第2章 第2节 第1课时 函数的单调性与最值-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第二节　函数的基本性质 第一课时　函数的单调性与最值 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 [学习要求]　1.借助图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、 最小值.理解其几何意义.　2.掌握函数单调性的简单应用. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点一　函数的单调性 1. 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数 y ＝ f ( x )的定义域为 D ，区间 I ⊆ D ，如果∀ x 1， x 2∈ I 当 x 1＜ x 2时，都有 ⁠ ，那么就称函数 f ( x )在区间 I 上是单调递增 当 x 1＜ x 2时，都有 ⁠ ，那么就称函数 f ( x )在区间 I 上是单调递减 f ( x 1)＜ f ( x2)　 f ( x 1)＞ f( x 2)　 增函数 减函数 图象 描述 自左向右看图象是 ⁠ 自左向右看图象是 ⁠ 上升的　 下降的　 2. 单调区间的定义 如果函数 y ＝ f ( x )在区间 I 上 或 ⁠，那么就称函 数 y ＝ f ( x )在区间 I 上具有单调性，区间 I 为函数 y ＝ f ( x )的单调区间. 单调递增　 单调递减　 知识点二　函数的最值 最大值 最小值 条件 设函数 y ＝ f ( x )的定义域为 D ，存在实数 M ，对所有的 x ∈ D ， 都有 f ( x ) M f ( x ) M 存在 x 0∈ D ，使得 ＝ M 结论 称 M 是函数 y ＝ f ( x )的最大值 称 M 是函数 y ＝ f ( x )的最小值 ≤　 ≥　 f ( x 0)　 [小题诊断] 1. 若定义在R上的函数 f ( x )对任意两个不相等的实数 a ， b ，总有 ＞0成立，则必有(　A　) A. f ( x )在R上是增函数 B. f ( x )在R上是减函数 C. 函数 f ( x )先增后减 D. 函数 f ( x )先减后增 由 ＞0知 f ( a )－ f ( b )与 a － b 同号，即当 a ＜ b 时， f ( a )＜ f ( b )，或当 a ＞ b 时， f ( a )＞ f ( b )，所以 f ( x )在R上是增函数. A 2. 已知函数 f ( x )＝满足对任意的实数 x 1， x 2且 x 1≠ x 2，都有 ( x 1－ x 2)＜0，则实数 a 的取值范围为(　C　) A. B. C. D. C 对任意的实数 x 1≠ x 2，都有 ( x 1－ x 2)＜0，即 ＜0成立， 可得函数图象上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数， 所以解得 a ∈ . 3. (2024·山东聊城模拟)已知函数 y ＝ ( k ≠0)在[3，8]上的最大值为1， 则 k 的值为(　A　) A. 1 B. －6 C. 1或－6 D. 6 A 当 k ＜0时，函数 y ＝ 在[3，8]上单调递增.∵函数在[3，8]上的最大值 为1，∴ ＝1， ∴ k ＝6(舍去). 当 k ＞0时，函数 y ＝ 在[3，8]上单调递减.∵函数在[3，8]上的最大值 为1，∴ ＝1，∴ k ＝1； 4. (易错题)已知函数 f ( x )＝在(－∞，＋∞)上是 增函数，则实数 a 的取值范围是(　D　) A. (－∞，－2] B. [－2，0) C. [－3，0) D. [－3，－2] D 由于函数 f ( x )＝在(－∞，＋∞)上是增函数，因 此函数 h ( x )＝－ x 2－ ax －5在区间(－∞，1]上是增函数， g ( x )＝ 在区 间(1，＋∞)上是增函数，且 g (1) h (1)，即解得－3 a －2. 关键能力　重点探究 考点一　函数单调性的判断与单调区间的求法 ◉角度(一)　求不含参数函数的单调性(区间) (1)函数 f ( x )＝ 的单调递增区间是(　D　) A. (－∞，1] B. [1，＋∞) C. [1，3] D. [－1，1] 函数 f ( x )＝ 的定义域需要满足3＋2 x － x 20，解得 f ( x )定 义域为 ， 因为 y ＝3＋2 x － x 2在 上单调递增，所以 f ( x )＝ 在 上单调递增. D 例1 (2)函数 f ( x )＝ x 的单调递减区间是(　A　) A. [1，2] B. [－1，0] C. (0，2] D. [2，＋∞) 当 x ≤2时， f ( x )＝－ x 2＋2 x ，则函数 f ( x )在(－∞，1]上单调递增，在 [1，2]上单调递减；当 x ＞2时， f ( x )＝ x 2－2 x ，则函数 f ( x )在(2，＋∞) 上单调递增，所以函数 f ( x )＝ x 的单调递减区间是[1，2]. A 方法总结 1. 