第2章 第2节 第2课时 函数的奇偶性与周期性-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第二节　函数的基本性质 第二课时　函数的奇偶性与周期性 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 [学习要求]　1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.　2.会运用基本初等 函数的图象分析函数的奇偶性.　3.了解函数周期性、最小正周期的含 义，会判断、应用简单函数的周期性. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点一　函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数 f ( x )的定义域是 A ，如果对任意的 x ∈ A ，都有－ x ∈ A ，且 ⁠，那么 称函数 f ( x )为偶函数 关于 ⁠ 对称 奇函数 一般地，设函数 f ( x )的定义域是 A ，如果对任意的 x ∈ A ，都有－ x ∈ A ，且 ⁠，那 么称函数 f ( x )为奇函数 关于 ⁠ ⁠对称 f (－ x )＝ f ( x )　 y轴 f (－ x )＝－ f ( x )　 原点 知识点二　函数的周期性 1. 周期函数 一般地，对于函数 y ＝ f ( x )， x ∈ D ，如果存在一个非零常数 T ，使得对 任意的 x ∈ D ，都有 x ＋ T ∈ D ，且满足 ，那么函数 y ＝ f ( x )称作周期函数，非零常数 T 称作这个函数的 ⁠. 2. 最小正周期 如果在周期函数 y ＝ f ( x )的所有周期中存在一个 ⁠的正数，那么 这个 就称作函数 y ＝ f ( x )的最小正周期. f ( x ＋ T )＝ f ( x )　 周期　 最小　 最小正数　 3. 函数周期性的3个常用结论 对于 f ( x )定义域内任一自变量的值 x ，若 f ( x ＋ a )＝－ f ( x )，则 T ＝2 a ( a ＞0)；若 f ( x ＋ a )＝ ，则 T ＝2 a ( a ＞0)；若 f ( x ＋ a )＝－ ，则 T ＝2 a ( a ＞0). [小题诊断] 1. (多选)设函数 f ( x )， g ( x )的定义域都为R，且 f ( x )是奇函数， g ( x )是 偶函数，则下列结论中正确的有(　BC　) A. f ( x ) g ( x )是偶函数 B. ｜ f ( x )｜＋ g ( x )是偶函数 C. f ( x )｜ g ( x )｜是奇函数 D. ｜ f ( x ) g ( x )｜是奇函数 BC ∴｜ f ( x )｜是偶函数，｜ g ( x )｜是偶函数.根据一个奇函数与一个偶函 数的积是奇函数，可得 f ( x )· g ( x )为奇函数， f ( x )｜ g ( x )｜为奇函数， 又｜ f ( x )· g ( x )｜为偶函数，故选项A、选项D错误，选项C正确；由两 个偶函数的和还是偶函数得选项B正确. ∵ f ( x )是奇函数， g ( x )是偶函数， 2. 已知函数 f ( x )是定义在R上的偶函数.当 x ＜0时， f ( x )＝ x 3，则 f (2)的 值是(　B　) A. 8 B. －8 C. D. － 因为函数 f ( x )是定义在R上的偶函数，所以 f (2)＝ f (－2)＝(－2)3＝－8. B 3. 若函数 f ( x )＝2 x 2－｜3 x ＋ a ｜为偶函数，则 a ＝(　D　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 ∵ f ( x )＝2 x 2－｜3 x ＋ a ｜为偶函数， ∴ f (－ x )＝ f ( x )对于任意 x ∈R都成立， ∴ f (－1)＝ f (1)，即2－｜ a －3｜＝2－｜ a ＋3｜，解得 a ＝0. D 4. (易错题)已知定义在R上的偶函数 f ( x )在(－∞，0)上是增函数，则 f ( x )＞ f ( x －1)的解集为 ⁠. ∵ f ( x )为偶函数， f ( x )在(－∞，0)上是增函数，∴ f ( x )在(0，＋∞)上是 减函数. ∵ f ( x )＞ f ( x －1)，∴｜ x ｜＜｜ x －1｜，两边平方得 x 2＜ x 2－2 x ＋1， 解得 x ＜ . 　 关键能力　重点探究 考点一　函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性： (1) f ( x )＝ [解]　法一：函数 f ( x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 对于函数 f ( x )＝ 例1 当 x ＞0， f ( x )＝－ x 2＋2 x ＋1为二次函数，是一条抛物线，开口向下， 对称轴为 x ＝1， 当 x ＜0， f ( x )＝ x 2＋2 x －1为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对 称轴为 x ＝－1， 画出函数 f ( x )＝的图象，如图所示， 函数图象关于原点对称，所以函数 f ( x )为奇函数. 法二(定义法)：当 x ＞0时 f ( x )＝－ x 2＋2 x ＋1， 则－ x ＜0时， f (－ x )＝(－ x )2－2 x －1＝ x 2－2 x －1＝－ f ( x ). 同理可证：当 x ＜0时 f (－ x )＝－ f ( x ). (2) y ＝ ； [解]　法一：先作出 y ＝ 的图象，保留 y ＝ 图象中 x ≥0的部分， 再作出 y ＝ 的图象中 x ＞0部分关于 y 轴的对称部分， 即得 y ＝ 的图象，如图实线部分. 由图知 y ＝ 的图象关于 y 轴对称，所以函数为偶函数. 法二(定义法)： f (－ x )＝ ＝ ＝ f ( x )，∴ f ( x )为偶函数. (3) y ＝ . [解]　将函数 y ＝log2 x 的图象向左平移一个单位长度，再将 x 轴下方的 部分沿 x 轴翻折上去， 即可得到函数 y ＝ 的图象，如图所示， 由图知 y ＝ 的图象既不关于 y 轴对称，也不关于 x 轴对称， 所以函数为非奇非偶函数. 判断函数奇偶性的3种常用方法 1. 定义法 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，若对称，再化简解析式后验证 f (－ x )＝± f ( x )或其等价形式 f (－ x )± f ( x )＝0是否成立； 方法总结 2. 图象法 3. 性质法 设 f ( x )， g ( x )的定义域分别是 D 1， D 2，那么在它们的公共定义域上奇 ＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 注意：分段函数奇偶性的判断，要分别从 x ＞0和 x ＜0来寻找等式 f (－ x )＝ f ( x )或 f (－ x )＝－ f ( x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关 系时，分段函数才具有确定的奇偶性. 1. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　B　) A. y ＝ cos x B. y ＝ C. y ＝lg x D. y ＝ 对于A，函数 y ＝ cos x 的定义域为R，且满足 cos (－ x )＝ cos x ，所以其 为偶函数， 在(0，π)上单调递减，在(π，2π)上单调递增，故A不符合题意； 对于B，设 y ＝ f ( x )＝ ，函数 f ( x )＝ 的定义域为R， 且满足 f (－ x )＝ f ( x )，所以函数 f ( x )＝ 为偶函数， 当 x ∈(0，＋∞)时， f ( x )＝e x 为单调递增函数，故B符合题意； B 跟踪训练 对于C，函数 y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称， 所以函数 y ＝lg x 为非奇非偶函数，故C不符合题意； 对于D，设 y ＝ f ( x )＝ ，函数 f ( x )＝ 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 且满足 f (－ x )＝－ f ( x )，所以函数 f ( x )＝ 为奇函数，又函数 f ( x )在 (0，＋∞)上单调递减，故D不符合题意. 考点二　函数奇偶性的应用 (2023·全国甲卷)若 f ( x )＝( x －1)2＋ ax ＋ sin 为偶函数， 则 a ＝ ⁠. 法一：由题意知 f ( x )的定义域为R， ∵ f ( x )＝( x －1)2＋ ax ＋ sin ＝ x 2＋( a －2) x ＋ cos x ＋1， ∴ f (－ x )＝(－ x )2＋( a －2)(－ x )＋ cos (－ x )＋1＝ x 2－( a －2) x ＋ cos x ＋1. 2　 例2 ∵ f ( x )为偶函数，∴ f ( x )＝ f (－ x )，即 x 2＋( a －2) x ＋ cos x ＋1＝ x 2－ ( a －2) x ＋ cos x ＋1，即( a －2) x ＝－( a －2) x ，∴ a －2＝0，∴ a ＝2. 法二：由题意知 f ( x )的定义域为R. ∵函数 f ( x )是偶函数，∴ f (－1)＝ f (1)， ∴4－ a ＋ cos 1＝ a ＋ cos 1，∴ a ＝2.检验当 a ＝2时，符合题意，∴ a ＝2. 方法总结 1. 利用函数奇偶性可以解决以下问题 求函数值 将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上函数值 求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间 上，再利用奇偶性的定义求出 求解析式中的参数 利用待定系数法求解，根据 f ( x ) ± f (－ x )＝0得到 关于参数的恒等式，由系数的对等性建立方程 (组)，进而得出参数的值 2. 函数奇偶性的几个重要结论 (1)如果一个奇函数 f ( x )在原点处有定义，即 f (0)有意义，那么一定有 f (0)=0； (2)如果函数 f ( x )是偶函数，那么 f ( x )＝ f (| x |); (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f ( x )=0， x ∈ D ，其中定义域 D 是关于原点对称的非空数集； (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2. (2023·新高考Ⅱ卷)若 f ( x )＝( x ＋ a )·ln 为偶函数，则 a ＝(　B　) A. －1 B. 0 C. D. 1 f (－ x )＝(－ x ＋ a )·ln ＝(－ x ＋ a )·ln ＝( x － a )·ln . ∵ f ( x )为偶函数，∴ f ( x )＝ f (－ x )， ∴ x ＋ a ＝ x － a ，即 a ＝0. B 跟踪训练 考点三　函数的周期性 (1)(2024·河南郑州模拟)已知 f ( x )是定义在R上的奇函数，且满足 f ( x ＋1)＝ f (1－ x )，当0＜ x ≤1时， f ( x )＝ln x ，则 f (2 023)＝(　A　) A 例3 A. 0 B. ln 3 C. 1 D. ln 2 因为 f ( x )是定义在R上的奇函数，且满足 f ( x ＋1)＝ f (1－ x )， 所以 f (－ x )＝－ f ( x )， f ( x )＝ f (2－ x )， 则 f (2－ x )＝－ f (－ x )，即 f (2＋ x )＝－ f ( x )， 则 f (4＋ x )＝－ f (2＋ x )＝－ ＝ f ( x )， 即 f ( x )是以4为周期的周期函数，又2 023＝4×505＋3，当0＜ x ≤1时， f ( x )＝ln x ， 所以 f (2 023)＝ f (3)＝－ f (1)＝－ln 1＝0. (2)(2024·四川成都模拟)已知定义在R上的函数 f ( x )满足 f ( x ＋3)＝－ f ( x )， g ( x )＝ f ( x )－2为奇函数，则 f (198)＝ ⁠. ∵ g ( x )为定义域为R的奇函数，∴ g (0)＝ f (0)－2＝0，解得 f (0)＝2； 由 f ( x ＋3)＝－ f ( x )得 f ( x ＋6)＝－ f ( x ＋3)＝ f ( x )， ∴ f ( x )是周期为6的周期函数，∴ f (198)＝ f (33×6)＝ f (0)＝2. 2　 函数周期性的判断与应用 1. 判断：判断函数的周期性只需证明 f ( x ＋ T )＝ f ( x )( T ≠0)便可得函数 是周期函数，且周期为 T . 2. 应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数整体的性质.在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT ( k ∈Z且 k ≠0)也是函数的周期. 方法总结 3. 设定义在R上的函数 f ( x )满足 f ( x ＋2)＝ f ( x )，且当 x ∈[0，2)时， f ( x )＝2 x － x 2，则 f (0)＋ f (1)＋ f (2)＋…＋ f (2 023)＋ f (2 024)＝ ⁠. 因为 f ( x ＋2)＝ f ( x )，所以函数 f ( x )的周期 T ＝2.因为当 x ∈[0，2)时， f ( x )＝2 x － x 2，所以 f (0)＝0， f (1)＝1，所以 f (0)＝ f (2)＝ f (4)＝…＝ f (2 022)＝ f (2 024)＝0， f (1)＝ f (3)＝ f (5)＝…＝ f (2 023)＝1.故 f (0)＋ f (1)＋ f (2)＋…＋ f (2 023)＋ f (2 024)＝1 012. 1 012　 跟踪训练 考点四　函数性质的综合应用 ◉角度(一)　单调性与奇偶性结合 (1)(多选)(2024·九省联考测试)已知函数 f ( x )的定义域为R，且 f ≠0.若 f ( x ＋ y )＋ f ( x ) f ( y )＝4 xy ，则(　ABD　) A. f ＝0 B. f ＝－2 C. 函数 f 是偶函数 D. 函数 f 是减函数 ABD 例4 令 x ＝0， y ＝ ，则 f ＋ f (0) f ＝0，即 f (1＋ f (0))＝0，而 f ≠0，∴ f (0)＝－1.令 x ＝－ ， y ＝ ，则 f (0)＋ f f ＝－1， ∴ f f ＝0，∴ f ＝0，A正确；令 x ＝－ ， y ＝1，则 f ＋ f f (1)＝－2， ∴ f ＝－2，B正确；令 y ＝－ ，则 f ＋ f ( x )· f ＝－2 x ，即 f ＝－2 x ，为奇函数，C错误； f ＝ f ＝－2( x ＋1)，为减函数，D正确. (2)已知函数 y ＝ f ( x )是定义域为R的偶函数，且 f ( x )在[0，＋∞)上单调 递增，则不等式 f (2 x －1)＞ f ( x －2)的解集为(　B　) A. (－1，1) B. (－∞，－1)∪(1，＋∞) C. (1，＋∞) D. (0，1) B 得 f (｜2 x －1｜)＞ f (｜ x －2｜). ∵函数 y ＝ f ( x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴｜2 x －1｜＞｜ x －2｜，即(2 x －1)2＞( x －2)2， 化简得 x 2－1＞0，解得 x ＜－1或 x ＞1， 故不等式 f (2 x －1)＞ f ( x －2)的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞). ∵函数 y ＝ f ( x )为偶函数， ∴ f ( x )＝ f (｜ x ｜). 由 f (2 x －1)＞ f ( x －2)， 1. 利用偶函数在对称的区间上单调性相反、奇函数在对称的区间上单 调性相同，实现不等式的等价转化. 2. 注意偶函数的性质 f ( x )＝ f (| x |)的应用. 方法总结 ◉角度(二)　周期性与奇偶性结合 (2024·湖北襄阳模拟)已知定义在R上的奇函数 f ( x )满足 f ( x ＋2)＝－ f ( x )，当 x ∈[0，1]时， f ( x )单调递增，则(　B　) B 例5 A. f (6)＜ f (－7)＜ f B. f (6)＜ f ＜ f (－7) C. f (－7)＜ f ＜ f (6) D. f ＜ f (－7)＜ f (6) ∵ f ( x ＋2)＝－ f ( x )， ∴ f ( x ＋4)＝ f (( x ＋2)＋2)＝－ f ( x ＋2)＝ f ( x )， ∴函数 f ( x )是周期为4的周期函数， ∴ f (6)＝ f (2)＝－ f (0)＝ f (0)， f ＝ f ＝－ f ＝ f ， f (－7)＝ f (1).又当 x ∈[0，1]时， f ( x )单调递增， ∴ f (0)＜ f ＜ f (1)， 即 f (6)＜ f ＜ f (－7). 方法总结 1. 此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所 求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. 2. 由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f(x＋a)为偶函数 (奇函数),则 y ＝ f ( x )的图象关于直线 x ＝ a 对称(关于点( a ，0)对称). 4. 设函数 f ( x )＝ ＋ a .若 f ( x )为奇函数，则不等式 f ( x )＞1的解集为 (　C　) A. (0，1) B. (－∞，ln 3) C. (0，ln 3) D. (0，2) C 跟踪训练 函数 f ( x )＝ ＋ a 的定义域为{ x ｜ x ≠0}，若 f ( x )为奇函数，则 f (－ x )＋ f ( x )＝0，即 ＋ ＝－1＋2 a ＝0，解得 a ＝ ，则 f ( x )＝ ＋ .又 y ＝e x －1在(0，＋∞)上为增函数，且 y ＞0，所以 f ( x ) ＝ ＋ 在(0，＋∞)上为减函数，且 f ( x )＞0，所以 f ( x )在(－∞，0)上 为减函数，且 f ( x )＜0.又 f (ln 3)＝ ＋ ＝1，所以由 f ( x )＞1，得 f ( x )＞ f (ln 3)，所以0＜ x ＜ln 3，即原不等式的解集为(0，ln 3). 5. (多选)(2024·山东烟台模拟)定义在R上的函数 f ( x )满足 f ( x )＋ f (4＋ x )＝0， f (2＋2 x )是偶函数， f (1)＝1，则(　ABD　) A. f ( x )是奇函数 B. f (2 023)＝－1 C. f ( x )的图象关于直线 x ＝1对称 D. kf (2 k －1)＝－100 ABD ∴ f (－ x )＝ f (4＋ x ). ∵ f ( x )＋ f (4＋ x )＝0， ∴ f (－ x )＝－ f ( x )， ∴ f ( x )是奇函数，故A正确； 对于选项A，∵ f (2＋2 x )是偶函数， ∴ f (2－2 x )＝ f (2＋2 x )， ∴函数 f ( x )关于直线 x ＝2对称， 对于选项B，∵ f (4＋ x )＝－ f ( x )，∴ f (8＋ x )＝－ f (4＋ x )，∴ f (8＋ x )＝ f ( x )， ∴ f ( x )的周期为8，∴ f (2 023)＝ f (253×8－1)＝ f (－1)＝－ f (1)＝－1， 故B正确； 对于选项C，若 f ( x )的图象关于直线 x ＝1对称，则 f (3)＝ f (－1)， 但是 f (－1)＝－ f (1)＝－1， f (3)＝ f (1)＝1，即 f (3)≠ f (－1)，这与假设条 件矛盾，故C错误； 对于选项D，将 x ＝ 代入 f (2－2 x )＝ f (2＋2 x )，得 f (3)＝ f (1)＝1， 将 x ＝1，代入 f ( x )＋ f (4＋ x )＝0， 得 f (5)＝－ f (1)＝－1， 同理可知 f (7)＝－ f (3)＝－1. 又∵ f ( x )的周期为8，∴ f ( x )正奇数项的周 期为4， ∴ kf (2 k －1)＝ f (1)＋2 f (3)＋3 f (5)＋…＋100 f (199) ＝[ f (1)＋2 f (3)＋3 f (5)＋4 f (7)]＋[5 f (9)＋6 f (11)＋7 f (13)＋8 f (15)]＋…＋[97 f (193)＋98 f (195)＋99 f (197)＋100 f (199)]＝25×(－4)＝－100，故D正确. 课时作业　巩固提升 [A组　基础保分练] 1. 下列函数中，既是偶函数又在(0，1)上单调递增的函数是(　C　) A. y ＝｜log3 x ｜ B. y ＝ x 3 C. y ＝e｜ x ｜ D. y ＝ cos ｜ x ｜ 对于A选项，函数的定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数.对于B选项，函数是奇函数.对于C选项，函数的定义域是R，是偶函数，且当 x ∈(0，＋∞)时，函数是增函数.对于D选项， y ＝ cos ｜ x ｜在(0，1)上单调递减. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2. 设函数 f ( x )是定义在R上的奇函数，且 f ( x )＝则 g (－8)＝(　A　) A. －2 B. －3 C. 2 D. 3 由题意知， g (－8)＝ f (－8)＝－ f (8)＝－log39＝－2. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 3. 已知奇函数 f ( x )在R上是增函数， g ( x )＝ xf ( x ).若 a ＝ g (－log25.1)， b ＝ g (20.8)， c ＝ g (3)，则 a ， b ， c 的大小关系为(　C　) A. a ＜ b ＜ c B. c ＜ b ＜ a C. b ＜ a ＜ c D. b ＜ c ＜ a 取 f ( x )＝ x ，则 g ( x )＝ x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，然后进行 判断可知 b ＜ a ＜ c . C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4. 已知定义在R上的函数 f ( x )在(－∞，2]上单调递减，且 f ( x ＋2)为偶函数，则不等式 f ( x －1)＞ f (2 x )的解集为(　D　) A. ∪(6，＋∞) B. (－∞，－1)∪ C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ∵函数 f ( x ＋2)为偶函数，∴ f (－ x ＋2)＝ f ( x ＋2)，即 f (2－ x )＝ f (2＋ x )， ∴函数 f ( x )的图象关于直线 x ＝2对称. 又函数 f ( x )定义域为R，在区间(－∞，2]上单调递减， ∴函数 f ( x )在区间(2，＋∞)上单调递增， 由 f ( x －1)＞ f (2 x )得， ＞ ，解得 x ∈ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 5. 已知函数 y ＝ f (2 x ＋1)的图象关于直线 x ＝1对称，函数 y ＝ f ( x ＋1)的 图象关于点(1，0)对称，则下列说法正确的是(　B　) A. f (1)＝0 B. f (1－ x )＝ f (1＋ x ) C. f ( x )的周期为2 D. f ( x )＝ f 由函数 y ＝ f (2 x ＋1)的图象关于直线 x ＝1对称， 得 f (2 x ＋2＋1)＝ f (2－2 x ＋1)， 即 f (3＋2 x )＝ f (3－2 x )， 将2 x 换为 x 可得 f ( x ＋3)＝ f (3－ x )， 即有 f (6－ x )＝ f ( x )，① B 故D错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 又由函数 y ＝ f ( x ＋1)的图象关于点(1，0)对称， 得函数 y ＝ f ( x )的图象关于点(2，0)对称， 所以 f (2＋ x )＝－ f (2－ x )且 f (2)＝ f (0)＝0， 所以 f (4－ x )＝－ f ( x )，② 联立①②得 f (6－ x )＝－ f (4－ x )， 即 f (2＋ x )＝－ f ( x )， 所以 f (4＋ x )＝－ f (2＋ x )＝ f ( x )， 所以函数 f ( x )的周期是4，故A，C错误； 又因为函数 y ＝ f ( x )的图象关于直线 x ＝3对称，所以 f (1＋ x )＝ f (5－ x )＝ f (1－ x )， 因此B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 6. 定义在R上的奇函数 f ( x )，其图象关于点(－2，0)对称，且 f ( x )在[0，2)上单调递增，则(　A　) A. f (11)＜ f (12)＜ f (21) B. f (21)＜ f (12)＜ f (11) C. f (11)＜ f (21)＜ f (12) D. f (21)＜ f (11)＜ f (12) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ∴－ f (－ x )＝ f ( x )， ∴ f ( x －4)＝ f ( x )， 即函数 f ( x )的周期是4， ∴ f (11)＝ f (－1)， f (12)＝ f (0)， f (21)＝ f (1). ∵ f ( x )为奇函数，且在[0，2)上单调递增， ∴ f ( x )在(－2，2)上单调递增， ∴ f (－1)＜ f (0)＜ f (1)，即 f (11)＜ f (12)＜ f (21). ∵函数 f ( x )的图象关于点(－2，0)对称， ∴ f ( x －4)＝－ f (－ x ). 又 f ( x )为定义在R上的奇函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7. (多选)(2024·山东烟台模拟)已知 f ( x )是定义在R上的奇函数， f (2－ x )＝ f ( x )，当 x ∈[0，1]时， f ( x )＝ x 3，则下列结论错误的是(　ABC　) A. f (2 023)＝0 B. 2是 f ( x )的一个周期 C. 当 x ∈(1，3)时， f ( x )＝(1－ x )3 D. f ( x )＞0的解集为(4 k ，4 k ＋2)( k ∈Z) ∵ f ( x )是定义在R上的奇函数， ∴ f (2－ x )＝ f ( x )＝－ f (－ x )， ∴ f (2＋ x )＝－ f ( x )， ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ∴ f (4＋ x )＝－ f (2＋ x )＝ f ( x )， ∴ f ( x )的最小正周期是4，故B错误； 又 f (2 023)＝ f (3)≠0，故A错误； ∵当 x ∈[0，1]时， f ( x )＝ x 3， f ( x )是定义在R上的奇函数， ∴当 x ∈[－1，1]时， f ( x )＝ x 3， 又当 x ∈(1，3)时，2－ x ∈(－1，1)， ∴ f ( x )＝ f (2－ x )＝(2－ x )3，故C错误； 易知当 x ∈(0，2)时， f ( x )＞0， ∵ f ( x )的最小正周期是4， ∴ f ( x )＞0的解集为(4 k ，4 k ＋2)( k ∈Z)，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8. (多选)(2024·河北衡水模拟)已知奇函数 f ( x )的定义域为R，且满足 f (2＋ x )＝ f (2－ x )，以下关于函数 f ( x )的说法正确的为(　BCD　) A. f ( x )满足 f (8－ x )＝ f ( x ) B. 8为 f ( x )的一个周期 C. f ( x )＝ sin 是满足条件的一个函数 D. f ( x )有无数个零点 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ∴8为 f ( x )的一个周期，故B正确； 由 f (8＋ x )＝ f ( x )可得 f (8－ x )＝ f (－ x )＝－ f ( x )，故A不正确； 又 f ( x )＝ sin 满足 f ( x )＋ f (－ x )＝0，∴为奇函数，且图象的一条对称 轴为直线 x ＝2， T ＝ ＝8，故C正确； 由 f ( x )为奇函数且定义域为R知， f (0)＝0， 又 f ( x )为周期函数，∴ f ( x )有无数个零点，故D正确. ∵ f (2＋ x )＝ f (2－ x )， f ( x )是奇函数， ∴ f (4＋ x )＝ f (－ x )＝－ f ( x )， ∴ f (8＋ x )＝－ f ( x ＋4)＝ f ( x )， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9. (多选)(2024·辽宁沈阳模拟)已知函数 f ( x )对任意 x ∈R都有 f ( x ＋4)－ f ( x )＝2 f (2)，若 y ＝ f ( x －1)的图象关于直线 x ＝1对称，且对任意的 x 1， x 2∈(0，2)，且 x 1≠ x 2，都有 ＞0，则下列结论正确的是 (　ABC　) A. f ( x )是偶函数 B. f ( x )的周期 T ＝4 C. f (2 022)＝0 D. f ( x )在(－4，－2)单调递减 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 由 y ＝ f ( x －1)的图象关于直线 x ＝1对称，得 f (1＋ x －1)＝ f (1－ x －1)， 即 f (－ x )＝ f ( x )，故 f ( x )是偶函数，A正确； 由 f ( x ＋4)－ f ( x )＝2 f (2)，令 x ＝－2，可得 f (2)＝0，所以 f ( x ＋4)＝ f ( x )， 所以 f ( x )的周期 T ＝4，B正确； f (2 022)＝ f (4×505＋2)＝ f (2)＝0，故C正确； 又 f ( x )在(0，2)上单调递增，所以 f ( x )在(－2，0)上单调递减，由周期 T ＝4，所以 f ( x )在(－4，－2)上单调递增，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10. (2024·四川乐山模拟)已知函数 f ( x )满足： f (－ x )＋ f ( x )＝0，且当 x ≥0时， f ( x )＝ －1，则 f (－1)＝ 　 　. 因为 f (－ x )＋ f ( x )＝0，所以 f ( x )为奇函数.又当 x ≥0时， f ( x )＝ －1，所以 f (0)＝2＋ m －1＝0，所以 m ＝－1.故当 x ≥0时， f ( x )＝ －1， 所以 f (－1)＝－ f (1)＝－ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11. (2024·山东烟台模拟)已知 f ( x )为R上的奇函数，且 f ( x )＋ f (2－ x )＝0，当－1＜ x ＜0时， f ( x )＝2 x ，则 f (2＋log25)的值为 ⁠. 因为 f (2－ x )＝－ f ( x )＝ f (－ x )， 所以 f (2＋ x )＝ f ( x )， 所以 f ( x )的周期为2， 所以 f (2＋log25)＝ f ＝ f ＝－ f . 又－1＜log2 ＜0， 所以 f (2＋log25)＝－ ＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 12. 若函数 f ( x )＝e｜ x ｜－ 满足 f ( x ＋1)＞ f (3 x －1)，则实数 x 的取值 范围为 ⁠. 因为 f (－ x )＝e｜－ x ｜－ ＝e｜ x ｜－ ＝ f ( x )， 所以 f ( x )为偶函数，所以 f ( x )＝ f (｜ x ｜). 易知当 x ≥0时， f ( x )＝e x － 为增函数， 所以 f ( x ＋1)＞ f (3 x －1)可化为 f (｜ x ＋1｜)＞ f (｜3 x －1｜)，所以｜ x ＋1｜＞｜3 x －1｜， 即( x ＋1)2＞(3 x －1)2，解得0＜ x ＜1. (0，1)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [B组　能力提升练] 13. (2023·全国乙卷)已知 f ( x )＝ 是偶函数，则 a ＝(　D　) A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 法一(特值法)： f ( x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).由 f ( x )是偶函数， 可得 f ( x )＝ f (－ x ).令 x ＝1， 得 f (1)＝ f (－1)，即 ＝－ ，化简得e＝e a －1， a －1＝1，所 以 a ＝2. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 法二： f ( x )＝ 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 由 f ( x )为偶函数知 f ( x )＝ f (－ x )， 即 ＝ ，即 ＝－ ， 化简得e2 x ＝e ax ，所以 a ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14. (2024·湖南郴州模拟)已知 f ( x )是定义在[2 b ，1－ b ]上的偶函数，且 在[2 b ，0]上为增函数，则 f ( x －1)≤ f (2 x )的解集为(　B　) A. B. C. [－1，1] D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 因为 f ( x )是定义在[2 b ，1－ b ]上的偶函数，所以2 b ＋1－ b ＝0，所以 b ＝－1，因为 f ( x )在[2 b ，0]上为增函数，即函数 f ( x )在[－2，0]上为增函数，所以函数 f ( x )在(0，2]上为减函数，由 f ( x －1)≤ f (2 x )，可得｜ x －1｜≥｜2 x ｜，即( x －1)2≥4 x 2，解得－1≤ x ≤ .又因为定义域为[－2，2]，所以解得综上，－1≤ x ≤ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 15. (多选)(2024·山东潍坊模拟)函数 f ( x )的定义域为R，且 f ( x ＋1)与 f ( x ＋2)都为奇函数，则(　ABC　) A. f ( x )为奇函数 B. f ( x )为周期函数 C. f ( x ＋3)为奇函数 D. f ( x ＋4)为偶函数 由 f ( x ＋1)与 f ( x ＋2)都为奇函数知函数 f ( x )的图象关于点(1，0)，(2，0) 对称，所以 f (－ x )＋ f (2＋ x )＝0， f (－ x )＋ f (4＋ x )＝0，所以 f (2＋ x )＝ f (4＋ x )，即 f ( x )＝ f (2＋ x )，所以 f ( x )是以2为周期的函数，B正确.又 f ( x ＋1)与 f ( x ＋2)都为奇函数，所以 f ( x )， f ( x ＋3)， f ( x ＋4)均为奇函 数，A，C正确，D错误. ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16. (多选)(2024·湖北武汉模拟)已知函数 f ( x )＝｜ x ｜＋｜ x － cos x ，则下列说法正确的是(　AD　) A. f ( x )是偶函数 B. f ( x )在(0，＋∞)上单调递减 C. f ( x )是周期函数 D. f ( x )≥－1恒成立 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 且 f (－ x )＝｜－ x ｜＋｜－ x － cos (－ x )＝｜ x ｜＋｜ x － cos x ＝ f ( x )，所以 f ( x )为偶函数，故A正确； 对于B，C，当 x ＞0时， f ( x )＝ x ＋ － cos x ， f '( x )＝1＋ ＋ sin x ＞ 0恒成立，所以 f ( x )在(0，＋∞)上单调递增，故B错误，C错误； 对于D，因为 f ( x )是偶函数，所以 f ( x )在(－∞，0)上单调递减，又 f (0)＝ 0＋0－ cos 0＝－1， 所以 f ( x )的最小值为－1，故D正确. 对于A， f ( x )的定义域为R， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17. 已知函数 f ( x )对∀ x ∈R满足 f ( x ＋2)· f ( x )＝2 f (1)，且 f ( x )＞0.若 y ＝ f ( x －1)的图象关于 x ＝1对称， f (0)＝1，则 f (2 024)＝ ⁠. 因为 y ＝ f ( x －1)的图象关于 x ＝1对称，所以 y ＝ f ( x )的图象关于 x ＝0对 称，即 y ＝ f ( x )是偶函数.对于 f ( x ＋2)· f ( x )＝2 f (1)，令 x ＝－1，可得 f (1)· f (－1)＝2 f (1)，又 f ( x )＞0，所以 f (－1)＝2，故 f (1)＝ f (－1)＝2，所 以函数 f ( x )对∀ x ∈R满足于 f ( x ＋2)· f ( x )＝4，所以 f ( x ＋4)· f ( x ＋2)＝4，所以 f ( x ＋4)＝ f ( x )，即 f ( x )是周期为4的周期函数，所以 f (2 024)＝ f (506×4)＝ f (0)＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18. (2024·浙江杭州模拟)若函数 f ( x )是定义在R上的偶函数，且对于任意的 x ∈R，恒有 f ( x ＋1)＝ f ( x －1)，当 x ∈[0，1]时， f ( x )＝ ，且 a ＝ f ， b ＝ f (0. )， c ＝ f (0.76)，则 a ， b ， c 的大小关系为 ⁠ ⁠. b＜c＜a 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ∵ f ( x )是定义在R上的偶函数，且恒有 f ( x ＋1)＝ f ( x －1)， ∴ f ( x )＝ f (－ x )， f ( x ＋2)＝ f ( x )， ∴ f ( x )的最小正周期为2， ∴ a ＝ f ＝ f ＝ f ， b ＝ f (0.5－3)＝ f (8)＝ f (0)，又0＜0.76＝ 0.493＜0.53＜0.5， 且 f ( x )＝ 在[0，1]上单调递增， ∴ b ＜ c ＜ a . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19. 已知定义在R上的函数 f ( x )， g ( x )满足： ① f (0)＝1； ②任意的 x ， y ∈R， f ( x － y )＝ f ( x ) f ( y )－ g ( x ) g ( y ). (1)求 f 2( x )－ g 2( x )的值； 解：依题意， f 2( x )－ g 2( x )＝ f ( x ) f ( x )－ g ( x ) g ( x )＝ f ( x － x )＝ f (0)＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2)判断并证明函数 f ( x )的奇偶性. 解：由(1)知 f 2(0)－ g 2(0)＝1， ∴ g 2(0)＝ f 2(0)－1＝0，即 g (0)＝0， ∴ f (－ x )＝ f (0－ x )＝ f (0) f ( x )－ g (0) g ( x )＝ f ( x ).又因为 f ( x )的 定义域为R， 所以函数 f ( x )为偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [C组　高考新动向] 20. 能够把椭圆 ＋ y 2＝1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称 为椭圆的“可分函数”，下列函数中不是椭圆的“可分函数”的为(　D　) A. f ＝4 x 3＋ x B. f ＝ln C. f ＝ sin x D. f ＝e x ＋e－ x D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 对选项B： f ＝ln ，函数定义域满足 ＞0，解得－5＜ x ＜5，且 f ＝ln ＝－ f ，函数为奇函数，满足； 对选项C： f ＝ sin x 为奇函数，满足； 对选项D： f ＝e x ＋e－ x ， f ＝e－ x ＋e x ＝ f ，函数为偶函数， 且 f ＝2≠0，不满足. 对选项A： f ＝4 x 3＋ x ， f ＝－4 x 3－ x ＝－ f ，函数为奇函数，满足； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21. 设函数 f ( x )是R上的增函数，对任意 x ， y ∈R，都有 　　　　.在① f ＝ f ＋ f ， ② yf ( x )－ xf ( y )＝ xy ( x 2－ y 2)中任选一个条件，然后解答以下问题. (1)求 f (0)； 若选①：解：由函数 y ＝ f 对任意 x ， y ∈R都有 f ＝ f ＋ f ， 得函数的定义域为R，令 x ＝ y ＝0，可得 f ＝0. 若选②：解：对任意 x ， y ∈R，都有 yf ( x )－ xf ( y )＝ xy ( x 2－ y 2)， 令 x ＝1， y ＝0，可得0－ f (0)＝0，即 f (0)＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2)求证： f ( x )是奇函数； 若选①：证明：令 y ＝－ x ，可得 f ＝ f ＋ f ，即0＝ f ＋ f ， ∴ f ＝－ f ， 因此，函数 y ＝ f 为奇函数. 若选②：证明：对任意 x ， y ∈R，都有 yf ( x )－ xf ( y )＝ xy ( x 2－ y 2)， 令 y ＝－ x ，可得－ xf ( x )－ xf (－ x )＝ － x 2( x 2－ x 2)， 可得－ x [ f ( x )＋ f (－ x )]＝0，由 x ∈R，可得 f (－ x )＝－ f ( x )，故 f ( x )为 奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (3)若 f ( x 2＋1)＋ f (3 x －5)＜0，求实数 x 的取值范围. 若选①：解：奇函数 f ( x )是R上的增函数， 由 f ( x 2＋1)＋ f (3 x －5)＜0，即 f (1＋ x 2)＜ f (5－3 x )， 即有1＋ x 2＜5－3 x ，解得－4＜ x ＜1. 所以实数 x 的取值范围为(－4，1). 若选②：解：奇函数 f ( x )是R上的增函数， 由 f ( x 2＋1)＋ f (3 x －5)＜0，即 f (1＋ x 2)＜ f (5－3 x )， 即有1＋ x 2＜5－3 x ，解得－4＜ x ＜1. 所以实数 x 的取值范围为(－4，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 $$