第2章 第3节 幂函数与二次函数-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第三节　幂函数与二次函数 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 [学习要求]　1.通过具体实例，理解幂函数的概念.　2.结合函数 y ＝ x ， y ＝ x 2， y ＝ x 3， y ＝ x －1， y ＝ 的图象，理解它们的变化规律.　3.理 解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点一　幂函数 1. 幂函数的定义 一般地，形如 (α为常数)的函数，即 是自变量、 ⁠ 是常数的函数称为幂函数. 2.5个简单幂函数的图象与性质 函数 y ＝ x y ＝ x 2 y ＝ x 3 y ＝ y ＝ x －1 定义域 R R R { x ｜ x ≥0} ⁠ ⁠ 值域 R { y ｜ y ≥0} R ⁠ { y ｜ y ≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 ⁠ y ＝ x α　 底数　 指 数　 { x ｜ x ≠0} { y ｜ y ≥0}　 奇函数　 函数 y ＝ x y ＝ x 2 y ＝ x 3 y ＝ y ＝ x －1 单调性 在R上 单调 递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上 单调 递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和 (0，＋∞)上单 调递减 图象 3. 幂函数的性质 (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义； (2)当α＞0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0， ＋∞)上单调递增； (3)当α＜0时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单 调递减； (4)当α为奇数时， y ＝ x α为 ；当α为偶数时， y ＝ x α为 ⁠ ⁠. (1，1)　 (0，0)　 (1，1)　 奇函数　 偶 函数　 知识点二　二次函数 1. 二次函数解析式的三种形式 一般式： f ( x )＝ ⁠. 顶点式： f ( x )＝ a ( x － m )2＋ n ( a ≠0)，顶点坐标为 ⁠. 零点式： f ( x )＝ a ( x － x 1)( x － x 2)( a ≠0)， x 1， x 2为 f ( x )的 ⁠. ax 2＋ bx ＋ c ( a ≠0)　 ( m ， n )　 零点　 2. 二次函数的图象和性质 f ( x )＝ ax 2＋ bx ＋ c ( a ≠0) a ＞0 a ＜0 图象 定义域 R 值域 f ( x )＝ ax 2＋ bx ＋ c ( a ≠0) a ＞0 a ＜0 单调性 在 上单调递减，在 上单调递增 在 上单调递增， 在 上单调递减　　 奇偶性 b ＝0时为偶函数， b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图象特点 对称轴： x ＝－ ； 顶点： [小题诊断] 1. (2024·福建三明模拟)函数 f ( x )＝ xa ＋ b ，不论 a 为何值， f ( x )的图象 均过点( m ，0)，则实数 b 的值为(　A　) A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 ∵ y ＝ xa 过定点(1，1)，∴ f ( x )＝ xa ＋ b 过定点(1，1＋ b )，结合已知条 件可知1＋ b ＝0，∴ b ＝－1. A 2. 函数 y ＝ x 2－ x ＋1， x ∈[－1，1]的最大值与最小值之和为(　B　) A. 1.75 B. 3.75 C. 4 D. 5 函数 y ＝ x 2－ x ＋1图象的对称轴为直线 x ＝ ，则 y ＝ x 2－ x ＋1在 上单调递减，在 上单调递增，∴ y max＝(－1)2－(－1)＋1＝3， y min＝ － ＋1＝ ， ∴ y max＋ y min＝3＋ ＝3.75. B 3. (多选)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数 y ＝ x α的值域为R，且为奇 函数的α的值为(　BD　) A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 当α＝－1时， y ＝ x －1＝ 为奇函数，但值域为{ y ｜ y ≠0}，不满足 条件； 当α＝1时， y ＝ x 为奇函数，值域为R，满足条件； 当α＝2时， y ＝ x 2为偶函数，值域为{ y ｜ y ≥0}，不满足条件； 当α＝3时， y ＝ x 3为奇函数，值域为R，满足条件. BD 关键能力　重点探究 考点一　幂函数的图象与性质 (1)幂函数 y ＝ xa 中 a 的取值集合 C 是 的子 集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合 C 为(　C　) C A. B. C. D. 例1 a ＝－1时， y ＝ x －1定义域和值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)，符合 题意； a ＝0时， y ＝ x 0定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为 ，故不符合 题意； a ＝ 时， y ＝ 定义域为[0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，符合题意； a ＝1时， y ＝ x 定义域与值域均为R，符合题意； a ＝2时， y ＝ x 2定义域为R，值域为[0，＋∞)，不符合题意； a ＝3时， y ＝ x 3定义域与值域均为R，符合题意. (2)若 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ，则 a ， b ， c 的大小关系是(　D　) A. a ＜ b ＜ c B. c ＜ a ＜ b C. b ＜ c ＜ a D. b ＜ a ＜ c 因为 y ＝ 在第一象限内是增函数，所以 a ＝ ＞ b ＝ .因为 y ＝ 是减函数，所以 a ＝ ＜ c ＝ ，所以 b ＜ a ＜ c . D (3)幂函数 y ＝ f ( x )的图象过点(2， )，则函数 y ＝ x － f ( x )的值域是 (　C　) A. (－∞，＋∞) B. C. D. 设 f ( x )＝ xa ，代入(2， )得2 a ＝ ，所以 a ＝ ，所以 f ( x )＝ ，则 y ＝ x － ，令 t ＝ ， t ≥0，∴ y ＝ t 2－ t ＝ － ≥－ . C 方法总结 1. 对于幂函数图象只要掌握住在第一象限内三条线把第一象限划分为 六个区域，即 x =1， y =1， y ＝ x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α=1，α>1 确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2. 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借 助其单调性进行比较. 1. 已知幂函数 y ＝ ( p ， q ∈Z且 p ， q 互质)的图象关于 y 轴对称，如图 所示，则(　D　) A. p ， q 均为奇数，且 ＞0 B. q 为偶数， p 为奇数，且 ＜0 C. q 为奇数， p 为偶数，且 ＞0 D. q 为奇数， p 为偶数，且 ＜0 D 跟踪训练 因为函数 y ＝ 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调 递减， 所以 ＜0. 因为函数 y ＝ 的图象关于 y 轴对称， 所以函数 y ＝ 为偶函数，即 p 为偶数， 又 p ， q 互质，所以 q 为奇数， 所以选项D正确. 考点二　二次函数的解析式 已知二次函数 f ( x )满足 f (2)＝－1， f (－1)＝－1，且 f ( x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式. 例2 [解]　法一：(利用二次函数的一般式) 设 f ( x )＝ ax 2＋ bx ＋ c ( a ≠0). 由题意得解得 故所求二次函数为 f ( x )＝－4 x 2＋4 x ＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设 f ( x )＝ a ( x － m )2＋ n ( a ≠0). ∵ f (2)＝ f (－1)， ∴抛物线对称轴为 x ＝ ＝ ， ∴ m ＝ .又函数有最大值8， ∴ n ＝8，∴ f ( x )＝ a ＋8. ∵ f (2)＝－1，∴ a ＋8＝－1，解得 a ＝－4， ∴ f ( x )＝－4 ＋8＝－4 x 2＋4 x ＋7. 法三：(利用二次函数的零点式) 由已知得 f ( x )＋1＝0的两根为 x 1＝2， x 2＝－1， 故可设 f ( x )＋1＝ a ( x －2)( x ＋1)( a ≠0)， 即 f ( x )＝ ax 2－ ax －2 a －1. 又函数有最大值8，即 ＝8. 解得 a ＝－4或 a ＝0(舍去)， 故所求函数解析式为 f ( x )＝－4 x 2＋4 x ＋7. 方法总结 求二次函数解析式的策略 2. 已知函数 f ( x )满足下列性质： ①定义域为R，值域为[1，＋∞)； ②在区间(－∞，0)上是减函数； ③图象关于直线 x ＝2对称. 跟踪训练 请写出满足条件的 f ( x )的解析式 ⁠. (写出一个即可) f ( x )＝ x 2－4 x ＋5(答案不唯一) 由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式 f ( x )＝( x －2)2＋1， 此时 f ( x )对称轴为直线 x ＝2，开口向上，满足③. 因为对任意 x 1， x 2∈(－∞，0)，且 x 1≠ x 2，都有 ＜0， 等价于 f ( x )在(－∞，0)上单调递减， 所以 f ( x )＝( x －2)2＋1，满足②. 又 f ( x )＝( x －2)2＋1≥1，满足①. 考点三　二次函数的图象和性质 ◉角度(一)　二次函数的图象 (多选)如图是二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ( a ≠0)图象的一部分，图象过点 A (－3，0)，且对称轴为直线 x ＝－1，则以下选项正确的为(　AD　) AD A. b 2＞4 ac B. 2 a － b ＝1 C. a － b ＋ c ＝0 D. 5 a ＜ b 例3 ∵二次函数的图象与 x 轴有两个交点，∴ b 2－4 ac ＞0，即 b 2＞4 ac ，故 A正确； ∵对称轴为直线 x ＝－ ＝－1，∴ b ＝2 a ，即2 a － b ＝0，故B错误； 由图象可知，当 x ＝－1时， y ＞0，即 a － b ＋ c ＞0，故C错误； 把 x ＝1， x ＝－3代入解析式可得 a ＋ b ＋ c ＝0，9 a －3 b ＋ c ＝0，两式 相加整理可得5 a － b ＝－ c .又当 x ＝0时， y ＝ c ＞0，所以5 a － b ＜0， 故D正确. 方法总结 识别二次函数图象应学会“三看” ◉角度(二)　二次函数的单调性问题 函数 f ( x )＝ ax 2＋( a －3) x ＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数 a 的取值范围是 ⁠. 当 a ＝0时， f ( x )＝－3 x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足条件； 当 a ≠0时， f ( x )的对称轴为 x ＝ ， 由 f ( x )在[－1，＋∞)上单调递减得 解得－3≤ a ＜0. 综上，实数 a 的取值范围为[－3，0]. [－3，0] 例4 方法总结 1. 对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解. 2. 利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次 函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较. ◉角度(三)　二次函数的最值问题 已知函数 f ( x )＝ x 2－2 ax ( a ＞0). (1)当 a ＝3时，解关于 x 的不等式－5＜ f ( x )＜7； [解]　当 a ＝3时，不等式－5＜ f ( x )＜7， 即为－5＜ x 2－6 x ＜7， 即所以 所以－1＜ x ＜1或5＜ x ＜7， 所以原不等式的解集为(－1，1)∪(5，7). 例5 (2)函数 y ＝ f ( x )在[ t ， t ＋2]上的最大值为0，最小值是－4，求实数 a 和 t 的值. [解]　 f (0)＝ f (2 a )＝0，由题意 t ＝0或 t ＋2＝2 a ，这时－ a 2≤ －4，解得 a ≥2， 若 t ＝0，则 t ＋2≤ a ，所以 f ( t ＋2)＝ f (2)＝－4，即4－4 a ＝－4，所以 a ＝2； 若 t ＋2＝2 a ，即 t ＝2 a －2≥ a ， 所以 f ( t )＝－4＝ f (2 a －2)，即(2 a －2)2－2 a (2 a －2)＝－4，解得 a ＝2， 综上， t ＝0， a ＝2或 t ＝2， a ＝2. 方法总结 　　二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区 间的两个端点处，或对称轴处，也可以作出二次函数在该区间上的图 象，由图象来判断最值.解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位 置关系. 3. 设 abc ＞0，则二次函数 f ( x )＝ ax 2＋ bx ＋ c 的图象可能是(　D　) 因为 abc ＞0， 所以在A中， a ＜0， b ＜0， c ＜0，不符合题意； B中， a ＜0， b ＞0， c ＞0，不符合题意； D 跟踪训练 C中， a ＞0， b ＞0， c ＜0，不符合题意； D中， a ＞0， b ＜0， c ＜0，符合题意. 4. (2024·福建福州模拟)已知二次函数 f ( x )＝ ax 2－ x ＋2 a －1.若 f ( x )在区 间[1，2]上单调递减，求 a 的取值范围. 解：当 a ＞0时， f ( x )＝ ax 2－ x ＋2 a －1的图象开口向上，对称轴方程为 x ＝ ， 所以 f ( x )在区间[1，2]上单调递减需满足 ≥2， a ＞0，解得0＜ a ≤ . 当 a ＜0时， f ( x )＝ ax 2－ x ＋2 a －1的图象开口向下，对称轴方程为 x ＝ ＜0， 所以 f ( x )在区间[1，2]上单调递减需满足 a ＜0，综上， a 的取值范围是 (－∞，0)∪ . 5. (2024·福建福州模拟)已知二次函数 f ( x )＝ ax 2－ x ＋2 a －1.若 a ＞0， 设函数 f ( x )在区间[1，2]上的最小值为 g ( a )，求 g ( a )的表达式. 解：①当0＜ ＜1，即 a ＞ 时， f ( x )在区间[1，2]上单调递增，此时 g ( a )＝ f (1)＝3 a －2. ②当1≤ ≤2，即 ≤ a ≤ 时， f ( x )在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，此时 g ( a )＝ f ＝2 a － －1. ③当 ＞2，即0＜ a ＜ 时， f ( x )在区间[1，2]上单调递减， 此时 g ( a )＝ f (2)＝6 a －3. 综上所述， g ( a )＝ 课时作业　巩固提升 [A组　基础保分练] 1. (2024·天津模拟)已知幂函数 f ( x )＝( m 2－3 m ＋3)· xm ＋1为偶函数，则 m ＝(　A　) A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 3 因为 f ( x )＝( m 2－3 m ＋3) xm ＋1为幂函数，所以 m 2－3 m ＋3＝1，解得 m ＝1或 m ＝2.当 m ＝2时， f ( x )＝ x 3，函数 f ( x )不是偶函数，舍去；当 m ＝1时， f ( x )＝ x 2，函数 f ( x )是偶函数. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2. (2024·山东青岛模拟)若幂函数 y ＝ x －1， y ＝ xm 与 y ＝ xn 在第一象限内 的图象如图所示，则 m 与 n 的取值情况为(　D　) A. －1＜ m ＜0＜ n ＜1 B. －1＜ n ＜0＜ m C. －1＜ m ＜0＜ n D. －1＜ n ＜0＜ m ＜1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 对于幂函数 y ＝ x α，当α＞0时， y ＝ x α在(0，＋∞)上为增函数，且0＜α＜1时，图象上凸， ∴0＜ m ＜1；当α＜0时， y ＝ x α在(0，＋∞)上为减函数，不妨令 x ＝2， 根据图象可得2－1＜2 n ，∴－1＜ n ＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3. (2024·新疆阿勒泰模拟)已知函数 f ( x )＝ g ( x )＝ f (－ x )， 则函数 g ( x )的图象大致是(　B　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 因为 g ( x )＝ f (－ x )，所以 g ( x )图象与 f ( x )的图象关于 y 轴对称， 由 f ( x )解析式，作出 f ( x )的图象如图所示. 从而可得 g ( x )图象为B选项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4. (2024·广东汕头期末)“函数 f ( x )＝－ x 2＋2 mx 在区间[1，3]上不单调” 的一个必要不充分条件是(　C　) A. 2 m ＜3 B. m C. 1 m ＜3 D. 2 m 由题意知，函数 f ( x )图象的对称轴是直线 x ＝ m ，则1＜ m ＜3.结合选项 可知，函数 f ( x )＝－ x 2＋2 mx 在区间[1，3]上不单调的一个必要不充分 条件是1 m ＜3. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5. (多选)(2024·江苏南京模拟)若函数 f ( x )＝ ，且 x 1＜ x 2，则(　AC　) A. ( x 1－ x 2)( f ( x 1)－ f ( x 2))＞0 B. x 1－ f ( x 1)＞ x 2－ f ( x 2) C. f ( x 1)－ x 2＜ f ( x 2)－ x 1 D. ＞ f 由幂函数的性质知， f ( x )＝ 在R上单调递增. 因为 x 1＜ x 2，所以 f ( x 1)＜ f ( x 2)，即 x 1－ x 2＜0， f ( x 1)－ f ( x 2)＜0， 所以( x 1－ x 2)( f ( x 1)－ f ( x 2))＞0，故A正确； AC 令 x 1＝0， x 2＝1，则0－ f (0)＝1－ f (1)＝0，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 令 g ( x )＝ f ( x )＋ x ＝ ＋ x ，则 由函数单调性的性质知， f ( x )＝ 在R上单调递增， y ＝ x 在R上 单调递增， 所以 g ( x )＝ f ( x )＋ x ＝ ＋ x 在R上单调递增. 因为 x 1＜ x 2，所以 g ( x 1)＜ g ( x 2)，即 f ( x 1)＋ x 1＜ f ( x 2)＋ x 2，于是有 f ( x 1)－ x 2＜ f ( x 2)－ x 1，故C正确； 令 x 1＝－1， x 2＝1，则 ＝0， 所以 ＝ f (0)＝0，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6. (多选)对于任意的 x ∈R，[ x ]表示不超过 x 的最大整数.十八世纪， y ＝ [ x ]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取 整函数”，则下列结论中正确的是(　ACD　) A. 对于任意的 x ∈R， x ＜[ x ]＋1 B. y ＝[ x ]， x ∈R的图象关于原点对称 C. 函数 y ＝ x －[ x ]( x ∈R)， y 的取值范围为[0，1) D. 对于任意的 x ， y ∈R，[ x ]＋[ y ]≤[ x ＋ y ]恒成立 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 对于B，当0≤ x ＜1时， y ＝[ x ]＝0，当－1＜ x ＜0时， y ＝[ x ]＝－1，所 以 y ＝[ x ]， x ∈R不是奇函数，故B错误； 对于C，因为 x －1＜[ x ]≤ x ，所以0≤ x －[ x ]＜1，所以 y ＝ x －[ x ]( x ∈R)的值域为[0，1)，故C正确； 对于D，对于任意的 x ， y ∈R，设 x ＝[ x ]＋{ x }， y ＝[ y ]＋{ y }，若 0≤{ x }＋{ y }＜1，则[ x ＋ y ]＝[ x ]＋[ y ]；若1≤{ x }＋{ y }＜2，则[ x ＋ y ]＝[ x ]＋[ y ]＋1，则[ x ]＋[ y ]≤[ x ＋ y ]，故D正确. 对于A，由定义知[ x ]≤ x ＜[ x ]＋1， 所以∀ x ∈R， x ＜[ x ]＋1，故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7. (多选)已知函数 f ( x )＝ x α的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有 (　ACD　) A. 函数 f ( x )为增函数 B. 函数 f ( x )为偶函数 C. 若 x ＞1，则 f ( x )＞1 D. 若0＜ x 1＜ x 2，则 ＜ f 将点(4，2)代入函数 f ( x )＝ x α，得2＝4α，则α＝ ，所以 f ( x )＝ . 显然 f ( x )在定义域[0，＋∞)上为增函数，A正确； ACD 因为 f ( x )的定义域为[0，＋∞)，所以 f ( x )不具有奇偶性，B不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 当 x ＞1时， ＞1，即 f ( x )＞1，C正确； 当0＜ x 1＜ x 2时， － ＝ － ， ＝ － ＝ ＝－ ＜0， 即 ＜ f 成立，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8. 已知函数 f ( x )为幂函数，且 f (4)＝ ，则当 f ( a )＝4 f ( a ＋3)时，实数 a ＝ ⁠. 设 f ( x )＝ x α，则4α＝ ，所以α＝－ . 因此 f ( x )＝ ，从而 ＝4( a ＋3 ，解得 a ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9. 已知 f ( x )＝ ax 2－2 x (0≤ x ≤1)，求 f ( x )的最小值. 解：(1)当 a ＝0时， f ( x )＝－2 x 在[0，1]上单调递减， ∴ f ( x )min＝ f (1)＝－2. (2)当 a ＞0时， f ( x )＝ ax 2－2 x 图象开口方向向上，且对称轴为 x ＝ . ①当 ≤1，即 a ≥1时， f ( x )＝ ax 2－2 x 图象的对称轴在[0，1]内，∴ f ( x ) 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴ f ( x )min＝ f ＝ － ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ②当 ＞1，即0＜ a ＜1时， f ( x )＝ ax 2－2 x 图象的对称轴在[0，1]的右 侧，∴ f ( x )在[0，1]上单调递减， ∴ f ( x )min＝ f (1)＝ a －2. (3)当 a ＜0时， f ( x )＝ ax 2－2 x 的图象的开口方向向下，且对称轴 x ＝ ＜0，在 y 轴的左侧， ∴ f ( x )＝ ax 2－2 x 在[0，1]上单调递减， ∴ f ( x )min＝ f (1)＝ a －2.综上所述， f ( x )min＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10. 已知幂函数 f ( x )＝ ( m 为正整数)的图象关于 y 轴对称，且 在(0，＋∞)上是严格减函数，求满足 ＞ 的实数 a 的 取值范围. 解：因为函数 f ( x )在(0，＋∞)上是严格减函数，所以 m 2－2 m －3＜0， 解得－1＜ m ＜3. 由 m 为正整数，则 m ＝1或 m ＝2. 又函数 f ( x )的图象关于 y 轴对称，得 f ( x )是偶函数， 而当 m ＝2时，22－2×2－3＝－3， f ( x )＝ x －3为奇函数，不符合题意， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 当 m ＝1时，12－2×1－3＝－4， f ( x )＝ x －4为偶函数，于是 m ＝1. 因为 y ＝ 为奇函数，在(－∞，0)与(0，＋∞)上均为严格减函数， 所以( a ＋1 ＞(3－2 a 等价于 a ＋1＜3－2 a ＜0或3－2 a ＞ a ＋1＞0 或 a ＋1＞0＞3－2 a ， 解得－1＜ a ＜ 或 a ＞ ， 即 a ∈ ∪ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [B组　能力提升练] 11. (2024·安徽合肥质检)已知函数 f ( x )＝－2 x 2＋ bx ＋ c ，不等式 f ( x )＞ 0的解集为(－1，3).若对任意的 x ∈[－1，0]， f ( x )＋ m ≥4恒成立，则 m 的取值范围是(　B　) A. (－∞，2] B. [4，＋∞) C. [2，＋∞) D. (－∞，4] B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 因为 f ( x )＞0的解集为(－1，3)，故－2 x 2＋ bx ＋ c ＝0的两个根为－1，3，所以即令 g ( x )＝ f ( x )＋ m ，则 g ( x )＝－2 x 2＋4 x ＋6＋ m ＝－2( x －1)2＋8＋ m ，由 x ∈[－1，0]可得 g ( x )min＝ m . 又 g ( x )≥4在[－1，0]上恒成立，故 m ≥4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12. (2024·江苏如皋模拟)已知函数 f ( x )＝2 x 2－ ax ＋1， x ∈[－1， a ]， 且 f ( x )最大值为 f ( a )，则实数 a 的取值范围为(　C　) A. (－∞，－4] B. (－∞，－1]∪[2，＋∞) C. [2，＋∞) D. [－4，＋∞) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 函数 f ( x )＝2 x 2－ ax ＋1图象的对称轴方程为 x ＝ ，当－1＜ a ≤0时，易 得函数在[－1， a ]上单调递减，所以函数 f ( x )的最大值为 f (－1)，不满 足条件.当 a ＞0时，要使 f ( x )的最大值为 f ( a )，则 f ( a )≥ f (－1)，即2 a 2－ a 2＋1≥2＋ a ＋1，解得 a ≤－1(舍)或 a ≥2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13. (多选)已知幂函数 f ( x )的图象经过点 ， P ( x 1， y 1)， Q ( x 2， y 2)( x 1＜ x 2)是函数图象上的任意不同两点，则结论中正确的有(　BC　) A. x 1 f ( x 1)＞ x 2 f ( x 2) B. x 1 f ( x 2)＜ x 2 f ( x 1) C. ＞ D. ＜ BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 设幂函数为 f ( x )＝ x α，则有 ＝2－3α＝ ＝ ，解得α＝ ，所以 f ( x )＝ ( x ≥0).由其图象知图象上的点与原点连线的直线的斜率随 x 增大而减小，即 ＜ ， x 1 f ( x 2)＜ x 2 f ( x 1)，所以B，C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14. (多选)已知函数 f ( x )是定义在R上的偶函数，当 x ≥0时， f ( x )＝ x 2－ 4 x ，则下列选项正确的是(　ACD　) A. 函数 f ( x )的值域为[－4，＋∞) B. f ( x )的零点有4个 C. 不等式 f ( x ＋2)＜5的解集为(－7，3) D. 方程｜ f ( x )｜＝4的根有4个 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 对于A，由于函数 f ( x )是偶函数，所以其图象关于 y 轴对称，当 x ≥0时， f ( x )＝ x 2－4 x ≥－4，故函数 f ( x )的值域为[－4，＋∞)，故A正确；对于B，当 x ≥0时，由 f ( x )＝ x 2－4 x ＝0，得 x ＝0或 x ＝4.