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2. (1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数 的单调性；④导数法. (2)函数 y ＝ f ( g ( x ))的单调性应根据外层函数 y ＝ f ( t )和内层函数 t ＝ g ( x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. ◉角度(二)　求含参数函数的单调性(区间) 判断并证明函数 f ( x )＝ ax 2＋ (其中1＜ a ＜3)，在 x ∈[1，2]上的单调性. 例2 [解]　法一(定义法)： 设1≤ x 1＜ x 2≤2，则 f ( x 2)－ f ( x 1)＝ a ＋ － a － ＝( x 2－ x 1) ， 由1≤ x 1＜ x 2≤2，得 x 2－ x 1＞0，2＜ x 1＋ x 2＜4，1＜ x 1 x 2＜4， －1＜－ ＜－ . 又因为1＜ a ＜3，所以2＜ a ( x 1＋ x 2)＜12， 得 a ( x 1＋ x 2)－ ＞0， 从而 f ( x 2)－ f ( x 1)＞0，即 f ( x 2)＞ f ( x 1)， 故当 a ∈(1，3)时， f ( x )在[1，2]上单调递增. 法二(导数法)： 由 f '( x )＝2 ax － ＝ ， 因为1＜ a ＜3，1≤ x ≤2， 所以2 ax 3－1＞0，可得 f '( x )＞0， 所以 f ( x )在[1，2]上单调递增. 已知函数的单调性求参数的取值范围，方法为:(1)定义法;(2)图象 法;(3)导数法. 方法总结 1. (2024·海南海口模拟)函数 f ( x )＝ x 2－4｜ x ｜＋3的单调递减区间是 (　B　) A. (－∞，－2) B. (－∞，－2)和(0，2) C. (－2，2) D. (－2，0)和(2，＋∞) f ( x )＝ x 2－4 ＋3＝ 则由二次函数的性质知，当 x ≥0时， y ＝ x 2－4 x ＋3＝( x －2)2－1的单调递减区间为(0，2)； 当 x ＜0时， y ＝ x 2＋4 x ＋3＝( x ＋2)2－1的单调递减区间为(－∞，－2)，故 f ( x )的单调递减区间是(－∞，－2)和(0，2). B 跟踪训练 2. 设函数 f ( x )＝ 在区间(－2，＋∞)上单调递增，那么 a 的取值范围是 ⁠. f ( x )＝ ＝ a － ，定义域为{ x ｜ x ≠－2 a }， 所以所以 所以 a ≥1. [1，＋∞)　 考点二　函数单调性的应用 ◉角度(一)　比较函数值的大小 (2024·河南郑州模拟)已知函数 f ( x )＝若 a ＝ 50.01， b ＝ log32， c ＝log30.9，则下列结论正确的是(　D　) A. f ( b )＞ f ( a )＞ f ( c ) B. f ( c )＞ f ( a )＞ f ( b ) C. f ( a )＞ f ( c )＞ f ( b ) D. f ( a )＞ f ( b )＞ f ( c ) D 例3 当 x ＞0时， f ( x )＝e x －e－ x 单调递增，且 f (0)＝0；当 x ≤0时， f ( x )＝－ x 2单调递增，且 f (0)＝0，所以函数 f ( x )在R上单调递增.因为 a ＝50.01＞1，0＜ b ＝log32 ＜1， c ＝log30.9＜0，所以 a ＞ b ＞ c ，所以 f ( a )＞ f ( b )＞ f ( c ). 方法总结 利用函数的单调性比较函数值 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要 利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、 填空题通常选用数形结合的思想方法进行求解. ◉角度(二)　解函数不等式 已知函数 f ( x )＝ln x ＋2 x ，若 f ( x 2－4)＜2，则实数 x 的取值范围是 ⁠. 因为函数 f ( x )＝ln x ＋2 x 在定义域(0，＋∞)上单调递增，且 f (1)＝ln 1＋2＝2， 所以由 f ( x 2－4)＜2，得 f ( x 2－4)＜ f (1)， 所以0＜ x 2－4＜1， 解得－ ＜ x ＜－2或2＜ x ＜ . (－ ，－2)∪(2， )　 例4 利用函数的单调性求解或证明不等式 1. 若 f ( x )在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，则 f ( x 1)＜ f ( x 2)⇔ x 1＜ x 2( x 1＞ x 2),在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可通过“脱去”函数符号“ f ”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行. 2. 需要说明的是，若不等式一边没有“ f ”，而是常数，应将常数转化为 函数值. 方法总结 ◉角度(三)　利用单调性求参数的取值范围 (2023·新高考Ⅰ卷)设函数 f ( x )＝2 x ( x － a )在区间(0，1)上单调递减， 则 a 的取值范围是(　D　) A. (－∞，－2] B. [－2，0) C. (0，2] D. [2，＋∞) f ( x )＝2 x ( x － a )＝ ，由复合函数的单调性知函数 y ＝ － 在(0，1)上单调递减，所以 ≥1，解得 a ≥2，即 a 的取值范围是[2,＋∞). D 例5 方法总结 1. 利用单调性求参数的值(取值范围)的思路 根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)),或先得到 其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 2. 易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者 指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集. 3. 已知定义在R上的函数 f ( x )＝2｜ x － m ｜－1( m 为实数)为偶函数.记 a ＝ f (log0.53)， b ＝ f (log25)， c ＝ f (2 m )，则 a ， b ， c 的大小关系为(　C　) A. a ＜ b ＜ c B. a ＜ c ＜ b C. c ＜ a ＜ b D. c ＜ b ＜ a C 跟踪训练 ∴ f (－ x )＝ f ( x )，∴ m ＝0，∴ f ( x )＝2｜ x ｜－1.图象如图所示， 由函数的图象可知，函数 f ( x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是 增函数. ∵ a ＝ f (log0.53)＝ f (log23)， b ＝ f (log25)， c ＝ f (0).又log25＞log23＞0， ∴ b ＞ a ＞ c . ∵ f ( x )为偶函数， 4. 已知函数 f ( x )＝ －log2( x ＋2)，若 f ( a －2)＞3，则 a 的取值范围是 ⁠. 由 f ( x )＝ －log2( x ＋2)知， f ( x )在定义域(－2，＋∞)上是减函数， 且 f (－1)＝3.由 f ( a －2)＞3，得 f ( a －2)＞ f (－1)， ∴解得0＜ a ＜1. (0，1)　 5. (2024·湖北武汉模拟)已知 f ( x )＝满足对于任意实数 x 1≠ x 2，都有 ＜0成立，则实数 a 的取值范围是 ⁠. 因为对于任意实数 x 1≠ x 2，都有 ＜0成立，所以函数 f ( x )在R 上单调递减， 　 所以 解得 a ＜ ， 所以实数 a 的取值范围是 . 考点三　求函数的最值(值域) 如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.函数 y ＝ － 的值域为 ⁠ ，则与 y 是“同域函数”的一个解析式为 ⁠ ⁠. [－1，1]　 y ＝2 x －3， x ∈[1，2]或 y ＝ sin (2π x )， x ∈[1，2]或 y ＝ －2， x ∈[1，2](答案不唯一)　 例6 所以函数的值域为[－1，1]. 只要满足定义域为[1，2]，且值域为[－1，1]的函数均符合题意， 例如 y ＝ sin (2π x )， x ∈[1，2]或 y ＝2 x －3， x ∈[1，2]或 y ＝ －2， x ∈[1，2]. 因为 y ＝ － ， 所以 x ≥1且 x 2，所以函数的定义域为[1，2]. 显然， y ＝ f ( x )＝ － 在[1，2]上单调递增，所以 f ( x )∈[－1，1]， 求下列函数的值域： (1) y ＝ ； 例7 [解]　(图象法)设动点 M ( cos x ， sin x )，定点 P (2，1)，则 y ＝ 的 几何意义是直线 PM 的斜率. 而动点 M 在单位圆 x 2＋ y 2＝1上. 如图，当直线 PM 和圆相切时斜率取得最值， ＝0， ＝ . 所以函数的值域为 . (2) y ＝ ； [解]　 (配方法)因为 y ＝ ＝ ≤ ＝2， y ≥0， 所以 y ＝ 的值域为[0，2]. (3) y ＝ x ＋ ； [解]　 (三角换元法)因为1－ x 2≥0，所以－1≤ x ≤1，所以可设 x ＝ cos α，α∈[0，π]， 则 y ＝ cos α＋ sin α＝ sin . 因为α∈[0，π]， 所以α＋ ∈ ，所以 sin ∈ ， 所以 sin ∈[－1， ]， 所以原函数的值域为[－1， ]. (4) y ＝ ； [解]　 (分离常数法) y ＝ ＝ ＝ － ≠ ， 所以函数的值域为 . (5)函数 y ＝ ( x ＞1)； [解]　 (换元法＋基本不等式法)令 t ＝ x －1，所以 t ＞0， x ＝ t ＋1， 所以 y ＝ ＝ ＝ t ＋ ＋1≥2 ＋1， 当且仅当 t ＝ ，即 t ＝ 时取等号， 所以函数的值域为[2 ＋1，＋∞). (6) f ( x )＝ x ln x ， x ∈[1，3]. [解]　(导数法) f '( x )＝ln x ＋1＞0在[1，3]上恒成立，所以函数在[1，3] 上单调递增，所以原函数的值域为[0，3ln 3]. 求函数最值(值域)的方法 1. 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求出最值 (值域); 2. 图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点求出最值(值 域).若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数形结 合法求解； 3. 基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等” 的条件后用基本不等式求最值(值域); 方法总结 4. 导数法：先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，再结合端点 值，求出最值(值域).适用于三次函数、分式函数及含e x ，ln x ， sin x ， cos x 结构的函数，且 f ( x )可求； 5. 换元法：对比较复杂的函数可先通过换元转化为熟悉的函数，再用 相应的方法求最值(值域); 6. 分离常数法：对于形如 y ＝ ( a ≠0)的函数的值域，经常使用分离 常数法求解. 6. (2024·安徽合肥模拟)若函数 f ( x )＝ ，则 f ( x )的值域为(　C　) A. (－∞，3] B. (2，3) C. (2，3] D. [3，＋∞) ∵ f ( x )＝ ＝ ＝2＋ ，又由 x 2＋1≥1得0＜ ≤1， ∴2＜2＋ ≤3， ∴ f ( x )的值域为(2，3]. C 跟踪训练 7. 若函数 f ( x )＝ 在区间 上的最大值为3，则实数 m ＝ ⁠. ∵函数 f ( x )＝ ＝2＋ ， 由函数的单调性知， 当 m ＞2时， f ( x )＝ 在 上单调递减，最大值为 f (0)＝ m ＝3； 3　 当 m ＜2时， f ( x )＝ 在 上单调递增，最大值为 f (1)＝ ＝3， 即 m ＝4，显然 m ＝4不合题意，故实数 m ＝3. 课时作业　巩固提升 [A组　基础保分练] 1. 函数 y ＝ 的单调递减区间为(　A　) A. (－∞，－3] B. (－∞，－1] C. (1，＋∞) D. (－3，－1] 由题意可得该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数 g ( x )＝ x 2＋ 2 x －3图象的对称轴为直线 x ＝－1.由复合函数单调性可知该函数的单调 递减区间是(－∞，－3]. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. 函数 f ( x )＝－ x ＋ 在 上的最大值是(　A　) A. B. － C. －2 D. 2 因为 f ( x )在 上是减函数，所以当 x ＝－2时， f ( x )的最大值 f (－2)＝ . A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 已知函数 f ( x )＝ x 2＋ bx ＋ c 图象的对称轴为直线 x ＝2，则下列关系式 正确的是(　C　) A. f (－1)＜ f (1)＜ f (2) B. f (1)＜ f (2)＜ f (－1) C. f (2)＜ f (1)＜ f (－1) D. f (1)＜ f (－1)＜ f (2) 因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 x ＝2，所以 f ( x )在(－∞，2]上单调递减.因为2＞1＞－1，所以 f (2)＜ f (1)＜ f (－1). C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. (2024·湖北黄冈模拟)已知函数 f ( x )＝若 f ( a )＝ f ( a ＋3)，则 g ( x )＝ ax 2＋ x 的单调递增区间为(　D　) A. B. C. D. 依题意，解得 a ＝－1，故 g ( x )＝－ x 2＋ x ，可知 g ( x )在 上单调递增. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. (多选)下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是(　AB　) A. y ＝｜ x ｜ B. y ＝ x ＋3 C. y ＝ D. y ＝－ x 2＋4 作出图象逐项判断. AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. (多选)已知函数 f ( x )＝log a ｜ x －1｜在区间(－∞，1)上单调递增，则 (　AC　) A. 0＜ a ＜1 B. a ＞1 C. f ( a ＋2 023)＞ f (2 024) D. f ( a ＋2 023)＜ f (2 024) AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由0＜ a ＜1，可得2 023＜ a ＋2 023＜2 024. 又 f ( x )在(1，＋∞)上单调递减， 所以 f ( a ＋2 023)＞ f (2 024)，故C正确，D错误. f ( x )＝log a ｜ x －1｜的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞). 设 Z ＝｜ x －1｜，可得函数 Z 在(－∞，1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增.由题意可得0＜ a ＜1，故A正确，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. (多选)已知函数 f ( x )＝则下列结论正确的是(　BC　) A. f ( x )在R上为增函数 B. f (e)＞ f (2) C. 若 f ( x )在( a ， a ＋1)上单调递增，则 a ≤－1或 a ≥0 D. 当 x ∈[－1，1]时， f ( x )的值域为[1，2] BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若 f ( x )在( a ， a ＋1)上单调递增， 则 a ≥0或 a ＋1≤0， 即 a ≤－1或 a ≥0，故C正确； 当 x ∈[－1，0]时， f ( x )∈[1，2]， 当 x ∈(0，1]时， f ( x )∈(－∞，2]， 故当 x ∈[－1，1]时， f ( x )∈(－∞，2]，故D错误. 易知 f ( x )在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 已知函数 f ( x )＝的值域为[1，＋∞)，则 a 的最 小值为(　A　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由已知得 当 x ＞0时， f ( x )＝ x 2－2 x ＋2＝( x －1)2＋1，值域为[1，＋∞). 当 x ≤0时， f ( x )＝－ x ＋ a ，值域为[ a ，＋∞). ∵函数 f ( x )的值域为[1，＋∞). ∴ a ≥1，则 a 的最小值为1. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 若函数 f ＝log a ( a ＞0且 a ≠1)在区间 内单调递 增，则 a 的取值范围是 ⁠. 函数 f ( x )＝log a ( x 3－ ax )( a ＞0， a ≠1)在区间 内有意义， 则 ＋ a ≥0，∴ a ≥ . 设 t ＝ x 3－ ax ，则 y ＝log at ， t '＝3 x 2－ a . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1) 当 a ＞ 1时， y ＝log at 是增函数， 要使函数 f ( x )＝log a ( x 3－ ax )( a ＞0， a ≠1)在区间 内单 调递增， 需使 t ＝ x 3－ ax 在区间 内单调递增， 则需使 t '＝3 x 2－ a ≥0对任意 x ∈ 恒成立 ， 即 a ≤3 x 2对任意 x ∈ 恒成立； 因为 x ∈ 时，0＜3 x 2＜ ，所以 a ＜0，与 a ＞ 矛盾，此时不 成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 当0＜ a ＜1时， y ＝log at 是减函数， 要使函数 f ＝log a ( a ＞0， a ≠1)在区间 内单 调递增， 需使 t ＝ x 3－ ax 在区间 内单调递减， 则需使 t '＝3 x 2－ a ≤0 对任意 x ∈ 恒成立， 即 a ≥3 x 2对任意 x ∈ 恒成立； 因为 x ∈ 时，0＜3 x 2＜ ， 所以 a ≥ ，又 a ＜1，所以 ≤ a ＜1. 综上， a 的取值范围是 ≤ a ＜1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2024·山东临沂模拟)已知函数 f ( x )＝ . (1)用定义法证明 f ( x )在区间[1，＋∞)上是增函数； 证明：任取 x 1， x 2∈[1，＋∞)，且 x 1＜ x 2，则 f ( x 1)－ f ( x 2)＝ － ＝ . ∵1≤ x 1＜ x 2，∴ x 1－ x 2＜0，( x 1＋1)( x 2＋1)＞0， ∴ f ( x 1)－ f ( x 2)＜0，即 f ( x 1)＜ f ( x 2)， 故函数 f ( x )在区间[1，＋∞)上是增函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值与最小值. 解：由(1)知函数 f ( x )在区间[2，4]上是增函数， ∴ f ( x )max＝ f (4)＝ ＝ ， f ( x )min＝ f (2)＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. 函数 f ( x )＝log a (1－ x )＋log a ( x ＋3)(0＜ a ＜1). (1)求方程 f ( x )＝0的解； 解：由得－3＜ x ＜1， ∴ f ( x )的定义域为(－3，1). 则 f ( x )＝log a (－ x 2－2 x ＋3)， x ∈(－3，1)， 令 f ( x )＝0，得－ x 2－2 x ＋3＝1， 解得 x ＝－1± ∈(－3，1). 故 f ( x )＝0的解为 x ＝－1± . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若函数 f ( x )的最小值为－1，求 a 的值. 解：由(1)得 f ( x )＝log a [－( x ＋1)2＋4]， x ∈(－3，1)，由于0＜－( x ＋1)2＋4≤4，且 a ∈(0，1)， ∴log a [－( x ＋1)2＋4]≥log a 4， 由题意可得log a 4＝－1，解得 a ＝ ，满足条件， ∴ a 的值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [B组　能力提升练] 12. (2024·浙江杭州模拟)若函数 f ( x )＝ x 2－ ax 在区间[1，2]上是增函数， g ( x )＝ 在区间[1，2]上是减函数，则实数 a 的取值范围是(　B　) A. (－1，＋∞) B. (－∞，－1) C. [2，＋∞) D. (－∞，2] B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由函数 f ( x )＝ x 2－ ax 在区间[1，2]上是增函数，且函数图象的对称 轴方程为 x ＝ 可知 ≤1，解得 a ≤2.因为 g ( x )＝ ＝ ＝ a － 在区间[1，2]上是减函数，所以 a ＋1＜0，解得 a ＜－1. 综上可知 a ＜－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. (多选)如果对于函数 f ( x )的定义域内任意的两个自变量的值 x 1， x 2， 当 x 1＜ x 2时，都有 f ( x 1)≤ f ( x 2)，且存在两个不相等的自变量的值 y 1， y 2，使得 f ( y 1)＝ f ( y 2)，那么就称 f ( x )为定义域上的“不严格的增函数”.下列所给出的四个函数中为“不严格的增函数”的是(　AC　) AC A. f ( x )＝ B. f ( x )＝ C. f ( x )＝ D. f ( x )＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f ( x )＝为定义在R上的“不严格的增函数”，故选项A 正确； f ( x )＝当 x 1＝－ ， x 2∈ 时， f ( x 1)＞ f ( x 2)，故 f ( x )不是“不严格的增函数”，故选项B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f ( x )＝当 x 1＝ ， x 2∈ 时， f ( x 1)＞ f ( x 2)，故 f ( x )不是“不严格的增函数”，故选项D错误. f ( x )＝为定义在R上的“不严格的增函数”，故选项 C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. 若函数 f ( x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切 x ＞0， y ＞0， 满足 f ＝ f ( x )－ f ( y )，则不等式 f ( x ＋6)－ f ＜2 f (4)的解集为 ⁠. f ＝ f ( x )－ f ( y )，取 x ＝16， y ＝4，得到 f (4)＝ f (16)－ f (4)，即2 f (4)＝ f (16)， 又 f ( x ＋6)－ f ＜2 f (4)，所以 f ( x 2＋6 x )＜ f (16). 因为函数 f ( x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以解得 0＜ x ＜2. (0，2)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 已知函数 f ( x )＝ (1)当0＜ a ＜ b ，且 f ( a )＝ f ( b )时，求 ＋ 的值. 解：因为 f ( x )＝所以 f ( x )在(0，1)上单调递减，在 [1，＋∞)上单调递增. 由于0＜ a ＜ b ，且 f ( a )＝ f ( b )，所以0＜ a ＜1＜ b ，且 －1＝1－ ， 所以 ＋ ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)是否存在实数 a ， b ( a ＜ b )，使得函数 y ＝ f ( x )的定义域、值域都是 [ a ， b ]，若存在，则求出 a ， b 的值；若不存在，请说明理由. 解：不存在满足条件的实数 a ， b .理由如下： 假设存在满足条件的实数 a ， b ( a ＜ b ). 当 a ， b ∈(0，1)时，因为 f ( x )＝ －1在(0，1)上单调递减， 所以即解得 a ＝ b ， 故此时不存在适合条件的实数 a ， b ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当 a ， b ∈[1，＋∞)时，因为 f ( x )＝1－ 在[1，＋∞)上单调递增， 所以即此时 a ， b 是方程 x 2－ x ＋1＝0的根，而 此方程无实数根， 故此时不存在适合条件的实数 a ， b ； 当 a ∈(0，1)且 b ∈[1，＋∞)时，由于1∈ ，而 f (1)＝0∉ ， 故此时不存在适合条件的实数 a ， b ； 综上，不存在适合条件的实数 a ， b . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [C组　高考新动向] 16. 定义域为R的函数 f ( x )同时满足以下两个性质： ①存在 x 0∈R，使得 f ( x 0)≠0； ②对于任意 x ∈R，有 f ( x ＋1)＝2 f ( x ). 根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数. (1)若 f ( x )是增函数，则 f ( x )＝ ⁠； 2 x (答案不唯一)　 若 f ( x )是增函数，令 f ( x )在[0，1)上的解析式为 f ( x )＝2 x ，则当 x ∈[ k ， k ＋1)， k ∈Z时， x － k ∈[0，1)，故 f ( x )＝2 k ×2 x － k ＝2 x .故 f ( x )＝2 x ， x ∈R，此时 f ( x )为R上的增函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若 f ( x )不是单调函数，则 f ( x )＝ ⁠ ⁠. 若 f ( x )不是单调函数，令 f ( x )在[0，1)上的解析式为 f ( x )＝ ，它 不是单调函数.又当 x ∈[ k ， k ＋1)， k ∈Z时， x － k ∈[0，1)，故 f ( x )＝ 2 f ( x －1)＝22 f ( x －2)＝…＝2 k × f ( x － k )＝2 k .故 f ( x )＝2 k ， x ∈[ k ， k ＋1)， k ∈Z. 2 k ( x ∈[ k ， k ＋1)， k ∈Z)(答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $$