第1章 第2节 常用逻辑用语-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第二节　常用逻辑用语 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 [学习要求]　1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条 件、充要条件的意义，理解性质定理与必要条件、判定定理与充分条 件、数学定义与充要条件的关系.　2.通过已知的数学实例，理解全称量 词与存在量词的意义.　3.能正确使用全称量词命题、存在量词命题进行 否定. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点一　充分条件、必要条件与充要条件 若 p ⇒ q ，则 p 是 q 的 条件， q 是 p 的 ⁠条件 p 是 q 的 ⁠条件 p ⇒ q 且 q 不能推出 p p 是 q 的 ⁠条件 p 不能推出 q 且 q ⇒ p p 是 q 的 ⁠条件 p ⇔ q p 是 q 的 ⁠条件 p 不能推出 q 且 q 不能推出 p 充分　 必要　 充分不必要　 必要不充分　 充要　 既不充分也不必要　 知识点二　全称量词与存在量词 1. 全称量词与存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任给、全部、每一个等 ⁠ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有 些、对某些、有的等 ⁠ ∀　 ∃　 2. 全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 ∀ x ∈ M ， x 具有性质 p ( x ) ∃ x ∈ M ， x 具有性质 p ( x ) 否定 ∃ x ∈ M ， x 不具有性质 p ( x ) ∀ x ∈ M ， x 不具有性质 p ( x ) [小题诊断] 1. 命题“∀ a ∈R，一元二次方程 x 2－ ax －1＝0有实根”的否定是(　C　) A. ∀ a ∉R，一元二次方程 x 2－ ax －1＝0没有实根 B. ∃ a ∉R，一元二次方程 x 2－ ax －1＝0没有实根 C. ∃ a ∈R，一元二次方程 x 2－ ax －1＝0没有实根 D. ∃ a ∈R，一元二次方程 x 2－ ax －1≠0没有实根 根据全称量词命题的否定形式可知，命题“∀ a ∈R，一元二次方程 x 2－ ax －1＝0有实根”的否定是“∃ a ∈R，一元二次方程 x 2－ ax －1＝0没有 实根”. C 2. (多选)下列命题是“∃ x ∈R， x 2＞3”的表述方法的有(　ABD　) A. 有一个 x ∈R，使得 x 2＞3成立 B. 对有些 x ∈R，使得 x 2＞3成立 C. 任选一个 x ∈R，都有 x 2＞3成立 D. 至少有一个 x ∈R，使得 x 2＞3成立 C选项是全称量词命题，A，B，D选项符合题意. ABD 3. 已知条件 p ： x ＞1，条件 q ： x ≥2，则 p 是 q 的(　B　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ∵{ x ｜ x ≥2}⫋{ x ｜ x ＞1}，∴ p 是 q 的必要不充分条件. B 4. (2024·天津模拟)命题 p ： x ＜－1，则命题 p 的一个充分不必要条件为 (　D　) A. x ＜－1 B. x ＜2 C. －8＜ x ＜2 D. －10＜ x ＜－3 由于－10＜ x ＜－3⇒ x ＜－1，反之不成立，所以命题 p 的一个充分不必 要条件为－10＜ x ＜－3，其他选项均不符合. D 关键能力　重点探究 考点一　充分条件、必要条件及充要条件的判断 ◉角度(一)　定义法判断充分、必要条件 (1)(2023·天津卷)“ a 2＝ b 2”是“ a 2＋ b 2＝2 ab ”的(　B　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 B 例1 由 a 2＝ b 2，得｜ a ｜＝｜ b ｜； 由 a 2＋ b 2＝2 ab ，得( a － b )2＝0，∴ a ＝ b . a ＝ b ⇒｜ a ｜＝｜ b ｜，而由｜ a ｜＝｜ b ｜不能推出 a ＝ b ， ∴“ a 2＝ b 2”是“ a 2＋ b 2＝2 ab ”的必要不充分条件. (2)(2021·全国甲卷)等比数列{ an }的公比为 q ，前 n 项和为 Sn .设甲： q ＞0，乙：{ Sn }是递增数列，则(　B　) A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 B 若{ Sn }是递增数列，则当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn －1＞0，即 a 1 qn －1＞0恒 成立，而只有当 a 1＞0， q ＞0时， a 1 qn －1＞0恒成立，所以可得 q ＞0， 因此甲是乙的必要条件. 综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件. 当 q ＝1， a 1＜0时，等比数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ na 1＜0，可知{ Sn }是 单调递减数列，因此甲不是乙的充分条件； ◉角度(二)　集合法判断充分、必要条件 设 x ∈R，则“ x 2－5 x ＜0”是“｜ x －1｜＜1”的(　B　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 由 x 2－5 x ＜0可得0＜ x ＜5.由｜ x －1｜＜1可得0＜ x ＜2.由于区间(0，2) 是(0，5)的真子集，故“ x 2－5 x ＜0”是“｜ x －1｜＜1”的必要不充分条件. B 例2 方法总结 1. 充分、必要条件的判断方法 利用定义判断 直接判断“若p，则q” “若q，则p”的真假.在判断 时，确定条件是什么、结论是什么 从集合的角度判断 利用集合中包含关系判定，即可解决充分、必要 性的问题 2. 不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时， 才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题. 1. 若集合 A ＝{ x ｜ x 2－5 x ＋4＜0}， B ＝{ x ｜｜ x － a ｜＜1}，则“ a ∈ (2，3)”是“ B ⊆ A ”的(　A　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 A 跟踪训练 A ＝{ x ｜1＜ x ＜4}， B ＝{ x ｜ a －1＜ x ＜ a ＋1}. ∵ B ⊆ A ，∴即2≤ a ≤3. ∵(2，3)⫋[2，3]， ∴“ a ∈(2，3)”是“ B ⊆ A ”的充分不必要条件. 2. 如果 x ， y 是实数，那么“ x ≠ y ”是“ cos x ≠ cos y ”的(　C　) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 设集合 A ＝{( x ， y )｜ x ≠ y }， B ＝{( x ， y )｜ cos x ≠ cos y }，则 A 的补集 C ＝{( x ， y )｜ x ＝ y }， B 的补集 D ＝{( x ， y )｜ cos x ＝ cos y }，显然 C ⫋ D ，所以 B ⫋ A . 于是“ x ≠ y ”是“ cos x ≠ cos y ”的必要不充分条件. C 3. (2022·浙江卷)设 x ∈R，则“ sin x ＝1”是“ cos x ＝0”的(　A　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 根据 sin x ＝1解得 x ＝ ＋2 k π， k ∈Z，此时 cos x ＝ cos ＝ cos ＝0.根据 cos x ＝0解得 x ＝ ＋ k π， k ∈Z，此时 sin x ＝ sin ＝±1.故“ sin x ＝1”是“ cos x ＝0”的充分不必要条件. A 考点二　充分条件、必要条件及充要条件的应用 设命题 p ：｜4 x －3｜≤1；命题 q ： x 2－(2 a ＋1) x ＋ a ( a ＋1)≤0. 若 q 是 p 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围是 ⁠. 　 例3 解｜4 x －3｜≤1，得 ≤ x ≤1.解 x 2－(2 a ＋1) x ＋ a ( a ＋1)≤0，得 a ≤ x ≤ a ＋1. ∵ q 是 p 的必要不充分条件， 即由命题 p 成立能推出命题 q 成立，但由命题 q 成立不能推出命题 p 成立，∴ ⫋[ a ， a ＋1]，∴ a ≤ 且 a ＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤ a ≤ ， ∴实数 a 的取值范围是 . 方法总结 已知充分、必要条件或充要条件求参数取值范围的策略 巧用转化求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关 系，然后根据集合之前的关系列出有参数的不等式（组）求 解，注意条件的等价变形 端点值慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍 4. 若 x ＞0，则 x ＋ ≥ a 恒成立的一个充分条件是(　B　) A. a ＞80 B. a ＜80 C. a ＞100 D. a ＜100 当 x ＞0时， x ＋ ≥2 ＝4 ，因为 x ＋ ≥ a ( x ＞0)恒成 立，所以 a ≤4 ，结合各选项知 x ＋ ≥ a 恒成立的一个充分条件 为 a ＜80. B 跟踪训练 考点三　全称量词命题与存在量词命题 (1)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　C　) A. ∀ x ∈R，｜ x ｜＞0 B. ∃ x ∈R，｜ x ｜＞0 C. ∀ x ∈R，｜ x ｜≤0 D. ∃ x ∈R，｜ x ｜≤0 由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题. C 例4 (2)已知命题 p ：∀ x ＞0， x 2＋1≥1，则 p 为(　C　) A. ∃ x ≤0， x 2＋1＜1 B. ∃ x ≤0， x 2＋1≥1 C. ∃ x ＞0， x 2＋1＜1 D. ∃ x ＞0， x 2＋1≤1 全称量词命题的否定为存在量词命题. 若命题 p ：∀ x ＞0， x 2＋1≥1， 则﹁ p ：∃ x ＞0， x 2＋1＜1. C (3)已知命题 p ：∃ x ＞0， x ＋ a －1＝0，若 p 为假命题，则实数 a 的取值 范围是(　D　) A. { a ｜ a ＜1} B. { a ｜ a ≤1} C. { a ｜ a ＞1} D. { a ｜ a ≥1} ∵ p 为假命题，∴﹁ p 为真命题，即∀ x ＞0， x ＋ a －1≠0，即∀ x ＞0， x ≠1－ a ，∴1－ a ≤0，则 a ≥1， ∴实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≥1}. D 含量词命题的解题策略 1. 判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题 是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可 以先判断其否定的真假. 2. 由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围； 二是可利用等价命题求参数的范围. 方法总结 5. 若命题“∃ x ∈R，使得 x 2－( a ＋1) x ＋4≤0”为假命题，则实数 a 的取值范围为 ⁠. 命题“∃ x ∈R，使得 x 2－( a ＋1) x ＋4≤0”为假命题，即命题“∀ x ∈R，使得 x 2－( a ＋1) x ＋4＞0”为真命题，则判别式Δ＝( a ＋1)2－4×4＜0，即Δ＝( a ＋1)2＜16，则－4＜ a ＋1＜4，即－5＜ a ＜3. (－5，3)　 跟踪训练 课时作业　巩固提升 [A组　基础保分练] 1. 命题 p ：∃ m ∈R，方程 x 2＋ mx ＋1＝0有实根，则 p 是(　B　) A. ∃ m ∈R，方程 x 2＋ mx ＋1＝0无实根 B. ∀ m ∈R，方程 x 2＋ mx ＋1＝0无实根 C. ∀ m ∈R，方程 x 2＋ mx ＋1＝0有实根 D. 至多有一个实数 m ，使方程 x 2＋ mx ＋1＝0有实根 命题“∃ m ∈R，方程 x 2＋ mx ＋1＝0有实根”的否定是“∀ m ∈R，方程 x 2＋ mx ＋1＝0无实根”. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. 若命题 p ：对任意的 x ∈R，都有 x 3－ x 2＋1＜0，则 p 为(　D　) A. 不存在 x ∈R，使得 x 3－ x 2＋1＜0 B. 存在 x ∈R，使得 x 3－ x 2＋1＜0 C. 对任意的 x ∈R，都有 x 3－ x 2＋1≥0 D. 存在 x ∈R，使得 x 3－ x 2＋1≥0 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. (2021·天津卷)已知 a ∈R，则“ a ＞6”是“ a 2＞36”的(　A　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ①由 a ＞6，得 a 2＞36，所以“ a ＞6”是“ a 2＞36”的充分条件， ②由 a 2＞36，得 a ＞6或 a ＜－6，所以“ a ＞6”是“ a 2＞36”的不必 要条件， 故 a ＞6是 a 2＞36的充分不必要条件. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. “∀ x ∈[－2，1]， x 2－2 a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　D　) A. a ≥0 B. a ≥1 C. a ≥2 D. a ≥3 “∀ x ∈[－2，1]， x 2－2 a ≤0”为真命题，即2 a ≥ x 2在 x ∈[－2，1]时恒成 立，所以2 a ≥4，所以 a ≥2，即“∀ x ∈[－2，1]， x 2－2 a ≤0”为真命题的充要条件是 a ≥2，所以可转化为求“ a ≥2”的充分不必要条件，即找集合 A ＝{ a ｜ a ≥2}的非空真子集，结合选项，所以 a ≥3. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. 下列命题中的真命题是(　B　) A. ∃ x ∈R，使得 sin x ＋ cos x ＝ B. ∀ x ∈(0，＋∞)，e x ＞ x ＋1 C. ∃ x ∈(－∞，0)，2 x ＜3 x D. ∀ x ∈(0，π)， sin x ＞ cos x B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又 f (0)＝0， ∴∀ x ∈(0，＋∞)， f ( x )＞0，即e x ＞ x ＋1，故B正确； 当 x ＜0时， y ＝2 x 的图象在 y ＝3 x 的图象上方，故C错误； ∵当 x ∈ 时， sin x ＜ cos x ，故D错误. ∵ sin x ＋ cos x ＝ sin ≤ ＜ ，故A错误；设 f ( x )＝e x － x －1，则 f '( x )＝e x －1. ∵当 x ∈(0，＋∞)时， f '( x )＞0， ∴ f ( x )在(0，＋∞)上为增函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. (多选)－ ＜5 x －3＜12的一个必要条件是(　BD　) A. － ＜ x ＜2 B. － ＜ x ＜4 C. －3＜ x ＜ D. －1＜ x ＜6 解－ ＜5 x －3＜12，得－ ＜ x ＜3，当 x 满足－ ＜ x ＜3时，满足 － ＜ x ＜4和－1＜ x ＜6. BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. (多选)已知两条直线 l ， m 及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是 (　ABC　) A. l ⊂α， l ⊥β B. l ⊥α， m ⊥β， l ⊥ m C. α⊥γ，β∥γ D. l ⊂α， m ⊂β， l ⊥ m 由面面垂直的判定可知A，B，C项符合题意；对于D项， l ⊂α， m ⊂β， l ⊥ m ，也可以得到α∥β，D项不符合题意. ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. (2024·河南郑州模拟)若命题“∃ x ∈R，使得3 x 2＋2 ax ＋1＜0”是假命题，则实数 a 的取值范围是 ⁠. 命题“∃ x ∈R，使得3 x 2＋2 ax ＋1＜0”是假命题，即“∀ x ∈R，3 x 2＋2 ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4 a 2－12≤0，解得－ ≤ a ≤ . [－ ， ]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 已知“ x 2－ x －2＞0”是“2 x ＋ p ＞0”的必要条件，则实数 p 的取值范围是 ⁠. 由2 x ＋ p ＞0，得 x ＞－ ， 令 A ＝ ， 由 x 2－ x －2＞0，解得 x ＞2或 x ＜－1，令 B ＝{ x ｜ x ＞2，或 x ＜－1}， 由题意知 A ⊆ B 时，即－ ≥2，解得 p ≤－4， ∴实数 p 的取值范围是(－∞，－4]. (－∞，－4]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 使得“2 x ＞4 x ”成立的一个充分条件是 ⁠. 由于4 x ＝ ，故2 x ＞ 等价于 x ＞2 x ，解得 x ＜0， 使得“2 x ＞4 x ”成立的一个充分条件只需为集合{ x ｜ x ＜0}的子集即可. x ＜－1(答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [B组　能力提升练] 11. 若 a ＞0， b ＞0，则“ a ＋ b ≤4”是“ ab ≤4”的(　A　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵ a ＞0， b ＞0，若 a ＋ b ≤4， ∴ 2 ≤ a ＋ b ≤4. ∴ ab ≤4，此时充分性成立. 当 a ＞0， b ＞0， ab ≤4时，令 a ＝4， b ＝1， 则 a ＋ b ＝5＞4， 这与 a ＋ b ≤4矛盾，因此必要性不成立. 综上所述，当 a ＞0， b ＞0时，“ a ＋ b ≤4”是“ ab ≤4”的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. (2024·贵州贵阳模拟)设 a ， b 均为单位向量，则“｜ a －3 b ｜＝｜3 a ＋ b ｜”是“ a ⊥ b ”的(　C　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 因为｜ a －3 b ｜＝｜3 a ＋ b ｜，所以( a －3 b )2＝(3 a ＋ b )2，所以 a 2－6 a · b ＋9 b 2＝9 a 2＋6 a · b ＋ b 2.又因为｜ a ｜＝｜ b ｜＝1，所以 a · b ＝0， 所以 a ⊥ b ；反之也成立. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. (多选)下列四个关于命题的判断，其中正确的是(　AB　) A. 命题“∃ x ∈(0，＋∞)，3 x ＋ cos x ＜1”是假命题 B. 在△ ABC 中，“ sin A ＞ sin B ”是“ A ＞ B ”的充要条件 C. 命题“∀ x ∈N，lg( x ＋1)＞0”的否定是“∃ x ∉N，lg( x ＋1)＞0” D. 命题“在△ ABC 中，若 · ＜0，则△ ABC 是钝角三角形”是真命题 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，在△ ABC 中，设△ ABC 的外接圆半径为 R ， sin A ＞ sin B ⇔2 R sin A ＞2 R sin B ⇔ a ＞ b ⇔ A ＞ B ，故选项B正确； 对于C，由全称命题的否定可得，命题“∀ x ∈N，lg( x ＋1)＞0”的否定是 “∃ x ∈N，lg( x ＋1)≤0”，故选项C是错误的； 对于D，在△ ABC 中，若 · ＜0，则 · ＞0，则 B 为锐角，不 能判定△ ABC 是钝角三角形，所以选项D是错误的. 对于A，设 f ( x )＝3 x ＋ cos x ( x ＞0)，则 f '( x )＝3－ sin x ， f '( x )＞0，所 以 f ( x )在(0，＋∞)上单调递增，所以 f ( x )＞0＋ cos 0＝1，从而命题“∃ x ∈(0，＋∞)，3 x ＋ cos x ＜1”是假命题，故选项A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. (2024·河北唐山模拟)若“ x 2－2 x －8＞0”是“ x ＜ m ”的必要不充分条件，则 m 的最大值为 ⁠. 由 x 2－2 x －8＞0，解得 x ＞4，或 x ＜－2， 所以记 A ＝{ x ｜ x ＞4，或 x ＜－2}， B ＝{ x ｜ x ＜ m }； 若“ x 2－2 x －8＞0”是“ x ＜ m ”的必要不充分条件，则 B 是 A 的真子集. 故 m ≤－2，所以 m 的最大值为－2. －2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 集合 A ＝ ， B ＝{ x ｜｜ x － b ｜＜ a }.若“ a ＝1”是“ A ∩ B ≠⌀”的充分条件，则实数 b 的取值范围是 ⁠. 由“ a ＝1”是“ A ∩ B ≠⌀”的充分条件，知当 a ＝1时， A ∩ B ≠⌀.当 a ＝1时， 由题意得 A ＝(－1，1)， B ＝( b －1， b ＋1)，由 A ∩ B ≠⌀得 b －1＜1且 b ＋1＞－1，即－2＜ b ＜2，所以 b 的取值范围是(－2，2). (－2，2)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [C组　高考新动向] 16. (2023·新高考Ⅰ卷)设 Sn 为数列{ an }的前 n 项和，设甲：{ an }为等差数 列；乙： 为等差数列.则(　C　) A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当 n ≥2时， ＝ a 1＋ d ， ∴ － ＝ a 1＋ d － a 1－ d ＝ d ， ∴ 是以 S 1为首项， 为公差的等差数列. 若 为等差数列，设公差为 d '，则 ＝ S 1＋( n －1) d '＝ a 1＋( n －1) d '， ∴ Sn ＝ na 1＋ n ( n －1) d '. 若{ an }为等差数列，设公差为 d ，则 an ＝ a 1＋( n －1) d ， ∴ Sn ＝ na 1＋ ，∴ ＝ a 1＋ d . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当 n ≥2时， Sn －1＝( n －1) a 1＋( n －1)( n －2) d '，两式作差得， an ＝ a 1＋ 2( n －1) d '， 又 n ＝1时也满足上式， ∴ an ＝ a 1＋2( n －1) d '， n ∈N＋. 当 n ≥2时， an －1＝ a 1＋2( n －2) d '， ∴ an － an －1＝ a 1＋2( n －1) d '－ a 1－2( n －2) d '＝2 d '， ∴{ an }是以 a 1为首项，2 d '为公差的等差数列.综上，甲是乙的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $$