第1章 提升课1 二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

提升课1　二次函数与一元二次方程、不等式的应用 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 课时作业　巩固提升 内容索引 考点一　形如 f ( x )≥0( f ( x )≤0)在R上恒成立求参数 若不等式( a －2) x 2＋2( a －2) x －4＜0对一切 x ∈R恒成立，则实 数 a 的取值范围是(　C　) C A. (－∞，2] B. [－2，2] C. (－2，2] D. (－∞，－2) 例1 当 a －2＝0，即 a ＝2时，不等式为－4＜0，对一切 x ∈R恒成立. 当 a ≠2时，则 即解得－2＜ a ＜2. 所以实数 a 的取值范围是(－2，2]. 方法总结 一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax 2＋ bx ＋ c ＞0 a ＞0，△＜0 ax 2＋ bx ＋ c ≥0 a ＞0，△≤0 ax 2＋ bx ＋ c ＜0 a ＜0，△＜0 ax 2＋ bx ＋ c ≤0 a ＜0，△≤0 1. (2024·北京模拟)若一元二次不等式2 kx 2＋ kx － ＜0对一切实数 x 都成 立，则 k 的取值范围为(　D　) A. (－3，0] B. [－3，0) C. [－3，0] D. (－3，0) ∵2 kx 2＋ kx － ＜0为一元二次不等式，∴ k ≠0.又∵一元二次不等式2 kx 2＋ kx － ＜0对一切实数 x 都成立，则必有 解得－3＜ k ＜0. D 跟踪训练 考点二　形如 f ( x )≥0在区间[ a ， b ]上恒成立求参数 设函数 f ( x )＝ mx 2－ mx －1( m ≠0)，若对于任意 x ∈[1，3]， f ( x )＜－ m ＋5恒成立，则 m 的取值范围是 ⁠. f ( x )＜－ m ＋5可化为 mx 2－ mx ＋ m －6＜0， 令 g ( x )＝ mx 2－ mx ＋ m －6＝ m ＋ m －6， m ≠0， x ∈[1，3]. 要使 g ( x )＜0在[1，3]上恒成立，则 g ( x )在[1，3]上的最大值小于零. (－∞，0)∪ 　 例2 解得 m ＜ ，则0＜ m ＜ ； 当 m ＜0时，易知 g ( x )在[1，3]上是减函数， 所以 g ( x )max＝ g (1)＝ m －6＜0， 解得 m ＜6， 所以 m ＜0. 综上所述， m 的取值范围是(－∞，0)∪ . 当 m ＞0时，易知 g ( x )在[1，3]上是增函数， 所以 g ( x )max＝ g (3)＝7 m －6＜0， 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法 1. 若 f ( x )>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式 f ( x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围). 2. 转化为函数值域问题，即已知函数 f ( x )的值域为[ m ， n ],则 f ( x )≥a恒 成立⇒ f( x )min≥ a ，即 m ≥ a ； f ( x )≤ a 恒成立⇒ f( x )max≤ a ，即 n ≤ a . 方法总结 2. 若对任意的 x ∈[－1，2]，都有 x 2－2 x ＋ a ≤0( a 为常数)，则 a 的取值 范围是(　A　) A. (－∞，－3] B. (－∞，0] C. [1，＋∞) D. (－∞，1] A 跟踪训练 法二：(最值法)当 x ∈[－1，2]时，不等式 x 2－2 x ＋ a ≤0恒成立等价于 a ≤－ x 2＋2 x 恒成立，则由题意，得 a ≤(－ x 2＋2 x )min( x ∈[－1，2]).而 － x 2＋2 x ＝－( x －1)2＋1，则当 x ＝－1时，(－ x 2＋2 x )min＝－3，所以 a ≤－3. 法一：(函数法)令 f ( x )＝ x 2－2 x ＋ a ，则由题意， 得解得 a ≤－3. 考点三　形如 f ( x )≥0(在参数 m ∈[ a ， b ]上恒成立)确定 x 的取值范围 对任意 m ∈[－1，1]，函数 f ( x )＝ x 2＋( m －4) x ＋4－2 m 的值恒 大于零，求 x 的取值范围. [解]　 f ( x )＝ x 2＋( m －4) x ＋4－2 m ＝( x －2) m ＋ x 2－4 x ＋4， 令 g ( m )＝( x －2) m ＋ x 2－4 x ＋4. 由题意知，在[－1，1]上， g ( m )的值恒大于零， 所以 解得 x ＜1或 x ＞3. 故当 x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意 m ∈[－1，1]，函数 f ( x )的值恒 大于零. 例3 一元二次不等式的参数在某区间上恒成立确定变量x取值范围的方法 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般情况下， 知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与 参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列 式求解. 方法总结 3. 设函数 f ( x )＝ mx 2－ mx －1.若对于任意 m ∈[1，3]， f ( x )＜－ m ＋4恒 成立，则实数 x 的取值范围为 ⁠. 不等式 f ( x )＜－ m ＋4，即 mx 2－ mx ＋ m －5＜0. 记 p ( m )＝ mx 2－ mx ＋ m －5＝( x 2－ x ＋1) m －5. 显然，函数 y ＝ p ( m )( m ∈[1，3])的图象是一条线段，由不等式恒成立 可得 　 跟踪训练 即也就是 故不等式组等价于 x 2－ x － ＜0， 解得 ＜ x ＜ . 所以实数 x 的取值范围为 . 考点四　一元二次方程根的分布 (1)若关于 x 的方程 ax 2－2 ax ＋1＝0有两个不同的正根，则实数 a 的取值范围是(　C　) C A. (0，1) B. (0，＋∞) C. (1，＋∞) D. (－∞，0) 例4 因为关于 x 的方程 ax 2－2 ax ＋1＝0有两个不同的正根， 所以解得 a ＞1， 故实数 a 的取值范围是(1，＋∞). (2)已知方程 x 2＋( m －2) x ＋5－ m ＝0有两个不相等的实数根，且两个实 数根都大于2，则实数 m 的取值范围是(　C　) A. (－5，－4)∪(4，＋∞) B. (－5，＋∞) C. (－5，－4) D. (－4，－2)∪(4，＋∞) C ⇒ ⇒ 则－5＜ m ＜－4， 即 m ∈(－5，－4). 令 f ( x )＝ x 2＋( m －2) x ＋5－ m ，由题可知 (3)关于 x 的方程2 ax 2－ x －1＝0在0＜ x ＜1内恰有一解，则(　B　) A. a ＜－1 B. a ＞1 C. －1＜ a ＜1 D. 0＜ a ≤1 当 a ＝0时， x ＝－1∉(0，1)，不合题意； ∴ a ≠0，令 f ( x )＝2 ax 2－ x －1，有 f (0)＝－1， f (1)＝2( a －1)， 要使 f ( x )在0＜ x ＜1内恰有一个零点， ∴ f (0)· f (1)＜0即可，则 a ＞1. B 方法总结 一、一元二次方程根的零分布 零分布是指方程的根相对于零的关系，比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个方程一个根比零大，一个根比零小，或者说 这两个根分布在零的两侧． 零分布结合判别式、根与系数的关系以及0处的函数值列不等式， 即可求出参数的取值范围. 二、一元二次方程根的 k 分布 根的分布情况 两根都小于 k ， 即 x 1＜ k ， x 2＜ k 两根都大于 k ， 即 x 1＞ k ， x 2＞ k 一根小于 k ，一 根大于 k ,即 x 1＜ k ＜ x 2 大致图象 ( a ＞0) 得出的结论 f ( k )＜0 大致图象 ( a ＜0) 得出的结论 f ( k )＞0 综合结论 (不讨论 a ) a · f ( k )＜0 三、一元二次方程根在区间的分布 根的分布 情况 两根都在 ( m ， n )内 两根有且仅有一根在( m ， n )内(图象有两种情况，只画了一种) 一根在( m ， n )内，另一 根在( p ， q )内( m ＜ n ＜ p ＜ q ) 大致图象 ( a ＞0) 得出的 结论 f ( m )· f ( n )＜0 或 大致图象( a ＜0) 得出的 结论 f ( m )· f ( n )＜0 或 综合结论(不讨论 a ) f ( m )· f ( n )＜0 4. 关于 x 的一元二次方程 kx 2＋3 x －1＝0有实根，则 k 的取值范围是 (　B　) A. k ≤－ B. k ≥－ ，且 k ≠0 C. k ≥－ D. k ＞－ ，且 k ≠0 由题可知Δ＝32＋4 k ≥0，所以 k ≥－ . 又因为 k ≠0，所以 k ≥－ ，且 k ≠0. B 跟踪训练 5. 一元二次方程 x 2－4 mx ＋2 m ＋6＝0有两个不等的非正根，则实数 m 的范围为(　C　) A. －3＜ m ＜0 B. －3＜ m ≤－1 C. －3≤ m ＜－1 D. －1≤ m ≤ 因为一元二次方程 x 2－4 mx ＋2 m ＋6＝0有两个不等的非正根， 解得－3≤ m ＜－1. C 6. (多选)已知一元二次方程 x 2＋( m ＋1) x ＋ ＝0( m ∈Z)有两个实数根 x 1， x 2，且0＜ x 1＜1＜ x 2＜3，则 m 的值为(　BC　) A. －2 B. －3 C. －4 D. －5 BC 可得⇒ 解得－ ＜ m ＜－ . 又因为 m ∈Z，得 m ＝－3或 m ＝－4. 设 f ( x )＝ x 2＋( m ＋1) x ＋ ， 由0＜ x 1＜1＜ x 2＜3， 7. 方程 x 2－2 ax ＋4＝0的两根均大于1，则实数 a 的取值范围是 ⁠. ∵ x 2－2 ax ＋4＝0的两个根都大于1， ∴解得2≤ a ＜ . 可求得实数 a 的取值范围为 . 课时作业　巩固提升 1. (2024·云南弥勒模拟)若不等式 ax 2－ x ＋ a ＞0对一切实数 x 都成立，则 实数 a 的取值范围为(　C　) A. ∪ B. (－∞，0)∪ C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为不等式 ax 2－ x ＋ a ＞0对一切实数 x 都成立， 则即解得 a ＞ ，所以实数 a 的取值范围是 . 显然 a ＝0时，不等式不恒成立； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 若命题“∃ x ∈R，使得 x 2＋ mx ＋2 m －3＜0”为假命题，则实数 m 的取 值范围是(　A　) A. [2，6] B. [－6，－2] C. (2，6) D. (－6，－2) Δ＝ m 2－4(2 m －3)≤0，解得2≤ m ≤6. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 若关于 x 的一元二次方程 x 2－( m ＋1) x － m ＝0有两个不相等的实根， 则 m 的取值范围为(　C　) A. (－∞，－2－3 )∪(－2＋3 ，＋∞) B. (－3－2 ，－3＋2 ) C. (－∞，－3－2 )∪(－3＋2 ，＋∞) D. (－2－3 ，－2＋3 ) 由关于 x 的一元二次方程 x 2－( m ＋1) x － m ＝0有两个不相等的实根， 所以Δ＝( m ＋1)2＋4 m ＞0，即 m 2＋6 m ＋1＞0， 解得 m ＞－3＋2 或 m ＜－3－2 . C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 若 mx 2－ mx －1＜0对于 m ∈[1，2]恒成立，则实数 x 的取值范围为 (　B　) A. B. C. D. R B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设 g ( m )＝ mx 2－ mx －1＝( x 2－ x ) m －1，其图象是直线，当 m ∈[1，2] 时，图象为一条线段，则即解得 ＜ x ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. (2024·湖北孝感模拟)已知 y ＝( x － m )( x － n )＋2 023( n ＞ m )，且α，β (α＜β)是方程 y ＝0的两个实数根，则α，β， m ， n 的大小关系是(　C　) A. α＜ m ＜ n ＜β B. m ＜α＜ n ＜β C. m ＜α＜β＜ n D. α＜ m ＜β＜ n ∵α，β为方程 y ＝0的两个实数根， ∴α，β为函数 y ＝( x － m )( x － n )＋2 023的图象与 x 轴交点的横坐标. 令 y 1＝( x － m )( x － n )， ∴ m ， n 为函数 y 1＝( x － m )( x － n )的图象与 x 轴交点的横坐标， 易知函数 y ＝( x － m )( x － n )＋2 023的图象可由 y 1＝( x － m )( x － n )的图 象向上平移2 023个单位长度得到，∴ m ＜α＜β＜ n . C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 已知定义在R上的奇函数 f ( x )满足：当 x ≥0时， f ( x )＝ x 3，若不等式 f (－4 t )＞ f (2 m ＋ mt 2)对任意实数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是 (　A　) A. (－∞，－ ) B. (－ ，0) C. (－∞，0)∪[ ，＋∞) D. (－∞，－ )∪[ ，＋∞) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵ f ( x )在R上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，∴ f ( x )在R上是增函 数，结合题意得－4 t ＞2 m ＋ mt 2对任意实数 t 恒成立⇒ mt 2＋4 t ＋2 m ＜0 对任意实数 t 恒成立⇒⇒ m ∈(－∞，－ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. (多选)已知函数 f ( x )＝ x 2－ ax －1，当 x ∈[0，3]时，｜ f ( x )｜≤5恒成 立，则实数 a 的值可以是(　CD　) A. －1 B. 0 C. 1 D. 3 ∵｜ f ( x )｜≤5⇔－5≤ x 2－ ax －1≤5， ①当 x ＝0时， a ∈R； ②当 x ≠0时，｜ f ( x )｜≤5⇔－5≤ x 2－ ax －1≤5⇔ x － ≤ a ≤ x ＋ ， 当 x ∈(0，3]时， ＝2＋ ＝4， ＝3－2＝1， ∴1≤ a ≤4.综上所述，1≤ a ≤4. CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 已知命题 p ：“∀ x ∈R，( a ＋1) x 2－2( a ＋1) x ＋3＞0”为真命题，则实 数 a 的取值范围是 ⁠. 当 a ＝－1时，3＞0恒成立； 当 a ≠－1时， 需满足 解得－1＜ a ＜2. 综上所述，－1≤ a ＜2，即 a ∈[－1，2). [－1，2)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 若关于 x 的一元二次方程 x 2－2 ax ＋4＝0有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数 a 的取值范围是 ⁠. 设 f ( x )＝ x 2－2 ax ＋4，由题意解得 a ＞ ，即 a ∈ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. (2024·辽宁营口模拟)若关于 x 的不等式2 x 2－8 x －4－ a ＞0在{ x ｜1＜ x ＜4}上有解，则实数 a 的取值范围是 ⁠. 不等式2 x 2－8 x －4－ a ＞0在{ x ｜1＜ x ＜4}上有解等价于 a ＜2 x 2－8 x －4在{ x ｜1＜ x ＜4}上有解，即 a 小于2 x 2－8 x －4在{ x ｜1＜ x ＜4}上的最大值，2 x 2－8 x －4＝2( x －2)2－12＜2×(4－2)2－12＝－4，故 a ＜－4，即 a ∈(－∞，－4). (－∞，－4)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 若对任意的 a ∈[－1，1]，不等式 x 2＋( a －4) x ＋4－2 a ＞0恒成立， 则 x 的取值范围为 ⁠. 令 f ( a )＝ x 2＋( a －4) x ＋4－2 a ＝( x －2) a ＋ x 2－4 x ＋4，则当 a ∈[－1，1]时，不等式 x 2＋( a －4) x ＋4－2 a ＞0恒成立可转化为 f ( a )＞0在[－1，1]上恒成立. 所以即 整理得 解得 x ＜1或 x ＞3，即 x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞). (－∞，1)∪(3，＋∞)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 已知 a ∈R，函数 f ( x )＝若对任意 x ∈[－3，＋∞)， f ( x )≤｜ x ｜恒成立，则 a 的取值范围是 ⁠. 　 当－3≤ x ≤0时， f ( x ) ≤｜ x ｜恒成立等价转化为 x 2＋2 x ＋ a －2≤－ x 恒 成立，即 a ≤－ x 2－3 x ＋2恒成立，所以 a ≤(－ x 2－3 x ＋2)min＝2；当 x ＞0时， f ( x )≤｜ x ｜恒成立等价转化为－ x 2＋2 x －2 a ≤ x 恒成立，即 a ≥ 恒成立，所以 a ≥ ＝ .综上所述， a 的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. (2024·河南洛阳模拟)已知函数 f ( x )＝ x 2－4 x －4.若 f ( x )＜1在区间( m －1，－2 m )上恒成立，求实数 m 的取值范围. 解：∵ f ( x )＝ x 2－4 x －4且 f ( x )＜1，∴ x 2－4 x －4＜1，解得－1＜ x ＜ 5，即 x ∈(－1，5). ∵ f ( x )＜1在区间( m －1，－2 m )上恒成立， ∴( m －1，－2 m )⊆(－1，5)， ∴解得0≤ m ＜ ，即 m ∈ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 已知 f ( x )＝2 x 2＋ bx ＋ c ，不等式 f ( x )＜0的解集是(0，5). (1)求 f ( x )的解析式； 解： f ( x )＝2 x 2＋ bx ＋ c ，不等式 f ( x )＜0的解集是(0，5)，即2 x 2＋ bx ＋ c ＜0的解集是(0，5)，∴0和5是方程2 x 2＋ bx ＋ c ＝0的两个根，由根与 系数的关系知，－ ＝5， ＝0，∴ b ＝－10， c ＝0，∴ f ( x )的解析式 为 f ( x )＝2 x 2－10 x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若对于任意的 x ∈[－1，1]，不等式 f ( x )＋ t ≤2恒成立，求 t 的取值范围. 解： f ( x )＋ t ≤2恒成立等价于2 x 2－10 x ＋ t －2≤0恒成立，∴2 x 2－10 x ＋ t －2的最大值小于或等于0.设 g ( x )＝2 x 2－10 x ＋ t －2，则由二次函数的 图象可知 g ( x )＝2 x 2－10 x ＋ t －2在区间[－1，1]上为减函数， ∴ g ( x )max＝ g (－1)＝10＋ t ，∴10＋ t ≤0， 即 t ≤－10.即 t 的取值范围是(－∞，－10]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$