第1章 第3节 等式性质与不等式性质-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第三节　等式性质与不等式性质 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 [学习要求]　1.理解不等式的概念，掌握不等式性质，会利用不等式性 质判断相关命题的真假.　2.会比较两个数(式)的大小.　3.理解不等式的 性质，并会简单应用. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点一　两个实数比较 　基本事实 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 a ＞ b ， b ＞ c ⇒ a ＞ c 不可逆 2 可加性 a ＞ b ⇔ a ＋ c b ＋ c 可逆 3 可乘性 a ＞ b ， c ＞0⇒ ac bc c 的符号 a ＞ b ， c ＜0⇒ ac bc ＞　 ＞　 ＜　 性质 别名 性质内容 注意 4 同向可加性 a ＞ b ， c ＞ d ⇒ a ＋ c b ＋ d 不可逆 5 同向同正可 乘性 a ＞ b ＞0， c ＞ d ＞0⇒ ac bd ； a ＞ b ＞0， c ＜ d ＜0⇒ ac bd 不可逆 6 可开方性 a ＞ b ＞0⇒ ＞ n ∈N＋， n ≥2 特殊地，当 a ＞ b ＞0时， an ＞ bn ，其中 n ∈N＋， n ≥2. ＞　 ＞　 ＜　 [小题诊断] 1. 下列说法正确的是(　　) A. 若 ＞1，则 a ＞ b B. 一个不等式的两边加上或乘同一个实数，不等号方向不变 C. 一个非零实数越大，则其倒数就越大 D. a ＞ b ＞0， c ＞ d ＞0⇒ ＞ D 对于选项A，只有 b ＞0时才正确，故A错误；对于选项B，当不等式两 边同时乘的数为负数时，不等号方向发生变化，故B错误；对于选项C，一个正实数越大，则其倒数就越小，故C错误；对于选项D，由 c ＞ d ＞0得 ＞ .因为 a ＞ b ＞0，所以 ＞ ，故D正确. 2. 已知 a ， b ， c ∈R，那么下列命题中正确的是(　C　) A. 若 a ＜ b ，则 ac 2＜ bc 2 B. 若 ＞ ，则 a ＞ b C. 若 a 3＞ b 3，且 ab ＜0，则 ＞ D. 若 a 2＞ b 2，且 ab ＞0，则 ＜ C A中，当 c ＝0时， ac 2＜ bc 2不成立，故A错误；B中，当 c ＜0时， a ＜ b ，故B错误；C中，若 a 3＞ b 3， ab ＜0，则 a ＞0＞ b ，∴ ＞ ，故C正 确；D中，当 a ＜0， b ＜0时， ＜ 不成立，故D错误. 3. 已知－1＜ a ＜0，那么－ a ，－ a 3， a 2的大小关系是(　B　) A. a 2＞－ a 3＞－ a B. － a ＞ a 2＞－ a 3 C. － a 3＞－ a ＞ a 2 D. a 2＞－ a ＞－ a 3 ∵－1＜ a ＜0，∴1＋ a ＞0，0＜－ a ＜1，∴－ a － a 2＝－ a (1＋ a )＞0， a 2－(－ a 3)＝ a 2(1＋ a )＞0，∴－ a ＞ a 2＞－ a 3. B 4. 已知实数 m ， n 满足－4≤ m ≤－1，－1≤ n ≤5，则8 n －5 m 的取值范围是(　A　) A. －3≤8 n －5 m ≤60 B. －21≤8 n －5 m ≤78 C. 12≤8 n －5 m ≤45 D. 3≤8 n －5 m ≤45 由－1≤ n ≤5可知－8≤8 n ≤40，由－4≤ m ≤－1可知1≤－ m ≤4，则 5≤－5 m ≤20，所以－3≤8 n －5 m ≤60. A 关键能力　重点探究 考点一　比较数(式)的大小 　(1)已知0＜ a 1＜1，0＜ a 2＜1，记 M ＝ a 1 a 2， N ＝ a 1＋ a 2－1， 则 M 与 N 的大小关系是(　B　) A. M ＜ N B. M ＞ N C. M ＝ N D. 不确定 法一：∵ M － N ＝ a 1 a 2－ a 1－ a 2＋1＝(1－ a 1)·(1－ a 2)＞0，∴ M ＞ N . 法二(特殊值法)：取 a 1＝ a 2＝ ，∴ M ＝ ， N ＝0， ∴ M ＞ N . B 例1 (2)若 a ＞0， b ＞0，则 p ＝( ab 与 q ＝ ab · ba 的大小关系是(　A　) A. p ≥ q B. p ≤q C. p ＞ q D. p ＜ q 由题意知 p ＞0， q ＞0，则 ＝ ＝ · ＝ .若 a ＞ b ＞0，则 ＞1， a － b ＞0，则 ＞1；若0＜ a ＜ b ，则0＜ ＜1， a － b ＜0，则 ＞1；若 a ＝ b ，则 ＝1.综上， p ≥ q . A (3)若 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ，则(　B　) A. a ＜ b ＜ c B. c ＜ b ＜ a C. c ＜ a ＜ b D. b ＜ a ＜ c 法一：易知 a ， b ， c 都是正数， ＝ ＝log8164＜1，所以 a ＞ b ； ＝ ＝log6251 024＞1，所以 b ＞ c ，即 c ＜ b ＜ a . B 则 f '( x )＝ ，由 f '( x )＞0，得0＜ x ＜e； 由 f '( x )＜0，得 x ＞e. ∴ f ( x )在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数，∴ f (3)＞ f (4)＞ f (5)，即 a ＞ b ＞ c . 法二：构造函数 f ( x )＝ ， 比较大小常用的方法 1. 作差(商)法：作差(商)⇒变形⇒判断. 2. 构造函数法：利用函数的单调性比较大小. 3. 中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取“0”或“1”作为 中间量. 方法总结 1. 若0＜ x ＜1， p ， q ∈N＋，则 M ＝1＋ xp ＋ q 与 N ＝ xp ＋ xq 的大小关系为(　A　) A. M ＞ N B. M ＜ N C. M ＝ N D. 不确定 (1＋ xp ＋ q )－( xp ＋ xq )＝(1－ xp )＋ xq ( xp －1)＝(1－ xp )(1－ xq ). ∵0＜ x ＜1， p ， q ∈N＋，∴1－ xp ＞0，1－ xq ＞0， ∴(1－ xp )(1－ xq )＞0， ∴1＋ xp ＋ q ＞ xp ＋ xq ，即 M ＞ N . A 跟踪训练 2. 若 a ＝ ， b ＝ ，则 a b .(填“＞”或“＜”) 法一：(作商法)易知 a ＞0， b ＞0， ＝ ＝ ＝log89＞1，所以 b ＞ a . 法二：(作差法) b － a ＝ － ＝ (2ln 3－3ln 2)＝ (ln 9－ln 8)＞0， 所以 b ＞ a . ＜　 考点二　不等式的基本性质 (1)若 a ＞ b ，则下列结论正确的为(　C　) A. ln( a － b )＞0 B. 3 a ＜3 b C. a 3－ b 3＞0 D. ｜ a ｜＞｜ b ｜ 由函数 y ＝ln x 的图象(图略)知，当0＜ a － b ＜1时，ln( a － b )＜0，故A错误；因为函数 y ＝3 x 在R上单调递增，所以当 a ＞ b 时，3 a ＞3 b ，故B错误；因为函数 y ＝ x 3在R上单调递增，所以当 a ＞ b 时， a 3＞ b 3，即 a 3－ b 3＞0，故C正确；当 b ＜ a ＜0时，｜ a ｜＜｜ b ｜，故D错误. C 例2 (2)(多选)对于实数 a ， b ， c ，下列命题中正确的是(　BCD　) A. 若 a ＞ b ，则 ac ＜ bc B. 若 a ＜ b ＜0，则 a 2＞ ab ＞ b 2 C. 若 c ＞ a ＞ b ＞0，则 ＞ D. 若 a ＞ b ， ＞ ，则 a ＞0， b ＜0 BCD 若 c ＞0，则由 a ＞ b 得 ac ＞ bc ，A错误；若 a ＜ b ＜0，则 a 2＞ ab ， ab ＞ b 2， a 2＞ ab ＞ b 2，B正确；若 c ＞ a ＞ b ＞0，则 c － b ＞ c － a ＞0， ∴ ＞ ＞0，∴ ＞ ，C正确；若 a ＞ b ，且 a ， b 同号，则有 ＜ ，因此由 a ＞ b ， ＞ 得 a ＞0， b ＜0，D正确. 解决此类题目常用的四种方法 1. 直接利用不等式的性质逐个验证. 2. 利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成 立时要特别注意前提条件. 3. 作差法. 4. 利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可 以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 方法总结 3. (2024·上海模拟)已知实数 a ， b 满足 a ＞ b ，则下列不等式中恒成立的是(　D　) A. a 2＞ b 2 B. ＜ C. ｜ a ｜＞｜ b ｜ D. 2 a ＞2 b 当 a ＝1， b ＝－2时， a 2＜ b 2， ＞ ，｜ a ｜＜｜ b ｜，排除A，B，C 选项；因为 y ＝2 x 在(－∞，＋∞)上是增函数，所以当 a ＞ b 时一定有2 a ＞2 b ，所以D选项正确. D 跟踪训练 4. (多选)已知 a ， b ， c ， d 均为实数，则下列说法正确的是(　BC　) A. 若 a ＞ b ， c ＞ d ，则 ac ＞ bd B. 若 ab ＞0， bc － ad ＞0，则 － ＞0 C. 若 a ＞ b ， c ＞ d ，则 a － d ＞ b － c D. 若 a ＞ b ， c ＞ d ＞0，则 ＞ BC 若 a ＞0＞ b ，0＞ c ＞ d ，则 ac ＜0＜ bd ，故A错误；若 ab ＞0， bc － ad ＞0，则 ＞0，化简得 － ＞0，故B正确；若 c ＞ d ，则－ d ＞－ c .又 a ＞ b ，所以 a － d ＞ b － c ，故C正确；取 a ＝－1， b ＝－2， c ＝2， d ＝1，则 ＝－1， ＝－1， ＝ ，故D错误. 考点三　不等式性质的应用 已知－1＜ x ＋ y ＜4，2＜ x － y ＜3，则 Z ＝2 x －3 y 的取值范围是 ⁠. 设2 x －3 y ＝λ( x ＋ y )＋μ( x － y )， 则2 x －3 y ＝(λ＋μ) x ＋(λ－μ) y ， ∴解得 (3，8)　 例3 ∴2 x －3 y ＝－ ( x ＋ y )＋ ( x － y ). 由－1＜ x ＋ y ＜4得－2＜－ ( x ＋ y )＜ ， 由2＜ x － y ＜3得5＜ ( x － y )＜ ， ∴3＜2 x －3 y ＜8. 利用不等式性质求代数式取值范围的注意点 一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质 时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体 与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解 取值范围. 方法总结 5. (2024·湖北武汉模拟)已知实数 a ∈(1，3)， b ∈ ，则 的取值 范围是 ⁠. 由1＜ a ＜3， ＜ b ＜ ， ∴4＜ ＜8，故4＜ ＜24. (4，24)　 跟踪训练 6. 已知－1＜ x ＜4，2＜ y ＜3，则 x － y 的取值范围是 ，3 x ＋2 y 的取值范围是 ⁠. 由－1＜ x ＜4，2＜ y ＜3知， －3＜－ y ＜－2， 故－4＜ x － y ＜2. 又－3＜3 x ＜12，4＜2 y ＜6， ∴1＜3 x ＋2 y ＜18. (－4，2)　 (1，18)　 课时作业　巩固提升 [A组　基础保分练] 1. 手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观 设计中的一个重要参数，其值通常在0～1(不含0，1)内，设计师将某手 机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则 该手机的“屏占比”和升级前相比(　C　) A. “屏占比”不变 B. “屏占比”变小 C. “屏占比”变大 D. 变化不确定 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 根据题意，不妨设升级前该手机的手机屏幕面积为 a ，整机面积为 b ， b ＞ a ，则升级前的“屏占比”为 ，升级后的“屏占比”为 ，其中 m ( m ＞0)为升级后增加的面积，由分数性质知 ＞ ，所以升级后“屏占比”变大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2. (2024·北京模拟)设 a ， b ， c 为非零实数，且 a ＞ c ， b ＞ c ，则(　C　) A. a ＋ b ＞ c B. ab ＞ c 2 C. ＞ c D. ＋ ＞ 当 a ＝ b ＝－1， c ＝－2时， a ＋ b ＝ c ， ab ＜ c 2， ＞ c ， ＋ ＜ ，故A，B，D不正确，C正确. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3. (2024·内蒙古呼和浩特模拟)有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是 a ， b ， c ， d .已知 a ＋ b ＝ c ＋ d ， a ＋ d ＞ b ＋ c ， a ＋ c ＜ b ，则这四个小球的质量由大到小的排列顺序是(　A　) A. d ＞ b ＞ a ＞ c B. b ＞ c ＞ d ＞ a C. d ＞ b ＞ c ＞ a D. c ＞ a ＞ d ＞ b 因为 a ＋ b ＝ c ＋ d ， a ＋ d ＞ b ＋ c ，所以2 a ＞2 c ，即 a ＞ c ，因此 b ＜ d .因为 a ＋ c ＜ b ，所以 a ＜ b .综上可得 d ＞ b ＞ a ＞ c . A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4. 已知两两不相等的 x 1， y 1， x 2， y 2， x 3， y 3，同时满足① x 1＜ y 1， x 2＜ y 2， x 3＜ y 3；② x 1＋ y 1＝ x 2＋ y 2＝ x 3＋ y 3；③ x 1 y 1＋ x 3 y 3＝2 x 2 y 2＞0，以下哪个选项恒成立(　A　) A. 2 x 2＜ x 1＋ x 3 B. 2 x 2＞ x 1＋ x 3 C. ＜ x 1 x 3 D. ＞ x 1 x 3 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 根据题意，应该有 且 m 2－ a 2＋ m 2－ c 2＝2( m 2－ b 2)＞0， 则有 则 x 1＋ x 3－2 x 2＝( m － a )＋( m － c )－2( m － b )＝2 b －( a ＋ c ). 设 x 1＋ y 1＝ x 2＋ y 2＝ x 3＋ y 3＝2 m ， ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x 1 x 3－ ＝( m － a )( m － c )－( m － b )2＝(2 b － a － c ) m ＋ ac － b 2＝(2 b － a － c ) m － ，而上面已证(2 b － a － c )＞0， 因为不知道 m 的正负， 所以该式子的正负无法恒定，所以C，D无法判断. 因为(2 b )2－( a ＋ c )2＝2( a 2＋ c 2)－( a ＋ c )2＞0， 所以 x 1＋ x 3－2 x 2＝2 b －( a ＋ c )＞0， 所以A正确，B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5. (多选)下列命题为真命题的是(　ABD　) A. 若 ac 2＞ bc 2，则 a ＞ b B. 若 a ＞ b ＞0，则 a 2＞ b 2 C. 若 a ＜ b ＜0，则 a 2＜ ab ＜ b 2 D. 若 a ＜ b ＜0，则 ＞ C中，若 a ＝－2， b ＝－1，则 a 2＞ ab ＞ b 2，故C错误. ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6. (多选)若 ＜ ＜0，则下列结论中正确的是(　ABC　) A. a 2＜ b 2 B. ab ＜ b 2 C. a ＋ b ＜0 D. ｜ a ｜＋｜ b ｜＞｜ a ＋ b ｜ 因为 ＜ ＜0，所以 b ＜ a ＜0，所以 b 2＞ a 2， ab ＜ b 2， a ＋ b ＜0，所 以A，B，C均正确.因为 b ＜ a ＜0，所以｜ a ｜＋｜ b ｜＝｜ a ＋ b ｜， 故D错误. ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7. (多选)已知6＜ a ＜60，15＜ b ＜18，则下列选项中正确的是(　AC　) A. ∈ B. a ＋2 b ∈(21，78) C. a － b ∈(－12，45) D. ∈ A中，因为15＜ b ＜18，所以 ＜ ＜ .又6＜ a ＜60，所以根据不等式 的性质可得6× ＜ a × ＜60× ，即 ＜ ＜4，故A正确； B中，因为30＜2 b ＜36，所以36＜ a ＋2 b ＜96，故B错误； C中，因为－18＜－ b ＜－15，所以－12＜ a － b ＜45，故C正确； D中， ＝ ＋1∈ ，故D错误. AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8. 若 a ＜0， b ＜0，则 p ＝ ＋ 与 q ＝ a ＋ b 的大小关系为 ⁠. p － q ＝ －( a ＋ b )＝ ＋ ＝ ( b 2－ a 2)＝ .又 a ＜0， b ＜0，所以 b ＋ a ＜0， ab ＞0，( b － a )2≥0，所 以 ≤0，所以 p ≤ q . p ≤ q 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9. eπ·πe与ee·ππ的大小关系为 ⁠. ＝ ＝ . 又0＜ ＜1，0＜π－e＜1， ∴ ＜1， 即 ＜1，即eπ·πe＜ee·ππ. eπ·πe＜ee·ππ　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10. (2024·重庆模拟)已知三个不等式：① ab ＞0，② ＞ ，③ bc ＞ ad . 若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成 ⁠个 真命题. 根据题意，结合不等式性质分别判断①，②，③作为结论的命题的真假 性即可. 由不等式性质，得⇒⇒ bc ＞ ad ； 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ⇒ ＞ ； ⇒⇒ ab ＞0. 故可组成3个真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11. 已知12＜ a ＜60，15＜ b ＜36.求 (1) a － b 的取值范围； 解：由15＜ b ＜36得－36＜－ b ＜－15.又因为12＜ a ＜60，所以－24＜ a － b ＜45. 即 a － b 的取值范围是(－24，45). (2) 的取值范围. 解：由15＜ b ＜36得 ＜ ＜ .又因为12＜ a ＜60，所以 ＜ ＜4. 即 的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [B组　能力提升练] 12. 已知 a ， b ， c ， d ∈R＋，设 S ＝ ＋ ＋ ＋ ，则下列判断中正确的是(　B　) A. 0＜ S ＜1 B. 1＜ S ＜2 C. 2＜ S ＜3 D. 3＜ S ＜4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ∵ a ， b ， c ， d ∈R＋，∴ S ＝ ＋ ＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ＋ ＝1， S ＝ ＋ ＋ ＋ ＜ ＋ ＋ ＋ ＝2，∴1＜ S ＜2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为 x ， y ， z ，且 x ＜ y ＜ z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为 a ， b ， c ，且 a ＜ b ＜ c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(　B　) A. ax ＋ by ＋ cz B. az ＋ by ＋ cx C. ay ＋ bz ＋ cx D. ay ＋ bx ＋ cz B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 法一：采用特值法进行求解验证即可，若 x ＝1， y ＝2， z ＝3， a ＝1， b ＝2， c ＝3，则 ax ＋ by ＋ cz ＝14， az ＋ by ＋ cx ＝10， ay ＋ bz ＋ cx ＝ 11， ay ＋ bx ＋ cz ＝13.由此可知最低的总费用是 az ＋ by ＋ cx . 法二：因为 x ＜ y ＜ z ， a ＜ b ＜ c ，所以 ax ＋ by ＋ cz －( az ＋ by ＋ cx )＝ a ( x － z )＋ c ( z － x )＝( x － z ( a － c )＞0，故 ax ＋ by ＋ cz ＞ az ＋ by ＋ cx ；同理， ay ＋ bz ＋ cx －( ay ＋ bx ＋ cz )＝ b ( z － x )＋ c ( x － z )＝( x － z )( c － b )＜0，故 ay ＋ bz ＋ cx ＜ ay ＋ bx ＋ cz .因为 aZ ＋ by ＋ cx －( ay ＋ bz ＋ cx )＝ a ( z － y )＋ b ( y － z )＝( a － b )( z － y )＜0，所以 az ＋ by ＋ cx ＜ ay ＋ bz ＋ cx .故最低费用为 az ＋ by ＋ cx . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14. (2022·全国甲卷)已知9 m ＝10， a ＝10 m －11， b ＝8 m －9，则(　A　) A. a ＞0＞ b B. a ＞ b ＞0 C. b ＞ a ＞0 D. b ＞0＞ a 由9 m ＝10可得 m ＝log910＞1，令 f ( x )＝ xm －( x ＋1)，则 f '( x )＝ mxm －1－1，易知当 x ＞1时， f '( x )＞0，所以 f ( x )在(1，＋∞)上单调递增，所以 f (8)＜ f (9)＜ f (10)，所以8 m －9＜9 m －10＜10 m －11，即 a ＞0＞ b . A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15. (多选)若 a ＞ b ＞0，则下列不等式中一定不成立的有(　AD　) A. ＞ B. a ＋ ＞ b ＋ C. a ＋ ＞ b ＋ D. ＞ AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ∵ a ＞ b ＞0，则 － ＝ ＝ ＜0，∴ ＞ 一定不 成立. a ＋ － b － ＝( a － b )· ，当 ab ＞1时， a ＋ － b － ＞0；当 ab ＝1时， a ＋ － b － ＝0；当0＜ ab ＜1时， a ＋ － b － ＜0. 故 a ＋ ＞ b ＋ 可能成立，也可能不成立. a ＋ － b － ＝( a － b ) ＞0，故 a ＋ ＞ b ＋ 恒成立. － ＝ ＜0，故 ＞ 一定不成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16. (多选)已知 a ， b 为正实数，则下列命题中正确的是(　AC　) A. 若 a 2－ b 2＝1，则 a － b ＜1 B. 若 － ＝1，则 a － b ＜1 C. 若e a －e b ＝1，则 a － b ＜1 D. 若ln a －ln b ＝1，则 a － b ＜1 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 对于A，当 a 2－ b 2＝1时，( a － b )·( a ＋ b )＝1，又 a ＞0， b ＞0，∴0＜ a － b ＜ a ＋ b ，∴ a － b ＝ ＜1，故A正确；对于B，由 － ＝1， 不妨取 a ＝3， b ＝ ，则 a － b ＝ ＞1，∴B错误；对于C，由e a －e b ＝ 1，可得e a － b ＋ b －e b ＝e b (e a － b －1)＝1.∵ b ＞0，∴e b ＞1，∴e a － b －1＜ 1，即e a － b ＜2，∴ a － b ＜ln 2＜ln e＝1，故C正确；对于D，当ln a － ln b ＝1时，不妨取 a ＝e2， b ＝e，则 a － b ＝e2－e＞1，∴D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17. 能够说明“设 a ， b ， c 是任意实数.若 a 2＞ b 2＞ c 2，则 a ＋ b ＞ c ”是 假命题的一组整数 a ， b ， c 的值依次为 ⁠. 令 a ＝－3， b ＝－1， c ＝0，则 a 2＞ b 2＞ c 2， 此时 a ＋ b ＝－4＜0，所以 a ＋ b ＞ c 是假命题. －3，－1，0(答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18. 设 f ( x )＝ ax 2＋ bx ，若1≤ f (－1)≤2，2≤ f (1)≤4，求 f (－2)的取值范围. 解：∵ y ＝ f ( x )＝ ax 2＋ bx ，∴ f (－1)＝ a － b ， f (1)＝ a ＋ b . 法一(待定系数法)： 设 f (－2)＝ mf (－1)＋ nf (1)，又 f (－2)＝4 a －2 b ， 所以4 a －2 b ＝ m ( a － b )＋ n ( a ＋ b )＝( m ＋ n ) a ＋( n － m ) b ， 可得解得所以 f (－2)＝3 f (－1)＋ f (1). 又1≤ f (－1)≤2，2≤ f (1)≤4，所以5≤3 f (－1)＋ f (1)≤10，故5≤ f (－2)≤10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 由得 所以 f (－2)＝4 a －2 b ＝3 f (－1)＋ f (1). 又因为1≤ f (－1)≤2，2≤ f (1)≤4， 所以5≤3 f (－1)＋ f (1)≤10， 故5≤ f (－2)≤10， 即 f (－2)的取值范围是[5，10]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 法二(运用方程思想)： [C组　高考新动向] 19. 据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4 枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝 康乃馨的价格比较结果是(　B　) A. 3枝康乃馨价格高 B. 2枝玫瑰花价格高 C. 价格相同 D. 不确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 设1枝玫瑰花和1枝康乃馨的价格分别为 x 元， y 元，由题意可得 令2 x －3 y ＝ m (6 x ＋3 y )＋ n (4 x ＋5 y )＝(6 m ＋4 n ) x ＋ (3 m ＋5 n ) y ，则解得所以2 x －3 y ＝ (6 x ＋3 y )－ (4 x ＋5 y )＞ ×24－ ×22＝0，因此2 x ＞3 y ，所以2枝玫瑰花的价格高. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝” 作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并 逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若 a ， b ， c ∈R，则下列命题正确的是(　C　) A. 若 a ＞ b ，则 ac 2＞ bc 2 B. 若 ＞ ，则 a ＜ b C. 若 a ＜ b ＜ c ＜0，则 ＜ D. 若 a ＞ b ，则 a 2＞ b 2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 对于A选项，当 c ＝0时不满足，故错误； 对于B选项，由不等式性质知， ＞ 两边同时乘以 c 2＞0，可得 a ＞ b ，故错误； 对于C选项，若 a ＜ b ＜ c ＜0，则 a ＋ c ＜0， b － a ＞0，( b － a ) c ＜0， a ( a ＋ c )＞0，故 － ＝ ＝ ＜0，即 ＜ ，故正确； 对于D选项，取 a ＝－1， b ＝－2，可得 a 2＜ b 2，故错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 $$