第1章 第5节 一元二次不等式-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第五节　一元二次不等式 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 [学习要求]　1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的 存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.　2.会从实际情 境中抽象出一元二次不等式. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点一　一元二次方程与相应的二次函数、 二次不等式的解的对应关系 判别式Δ＝ b 2－4 ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ( a ＞0)的图象 一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0 ( a ＞0)的根 有两相异实数 根 x 1， x 2 ( x 1＜ x 2) 有两相等实数 根 x 1＝ x 2＝ － 没有实数根 判别式Δ＝ b 2－4 ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 一元二次不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0 ( a ＞0)的解集 ⁠ ⁠ R 一元二次不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＜0 ( a ＞0)的解集 ⁠ ⁠ ⌀ ⁠ { x ｜ x ＜ x 1， 或 x ＞ x2} { x ｜ x 1＜ x ＜ x 2}　 ⌀　 知识点二　分式不等式与整式不等式 1. ＞0(＜0)⇔ ⁠； 2. ≥0(≤0)⇔ ⁠. f ( x ) g ( x )＞0(＜0)　 f ( x ) g ( x )≥0(≤0)且 g ( x )≠0　 知识点三　简单的绝对值不等式 　｜ x ｜＞ a ( a ＞0)的解集为 ，｜ x ｜＜ a ( a ＞0)的解集为 ⁠. (－∞，－ a )∪( a ，＋∞)　 (－ a ， a )　 [小题诊断] 1. 不等式( x －1)2＜ x ＋5的解集为(　B　) A. { x ｜1＜ x ＜4} B. { x ｜－1＜ x ＜4} C. { x ｜－4＜ x ＜1} D. { x ｜－1＜ x ＜3} 原不等式可化为 x 2－3 x －4＜0，即( x ＋1)·( x －4)＜0，故其解集为{ x ｜ －1＜ x ＜4}. B 2. 下面四个不等式中解集为R的是(　C　) A. － x 2＋ x ＋1≥0 B. x 2－2 x ＋5＞0 C. x 2＋6 x ＋10＞0 D. 2 x 2－3 x ＋4＜0 利用“Δ”判断，在不等式 x 2＋6 x ＋10＞0中，Δ＝62－40＜0，∴不等式 x 2＋6 x ＋10＞0的解集为R，其他可类似判断. C 3. (2024·辽宁大连模拟)若不等式 ax 2＋ bx ＋2＞0的解集为 ，则 a － b 的值是(　A　) A. －10 B. －14 C. 10 D. 14 A 4. 若( m ＋1) x 2－( m －1) x ＋3( m －1)＜0对任何实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是(　C　) A. (1，＋∞) B. (－∞，－1) C. D. ∪(1，＋∞) C ①当 m ＝－1时，不等式为2 x －6＜0，即 x ＜3，不合题意. ②当 m ≠－1时， 则 解得 m ＜－ . 关键能力　重点探究 考点一　不含参数的不等式的解法 (1)集合 A ＝{ x ｜ x ＞2}， B ＝{ x ｜ x 2－2 x －3＞0}，则 A ∩ B ＝ (　A　) A. (3，＋∞) B. (－∞，－1)∪(3，＋∞) C. (2，＋∞) D. (2，3) B ＝{ x ｜ x 2－2 x －3＞0}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， A ＝{ x ｜ x ＞2}， 故 A ∩ B ＝(3，＋∞). A 例1 (2)对于实数 x ，规定[ x ]表示不大于 x 的最大整数，例如[－1.2]＝－2， [1.5]＝1，那么不等式4[ x ]2－16[ x ]＋7＜0成立的充分不必要条件是 (　B　) A. ＜ x ＜ B. 1≤ x ≤3 C. 1≤ x ＜4 D. 1≤ x ≤4 B 不等式4[ x ]2－16[ x ]＋7＜0⇔(2[ x ]－1)·(2[ x ]－7)＜0⇔ ＜[ x ]＜ ，因 此[ x ]＝1或[ x ]＝2或[ x ]＝3，于是得1≤ x ＜2或2≤ x ＜3或3≤ x ＜4，即1≤ x ＜4，观察四个选项，显然选项B中[1，3]⫋[1，4)，而选项A，C，D中的集合均不真包含于[1，4)，所以不等式4[ x ]2－16[ x ]＋7＜0成立的充分不必要条件是1≤ x ≤3. (3)(2021·上海卷)不等式 ＜1的解集为 ⁠. ＜1，即 －1＜0，即 ＜0， 解得－7＜ x ＜2，因此不等式的解集为(－7，2). (－7，2)　 方法总结 解一元二次不等式的4个步骤 1. (2024·福建泉州模拟)不等式 ＞1的解集为(　A　) A. B. (－∞，1) C. ∪(1，＋∞) D. 原不等式等价于 －1＞0， 即 ＞0，整理得 ＜0，不等式等价于(2 x －1)( x －1)＜0，解 得 ＜ x ＜1. A 跟踪训练 2. 不等式0＜ x 2－ x －2≤4的解集为 ⁠. 原不等式等价于即 即解得 借助于数轴，如图所示， 所以原不等式的解集为{ x ｜－2≤ x ＜－1，或2＜ x ≤3}. { x ｜－2≤ x ＜－1，或2＜ x ≤3} 考点二　含参数的不等式的解法 解关于 x 的不等式 ax 2－2≥2 x － ax ( a ∈R). 解：原不等式可化为 ax 2＋( a －2) x －2≥0. ①当 a ＝0时，原不等式可化为 x ＋1≤0，解得 x ≤－1. ②当 a ＞0时，原不等式可化为 ( x ＋1)≥0，解得 x ≥ 或 x ≤－1. 例2 ③当 a ＜0时，原不等式化为 ( x ＋1)≤0. 当 ＞－1，即 a ＜－2时，解得－1≤ x ≤ ； 当 ＝－1，即 a ＝－2时，解得 x ＝－1； 当 ＜－1，即－2＜ a ＜0时，解得 ≤ x ≤－1. 综上所述，当 a ＝0时，不等式的解集为{ x ｜ x ≤－1}； 当 a ＞0时，不等式的解集为 ； 当－2＜ a ＜0时， 不等式的解集为 ； 当 a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当 a ＜－2时，不等式的解集为 . 方法总结 解含参数的一元二次型不等式的步骤 3. 解关于 x 的不等式. (1) x 2＋ ax ＋1＜0( a ∈R)； 解：Δ＝ a 2－4. 跟踪训练 ①当Δ＝ a 2－4≤0，即－2≤ a ≤2时，原不等式无解. ②当Δ＝ a 2－4＞0，即 a ＞2或 a ＜－2时，方程 x 2＋ ax ＋1＝0的两根为 x 1＝ ， x 2＝ ，则原不等式的解集为 . 综上所述，当－2≤ a ≤2时，原不等式无解； 当 a ＞2或 a ＜－2时，原不等式的解集为 . (2) ax 2－( a ＋1) x ＋1＜0. 解：若 a ＝0，原不等式等价于－ x ＋1＜0， 解得 x ＞1. 若 a ＜0，原不等式等价于 ( x －1)＞0，解得 x ＜ 或 x ＞1. 若 a ＞0，原不等式等价于 ( x －1)＜0. ①当 a ＝1时， ＝1， ( x －1)＜0无解； ②当 a ＞1时， ＜1，解 ( x －1)＜0， 得 ＜ x ＜1； ③当0＜ a ＜1时， ＞1，解 ( x －1)＜0，得1＜ x ＜ . 综上所述，当 a ＜0时，解集为 ； 当 a ＝0时，解集为{ x ｜ x ＞1}； 当0＜ a ＜1时，解集为 ； 当 a ＝1时，解集为⌀； 当 a ＞1时，解集为 . 考点三　三个二次的关系 [例3]　(多选)已知关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0的解集为(－∞，－2)∪ (3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　ABD　) ABD A. a ＞0 B. 不等式 bx ＋ c ＞0的解集是{ x ｜ x ＜－6} C. a ＋ b ＋ c ＞0 D. 不等式 cx 2－ bx ＋ a ＜0的解集为 ∪ ∵关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)， ∴ a ＞0，A选项正确； 已知－2和3是关于 x 的方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0的两根，由根与系数的关系得 则 b ＝－ a ， c ＝－6 a ，则 a ＋ b ＋ c ＝－6 a ＜0，C选项错误； 不等式 bx ＋ c ＞0即为－ ax －6 a ＞0，解得 x ＜－6，B选项正确； 不等式 cx 2－ bx ＋ a ＜0即为－6 ax 2＋ ax ＋ a ＜0，即6 x 2－ x －1＞0，解 得 x ＜－ 或 x ＞ ，D选项正确. 1. 一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二 次不等式解集的端点值. 2. 给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方 向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 方法总结 4. 已知 f ( x )＝－3 x 2＋ a (6－ a ) x ＋6，若不等式 f ( x )＞ b 的解集为(－1，3)，则实数 a 的值为 ，实数 b 的值为 ⁠. ∵ f ( x )＞ b 的解集为(－1，3)， ∴方程－3 x 2＋ a (6－ a ) x ＋6－ b ＝0的两根为－1，3， ∴解得 故实数 a 的值为3± ，实数 b 的值为－3. 3± 　 －3　 跟踪训练 5. 若关于 x 的不等式 x 2－2 ax －8 a 2＜0( a ＞0)的解集为{ x ｜ x 1＜ x ＜ x 2}，且 x 2－ x 1＝15，则 a 的值为 ⁠. 由题知 x 1， x 2是一元二次方程 x 2－2 ax －8 a 2＝0( a ＞0)的实数根， 所以Δ＝4 a 2＋32 a 2＝36 a 2＞0，且 x 1＋ x 2＝2 a ， x 1 x 2＝－8 a 2.又因为 x 2－ x 1＝15， 所以152＝( x 1＋ x 2)2－4 x 1 x 2＝4 a 2＋32 a 2＝36 a 2.又 a ＞0，解得 a ＝ . 　 考点四　一元二次不等式的实际应用 商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为(　C　) C 例4 A. 11元 B. 16元 C. 12元到16元之间 D. 13元到15元之间 设销售价定为每件 x 元，利润为 y 元，则 y ＝( x －8)[100－10( x －10)]， 由题意可得：( x －8)[100－10( x －10)]＞320， 即 x 2－28 x ＋192＜0，所以( x －12)( x －16)＜0，解得12＜ x ＜16， 所以每件销售价应定为12元到16元之间. 利用一元二次不等式解决实际问题，应理解题意，明确数量关 系，并引入变量，依题意建立数学模型，列出一元二次不等式，然后求解. 方法总结 6. 某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低 售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3 盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销 售单价 x (单位：元)的取值范围是(　B　) A. (10，20) B. [15，20) C. (18，20) D. [15，25) 由题意，得 x ＞600，即 x 2－30 x ＋200＜0， ∴ ＜0，解得10＜ x ＜20.又每盏的最低售价为15元， ∴15≤ x ＜20. B 跟踪训练 7. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接 矩形花园(阴影部分)，则其边长 x (单位：m)的取值范围是(　C　) A. 15≤ x ≤30 B. 12≤ x ≤25 C. 10≤ x ≤30 D. 20≤ x ≤30 设矩形的另一边长为 y m，则由三角形相似知， ＝ ， 所以 y ＝40－ x ，因为 xy ≥300，所以 x (40－ x )≥300，即 x 2－40 x ＋300≤0，解得10≤ x ≤30. C 课时作业　巩固提升 [A组　基础保分练] 1. 不等式 ＞0的解集为(　A　) A. B. C. D. 不等式 ＞0可化为 ＜0，解得 ＜ x ＜ . A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2. 已知函数 f ( x )＝则不等式 f ( x )≥ x 2的解集是(　A　) A. [－1，1] B. [－2，2] C. [－2，1] D. [－1，2] 当 x ≤0时， f ( x )＝ x ＋2，由 f ( x )≥ x 2，得 x ＋2≥ x 2，解得－1≤x ≤2，故－1≤ x ≤0， 当 x ＞0时， f ( x )＝－ x ＋2，由 f ( x )≥ x 2，得－ x ＋2≥ x 2，解得－2≤ x ≤1，故0＜ x ≤1. 综上 f ( x )≥ x 2的解集是[－1，1]. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3. (2024·山东泰安模拟)如图所示，数轴上表示的区间与下列不等式的解 集相同的是(　C　) A. x 2－ x －6≤0 B. x 2－ x －6≥0 C. ≥0 D. ≥0 由题图可得数轴上表示的区间为(－∞，－2)∪[3，＋∞)，由 x 2－ x －6≤0，解得－2≤ x ≤3，由 x 2－ x －6≥0，解得 x ≤－2或 x ≥3，由 ≥0，解得 x ＜－2或 x ≥3，由 ≥0，解得 x ≤－2或 x ＞3，所以数轴上表示的区间与不等式 ≥0的解集相同. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4. 若0＜ t ＜1，则关于 x 的不等式( t － x ) ＞0的解集为(　D　) A. B. C. D. 设 f ( x )＝( t － x ) ，则其图象开口向下，令 f ( x )＝0，得 x ＝ t 或 x ＝ .因为0＜ t ＜1，所以 ＞ t ，所以不等式( t － x ) ＞0的解集为 . D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5. 若产品的总成本 y (万元)与产量 x (台)之间的函数关系式是 y ＝3 000＋ 20 x －0.1 x 2(0＜ x ＜240).每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销 售收入不小于总成本)时的最低产量是(　C　) A. 100台 B. 120台 C. 150台 D. 180台 y －25 x ＝－0.1 x 2－5 x ＋3 000≤0， 即 x 2＋50 x －30 000≥0， 解得 x ≥150或 x ≤－200(舍去). C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6. 已知不等式 ax 2－ bx －1＞0的解集是 ，则不等式 x 2－ bx － a ≥0的解集是(　B　) A. { x ｜2＜ x ＜3} B. { x ｜ x ≤2，或 x ≥3} C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∴ 解得 则不等式 x 2－ bx － a ≥0即为 x 2－5 x ＋6≥0，解得 x ≤2或 x ≥3. ∵不等式 ax 2－ bx －1＞0的解集是 ，∴ ax 2－ bx －1＝0的解是 x 1＝－ 和 x 2＝－ ，且 a ＜0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7. (多选)设[ x ]表示不大于实数 x 的最大整数，则满足关于 x 的不等式[ x ]2＋[ x ]－12≤0的解可以为(　AB　) A. B. 3 C. －4.5 D. －5 因为不等式[ x ]2＋[ x ]－12≤0， 所以([ x ]－3)([ x ]＋4)≤0， 所以－4≤[ x ]≤3.又因为[ x ]表示不大于实数 x 的最大整数， 所以不等式[ x ]2＋[ x ]－12≤0的解可以为 ，3. AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8. (多选)下列四个不等式中，解集为⌀的是(　BCD　) A. － x 2＋ x ＋1≤0 B. 2 x 2－3 x ＋4＜0 C. x 2＋3 x ＋10≤0 D. － x 2＋4 x － ＞0( a ＞0) BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于C， x 2＋3 x ＋10≤0对应函数图象开口向上，Δ＝9－40＜0，其解集 为⌀； 对于D，－ x 2＋4 x － ＞0( a ＞0)对应函数图象开口向下，Δ＝16－ 4 ≤16－4×2 ＝0，当且仅当 a ＝2时，取等号，其解集为⌀. 对于A，－ x 2＋ x ＋1≤0对应函数 y ＝－ x 2＋ x ＋1的图象开口向下，显然 解集不为⌀； 对于B，2 x 2－3 x ＋4＜0对应函数图象开口向上，Δ＝9－32＜0，其解集 为⌀； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9. (多选)已知 a ∈Z，关于 x 的一元二次不等式 x 2－6 x ＋ a ≤0的解集中有 且仅有3个整数，则 a 的值可以是(　ABC　) ABC A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设 y ＝ x 2－6 x ＋ a ，则其图象为开口向上、对称轴是直线 x ＝3的抛物 线，如图所示. 若关于 x 的一元二次不等式 x 2－6 x ＋ a ≤0的解集中有且仅有3个整数， 则解得5＜ a ≤8.又 a ∈Z，所以 a 的值可以为6，7，8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10. 不等式 ≤1的解集为 　(－∞，1)∪ 　. 由 ≤1，得 ≤0，故 ≥0， 则(2 x －3)( x －1)≥0且 x ≠1， 解得 x ＜1或 x ≥ . 故 ≤1的解集为(－∞，1)∪ . (－∞，1)∪ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11. 关于 x 的不等式( ax － b )( x －2)＞0的解集为 ，则满足 条件的一组有序实数对( a ， b )的值可以是 ⁠. 由题意得即 a ＝2 b ＜0，则满足条件的一组有序实数对( a ， b ) 的值可以是(－2，－1). (－2，－1)(答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12. 不等式( m ＋1) x 2－ mx ＋ m －1＜0的解集为⌀，求实数 m 的取值范围. 解：∵不等式( m ＋1) x 2－ mx ＋ m －1＜0的解集为⌀， ∴( m ＋1) x 2－ mx ＋ m －1≥0恒成立. ①当 m ＋1＝0，即 m ＝－1时，不等式化为 x －2≥0， 解得 x ≥2，不是对任意 x ∈R恒成立，舍去； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ②当 m ＋1≠0，即 m ≠－1时，对任意 x ∈R， 要使( m ＋1) x 2－ mx ＋ m －1≥0， 只需 m ＋1＞0且Δ＝(－ m )2－4( m ＋1)( m －1)≤0，解得 m ≥ . 综上，实数 m 的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [B组　能力提升练] 13. 若不等式 x 2－( a ＋1) x ＋ a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则 a 的取值 范围是(　B　) A. [－4，1] B. [－4，3] C. [1，3] D. [－1，3] 原不等式可化为( x － a )( x －1)≤0，当 a ＜1时，不等式的解集为[ a ，1]，此时只要 a ≥－4即可，即－4≤ a ＜1；当 a ＝1时，不等式的解为 x ＝1，此时符合要求；当 a ＞1时，不等式的解集为[1， a ]，此时只要 a ≤3即可，即1＜ a ≤3.综上可得－4≤ a ≤3. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14. 关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0的解集为( m ， n )( m ＜ n )，有 以下结论： 甲： m ＝－3；乙： n ＝－1；丙： m ＋ n ＝－2；丁： ac ＜0.如果只有一 个假命题，则假命题是(　B ) B A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 假设只有甲是假命题，当 n ＝－1， m ＋ n ＝－2时， m ＝－1，所以 mn ＝1＝ ＞0，所以 ac ＜0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合 题意； 假设只有乙是假命题，当 m ＝－3， m ＋ n ＝－2时， n ＝1，所以 mn ＝ －3＝ ＜0，所以 ac ＜0，符合题意； 假设只有丙是假命题， m ＝－3， n ＝－1，所以 mn ＝3＝ ＞0，所以 ac ＜0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意； 假设只有丁是假命题， m ＝－3， n ＝－1时， m ＋ n ≠－2，与已知矛 盾，所以这种情况不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15. (多选)关于 x 的不等式( ax －1)( x ＋2 a －1)＞0的解集中恰有3个整数，则 a 的值可以为(　AC　) A. － B. 1 C. －1 D. －2 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意知 a ＜0，则排除B；对于A，当 a ＝－ 时， ( x －2)＞0，即( x ＋2)·( x －2)＜0，解得－2＜ x ＜2，恰有3个整数，符合题意； 对于C，当 a ＝－1时，(－ x －1)( x －3)＞0，即( x ＋1)( x －3)＜0，解得 －1＜ x ＜3，恰有3个整数，符合题意；对于D，当 a ＝－2时，(－2 x － 1)( x －5)＞0，即(2 x ＋1)( x －5)＜0，解得－ ＜ x ＜5，有5个整数，不 符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16. (多选)已知关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ≥0的解集为{ x ｜ x ≤3，或 x ≥4}，则下列结论中，正确的有(　AD　) A. a ＞0 B. 不等式 bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜ x ＜－4} C. 不等式 cx 2－ bx ＋ a ＜0的解集为 D. a ＋ b ＋ c ＞0 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由不等式的解集为{ x ｜ x ≤3，或 x ≥4}可知 a ＞0且所 以对于A，由以上可知，A正确；对于B， bx ＋ c ＝－7 ax ＋ 12 a ＞0，又 a ＞0，所以 x ＜ ，B错误；对于C， cx 2－ bx ＋ a ＝12 ax 2 ＋7 ax ＋ a ＜0，又 a ＞0，即12 x 2＋7 x ＋1＜0，解得－ ＜ x ＜－ ，C 错误；对于D， a ＋ b ＋ c ＝ a －7 a ＋12 a ＝6 a ＞0，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17. 某辆汽车以 x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行 车安全，要求60≤ x ≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为 L，其中 k 为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的 油耗为11.5 L，则 k ＝ ；欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度 x 的取值范围为 ⁠. 100　 [60，100]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解得 k ＝100. 由 ≤9， 得 x 2－145 x ＋4 500≤0， 解得45≤ x ≤100. 又∵60≤ x ≤120，∴60≤ x ≤100. 由题意，当 x ＝120时， ＝11.5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18. (2024·河北石家庄模拟)设关于 x 的不等式 ax 2＋8( a ＋1) x ＋7 a ＋16≥0 ( a ∈Z)，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则 a 的取值是 ；不等式的全部整数解的和为 ⁠. 若 a ＝0，则原不等式为8 x ＋16≥0， 即 x ≥－2，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故 a ≠0. 设 y ＝ ax 2＋8( a ＋1) x ＋7 a ＋16( a ≠0)，其图象为抛物线，对于任意一个 给定的 a 值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足 y ≥0的整数解是 有限个，所以 a ＜0. －2或－1　 －10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 即 a ≥－ ，所以－ ≤ a ＜0. 又 a ∈Z，所以 a ＝－2或 a ＝－1. 若 a ＝－2，则不等式为－2 x 2－8 x ＋2≥0， 解得－2－ ≤ x ≤ －2. 因为 x 为整数，所以 x ＝－4，－3，－2，－1，0； 若 a ＝－1，则不等式为－ x 2＋9≥0， 解得－3≤ x ≤3.因为 x 为整数， 所以 x ＝－3，－2，－1，0，1，2，3. 综上可得，不等式的全部整数解的和为－10. 因为0为其中一个解，所以7 a ＋16≥0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [C组　高考新动向] 19. 已知集合：① A ＝ ；② A ＝{ x ｜ x 2－2 x －3＜0}；③ A ＝{ x ｜｜ x －1｜＜2}.集合 B ＝{ x ｜ x 2－(2 m ＋1) x ＋ m 2＋ m ＜0}( m 为 常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合 A ，求解下列问题： (1)定义 A － B ＝{ x ｜ x ∈ A 且 x ∉ B }，当 m ＝0时，求 A － B ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：选①： ＞1，若 x ＋1＞0，即 x ＞－1时， ＞1，即4＞ x ＋1，解得－1＜ x ＜3. 若 x ＋1＜0，则 ＜0，则 ＞1无解. 所以 ＞1的解集为(－1，3)， 故 A ＝(－1，3)，由 m ＝0，可得 x 2－ x ＜0， 即 x ( x －1)＜0，解得0＜ x ＜1， 故 B ＝(0，1)，则 A － B ＝(－1，0]∪[1，3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 选②： x 2－2 x －3＜0，解得－1＜ x ＜3， 故 A ＝(－1，3)， 由 m ＝0，得 x 2－ x ＜0，即 x ( x －1)＜0，解得0＜ x ＜1，故 B ＝(0，1)， 则 A － B ＝(－1，0]∪[1，3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 选③： ｜ x －1｜＜2，－2＜ x －1＜2，解得－1＜ x ＜3， 故 A ＝(－1，3)， 由 m ＝0，得 x 2－ x ＜0，即 x ( x －1)＜0，解得0＜ x ＜1， 故 B ＝(0，1)， 则 A － B ＝(－1，0]∪[1，3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)设命题 p ： x ∈ A ，命题 q ： x ∈ B ，若 p 是 q 成立的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围. 解：由(1)可知，条件①②③求出的集合 A 相同，即 A ＝(－1，3). 由 x 2－(2 m ＋1) x ＋ m 2＋ m ＜0，即( x － m )[ x －( m ＋1)]＜0， 解得 B ＝( m ， m ＋1). 因为 p 是 q 成立的必要不充分条件，所以 B ⫋ A ，所以 或解得－1≤ m ≤2， 故实数 m 的取值范围为[－1，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$