝ ⁠. 设log ba ＝ t ，则 t ＞1，因为 t ＋ ＝ ， 所以 t ＝2，则 a ＝ b 2.又 ab ＝ ba ， 所以 b 2 b ＝ ，即2 b ＝ b 2. 又 a ＞ b ＞1，解得 b ＝2， a ＝4. 4　 2　 考点二　对数函数的图象及应用 (1)(2024·河北石家庄模拟)已知函数 f ( x )＝ x ＋ ， x ∈(2，8)， 当 x ＝ m 时， f ( x )有最小值 n .则在平面直角坐标系中，函数 g ( x )＝lo ｜ x ＋ n ｜的图象是(　A　) A 例2 ∵ x ∈(2，8)，∴ x －2＞0， ∴ f ( x )＝ x －2＋ ＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当 x －2＝ ， 即 x ＝3时取等号，∴ m ＝3， n ＝4. 则函数 g ( x )＝lo ｜ x ＋4｜的图象在(－4，＋∞)上单调递减，在(－∞，－4)上单调递增，观察选项可知，A符合. (2)(2024·河南濮阳模拟)已知 a ＞0且 a ≠1，函数 y ＝ ax 的图象如图所示， 则函数 f ( x )＝log a (－ x ＋1)的部分图象大致为(　D　) D 由函数 y ＝ ax 的图象可判断出 a ＞1. 当 a ＞1时， y ＝log ax 的图象经过定点(1，0)，且为增函数. 因为 y ＝log ax 与 y ＝log a (－ x )的图象关于 y 轴对称， 所以 y ＝log a (－ x )的图象经过定点(－1，0)，为减函数. 而 f ( x )＝log a (－ x ＋1)可以看作 y ＝log a (－ x )的图象向右平移1个单位长度得到的. 所以 f ( x )＝log a (－ x ＋1)的图象经过定点(0，0)，为减函数. (3)当0＜ x ≤ 时，4 x ＜log ax ，则 a 的取值范围是(　B　) A. B. C. (1， ) D. ( ，2) 易知0＜ a ＜1，函数 y ＝4 x 与 y ＝log ax 的大致图象如图， 则由题意可知只需满足log a ＞ ， 解得 a ＞ ， ∴ ＜ a ＜1. B 利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧 1. 对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其 单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想. 2. 对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利 用数形结合法求解. 方法总结 4. (2024·广东佛山模拟)已知函数 f ( x )＝｜ln x ｜，若0＜ a ＜ b ，且 f ( a )＝ f ( b )，则 a ＋2 b 的取值范围是 ⁠. f ( x )＝｜ln x ｜的图象如图， 因为 f ( a )＝ f ( b )， 所以｜ln a ｜＝｜ln b ｜. 因为0＜ a ＜ b ， 所以ln a ＜0，ln b ＞0，所以0＜ a ＜1， b ＞1， 所以－ln a ＝ln b ，所以ln a ＋ln b ＝ln( ab )＝0， (3，＋∞)　 跟踪训练 所以 ab ＝1，则 b ＝ ，所以 a ＋2 b ＝ a ＋ . 令 g ( x )＝ x ＋ (0＜ x ＜1)， 则 g ( x )在(0，1)上单调递减， 所以 g ( x )＞ g (1)＝1＋2＝3， 所以 a ＋2 b ＞3， 所以 a ＋2 b 的取值范围为(3，＋∞). 考点三　对数函数的性质及应用 ◉角度(一)　比较大小 (1)(2024·重庆质检)已知 a ＝ ， b ＝log420， c ＝log312，则 a ， b ， c 的大小关系是(　D　) A. b ＜ c ＜ a B. a ＜ c ＜ b C. b ＜ a ＜ c D. a ＜ b ＜ c D 例3 因为 a ＝ ＝ ∈(0，1)， b ＝log420＝1＋log45＞1， c ＝log312＝1＋log34＞1，所以 a ＜ b ， a ＜ c . 下面比较log45和log34的大小. log45－log34＝ － ＝ ≤ ＝ ＜0， 所以log45＜log34，即 b ＜ c .综上， a ＜ b ＜ c . (2)(多选)(2024·广东惠州模拟)若6 a ＝2，6 b ＝3，则(　ABD　) A. ＞1 B. ab ＜ C. a 2＋ b 2＜ D. b － a ＞ 因为6 b ＝3，6 a ＝2，所以 b ＝log63， a ＝log62，则 a ＋ b ＝1， 选项A， ＝ ＝log23＞log22＝1，故A正确； ABD 选项C，因为 a 2＋ b 2＝( a ＋ b )2－2 ab ＝1－2 ab ＞1－2× ＝ ， 故C错误； 选项D，因为5( b － a )＝5log6 ＝log6 ＞log66＝1，故D正确. 选项B，因为 a ＋ b ＝log63＋log62＝log66＝1，且 a ＞0， b ＞0， a ≠ b ， 所以 ab ＜ ＝ ，故B正确； 比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 学借助“1”“0”等中间量进行比较 方法总结 ◉角度(二)　解对数不等式 (2024·福建福州模拟)已知函数 f ( x )是定义在R上的偶函数.当 x≤ 0时， f ( x )单调递减，则不等式 f (lo (2 x －5))＞ f (log38)的解集为(　C　) C 例4 A. B. C. D. 因为函数 f ( x )是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以 可将 (2 x －5))＞ f (log38)化为 ＞｜log38｜，即 log3(2 x －5)＞log38或log3(2 x －5)＜－log38＝log3 ， 即2 x －5＞8或0＜2 x －5＜ ，解得 x ＞ 或 ＜ x ＜ . 对数不等式(组)的求解常利用对数函数的单调性，在对数的底数不确定的情况下，要注意分类讨论. 方法总结 5. (多选)设 x ， y ， z 为正实数，且log2 x ＝log3 y ＝log5 z ＞0，则 ， ， 的大小关系可能是(　ACD　) A. ＜ ＜ B. ＜ ＜ C. ＝ ＝ D. ＜ ＜ ACD 跟踪训练 取 x ＝2，则由log2 x ＝log3 y ＝log5 z ，得 y ＝3， z ＝5，此时易知 ＝ ＝ ，选项C可能成立.取 x ＝4，则由log2 x ＝log3 y ＝log5 z得 y ＝9， z ＝25，此时易知 ＜ ＜ ，选项A可能成立.取 x ＝ ，则由log2 x ＝log3 y ＝log5 z得 y ＝ ， z ＝ ，此时易知 ＜ ＜ ，选项D可能成立.设log2 x ＝ log3 y ＝log5 z＝ k ，则 x ＝2 k ， y ＝3 k ， z ＝5 k ，所以 ＝2 k －1， ＝3 k －1， ＝5 k －1，无论 k 取何值， ＜ ＜ 均不成立，即选项B不可能成立. 6. (2024·北京模拟)已知函数 f ( x )＝log2 x －( x －1)2，则不等式 f ( x )＜0的 解集为(　B　) A. (－∞，1)∪(2，＋∞) B. (0，1)∪(2，＋∞) C. (1，2) D. (1，＋∞) B 在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，可得不等式 f ( x )＜0 的解集为(0，1)∪(2，＋∞). 由题意，不等式 f ( x )＜0，即log2 x －( x －1)2＜0， 等价于log2 x ＜( x －1)2在(0，＋∞)上的解， 令 g ( x )＝log2 x ， h ( x )＝( x －1)2，则不等式为 g ( x )＜ h ( x )， 考点四　对数函数性质的综合应用 (1)(2024·河南开封模拟)已知函数 f ( x )＝log a (6－ ax )( a ＞0，且 a ≠1)在(0，2)上单调递减，则实数 a 的取值范围是(　A　) A. (1，3] B. (1，3) C. (0，1) D. (1，＋∞) 令 t ( x )＝6－ ax ，因为 a ＞0， 所以 t ( x )＝6－ ax 为减函数. 又由函数 f ( x )＝log a (6－ ax )在(0，2)上单调递减，可得函数 t ( x )＝6－ ax ＞0在(0，2)上恒成立，且 a ＞1，故有解得1＜ a ≤3. A 例5 (2)(2024·河南郑州模拟)设函数 f ( x )＝ln｜ x ＋3｜＋ln｜ x －3｜，则 f ( x ) (　A　) A. 是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B. 是奇函数，且在(－3，3)上单调递减 C. 是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D. 是偶函数，且在(－3，3)上单调递增 A 函数 g ( x )的单调区间由图象(图略)可知， 当 x ∈(－∞，－3)， x ∈(0，3)时， g ( x )单调递减，当 x ∈(－3，0)， x ∈(3，＋∞)时， g ( x )单调递增，由复合函数单调性同增异减得单调区间. 由 f (－ x )＝ln｜(－ x )2－9｜＝ln｜ x 2－9｜＝ f ( x )得 f ( x )为偶函数. 函数 f ( x )的定义域为{ x ｜ x ≠±3}， f ( x )＝ln｜ x ＋3｜＋ln｜ x －3｜＝ln｜ x 2－9｜. 令 g ( x )＝｜ x 2－9｜，则 f ( x )＝ln[ g ( x )]， 对数型复合函数的单调性问题的求解策略 1. 对于 y ＝log a f ( x )型的复合函数的单调性，有以下结论：函数 y ＝log a f( x )的单调性与函数 u ＝ f ( x )( f ( x )>0)的单调性在 a >1时相同，在0< a <1 时相反. 2. 研究 y ＝ f (log a x)型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令 t ＝ log a x，则只需研究 t ＝log a x及 y ＝ f ( t )的单调性即可. 方法总结 7. 已知 f ( x )＝ .若 f ( x )在(1，＋∞)上单调递减，求 a 的取值范围. 解：令 u ( x )＝ x 2－ ax ＋5 a ， ∵ y ＝ u ( x )为减函数， ∴ u ( x )＝ x 2－ ax ＋5 a 在(1，＋∞)上单调递增， ∴解得－ ＜ a ≤2，∴ a 的取值范围是 . 跟踪训练 课时作业　巩固提升 [A组　基础保分练] 1. 计算 ＋log25－log210的值为(　D　) A. －10 B. －8 C. 10 D. 8 ＋log25－log210＝(36 ＋log2 ＝9－1＝8. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2. (2024·辽宁沈阳模拟)已知 a ＝log2.57， b ＝log415， c ＝ ，则下列 判断正确的是(　D　) A. a ＜ b ＜ c B. b ＜ a ＜ c C. c ＜ b ＜ a D. b ＜ c ＜ a 因为 a ＝log2.57＞log2.52.52＝2， b ＝log415＜log416＝2， c ＝ ＝2， 所以 b ＜ c ＜ a . D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3. (2024·四川攀枝花模拟)已知 a ＝ ， b ＝log2 ， c ＝log3 ，则 a ， b ， c 的大小关系为(　A　) A. a ＞ b ＞ c B. a ＞ c ＞ b C. b ＞ a ＞ c D. c ＞ b ＞ a ∵ ＞30＝1， ＝log2 ＜log2 ＜log22＝1，log3 ＝ ，∴ a ＞ b ＞ c . A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4. 已知函数 f ( x )＝ln( －2 x )－1，则 f (lg 3)＋ f ＝(　D　) A. －1 B. 0 C. 2 D. －2 ∵ f (－ x )＝ln( ＋2 x )－1＝ln －1＝ －ln( －2 x )－1， ∴ f (－ x )＋ f ( x )＝－2，∴ f (lg 3)＋ f ＝ f (lg 3)＋ f (－lg 3)＝－2. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5. (多选)函数 y ＝log a ( x ＋ c )( a ， c 为常数，其中 a ＞0，且 a ≠1)的图象 如图所示，则下列结论成立的是(　BC　) A. a ＞1 B. 0＜ c ＜1 C. 0＜ a ＜1 D. c ＞1 由图象可知0＜ a ＜1， 令 y ＝0得log a ( x ＋ c )＝0， x ＋ c ＝1， x ＝1－ c ， 由图象知0＜1－ c ＜1，∴0＜ c ＜1. BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6. (多选)已知函数 f ( x )＝ln(e2 x ＋1)－ x ，则(　ACD　) A. f (ln 2)＝ln B. f ( x )是奇函数 C. f ( x )在(0，＋∞)上单调递增 D. f ( x )的最小值为ln 2 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 当 x ＞0时， y ＝e x ＋e－ x 在(0，＋∞)上单调递增， 因此 y ＝ln(e x ＋ )在(0，＋∞)上单调递增，C正确； 由于 f ( x )在(0，＋∞)上单调递增，又 f ( x )为偶函数， 所以 f ( x )在(－∞，0]上单调递减，所以 f ( x )的最小值为 f (0)＝ln 2，D正确. f (ln 2)＝ln(e2ln 2＋1)－ln 2＝ln ，A正确； f ( x )＝ln(e2 x ＋1)－ x ＝ln(e2 x ＋1)－ln e x ＝ln ＝ln(e x ＋e－ x )， 所以 f (－ x )＝ln(e x ＋ )＝ f ( x )，所以 f ( x )为偶函数，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7. (多选)已知函数 f ( x )＝ln ，下列说法正确的是(　ACD　) A. f ( x )为奇函数 B. f ( x )为偶函数 C. f ( x )在 上单调递减 D. f ( x )的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) f ( x )＝ln ，令 ＞0，解得 x ＞ 或 x ＜－ ， ∴ f ( x )的定义域为 ∪ . ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 又 f (－ x )＝ln ＝ln ＝ln ＝－ln ＝－ f ( x )， ∴ f ( x )为奇函数，故A正确、B错误. 又 f ( x )＝ln ＝ln ， 令 t ＝1＋ ， t ＞0且 t ≠1，∴ y ＝ln t ， 又 t ＝1＋ 在 上单调递减，且 y ＝ln t 为增函数， ∴ f ( x )在 上单调递减，故C正确； ∴ y ＝ln t 的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8. (2024·河南南阳模拟)若函数 f ( x )＝｜log ax ｜(0＜ a ＜1)在区间( a ， 3 a －1)上单调递减，则实数 a 的取值范围是 ⁠. 由于 f ( x )＝｜log ax ｜(0＜ a ＜1)的单调递减区间是(0，1]，所以有0＜ a ＜3 a －1≤1，解得 ＜ a ≤ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9. 已知函数 f ( x )＝log a (－ x ＋1)( a ＞0，且 a ≠1)在[－2，0]上的值域是 [－1，0]，则实数 a ＝ ；若函数 g ( x )＝ ax ＋ m －3的图象不经过第一 象限，则实数 m 的取值范围为 ⁠. 当 a ＞1时， f ( x )＝log a (－ x ＋1)在[－2，0]上单调递减， ∴无解；当0＜ a ＜1时， f ( x )＝log a (－ x ＋1)在 [－2，0]上单调递增， 　 [－1，＋∞)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ∴解得 a ＝ . ∵ g ( x )＝ －3的图象不经过第一象限，∴ g (0)＝ －3≤0， 解得 m ≥－1，即实数 m 的取值范围是[－1，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10. 已知函数 f ( x )＝log2(－ x 2＋2 mx ＋ n )有意义时 x 的取值范围为(－1，3)，其中 m ， n 为实数. (1)求 m ， n 的值； 解：因为log2(－ x 2＋2 mx ＋ n )有意义时 x 的取值范围为(－1，3)， 所以－ x 2＋2 mx ＋ n ＞0的解集为(－1，3)， 所以－1和3是方程－ x 2＋2 mx ＋ n ＝0的两根. 由根与系数的关系可得解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)写出函数 f ( x )的单调区间，并求函数 f ( x )的最大值. 解：由(1)知， f ( x )＝log2(－ x 2＋2 x ＋3)， 令 t ＝－ x 2＋2 x ＋3， x ∈(－1，3)， 因为 y ＝log2 t 为增函数，且 t ＝－ x 2＋2 x ＋3， x ∈(－1，3)在(－1，1]上 单调递增，在[1，3)上单调递减， 所以函数 f ( x )在(－1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减，所以当 x ＝1时， f ( x )取得最大值2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11. 设 f ( x )＝log a (1＋ x )＋log a (3－ x )( a ＞0，且 a ≠1)，且 f (1)＝2. (1)求实数 a 的值及 f ( x )的定义域； 解：∵ f (1)＝2，∴log a 4＝2( a ＞0，且 a ≠1)， ∴ a ＝2.由得－1＜ x ＜3， ∴函数 f ( x )的定义域为(－1，3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)求 f ( x )在区间 上的最大值. 解： f ( x )＝log2(1＋ x )＋log2(3－ x ) ＝log2[(1＋ x )(3－ x )]＝log2[－( x －1)2＋4]， ∴当 x ∈[0，1]时， f ( x )单调递增； 当 x ∈ 时， f ( x )单调递减， 故函数 f ( x )在 上的最大值是 f (1)＝log24＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [B组　能力提升练] 12. (2024·安徽黄山模拟)“ a ＜1”是“函数 f ( x )＝log2[(1－ a ) x －1]在区间 (1，＋∞)上单调递增”的(　C　) A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 则需使 u ＝(1－ a ) x －1是(1，＋∞)上的增函数且 u ＞0， 则1－ a ＞0且1－ a －1≥0，解得 a ≤0. 因为(－∞，0]⫋(－∞，1)，故 a ＜1是 a ≤0的必要不充分条件. 令 u ＝(1－ a ) x －1， y ＝log2 u ， 若 f ( x )＝log2[(1－ a ) x －1]在(1，＋∞)上单调递增. 因为 y ＝log2 u 是(1，＋∞)上的增函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13. (2024·内蒙古赤峰模拟)已知函数 f ( x )＝－ x ＋log2(4 x ＋4)，若方程 f ( x )＝ b 有解，则实数 b 的取值范围是(　C　) A. (－∞，log25) B. (－∞，log25] C. [2，＋∞) D. (－∞，2) f ( x )＝－ x ＋log2(4 x ＋4)＝log22－ x ＋log2(4 x ＋4) ＝log2(2 x ＋4·2－ x ) ＝log2 ≥log24＝2 ， ∴ b ≥2. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14. (2024·重庆模拟)设函数 f ( x )的定义域为 D ，若满足：① f ( x )在 D 内是单调增函数；②存在[ m ， n ]⊆ D ( n ＞ m )，使得 f ( x )在[ m ， n ]上的值域为[ m ， n ]，那么就称 y ＝ f ( x )是定义域为 D 的“成功函数”.若函数 g ( x )＝log a ( a 2 x ＋ t )( a ＞0且 a ≠1)是定义域为R的“成功函数”，则 t 的取值范围是(　A　) A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 因为 g ( x )＝log a ( a 2 x ＋ t )是定义在R上的“成功函数”，所以 g ( x )为增函 数，且 g ( x )在[ m ， n ]上的值域为[ m ， n ]，故 g ( m )＝ m ， g ( n )＝ n ， 即 g ( x )＝ x 有两个不相同的实数根. 又log a ( a 2 x ＋ t )＝ x ，即 a 2 x － ax ＋ t ＝0. 令 s ＝ ax ， s ＞0，即 s 2－ s ＋ t ＝0有两个不同的正数根， 可得解得0＜ t ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15. (多选)已知函数 f ( x )＝e x ＋ x －2的零点为 a ，函数 g ( x )＝ln x ＋ x －2 的零点为 b ，则下列不等式中成立的是(　BC　) A. e a ＋ln b ＞2 B. e a ＋ln b ＝2 C. a ＋ b ＝2 D. ab ＞1 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 在同一坐标系中分别绘出函数 y ＝e x ， y ＝ln x ， y ＝2－ x 的图象， 因为函数 f ( x )＝e x ＋ x －2的零点为 a ，函数g ( x )＝ln x ＋ x －2的零点为 b ， 令 f ( x )＝0， g ( x )＝0，则e x ＝2－ x ，ln x ＝2－ x ， 所以 A ( a ，e a )， B ( b ，ln b )，解方程组得 因为函数 y ＝e x 与 y ＝ln x 互为反函数， 所以由反函数性质知 A ( a ，e a )， B ( b ，ln b )关于(1，1)对称， 则 a ＋ b ＝2，e a ＋ln b ＝2，所以 ab ≤ ＝1， 当且仅当 a ＝ b ＝1时，等号成立，所以A，D错误，B，C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16. (多选)已知函数 f ( x )＝－log2 x ，下列说法正确的是(　ABD　) A. 函数 f (｜ x ｜)为偶函数 B. 若 f ( a )＝｜ f ( b )｜，其中 a ＞0， b ＞0， a ≠ b ，则 ab ＝1 C. 函数 f (－ x 2＋2 x )在(1，3)上单调递增 D. 若0＜ a ＜1，则｜ f (1＋ a )｜＜｜ f (1－ a )｜ 对于A， f (｜ x ｜)＝－log2｜ x ｜， f (｜－ x ｜)＝－log2｜－ x ｜＝－log2｜ x ｜＝ f (｜ x ｜)， 所以函数 f (｜ x ｜)为偶函数，故A正确； ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 对于B，若 f ( a )＝｜ f ( b )｜，其中 a ＞0， b ＞0， a ≠ b ，则 f ( a )＝｜ f ( b )｜＝－ f ( b )，－log2 a ＝log2 b ，即log2 a ＋log2 b ＝log2 ab ＝0，得 ab ＝1，故B正确； 对于C，函数 f (－ x 2＋2 x )＝－log2(－ x 2＋2 x )，由－ x 2＋2 x ＞0，解得0＜ x ＜2，所以函数 f (－ x 2＋2 x )的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，故C错误； 对于D，因为0＜ a ＜1，所以1＋ a ＞1＞1－ a ＞0，0＜1－ a 2＜1，所以 f (1＋ a )＜0＜ f (1－ a )，故｜ f (1＋ a )｜－｜ f (1－ a )｜＝｜－log2(1＋ a )｜－｜－log2(1－ a )｜＝log2(1＋ a )＋log2(1－ a )＝log2(1－ a 2)＜0，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17. 已知函数 f ( x )＝log a (8－ ax )( a ＞0，且 a ≠1)，若 f ( x )＞1在区间[1，2]上恒成立，则实数 a 的取值范围是 .⁠ 当 a ＞1时， f ( x )＝log a (8－ ax )在[1，2]上是减函数，由 f ( x )＞1在区间 [1，2]上恒成立， 得 f ( x )min＝ f (2)＝log a (8－2 a )＞1， 即8－2 a ＞ a ，且8－2 a ＞0，解得1＜ a ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 当0＜ a ＜1时， f ( x )在[1，2]上是增函数， 由 f ( x )＞1在区间[1，2]上恒成立， 得 f ( x )min＝ f (1)＝log a (8－ a )＞1， 且8－2 a ＞0. ∴8－ a ＜ a ，且8－2 a ＞0，此时解集为⌀. 综上可知，实数 a 的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18. (2024·云南曲靖模拟)我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定 次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度， 我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续 对折了，一张长边为 w 、厚度为 x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则 经过两次对折，长边变为 w ，厚度变为4 x .在理想情况下，对折次数 n 有下列关系： n ≤ log2 (注：lg 2≈0.3)，根据以上信息，一张长为21 cm，厚度为0.05 mm的纸最多能对折 次. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 由题知， n ≤ log24 200＝ ＝ . 因为log210＝ ≈ ， 0＜log2 ＜1，所以 n ≤8＋ log2 ， n 的最大值为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [C组　高考新动向] 19. (多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度 量声音的强弱，定义声压级 Lp ＝20×lg ，其中常数 p 0( p 0＞0)是听觉 下限阈值， p 是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分 别为 p 1， p 2， p 3，则(　ACD　) ACD A. p 1≥ p 2 B. p 2＞10 p 3 C. p 3＝100 p 0 D. p 1≤100 p 2 由题意知20×lg ＝40，即lg ＝2，所以 p 3＝100 p 0，故C正确. 由题意知 ≥ ，所以20×lg ≥20×lg ，所以 p 1≥ p 2，故A正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ＝20×lg ∈[50，60]，所以 ≤lg ≤3， 所以 p 2∈[1 p 0，103 p 0]，即 p 2≤103 p 0＝10 p 3，故B错误. 所以3≤lg ≤ ， 所以 p 1∈[103 p 0，1 p 0]. 因为100 p 2∈[1 p 0，105 p 0]， 所以 p 1≤100 p 2，故D正确. ＝20×lg ∈[60，90]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20. (2024·江西南昌模拟)法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成 就很高的一位，人们将“2 p －1( p 为素数)”形式的素数称为“梅森素数”， 目前仅发现51个“梅森素数”，可以估计，267－1这个“梅森素数”的位数 为(参考数据：lg 2≈0.301)(　C　) A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 依题意，lg(267－1)≈lg 267＝67lg 2≈67×0.301＝20.167，∴267－1≈1020.167， ∴267－1这个“梅森素数”的位数为21位. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 $$