第2章 第4节 指数运算与指数函数-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第四节　指数运算与指数函数 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 [学习要求]　1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，了解指 数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.　2.通过具体实例，了解指数 函数的实际意义，理解指数函数的概念.　3.能用描点法或借助计算工具 画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点一　幂的运算 1. 指数与指数运算 根式的性质 (1)( ) n ＝ a ( a 使 有意义). (2)当 n 为奇数时， ＝ ⁠； 当 n 为偶数时， ＝ ＝ a 　 ｜ a ｜　 2. 分数指数幂的意义 分数指 数幂 正数的正分数指数幂 规定： ＝ ( a ＞0， m ， n ∈N＋， n ＞1) 正数的负分数指数幂 规定： ＝ ＝ ( a ＞0， m ， n ∈N＋， n ＞1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指 数幂 ⁠ 没有意义　 3. 有理数指数幂的运算性质 (1) aras ＝ ( a ＞0， r ， s ∈Q). (2)( ar ) s ＝ ars ( a ＞0， r ， s ∈Q). (3)( ab ) r ＝ ( a ＞0， b ＞0， r ∈Q). 4. 无理数指数幂 一般地，给定正数 a ，对于任意的正无理数α，可以定义一个实数 a α， 自然地，规定 a －α＝ . ar ＋ s 　 arbr 　 知识点二　指数函数的定义、图象和性质 1. 定义 给定正数 a ，且 a ≠1时，对于任意的实数 x ，都有 ⁠的 正数 y ＝ ax 与之对应，因此 y ＝ ax 是一个定义在实数集上的函数， 称为指数函数. 唯一确定　 2. 图象和性质 底数 a ＞1 0＜ a ＜1 图象 性质 定义域为 ，值域为 ⁠ 图象过定点 ⁠ 当 x ＞0时， y ＞1；当 x ＜0时， 0＜ y ＜1 当 x ＞0时，0＜ y ＜1；当 x ＜0 时， y ＞1 在(－∞，＋∞)上为 ⁠ 在(－∞，＋∞)上为 ⁠ R　 (0，＋∞)　 (0，1)　 增函数　 减函数　 [小题诊断] 1. (多选)下列运算正确的是(　ABC　) A. ＝π－3 B. e2 x ＝(e x )2 C. ＝ a － b D. ＝ · 对于A，因为 ＝｜3－π｜＝π－3，所以A正确； 对于B，因为e2 x ＝(e x )2成立，所以B正确； 对于C，因为 ＝ a － b 成立，所以C正确； 对于D，当 a ＜0且 b ＜0时， 和 无意义，所以D错误. ABC 2. 函数 y ＝1－2 x ， x ∈[0，1]的值域是(　B　) A. [0，1] B. [－1，0] C. D. 由指数函数的性质可得 f ( x )＝2 x 是递增函数，当 x ∈[0，1]时， f (0)≤ f ( x )≤ f (1)，即1≤2 x ≤2， ∴－2≤－2 x ≤－1，∴－1≤1－2 x ≤0，∴函数 y ＝1－2 x ， x ∈[0，1]的值域为[－1，0]. B 3. (易错题)若函数 f ( x )＝ ，则 f ( x )的单调递减区间是(　B　) A. (－∞，2] B. [2，＋∞) C. [－2，＋∞) D. (－∞，－2] 将原函数看成复合函数 f ( u )＝ ， u ＝｜ x －2｜， f ( u )是关于 u 的减 函数， u 在[2，＋∞)上为增函数，在(－∞，2]上为减函数，由复合函数 的性质知， f ( x )的单调递减区间是[2，＋∞). B 4. (易错题)已知函数 f ( x )＝ ax ( a ＞0，且 a ≠1)在[－1，1]上恒有 f ( x )＜2，则实数 a 的取值范围为 ⁠. 当 a ＞1时， f ( x )在[－1，1]上是增函数.因为函数 f ( x )在[－1，1]上恒有 f ( x )＜2，所以 f (1)＜2，所以 a ＜2，所以1＜ a ＜2.当0＜ a ＜1时， f ( x )在[－1，1]上是减函数.因为函数 f ( x )在[－1，1]上恒有 f ( x )＜2，所以 f (－1)＜2，所以 ＜2，即 a ＞ ，所以 ＜ a ＜1.综上所述，实数 a 的取值范围是 ∪(1，2). ∪(1，2)　 关键能力　重点探究 考点一　根式、指数式的化简与求值 (1)(2024·浙江杭州模拟)化简 ( a ＞0， b ＞0)的结果是 (　B　) B A. B. C. D. ＝ ＝ ＝ ab －1＝ . 例1 (2)已知 ＋ ＝3，则 a ＋ a －1＝ ， a 2＋ a －2＝ ⁠. ∵ ＋ ＝3，∴ ＝ a ＋2＋ a －1＝9， ∴ a ＋ a －1＝7， ∴( a ＋ a －1)2＝ a 2＋2＋ a －2＝49， ∴ a 2＋ a －2＝47. 7　 47　 指数幂运算的一般原则 1. 有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算. 2. 先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. 3. 底数是负数的，先确定符号；底数是小数的，先化成分数.底数是带 分数的，先化成假分数. 4. 若是根式，则化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数 幂的运算性质来解答. 方法总结 1. ＋ ＋(23 × × ＝(　B　) A. π B. 2＋π C. 4－π D. 6－π ＋ ＋(23 × × ＝ ＋π－2＋4× ＝2＋π. B 跟踪训练 2. 计算： · ＝ 　 　( a ＞0， b ＞0). 原式＝ ＝ . 　 3. 若 ＋ ＝3，则 ＝ 　 　. 由 ＋ ＝3，两边平方，得 x ＋ x －1＝7，再平方得 x 2＋ x －2＝47， ∴ x 2＋ x －2－2＝45. ∵ ＋ ＝ ＋ ＝( ＋ )( x －1＋ x －1)＝3×(7－1)＝18， ∴ ＝ . 　 考点二　指数函数的图象及应用 (2024·广东深圳质检)若直线 y ＝2 a 与函数 y ＝｜ ax －1｜( a ＞0且 a ≠1)的图象有两个交点，则 a 的取值范围是 ⁠. y ＝｜ ax －1｜的图象是由 y ＝ ax 的图象先向下平移1个单位长度， 再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，且保持 x 轴上及其上方的图象 不变得到的. 　 例2 当0＜ a ＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2 a ＜1，即0＜ a ＜ . 综上可知， a 的取值范围是 . 当 a ＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不符合题意； 应用指数函数图象的3个技巧 1. 画指数函数 y ＝ ax ( a >0，且 a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1， a )，(0，1)，(－1， ). 2. 已知函数解析式判断函数图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足，则排除. 3. 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到相应函数的图象.当底数 a 与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论. 方法总结 4. (2024·吉林长春模拟)已知函数 f ( x )＝( x － a )·( x － b )(其中 a ＞ b )的图 象如图所示，则函数 g ( x )＝ ax ＋ b 的图象是(　A　) A 跟踪训练 由图象可知， b ＜－1，0＜ a ＜1， 所以函数 g ( x )＝ ax ＋ b 是减函数， g (0)＝1＋ b ＜0，所以选项A符合. 5. 函数 f ( x )＝(e ax － b )2的大致图象如图，则实数 a ， b 的取值只可能是 (　C　) A. a ＞0， b ＞1 B. a ＞0，0＜ b ＜1 C. a ＜0， b ＞1 D. a ＜0，0＜ b ＜1 C 且 x →＋∞， u →＋∞， f ( x )→＋∞，与图象不符，若 a ＜0， u ＝e ax － b 为减函数， 且 x →＋∞， u →－ b ， f ( x )→ b 2，与图象相符，所以 a ＜0，当 f ( x )＝0 时，e ax ＝ b ， 结合图象可知，此时 x ＜0，所以 ax ＞0， 则e ax ＞e0＝1，所以 b ＞1. 若 a ＞0，则 u ＝e ax － b 为增函数， 考点三　指数函数的性质及应用 ◉角度(一)　比较指数式的大小或解不等式 (1)设 a ＝0.60.6， b ＝0.61.5， c ＝1.50.6，则 a ， b ， c 的大小关系是 (　C　) A. a ＜ b ＜ c B. a ＜ c ＜ b C. b ＜ a ＜ c D. b ＜ c ＜ a C 例3 ∵1.50.6＞1.50＝1，0.60.6＜0.60＝1，故1.50.6＞0.60.6， 又函数 y ＝0.6 x 在R上是减函数，且1.5＞0.6， ∴0.61.5＜0.60.6，故0.61.5＜0.60.6＜1.50.6. 即 b ＜ a ＜ c . (2)(2024·上海模拟)不等式 ＜ 的解集为 ⁠. 函数 y ＝2 x 在R上单调递增，则 ＜ ⇔ ＜2－3( x －1)⇔ x 2－2 x －3＜－3( x －1)， 即 x 2＋ x －6＜0，解得－3＜ x ＜2， 所以原不等式的解集为(－3，2). (－3，2)　 方法总结 1. 比较两个指数幂大小时，尽量化为同底或同指，当底数相同，指 数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数 不同时，构造同一幂函数，利用图象比较大小. 2. 有关指数不等式问题，应注意" a"的取值，及结合指数函数的性 质求解. ◉角度(二)　与指数函数有关的函数值域问题 (2024·湖北武汉模拟)函数 f ( x )＝ a 2 x ＋ ax ＋1( a ＞0，且 a ≠1)在 [－1，1]上的最大值为13，求实数 a 的值. [解]　由 f ( x )＝ a 2 x ＋ ax ＋1， 令 ax ＝ t ，则 t ＞0， 则 y ＝ t 2＋ t ＋1＝ ＋ ， 其对称轴为 t ＝－ . 该二次函数在 上单调递增. 例4 ①若 a ＞1，由 x ∈[－1，1]，得 t ＝ ax ∈ ，故当 t ＝ a ，即 x ＝1时， y max＝ a 2＋ a ＋1＝13，解得 a ＝3或 a ＝－4(舍去). ②若0＜ a ＜1，由 x ∈[－1，1]， 得 t ＝ ax ∈ ，故当 t ＝ ，即 x ＝－1时， y max＝ ＋ ＋1＝13， 解得 a ＝ 或 a ＝－ (舍去). 综上可得， a ＝3或 . 　　形如 y ＝ a 2 x ＋ b · ax ＋ c ( a >0，且 a ≠1)型函数最值问题多用换元 法，即令 t ＝ ax 转化为 y ＝ t 2＋ bt ＋ c 的最值问题，注意根据指数函数 求 t 的范围. 方法总结 6. 不等式10 x －6 x －3 x ≥1的解集为 ⁠. 由10 x －6 x －3 x ≥1，可得 ＋ ＋ ≤1. 令 f ( x )＝ ＋ ＋ ， ∵ y ＝ ， y ＝ ， y ＝ 均为R上单调递减函数， ∴ f ( x )在R上单调递减，且 f (1)＝1， ∴ f ( x )≤ f (1)， ∴ x ≥1， 故不等式10 x －6 x －3 x ≥1的解集为[1，＋∞). [1，＋∞)　 跟踪训练 7. 函数 y ＝ － ＋1在区间[－3，2]上的值域是 　 　. 因为 x ∈[－3，2]，所以若令 t ＝ ，则 t ∈ ， 故 y ＝ t 2－ t ＋1＝ ＋ . 当 t ＝ 时， y min＝ ； 当 t ＝8时， y max＝57. 故所求函数值域为 . 　 8. 若函数 f ( x )＝ 的值域是 ，则 f ( x )的单调递增区间是 ⁠. ∵ y ＝ 是减函数，且 f ( x )的值域是 ，∴ t ＝ ax 2＋2 x ＋3有最 小值2， 则 a ＞0且 ＝2，解得 a ＝1， 因此 t ＝ x 2＋2 x ＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故 f ( x )的单调递增区 间是(－∞，－1]. (－∞，－1]　 课时作业　巩固提升 [A组　基础保分练] 1. (2024·湖南衡阳模拟)若2 x ＝7，2 y ＝6，则4 x － y ＝(　D　) A. B. C. D. 2 x ＝7，2 y ＝6，则4 x － y ＝22 x －2 y ＝ ＝ . D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2. 若 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ，则(　C　) A. c ＜ a ＜ b B. c ＜ b ＜ a C. a ＜ c ＜ b D. b ＜ a ＜ c 指数函数 y ＝ 为减函数，所以 ＞ ，即 b ＞ c .幂函数 y ＝ 在区间(0，＋∞)上为增函数，所以 ＜ ，即 a ＜ c .因此 a ＜ c ＜ b . C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 3. (2024·四川成都模拟)要得到函数 y ＝ 的图象，只需将指数函 数 y ＝ 的图象(　D　) A. 向左平移1个单位长度 B. 向右平移1个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 由 y ＝ ＝ 向右平移 个单位长度，则 y ＝ ＝ . D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4. (2024·山东枣庄模拟)对任意实数 a ＞1，函数 y ＝( a －1 ＋1的图 象必过定点 A ( m ， n )， f ( x )＝ 的定义域为[0，2]， g ( x )＝ f (2 x )＋ f ( x )，则 g ( x )的值域为(　C　) A. (0，6] B. (0，20] C. [2，6] D. [2，20] C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 由解得 x ∈[0，1]， g ( x )＝ f (2 x )＋ f ( x )＝ ＋2 x . 令 t ＝2 x ，则 y ＝ t 2＋ t ， t ∈[1，2]， 所以 g ( x )的值域为[2，6]. 令 x －1＝0得 x ＝1， y ＝2，即函数图象必过定点(1，2)， 所以 m ＝1， n ＝2，所以 f ( x )＝ ＝2 x ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 5. 已知函数 f ( x )＝ ＋ b 的图象不经过第一象限，则实数 b 的取值 范围是(　C　) A. (－∞，－1) B. (－∞，－1] C. (－∞，－2] D. (－∞，－2) ∵函数 f ( x )＝ ＋ b 为减函数，且图象不经过第一象限，∴ f (0)＝2 ＋ b ≤0，即 b ≤－2. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 6. (2024·福建三明模拟)已知函数 f ( x )＝4 x ＋ a ·2 x 在区间[2，＋∞)上单调 递增，则实数 a 的取值范围为(　C　) A. [－4，＋∞) B. (－∞，－4] C. [－8，＋∞) D. (－∞，－8] 设 t ＝2 x ，则 t 是关于 x 的增函数，由 x ≥2可知 t ≥4.由题意可知，函数 y ＝ t 2＋ at 在区间[4，＋∞)上单调递增，结合 y ＝ t 2＋ at 的单调递增区间为 可知，－ ≤4，则 a ≥－8. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7. (多选)(2024·福建福州模拟)已知实数 a ， b 满足等式2 023 a ＝2 024 b ， 下列等式可以成立的是(　ABD　) A. a ＝ b ＝0 B. a ＜ b ＜0 C. 0＜ a ＜ b D. 0＜ b ＜ a 如图，观察易知， a ＜ b ＜0或0＜ b ＜ a 或 a ＝ b ＝0. ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8. (多选)(2024·广东广州模拟)已知函数 y ＝ ，则下列说法正 确的是(　ABD　) A. 定义域为R B. 值域为(0，2] C. 在[－2，＋∞)上单调递增 D. 在[－2，＋∞)上单调递减 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ∵ x 2＋4 x ＋3＝( x ＋2)2－1≥－1， ∴0＜ ≤2，故函数 y ＝ 的值域为(0，2]，B正确； ∵ y ＝ 在R上是减函数， u ＝ x 2＋4 x ＋3在(－∞，－2]上是减函数， 在[－2，＋∞)上是增函数， ∴函数 y ＝ 在[－2，＋∞)上单调递减，C错误，D正确. 函数 y ＝ 的定义域为R，A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9. (多选)已知函数 f ( x )＝ ，则下列结论中正确的是(　BD　) A. f ( x )的定义域为R B. f ( x )是奇函数 C. f ( x )在定义域上是减函数 D. f ( x )无最小值，无最大值 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 对于B，函数 f ( x )的定义域关于原点对称，且 f (－ x )＝ ＝－ f ( x )，故 f ( x )是奇函数，故B正确； 对于C， f ( x )＝ ＝ ＝1＋ ， 故函数 f ( x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递减， 当 x →－∞时， f ( x )→－1， x →0－时， f ( x )→－∞， x →0＋时， f ( x )→＋∞， x →＋∞时， f ( x )→1， 所以 f ( x )在定义域上不是减函数，故C错误； 对于D，由选项C的分析可知，函数 f ( x )的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，无最小值，无最大值，故D正确. 对于A，由e x －e－ x ≠0，解得 x ≠0， 故 f ( x )的定义域为{ x ｜ x ≠0}，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10. 已知函数 f ( x )＝2｜ x －2｜－1在区间[0， m ]上的值域为[0，3]，则实数 m 的取值范围为 ⁠. 函数 f ( x )＝2｜ x －2｜－1图象的对称轴为直线 x ＝2，且 f ( x )在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增.由函数 f ( x )＝2｜ x －2｜－1在区间[0， m ]上的值域为[0，3]且函数图象关于直线 x ＝2对称，故 f (0)＝ f (4)＝3， f (2)＝0知，2≤ m ≤4. [2，4]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11. 函数 y ＝2｜ x －1｜在区间( k －1， k ＋1)内不单调，求实数 k 的取值范围为 ⁠. 令 t ＝｜ x －1｜，则 y ＝2 t .因为 y ＝2｜ x －1｜在区间( k －1， k ＋1)内不单调，所以 t ＝｜ x －1｜在区间( k －1， k ＋1)内不单调.又因为 t ＝｜ x －1｜在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以 k －1＜1＜ k ＋1，解得0＜ k ＜2. (0，2)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 12. 已知定义域为R的函数 f ( x )＝－ ＋ ，则关于 t 的不等式 f ( t 2－2 t )＋ f (2 t 2－1)＜0的解集为 ⁠. 由题意知 f ( x )是奇函数，且在R上为减函数， 所以 f ( t 2－2 t )＋ f (2 t 2－1)＜0， 可化为 f ( t 2－2 t )＜－ f (2 t 2－1)＝ f (1－2 t 2). 所以 t 2－2 t ＞1－2 t 2，解得 t ＞1或 t ＜－ . 即不等式的解集为 ∪(1，＋∞). ∪(1，＋∞)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 13. 已知函数 f ( x )＝2｜2 x － m ｜( m 为常数)，若 f ( x )在区间[2，＋∞)上是增 函数，求 m 的取值范围. 解：令 t ＝｜2 x － m ｜，则 t ＝｜2 x － m ｜在区间 上单 调递增，在区间 上单调递减. 而 y ＝2 t 为R上的增函数， 所以要使函数 f ( x )＝2｜2 x － m ｜在[2，＋∞)上单调递增，则有 ≤2， 即 m ≤4， 所以 m 的取值范围是(－∞，4]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [B组　能力提升练] 14. (2024·河北沧州模拟)已知 f ( x )是定义在R上的奇函数，对任意正数 x ， y ，都有 f ( xy )＝ f ( x )＋ f ( y )－ ，且 f ＝0，当 x ＞ 时， f ( x )＞0，则不等式e f ( x )－1＞1的解集为(　B　) A. (2，＋∞) B. ∪(2，＋∞) C. ∪(2，＋∞) D. ∪(2，＋∞) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 令 x ＝ y ＝1，则 f (1)＝2 f (1)－ ， 即 f (1)＝ ， 令 x ＝2， y ＝ ，则 f (1)＝ f (2)＋ f － ， 又 f ＝0，则 f (2)＝1， 不妨取任意正数 x 2＞ x 1＞0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 f ( x 2)－ f ( x 1)＝ f － f ( x 1)＝ f ＋ f ( x 1)－ － f ( x 1)＝ f － ＝ f ＋ f － ＝ f . ∵ ＞ ，∴ f ＞0，即 f ( x 2)＞ f ( x 1)， ∴ f ( x )在区间(0，＋∞)上单调递增， 又 f ( x )是定义在R上的奇函数，故 f ( x )在区间(－∞，0)上单调递增， 令 x ＝ y ＝ ，则 f ＝2 f － ＝－ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 令 x ＝ ， y ＝ ，则 f ＝ f ＋ f － ＝－1， ∴ f ＝－ f ＝1. 又∵e f ( x )－1＞1＝e0，即 f ( x )＞1，由 f ＝1和 f (2)＝1，结合函数单调性可以得到 x ＞2或－ ＜ x ＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 15. (2024·安徽合肥模拟)若0＜ b ＜ a ＜1，则 ab ， ba ， aa ， bb 中最大的是(　A　) A. ab B. ba C. aa D. bb ∵0＜ b ＜ a ＜1，∴指数函数 y ＝ ax 和 y ＝ bx 均为减函数，∴ ab ＞ aa ， ba ＜ bb ，∵幂函数 y ＝ xb 在(0，＋∞)上为增函数，∴ ab ＞ bb ，即 ab ， ba ， aa ， bb 中最大的是 ab . A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16. (多选)(2024·河北唐山模拟)已知 a ＞ b ＞0，且 ab ＝4，则(　ACD　) A. 2 a － b ＞1 B. log2 a －log2 b ＞1 C. 2 a ＋2 b ＞8 D. log2 a ·log2 b ＜1 a ＞ b ＞0，且 ab ＝4. 对于A， a － b ＞0，所以2 a － b ＞20＝1，故A正确； 对于B，取 a ＝ ， b ＝ ，所以log2 a －log2 b ＝log2 ＝log2 ＜log22＝1，故B错误； ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 对于C，2 a ＋2 b ≥2 ＝2 ，当且仅当 a ＝ b 时取等号，又因为 a ＋ b ≥2 ＝4，当且仅当 a ＝ b 时取等号，所以2 a ＋2 b ≥2 ≥2 ＝8，当且仅当 a ＝ b 时取等号.因为 a ＞ b ＞0，所以不能取等号，故C正确； 对于D，当 a ＞1＞ b ＞0时，log2 a ＞0，log2 b ＜0，所以log2 a ·log2 b ＜1；当 a ＞ b ＞1时，log2 a ＞0，log2 b ＞0，所以log2 a ·log2 b ≤ ＝ ＝1，当且仅当 a ＝ b 时取等号，因为 a ＞ b ＞0，所以不能取等号，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17. (多选)设函数 f ( x )＝2 x ，对于任意的 x 1， x 2( x 1≠ x 2)，下列命题中正 确的是(　ACD　) A. f ( x 1＋ x 2)＝ f ( x 1)· f ( x 2) B. f ( x 1· x 2)＝ f ( x 1)＋ f ( x 2) C. ＞0 D. f ＜ ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 函数 f ( x )＝2 x 在R上是增函数， 若 x 1＞ x 2，则 f ( x 1)＞ f ( x 2)，则 ＞0， 若 x 1＜ x 2，则 f ( x 1)＜ f ( x 2)，则 ＞0，故C正确； ∵ x 1≠ x 2，∴ ＝ ＞ ＝( ＝ ＝ f ，故D正确. · ＝ ，所以A正确； ＋ ≠ ，所以B不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18. 已知函数 f ( x )＝ 的图象关于点 对称，则 a ＝ ， f ( x )的值域为 ⁠. 依题设 f ( x )＋ f (－ x )＝1， 则 ＋ ＝1， 整理得( a －1)[4 x ＋( a －1)·2 x ＋1]＝0， 所以 a －1＝0，则 a ＝1. 因此 f ( x )＝ ＝1－ . 由于1＋2 x ＞1，∴0＜ ＜1，∴0＜ f ( x )＜1. 1　 (0，1)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19. 若3 q ＋λ·3－ q ≥3，则当λ取得最小值时， q ＝ ⁠. 根据指数函数值域可知3－ q ＞0， 则依题意得λ≥ ＝3 q (3－3 q )，而3 q (3－3 q )≤ ， 当且仅当3 q ＝ ，即 q ＝log3 时等号成立，故 q ＝log3 . log3 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [C组　高考新动向] 20. 高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设 x ∈R，用 表示不超过 x 的最大整数，则 y ＝ 称为高斯函数，也称取整函数，例如： ＝－4， ＝2.已知 f ＝ ，则函数 y ＝ 的值域为 ⁠. ∵ f ＝ ＝ ＝ ＝2－ ， 又∵2 x ＞0，∴2 x ＋1＞1，∴0＜ ＜1， 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ∴－3＜－ ＜0，∴－1＜2－ ＜2， 当－1＜2－ ＜0时， ＝－1，∴ y ＝ 的值域里有－1. 当0≤2－ ＜1时， ＝0， ∴ y ＝ 的值域里有0. 当1≤2－ ＜2时， ＝1， ∴ y ＝ 的值域里有1. 所以 y ＝ 的值域为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21. 德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为 的小正方形，保留靠角的4个，删除其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删除；以此方法继续下去，经过 n 次操作后，若要使保留下来的所有小正方形的面积之和不超过 ，则至少需要操作的次数为 .(lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) 18　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 依题意，第 n 次操作后共保留4 n 个小正方形，其边长为 ， 所以保留下来的所有小正方形面积之和为4 n × ＝ ， 若使得 ≤ ，两边取对数可得 n ≥ ，即 n ≥ ＝ ＝ ≈17.09， 所以至少操作18次. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 $$