由于函数 f ( x )为偶函数，故 f ( x )还有一个零点 x ＝－4， f ( x )的零点有3个，故B错误；对于C，当 x ≥0时，由 f ( x )＝ x 2－4 x ＜5，得0≤ x ＜5；当 x ＜0时，根据偶函数图象的对称性知不等式 f ( x )＜5的解集为{ x ｜－5＜ x ＜0}，所以不等式 f ( x )＜5的解集为{ x ｜－5＜ x ＜5}，所以不等式 f ( x ＋2)＜5的解集为{ x ｜－5＜ x ＋2＜5}＝{ x ｜－7＜ x ＜3}，故C正确；作出函数 y ＝｜ f ( x )｜的图象(图略)，易得方程｜ f ( x )｜＝4的根有4个，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15. 已知二次函数 f ( x )的图象经过点(4，3)，且图象被 x 轴截得的线段长 为2，并且对任意 x ∈R，都有 f (2－ x )＝ f (2＋ x )，则 f ( x )的解析为 ⁠ ⁠. ∵ f (2＋ x )＝ f (2－ x )对任意 x ∈R恒成立， ∴ f ( x )图象的对称轴为直线 x ＝2. 又∵ f ( x )的图象被 x 轴截得的线段长为2， ∴ f ( x )＝0的两根为1和3. f ( x )＝ x 2－4 x ＋3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ∴3 a ＝3，∴ a ＝1， ∴所求函数的解析式为 f ( x )＝( x －1)( x －3)， 即 f ( x )＝ x 2－4 x ＋3. 设 f ( x )的解析式为 f ( x )＝ a ( x －1)( x －3)( a ≠0)，∵ f ( x )的图象过点(4，3)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16. 若函数φ( x )＝ x 2＋ m ｜ x －1｜在[0，＋∞)上单调递增，则实数 m 的 取值范围是 ⁠. 当0≤ x ＜1时，φ( x )＝ x 2－ mx ＋ m ，此时φ( x )单调递增，所以 ≤0，即 m ≤0； 当 x ≥1时，φ( x )＝ x 2＋ mx － m ，此时φ( x )单调递增，所以－ ≤1，即 m ≥－2. 综上，实数 m 的取值范围是[－2，0]. [－2，0]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17. 已知 x 1， x 2是一元二次方程4 kx 2－4 kx ＋ k ＋1＝0的两个实数根. (1)是否存在实数 k ，使得(2 x 1－ x 2)( x 1－2 x 2)＝－ 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 解：假设存在实数 k ，使得(2 x 1－ x 2)( x 1－2 x 2)＝－ 成立， ∵ x 1， x 2是一元二次方程4 kx 2－4 kx ＋ k ＋1＝0的两个实数根， ∴ 解得 k ＜0(不要忽略判别式的要求)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 由根与系数的关系得 ∴(2 x 1－ x 2)( x 1－2 x 2)＝2( ＋ )－5 x 1 x 2＝2( x 1＋ x 2)2－9 x 1 x 2＝－ ＝－ ， 解得 k ＝ ，又 k ＜0， ∴不存在实数 k ，使得(2 x 1－ x 2)( x 1－2 x 2)＝－ 成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)求使 ＋ －2的值为整数的实数 k 的整数值. 解：∵ ＋ －2＝ －2＝ －4＝ －4＝－ ， ∴要使其值是整数，只需要 k ＋1能被4整除， 故 k ＋1＝±1，±2，±4，即 k ＝0，－2，1，－3，3，－5. ∵ k ＜0，∴ k ＝－2，－3，－5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [C组　高考新动向] 18. 定义：如果在函数 y ＝ f ( x )的定义域内的给定区间[ a ， b ]上存在 x 0 ( a ＜ x 0＜ b )，满足 f ( x 0)＝ ，则称函数 y ＝ f ( x )是[ a ， b ]上的 平均值函数， x 0是它的一个均值点，如 y ＝ x 4是[－1，1]上的平均值函 数，0就是它的均值点.现有函数 f ( x )＝－ x 2＋ mx ＋1是[－1，1]上的平 均值函数，求实数 m 的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解：因为函数 f ( x )＝－ x 2＋ mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，设 x 0为 均值点，所以 ＝ m ＝ f ( x 0)，即关于 x 0的方程－ ＋ mx 0＋1＝ m 在(－1，1)上有实数根，解方程得 x 0＝1或 x 0＝ m －1，所以必有－1＜ m －1＜1，即0＜ m ＜2，所以实数 m 的取值范围是(0，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $$