第1章 第4节 基本不等式-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第四节　基本不等式 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 [学习要求]　1.掌握基本不等式 ≤ ( a ＞0， b ＞0)，结合具体实 例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.　2.掌握基本不等 式在实际生活中的应用. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点一　基本不等式 ≤ 1. 基本不等式成立的条件： ⁠. 2. 等号成立的条件：当且仅当 时取等号. a ≥0， b ≥0　 a ＝ b 　 知识点二　几个重要的不等式 1. a 2＋ b 2≥ ( a ， b ∈R). 2. ＋ ≥ ( a ， b 同号). 3. ab ≤ ( a ， b ∈R). 4. ≥ 　 　( a ， b ∈R). 以上不等式等号成立的条件均为 a ＝ b . 2 ab 　 2　 　 知识点三　利用基本不等式求最值 　已知 x ＞0， y ＞0，则 1. 若 x ＋ y ＝ s (和为定值)，则当 时，积 xy 取得最大值 ⁠. 2. 若 xy ＝ p (积为定值)，则当 时，和 x ＋ y 取得最小值 ⁠ ⁠. x ＝ y 　 　 x ＝ y 　 2 [小题诊断] 1. 设 a ＞0，则9 a ＋ 的最小值为(　C　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 因为 a ＞0，所以9 a ＋ ≥2 ＝6，当且仅当9 a ＝ ，即 a ＝ 时等 号成立，所以9 a ＋ 的最小值为6. C 2. 设 x ＞0， y ＞0，且 x ＋ y ＝18，则 xy 的最大值为(　C　) A. 80 B. 77 C. 81 D. 82 xy ≤ ＝81，当且仅当 x ＝ y ＝9时，等号成立. C 3. 若 x ＞0，则关于 x ＋ 下列结论正确的是(　B　) A. 有最大值，且最大值为4 B. 有最小值，且最小值为4 C. 有最大值，且最大值为2 D. 有最小值，且最小值为2 因为 x ＞0，所以 x ＋ ≥2 ＝4，当且仅当 x ＝2时等号成立. B 4. (多选)下列不等式中，不正确的是(　ABC　) A. a ＋ ≥4 B. a 2＋ b 2≥4 ab C. ≥ D. x 2＋ ≥2 ABC a ＜0时， a ＋ ≥4不成立，故A错误； a ＝1， b ＝1， a 2＋ b 2＜4 ab ，故 B错误； a ＝4， b ＝16，则 ＜ ，故C错误；由基本不等式可知 D项正确. 关键能力　重点探究 考点一　利用配凑法求最值 (1)若－4＜ x ＜1，则 f ( x )＝ (　D　) D 例1 A. 有最小值1 B. 有最大值1 C. 有最小值－1 D. 有最大值－1 ∵－4＜ x ＜1，∴0＜1－ x ＜5， ∴ f ( x )＝ ＝ ＝－ ≤－ ×2 ＝－1，当且仅当1－ x ＝ ，即 x ＝0时等号成立. ∴函数 f ( x )有最大值－1，无最小值. (2)已知正实数 a ， b 满足 a ＋4 b ＝1，则 ab 的最大值为 ⁠. 正实数 a ， b 满足 a ＋4 b ＝1，则 ab ＝ × a ·4 b ≤ × ＝ ，当 且仅当 a ＝ ， b ＝ 时等号成立. 　 配凑法求最值的实质及关键点 　　配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方 法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的 方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键. 方法总结 1. 已知 a ， b 是正数，且4 a ＋3 b ＝6，则 a ( a ＋3 b )的最大值是(　C　) A. B. C. 3 D. 9 ∵ a ＞0， b ＞0，4 a ＋3 b ＝6， ∴ a ( a ＋3 b )＝ ·3 a ( a ＋3 b )≤ · ＝ × ＝3，当且仅当 3 a ＝ a ＋3 b ，即 a ＝1， b ＝ 时， a ( a ＋3 b )的最大值是3. C 跟踪训练 2. 已知不等式2 x ＋ m ＋ ＞0对一切 x ∈ 恒成立，则实数 m 的取值范围是(　A　) A. m ＞－6 B. m ＜－6 C. m ＞－7 D. m ＜－7 A 由题意知，－ m ＜2 x ＋ 对一切 x ∈ 恒成立.又 x ≥ 时， x － 1＞0，则2 x ＋ ＝2( x －1)＋ ＋2≥2 ＋2＝6，当且 仅当2( x －1)＝ ，即 x ＝2时等号成立. ∴－ m ＜6，即 m ＞－6. 3. 已知函数 f ( x )＝3 x ＋ ( a ＞0)的最小值为5，则 a ＝ 　 　. f ( x )＝3 x ＋ ＝3 x ＋1＋ －1≥2 －1＝5，当且仅当3 x ＋1＝ 时等号成立，∴ a ＝9，经检验，当且仅当3 x ＝2时等号成立. 9 考点二　利用常数代换法求最值 (2024·江西南昌模拟)已知正数 a ， b 满足8 a ＋4 b ＝ ab ，则8 a ＋ b 的最小值为(　C　) C 例2 A. 54 B. 56 C. 72 D. 81 法一：∵8 a ＋4 b ＝ ab ， a ＞0， b ＞0，∴ ＋ ＝1，∴8 a ＋ b ＝(8 a ＋ b ) ＝ ＋ ＋40≥2 ＋40＝72，当且仅当 ＝ ，即 a ＝6， b ＝24时取等号. 法二：∵8 a ＋4 b ＝ ab ，∴ b ＝ ＞0.∵ a ＞0， ∴ a ＞4，∴8 a ＋ b ＝8 a ＋ ＝ ＝8 ≥8× (2 ＋5)＝72，当且仅当 a ＝6时取等号. 常数代换法求解最值的基本步骤 1. 根据已知条件或其变形确定定值(常数). 2. 把确定的定值(常数)变形为1. 3. 把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为 定值的形式. 4. 利用基本不等式求解最值. 方法总结 4. 已知 x ＞0， y ＞0，且4 x ＋2 y － xy ＝0，则2 x ＋ y 的最小值为(　A　) A. 16 B. 8＋4 C. 12 D. 6＋4 由题意可知 ＋ ＝1， ∴2 x ＋ y ＝(2 x ＋ y ) ＝ ＋ ＋8≥2 ＋8＝16， 当且仅当 ＝ ，即 x ＝4， y ＝8时，等号成立， 则2 x ＋ y 的最小值为16. A 跟踪训练 5. 已知 a ＞1， b ＞0， a ＋ b ＝2，则 ＋ 的最小值为(　A　) A. ＋ B. ＋ C. 3＋2 D. ＋ 已知 a ＞1， b ＞0， a ＋ b ＝2，可得( a －1)＋ b ＝1. 又 a －1＞0，则 ＋ ＝[( a －1)＋ b ] ＝1＋ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝ ＋ . 当且仅当 ＝ ， a ＋ b ＝2时等号成立. 则 ＋ 的最小值为 ＋ . A 考点三　利用消元法求最值 已知 x ＞0， y ＞0， x ＋3 y ＋ xy ＝9，则 x ＋3 y 的最小值为 ⁠. 法一：(换元消元法)由已知得 x ＋3 y ＝9－ xy .因为 x ＞0， y ＞0，所以 x ＋3 y ≥2 ， 所以3 xy ≤ ，当且仅当 x ＝3 y ，即 x ＝3， y ＝1时取等号，所以 x ＋3 y ＋ ≥9，即( x ＋3 y )2＋12( x ＋3 y )－108≥0. 令 x ＋3 y ＝ t ，则 t ＞0且 t 2＋12 t －108≥0， 6　 例3 解得 t ≥6，即 x ＋3 y 的最小值为6. 法二：(代入消元法)由 x ＋3 y ＋ xy ＝9，得 x ＝ ， 所以 x ＋3 y ＝ ＋3 y ＝ ＝ ＝ ＝ 3(1＋ y )＋ －6≥2 －6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋ y )＝ ，即 y ＝1， x ＝3时等号成立，所以 x ＋3 y 的最小值为6. 利用消元法求最值的技巧 消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代 数式，再进行最值的求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后 利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围. 方法总结 6. 已知 x ＞0， y ＞0， x ＋2 y ＋2 xy ＝8，则 x ＋2 y 的最小值是 ⁠. ∵ x ＞0， y ＞0， x ＋2 y ＋2 xy ＝8， ∴ x ＝ ＝ －1， ∴ x ＋2 y ＝ ＋(2 y ＋1)－2≥2 －2＝4(当且仅当 y ＝1 时取等号)，∴ x ＋2 y 的最小值为4. 4　 跟踪训练 考点四　基本不等式的实际应用 第十四届全国运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为 x 元时，销售量可达到(15－0.1 x )万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格. 例4 (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？ 解：每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)， 供货单价为50＋ ＝52(元)， 总利润为5×(100－52)＝240(万元). (2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是 多少元？ 解：设售价为 x 元，则销售量为(15－0.1 x )万套， 供货单价为 元， 单套利润为 x －50－ ＝ 元.因为15－0.1 x ＞0，所以0＜ x ＜150， 所以单套利润为 y ＝ x －50－ ＝－ ＋100≤ 100－2 ＝80， 当且仅当150－ x ＝10，即 x ＝140时取等号， 所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是 80元. 利用基本不等式求解实际问题的两个注意点 1. 利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关系，并引入 变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解. 2. 在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用 函数单调性求解. 方法总结 7. 如图，某生态园将一个三角形地块 ABC 的一角 APQ 开辟为水果园种植桃树，已知 A 为120°， AB ， AC 的长度均大于200米，现在边界 AP ， AQ 处建围墙，在 PQ 处围竹篱笆. 跟踪训练 (1)若围墙 AP 与 AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块 APQ 的面 积最大？ 解：设 AP ＝ x 米， AQ ＝ y 米. x ＋ y ＝200，△ APQ 的面积 S ＝ xy sin 120°＝ xy ， 所以 S ≤ ＝2 500 ，当且仅当即 x ＝ y ＝100时 取等号. 即 AP 与 AQ 的长度都为100米时，可使得三角形地块 APQ 的面积最大. (2)已知 AP 段围墙高1米， AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元. 若围围墙用20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？ 解：由题意得100×( x ＋1.5 y )＝20 000， 即 x ＋1.5 y ＝200.要使竹篱笆用料最省， 只需其长度 PQ 最短， 所以 PQ 2＝ x 2＋ y 2－2 xy cos 120°＝ x 2＋ y 2＋ xy ＝(200－1.5 y )2＋ y 2＋ (200－1.5 y ) y ＝1.75 y 2－400 y ＋40 000＝1.75 ＋ ， 当 y ＝ 时， PQ 有最小值 ，此时 x ＝ .即 AP 长为 米， AQ 长为 米时，可使竹篱笆用料最省. (1)已知 a ， b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是 (　B　) B 教材延展　基本不等式链 例1 A. B. ＋ C. D. ∵ a ， b 为互不相等的正实数， ∴ ＋ ＞ ， ＜ ＝ ＜ ， ＜ ＝ ＜ ， ∴最大的是 ＋ . (2)(多选)设正实数 a ， b 满足 a ＋ b ＝1，则(　ACD　) A. 有最大值 B. ＋ 有最小值3 C. a 2＋ b 2有最小值 D. ＋ 有最大值 ACD 对于B，由 ≤ ＝ ＝ ，得 ＋ ≥ ，当且仅当 a ＋2 b ＝2 a ＋ b ，即 a ＝ b ＝ 时等号成立，B错误； 对于C，由 ≥ ＝ ，得 a 2＋ b 2≥ ，当且仅当 a ＝ b ＝ 时等号成立，C正确； 对于D，由 ≤ ＝ ，得 ＋ ≤ ，当且仅当 a ＝ b ＝ 时等号成立，D正确. 对于A，由均值不等式可得 ≤ ＝ ，当且仅当 a ＝ b ＝ 时，等 号成立，A正确； 已知 a ， b ， c 都是非负实数，求证： ＋ ＋ ≥ ( a ＋ b ＋ c ). [证明]　∵ ≥ . 即 ≥ ( a ＋ b )， 同理， ≥ ( b ＋ c )， ≥ ( c ＋ a )， 相加可得 ＋ ＋ ≥ ( a ＋ b )＋ ( b ＋ c )＋ ( c ＋ a )＝ ( a ＋ b ＋ c )， 当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号成立. 例2 基本不等式的常见变形 1. . 2. 基本不等式链： 其中 和 分别叫作 a ， b 的调和平均数和平方平均数. 方法总结 1. (多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若 x ， y 满足 x 2＋ y 2－ xy ＝1，则(　BC　) A. x ＋ y ≤1 B. x ＋ y ≥－2 C. x 2＋ y 2≤2 D. x 2＋ y 2≥1 BC 跟踪训练 因为 x 2＋ y 2－ xy ＝( x ＋ y )2－3 xy ＝1，且 xy ≤ ，所以( x ＋ y )2－ 3 xy ≥( x ＋ y )2－ ( x ＋ y )2＝ ( x ＋ y )2，故( x ＋ y )2≤4，当且仅当 x ＝ y 时等号成立，即－2≤ x ＋ y ≤2，故A错误，B正确；由 xy ≤ 得1＝ x 2＋ y 2－ xy ≥ x 2＋ y 2－ ，即 x 2＋ y 2≤2，当且仅当 x ＝ y 时等号成立，故C正确，D错误. 2. 当－ ＜ x ＜ 时，函数 y ＝ ＋ 的最大值为 　2 　. 由 ≤ ，得 a ＋ b ≤2 ，则 y ＝ ＋ ≤2 ＝2 ，当且仅当 ＝ ，即 x ＝ 时等号成立. 2 　 课时作业　巩固提升 [A组　基础保分练] 1. 设0＜ a ＜ b ，则下列不等式中正确的是(　B　) A. a ＜ b ＜ ＜ B. a ＜ ＜ ＜ b C. a ＜ ＜ b ＜ D. ＜ a ＜ ＜ b B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 法一(特值法)：代入 a ＝1， b ＝2，则有0＜ a ＝1＜ ＝ ＜ ＝ 1.5＜ b ＝2. 法二(直接法)：已知0＜ a ＜ b 和 ＜ ，比较 a 与 的大小. 因为 a 2－( )2＝ a ( a － b )＜0，所以 a ＜ ，同理，由b 2－( )2＝ b ( b － a )＞0，得 ＜ b .因为 b － ＝ ＞0，所以 ＜ b .综上可 得， a ＜ ＜ ＜ b . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2. 若 x ＜0，则关于 x ＋ 下列结论正确的是(　D　) A. 有最小值，且最小值为2 B. 有最大值，且最大值为2 C. 有最小值，且最小值为－2 D. 有最大值，且最大值为－2 因为 x ＜0，所以－ x ＞0，－ x ＋ ≥2，当且仅当 x ＝－1时，等号成立，所以 x ＋ ≤－2. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 3. (2024·江西南昌模拟)若 x ＞0， y ＞0，则“ x ＋2 y ＝2 ”的一个充 分不必要条件是(　C　) A. x ＝ y B. x ＝2 y C. x ＝2且 y ＝1 D. x ＝ y 或 y ＝1 ∵ x ＞0， y ＞0，∴ x ＋2 y ≥2 ， 当且仅当 x ＝2 y 时取等号. 故“ x ＝2且 y ＝1”是“ x ＋2 y ＝2 ”的一个充分不必要条件. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 4. 已知 x ＞0， y ＞0且 x ＋ y ＝1，则 p ＝ x ＋ ＋ y ＋ 的最小值为(　C　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 p ＝ x ＋ ＋ y ＋ ＝3＋ ＋ ≥3＋2 ＝5，当且仅当 x ＝ y ＝ 时等号成立. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5. 已知 a ， b ∈正实数，且 a ＋2 b ＝ ab －16，则 ab 的最小值为(　B　) A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 ab －16＝ a ＋2 b ≥2 ，令 ＝ t ， 则 t 2－2 t －16≥0⇒ t ≥ ＝4 ， 故 ab ≥32，即 ab 最小值为32(当且仅当 a ＝8， b ＝4时取等号). B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6. (2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　C　) A. y ＝ x 2＋2 x ＋4 B. y ＝｜ sin x ｜＋ C. y ＝2 x ＋22－ x D. y ＝ln x ＋ 选项A：因为 y ＝ x 2＋2 x ＋4＝( x ＋1)2＋3， 所以当 x ＝－1时， y 取得最小值，且 y min＝3，所以选项A不符合题意. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 选项B：因为 y ＝｜ sin x ｜＋ ≥2 ＝4，所以 y ≥4，当且仅当｜ sin x ｜＝ ，即｜ sin x ｜＝2时不等式取等号， 但是根据正弦函数的有界性可知｜ sin x ｜＝2不可能成立， 因此可知 y ＞4，所以选项B不符合题意. 选项C：因为 y ＝2 x ＋22－ x ≥2 ＝4，当且仅当2 x ＝22－ x ， 即 x ＝2－ x ，即 x ＝1时不等式取等号， 所以 y min＝4，所以选项C符合题意. 选项D：当0＜ x ＜1时，ln x ＜0， y ＝ln x ＋ ＜0，所以选项D不符合 题意. 综上，所给函数中最小值为4的是选项C中的函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7. (多选)若 x ≥ y ，则下列不等式中正确的是(　AD　) A. 2 x ≥2 y B. ≥ C. x 2≥y 2 D. x 2＋ y 2≥2 xy 由指数函数的单调性可知，当 x ≥ y 时，有2 x ≥2 y ，故A正确； 当0＞ x ≥ y 时， ≥ 不成立，故B错误； 当x＝－ 1，y ＝－ 2 时， x 2 ≥ y 2不成立，故C错误； x 2＋ y 2－2 xy ＝( x － y )2≥0恒成立，即 x 2＋ y 2≥2 xy 成立，故D正确. AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8. (多选)设正实数 m ， n 满足 m ＋ n ＝2，则下列说法正确的是(　BD　) A. ＋ 的最小值为2 B. mn 的最大值为1 C. ＋ 的最小值为2 D. m 2＋ n 2的最小值为2 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 因为 m ＞0， n ＞0， m ＋ n ＝2，所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋1≥ 2 ＋1＝3，当且仅当 m ＝ n ＝1时取等号，A错误； mn ≤ ＝1，当且仅当 m ＝ n ＝1时， mn 取得最大值1，B正确；因为( ＋ )2＝ m ＋ n ＋2 ＝2＋2 ≤2＋ m ＋ n ＝4，当且仅当 m ＝ n ＝1时取等号，故 ＋ ≤2，即 ＋ 的最大值为2，C错误； m 2＋ n 2＝( m ＋ n )2－2 mn ＝4－2 mn ≥4－2× ＝2，当且仅当 m ＝ n ＝1时取等号，故 m 2＋ n 2的最小值为2，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9. (2024·四川遂宁模拟)当 x ＞1时， x ＋ 的最小值为 ⁠. 因为 x ＞1，所以 x －1＞0，由基本不等式得 x ＋ ＝( x －1)＋ ＋1≥ 2 ＋1＝5， 当且仅当 x ＝3时，等号成立.因此， x ＋ 的最小值为5. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10. 设等差数列{ an }的公差为 d ，其前 n 项和是 Sn ，若 a 1＝ d ＝1，则 的最小值是 　 　. 因为 an ＝ a 1＋( n －1) d ＝ n ， Sn ＝ ， 所以 ＝ ＝ · ≥ · ＝ ，当且仅当 n ＝ ，即 n ＝4时取等号，所以 的最小值是 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品 可获得的总利润 y (单位：万元)与机器运转时间 x (单位：年)的关系式为 y ＝－ x 2＋18 x －25( x ∈N＋)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利 润为 万元. 每台机器运转 x 年的年平均利润为 ＝ 万元.由于 x ＞0， 故 ≤18－2 ＝8，当且仅当 x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公 司创造的年平均利润最大，最大为8万元. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12. (2024·湖南岳阳模拟)若 a ＞0， b ＞0，且 a ＋2 b －4＝0. (1)求 ab 的最大值； 解：∵ a ＞0， b ＞0，且 a ＋2 b －4＝0，∴ a ＋2 b ＝4， ∴ ab ＝ a ·2 b ≤ · ＝2， 当且仅当 a ＝2 b ，即 a ＝2， b ＝1时等号成立， ∴ ab 的最大值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)求 ＋ 的最小值. 解：∵ ＋ ＝ · ＝ ≥ · ＝ ，当且仅当 a ＝ b ＝ 时等号成立，∴ ＋ 的最 小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [B组　能力提升练] 13. (2024·湖南益阳模拟)《几何原本》第二卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形来证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点 F 在半圆 O 上，点 C 在半径 OB 上，且 OF ⊥ AB . 设 AC ＝ a ， BC ＝ b ，则该图形可以完成的无字证明为(　D　) D A. ≥ ( a ＞0， b ＞0) B. a 2＋ b 2≥2 ab ( a ＞0， b ＞0) C. ≤ ( a ＞0， b ＞0) D. ≤ ( a ＞0， b ＞0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由题图可知 OF ＝ AB ＝ ， OC ＝ . 在Rt△ OCF 中，由勾股定理可得 CF ＝ ＝ . ∵ CF ≥ OF ，∴ ≤ ( a ＞0， b ＞0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14. 已知不等式( x ＋ y ) ≥9对任意正实数 x ， y 恒成立，则正实数 a 的最小值为(　B　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 已知不等式( x ＋ y ) ≥9对任意正实数 x ， y 恒成立，则( x ＋ y ) ＝1＋ a ＋ ＋ ≥ a ＋2 ＋1＝(1＋ )2≥9，所以 ≥2或 ≤－4(舍去)，所以 a ≥4，即正实数 a 的最小值为4. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15. (2024·北京模拟)设 f ( x )＝ln x ，0＜ a ＜ b .若 p ＝ f ( )， q ＝ f ， r ＝ ( f ( a )＋ f ( b ))，则下列关系中正确的是(　C　) A. q ＝ r ＜ p B. q ＝ r ＞ p C. p ＝ r ＜ q D. p ＝ r ＞ q ∵0＜ a ＜ b ，∴ ＜ .∵ f ( x )＝ln x 在(0，＋∞)上是增函数，∴ f ( )＜ f . 又 ＝ln ＜ln ， ∴ ＜ f ，∴ p ＝ r ＜ q . C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16. (多选)一个矩形的周长为 l ，面积为 S ，则如下四组数对中，可作为 数对( S ， l )的是(　AC　) A. (1，4) B. (6，8) C. (7，12) D. AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 设矩形的边长分别为 x ， y ，则 x ＋ y ＝ l ， S ＝ xy .对于A，(1，4)，则 x ＋ y ＝2， xy ＝1，根据基本不等式满足 xy ≤ ，符合题意；对于 B，(6，8)，则 x ＋ y ＝4， xy ＝6，根据基本不等式不满足 xy ≤ ，不符合题意；对于C，(7，12)，则 x ＋ y ＝6， xy ＝7，根据基本不等式满足 xy ≤ ，符合题意；对于D， ，则 x ＋ y ＝ ， xy ＝3，根据基本不等式不满足 xy ≤ ，不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17. (多选)(2024·湖北武汉模拟)若0＜ a ＜ b ＜ c ，且 abc ＝1，则(　BC　) A. 2 a ＋2 b ＞4 B. lg a ＋lg b ＜0 C. a ＋ c 2＞2 D. a 2＋ c ＞2 法一：因为0＜ a ＜ b ＜ c ， abc ＝1，所以0＜ a ＜1， c ＞1， a ＋ b ＞0， 0＜ ab ＜1， 对于A，2 a ＋2 b ≥2 ＞2×1＝2，所以A不正确； 对于B，lg a ＋lg b ＝lg ab ＜0，所以B正确； 对于C， a ＋ c 2≥2 ＞2 ＝2，所以C正确； BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 对于D，因为0＜ a ＜ b ＜ c ， abc ＝1，所以0＜ ＜1， c ＝ ， 所以 a 2＋ c ≥2 ＝2 ，因为2 ＜2，所以D不正确. 法二(特殊值法)：因为0＜ a ＜ b ＜ c ， abc ＝1，令 a ＝ ， b ＝1， c ＝2，则 ＋21＝2＋ ＜4，A错误；因为lg a ＋lg b ＝lg( ab )＜lg 1＝0，所以B正确；因为 a ＋ c 2＝ ＋ c 2≥2 ＞2，所以C正确；令 a ＝ ， b ＝1， c ＝ ，则 ＋ ＝ ＜2，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18. 写出一个关于 a 与 b 的等式，使 ＋ 是一个变量，且它的最小值 为16，则该等式为 ⁠. 该等式可为 a 2＋ b 2＝1，证明如下： ＋ ＝ ( a 2＋ b 2)＝1＋9＋ ＋ ≥10＋2 ＝16，当且仅当 b 2＝3 a 2时取等号，所以 ＋ 是一个变量，且它的最小值为16. a 2＋ b 2＝1(答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19. 若直线 l ： ax － by ＋2＝0( a ＞0， b ＞0)经过圆 x 2＋ y 2＋2 x －4 y ＋1＝0的圆心，则 ＋ 的最小值为 　 ＋ 　. 直线 l ： ax － by ＋2＝0( a ＞0， b ＞0)经过圆 x 2＋ y 2＋2 x －4 y ＋1＝0的圆心，即圆 x 2＋ y 2＋2 x －4 y ＋1＝0的圆心(－1，2)在直线 ax － by ＋2＝0上，可得－ a －2 b ＋2＝0，即 a ＋2 b ＝2，所以 ＋ ＝ ( a ＋2 b ) ＝ ＋ ≥ ＋ ＝ ＋ ，当且仅当 ＝ 时等号成立，所以 ＋ 的最小值为 ＋ . ＋ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20. 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺， 把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最 少为300吨，最多为600吨，月处理成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的函 数关系可近似地表示为 y ＝ x 2－200 x ＋45 000，且每处理一吨二氧化 碳得到可利用的化工产品价值为200元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 解：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为 x ＋ －200≥2 －200＝100，当且仅当 x ＝ ，即 x ＝300时等号成立， 故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)该单位每月能否获利，如果获利，最大利润为多少元？ 解：获利.设该单位每月获利为 s 元，则 s ＝200 x － y ＝－ x 2＋400 x － 45 000＝－ ( x －400)2＋35 000.因为 x ∈[300，600]，所以 s ∈[15 000， 35 000].故该单位每月获利，最大利润为35 000元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [C组　高考新动向] 21. 已知棱长为 的正四面体 ABCD ，在侧棱 AB 上任取一点 E (与 A ， B 不重合)，若点 E 到平面 ACD 与平面 BCD 的距离分别为 a ， b ，则 ＋ 的最小值为(　C　) A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 所以 ＋ ＝ ( a ＋ b )＝ ≥ ＝ ，当且仅当 ＝ ，即 b ＝ a 时取等号. 如图，连接 CE ， DE ，设 O 为底面三角形 BCD 的中心，连接 OA ，则正 四面体的高 OA ＝2.因为 VA － BCD ＝ VE － BCD ＋ VE － ACD ，所以 a ＋ b ＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22. 已知正实数 a ， b 满足 a ＋2 b ＝2，则 的最小值为 　 　. 因为 a ＋2 b ＝2，所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ ＋ ≥2 ＋ ＝ ，当且仅当 a ＝ ， b ＝ 时取等号，所 以所求的最小值为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $$