第1章 第1节 集合-【优化探究】2025年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版2019）

第一节　集合 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 课件使用说明 01 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 使用软件 02 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验 软件版本 03 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 便捷操作 04 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题 软件更新 [学习要求]　1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.　 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.　3.理解两 个集合的并集、交集与补集的含义，能用Venn图表达集合间的基本关系 和基本运算. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 必备知识　自主梳理 [知识梳理] 知识点　集合 1. 集合的含义与表示 元素与集 合的含义 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，集合中 的每个对象叫作这个集合的元素 集合中元 素的特征 性、 性、 ⁠性 集合的表 示方法 法、 ⁠法 确定　 互异　 无序　 列举　 描述　 特定集合的 记法 正整数集N＋或N*，自然数集N，整数集Z，有理数集 Q，实数集R 元素与集合 之间的关系 “属于”或“不属于”，记为“ ”或“ ⁠” ∈　 ∉　 2. 集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合 A 与 B ，如果集合 A 中的 ⁠ 都属于集合 B ，那么称集合 A 是集合 B 的子集，记作 (或 B ⊇ A ). (2)真子集：对于两个集合 A 与 B ，如果 A ⊆ B ，且 A ≠ B ，那么称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 (或 B ⫌ A ). (3)相等：对于两个集合 A 与 B ，如果集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 也是集合 A 的子集，那么称集合 A 与集合 B 相等，记作 A B . (4)空集：不含任何元素的集合叫作空集，记作⌀.空集是 ⁠的 子集，是任何非空集合的真子集. 任何一个元 素　 A ⊆ B 　 A ⫋ B 　 ＝　 任何集合　 3. 集合的基本运算 运算 交集 并集 补集 Venn图 符号语言 A ∩ B ＝{ x ｜ x ∈ A ，且 x ∈ B } A ∪ B ＝{ x ｜ x ∈ A ，或 x ∈ B } ∁ UA ＝{ x ｜ x ∈ U ，且 x ∉ A } 4. 集合的运算性质 (1)( A ∩ B )⊆ A ，( A ∩ B )⊆ B ， A ∩ B ＝ B ∩ A ， A ∩ B ＝ A ⇔ ， A ∩⌀＝⌀. (2) A ⊆( A ∪ B )， B ⊆( A ∪ B )， A ∪ B ＝ B ∪ A ， A ∪ B ＝ B ⇔ ⁠ ， A ∪⌀＝ A . (3)∁ UU ＝⌀，∁ U ⌀＝ U ，∁ U (∁ UA )＝ A ， A ∪(∁ UA )＝ U ， A ∩(∁ UA )＝⌀，∁ U ( A ∩ B )＝ ，∁ U ( A ∪ B )＝ ⁠. A ⊆ B 　 A ⊆ B (∁ UA )∪(∁ UB )　 (∁ UA )∩(∁ UB )　 [小题诊断] 1. (多选)已知集合 A ＝{ x ｜ x ≤2 ， x ∈R}， a ＝ ， b ＝2 ，则 (　BC　) A. a ∈ A B. a ∉ A C. b ∈ A D. b ∉ A 由 ＞ ＝2 ，可得 a ∉ A ；由2 ＜2 ，可得 b ∈ A . BC 2. (2024·北京模拟)已知全集 U ＝{ x ｜－3＜ x ＜3}，集合 A ＝{ x ｜0＜ x ＜2}，则∁ UA ＝(　D　) A. B. ∪ C. D. ∪ 全集 U ＝{ x ｜－3＜ x ＜3}，集合 A ＝{ x ｜0＜ x ＜2}， 由补集定义可知：∁ UA ＝{ x ｜－3＜ x ≤0或2≤ x ＜3}，即∁ UA ＝ ∪ . D 3. 已知集合 A ＝{0}， B ＝{－1，0，1}.若 A ⊆ C ⊆ B ，则符合条件的集合 C 的个数为(　C　) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 由题意知含有元素0且是集合 B 的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0，1}，{0，－1，1}，即符合条件的集合 C 共有4个. C 4. (2021·全国乙卷)已知集合 S ＝{ s ｜ s ＝2 n ＋1， n ∈Z}， T ＝{ t ｜ t ＝4 n ＋1， n ∈Z}，则 S ∩ T ＝(　C　) A. ⌀ B. S C. T D. Z 依题知 T ⫋ S ，则 S ∩ T ＝ T . C 关键能力　重点探究 考点一　集合的含义与表示 (1)(2024·海南海口调研)已知集合 A ＝ ，则集 合 A 中的元素的个数为(　C　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 因为 x ∈Z，且 ∈Z，所以2－ x 的取值有－3，－1，1，3，所以 x 的 值分别为5，3，1，－1，故集合 A 中的元素个数为4. C 例1 (2)(多选)已知集合 M ＝{1， m ＋2， m 2＋4}，且5∈ M ，则 m 的可能取 值为(　AC　) A. 1 B. －1 C. 3 D. 2 因为5∈ M ，所以 m ＋2＝5或 m 2＋4＝5，解得 m ＝3，或 m ＝1， m ＝－1.当 m ＝3时， M ＝{1，5，13}，符合题意；当 m ＝1时， M ＝{1，3，5}，符合题意；当 m ＝－1时， M ＝{1，1，5}，不满足集合中元素的互 异性，不成立，所以 m ＝3或 m ＝1. AC 确定集合的注意点 1. 研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是 其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握 集合的含义. 2. 利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时， 要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 方法总结 1. (2024·江苏泰州调研)已知集合 A ＝{0，1，2，3，4}， B ＝{( x ， y )｜ x ∈ A ， y ∈ A ， x － y ∈ A }，则 B 中所含元素的个数为(　D　) A. 5 B. 6 C. 10 D. 15 因为 x ∈ A ， y ∈ A ， x － y ∈ A ， 所以分以下5种情况： D 跟踪训练 ① x － y ＝1，有四个，(1，0)，(2，1)，(3，2)，(4，3)； ② x － y ＝2，有三个，(2，0)，(3，1)，(4，2)； ③ x － y ＝3，有两个，(4，1)，(3，0)； ④ x － y ＝4，有一个，(4，0)； ⑤ x － y ＝0，有五个，(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4). 综上， B 中所含元素的个数为15. 2. (2024·北京模拟)若集合 A ＝{ x ｜ ax 2＋3 x ＋2＝0}中至多有一个元 素，则实数 a 的取值范围是 ⁠. 若 a ＝0，则集合 A ＝{ x ｜3 x ＋2＝0}＝ ，符合题意；若 a ≠0，则Δ＝9－8 a ≤0，解得 a ≥ ，符合题意.综上所述，实数 a 的取值范围是 . 　 考点二　集合间的基本关系 (1)已知集合 A ＝{0，1， a 2}， B ＝{1，0，3 a －2}，若 A ＝ B ， 则 a 等于(　C　) A. 1或2 B. －1或－2 C. 2 D. 1 C 例2 解得 a ＝1或 a ＝2. 当 a ＝1时，集合 A ＝{0，1，1}，不满足集合中元素的互异性，故 舍去； 当 a ＝2时，集合 A ＝{0，1，4}，集合 B ＝{1，0，4}，符合题意， 所以 a ＝2. ∵ A ＝ B ，∴3 a －2＝ a 2， (2)(2023·新高考Ⅱ卷)设集合 A ＝{0，－ a }， B ＝{1， a －2，2 a －2}.若 A ⊆ B ，则 a ＝(　B　) A. 2 B. 1 C. D. －1 若 a －2＝0，则 a ＝2，此时 A ＝{0，－2}， B ＝{1，0，2}，不满足 A ⊆ B ；若2 a －2＝0，则 a ＝1，此时 A ＝{0，－1}， B ＝{1，－1，0}，满 足 A ⊆ B ，所以 a ＝1. B (3)已知集合 A ＝{ x ｜ x 2－3 x ＋2＝0， x ∈R}， B ＝{ x ｜0＜ x ＜5， x ∈ N}，则满足条件 A ⊆ C ⊆ B 的集合 C 的个数为(　D　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由题意可得， A ＝{1，2}， B ＝{1，2，3，4}.又因为 A ⊆ C ⊆ B ，所以 C ＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}，故满足条件的集合 C 的个数为4. D (4)已知集合 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤5}， B ＝{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m －1}.若 B ⊆ A ，则实数 m 的取值范围为 ⁠. 因为 B ⊆ A ，所以分以下两种情况： (－∞，3]　 ①若 B ＝⌀，则2 m －1＜ m ＋1，此时 m ＜2； ②若 B ≠⌀，则解得2≤ m ≤3. 由①②可得，符合题意的实数 m 的取值范围为(－∞，3]. 1. 子集个数的求解方法 穷举法 将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况 公式法 含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集的个数是2n－ 1，非空真子集的个数是2n－2 方法总结 2. 已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图或图象帮助分析. 3. 已知集合 A ＝{1，2，3，5，10}， B ＝{ x ｜ x 为质数}，则 A ∩ B 的非 空子集的个数为(　B　) A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 因为 A ＝{1，2，3，5，10}， B ＝{ x ｜ x 为质数}，所以 A ∩ B ＝{2，3， 5}， A ∩ B 的非空子集为{2}，{3}，{5}，{2，3}，{2，5}，{3，5}， {2，3，5}，共7个. B 跟踪训练 4. 已知集合 A ＝ ， B ＝ ，则 (　A　) A. A ⊆ B B. A ∩ B ＝⌀ C. A ＝ B D. A ⊇ B A 所以 B ＝ 因为 A ＝ ，∴ A ⊆ B . 当 k ＝3 n 时， x ＝ ， n ∈Z. 当 k ＝3 n ＋1时， x ＝ ＝ ， n ∈Z， 当 k ＝3 n ＋2时， x ＝ ＝ ， n ∈Z， 5. (2024·九省联考测试)已知集合 A ＝{－2，0，2，4}， B ＝{ x ｜｜ x －3｜≤ m }.若 A ∩ B ＝ A ，则 m 的最小值为 ⁠. 已知 A ∩ B ＝ A ，则 A ⊆ B . ∵ B ＝{ x ｜｜ x －3｜≤ m }， ∴ B ＝{ x ｜3－ m ≤ x ≤3＋ m }， ∴ ∴ m ≥5，∴ m min＝5. 5　 考点三　集合的基本运算 ◉角度(一)　集合的基本运算 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合 M ＝{－2，－1，0，1，2}， N ＝ { x ｜ x 2－ x －6≥0}，则 M ∩ N ＝(　C　) A. {－2，－1，0，1} B. {0，1，2} C. {－2} D. {2} 由 x 2－ x －6≥0，得 x ≥3或 x ≤－2，∴ N ＝{ x ｜ x ≥3，或 x ≤－2}，因此 M ∩ N ＝{－2}. C 例3 (2)(2023·全国甲卷)设全集 U ＝Z，集合 M ＝{ x ｜ x ＝3 k ＋1， k ∈Z}， N ＝{ x ｜ x ＝3 k ＋2， k ∈Z}，则∁ U ( M ∪ N )＝(　A　) A. { x ｜ x ＝3 k ， k ∈Z} B. { x ｜ x ＝3 k －1， k ∈Z} C. { x ｜ x ＝3 k －2， k ∈Z} D. ⌀ ∵ M ＝{ x ｜ x ＝3 k ＋1， k ∈Z}， N ＝{ x ｜ x ＝3 k ＋2， k ∈Z}， ∴ M ∪ N ＝{ x ｜ x ＝3 k ＋1，或 x ＝3 k ＋2， k ∈Z}. 又 U 为整数集， ∴∁ U ( M ∪ N )＝{ x ｜ x ＝3 k ， k ∈Z}. A 方法总结 解集合运算问题的三个注意点 ◉角度(二)　利用集合运算求参数或参数的范围 (1)(2020·全国Ⅰ卷)设集合 A ＝{ x ｜ x 2－4≤0}， B ＝{ x ｜2 x ＋ a ≤0}，且 A ∩ B ＝{ x ｜－2≤ x ≤1}，则 a ＝(　B　) A. －4 B. －2 C. 2 D. 4 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤2}， B ＝ . 由 A ∩ B ＝{ x ｜－2≤ x ≤1}，知－ ＝1，所以 a ＝－2. B 例4 (2)设 A ＝{－4，2 a －1， a 2}， B ＝{ a －5，1－ a ，9}.已知 A ∩ B ＝{9}，则 a ＝ ， A ∪ B ＝ ⁠. 因为 A ∩ B ＝{9}，所以9∈ A ， 所以 a 2＝9或2 a －1＝9，解得 a ＝±3或 a ＝5. 当 a ＝3时， A ＝{－4，5，9}， B ＝{－2，－2，9}， B 中元素不满足集 合元素的互异性，舍去. 当 a ＝－3时， A ＝{－4，－7，9}， B ＝{－8，4，9}， A ∩ B ＝{9}满足 题意，故 A ∪ B ＝{－4，－7，－8，4，9}. －3　 {－7，－4，－8，4，9}　 当 a ＝5时， A ＝{－4，9，25}， B ＝{0，－4，9}，此时 A ∩ B ＝{－4， 9}，与 A ∩ B ＝{9}矛盾，故舍去. 综上所述， a ＝－3， A ∪ B ＝{－7，－4，－8，4，9}. 利用集合的运算求参数的方法 1. 与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍. 2. 若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之 间的关系，再列方程(组)求解. 注意：在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性). 方法总结 6. (2022·新高考Ⅱ卷)已知集合 A ＝{－1，1，2，4}， B ＝{ x ｜｜ x －1｜≤ 1}，则 A ∩ B ＝(　B　) A. {－1，2} B. {1，2} C. {1，4} D. {－1，4} 由｜ x －1｜≤1得0≤ x ≤2，则 B ＝{ x ｜0≤ x ≤2}，∴ A ∩ B ＝{1，2}. B 跟踪训练 7. (2024·河南焦作模拟)若集合 A ＝{ x ｜2 x 2－9 x ＞0}， B ＝{ x ｜ x ≥2}， 则(∁R A )∪ B ＝(　C　) A. B. ⌀ C. [0，＋∞) D. (0，＋∞) 因为 A ＝{ x ｜2 x 2－9 x ＞0}＝ ， 所以∁R A ＝ . 又 B ＝{ x ｜ x ≥2}， 所以(∁R A )∪ B ＝[0，＋∞). C 8. 设集合 M ＝ ， N ＝ ，则∁ NM ＝ (　B　) A. ⌀ B. C. D. M ＝ ， N ＝ ， 所以∁ NM ＝ . B 9. (多选)已知集合 A ＝{ x ｜ x ＋1≤0}， B ＝{ x ｜ x ≥ a }.若 A ∪ B ＝R，则实数 a 的值可以为(　BD　) A. 2 B. －1 C. 0 D. －2 ∵ A ＝{ x ｜ x ≤－1}， B ＝{ x ｜ x ≥ a }，且 A ∪ B ＝R，∴ a ≤－1， ∴实数 a 的值可以为－1，－2. BD 考点四　与集合有关的新定义问题 (1)(多选)若一个集合中含有 n 个元素，则称该集合为“ n 元集合”，已知集合 A ＝{ x ∈Z｜－ x 2＋8 x －7≥ ax }( a ＞1)为“5元集合”，则 a 的取值可以为(　BC　) BC 例5 A. B. C. D. 1.5 令函数 f ( x )＝－ x 2＋8 x －7， g ( x )＝ ax ( a ＞1)，所以集合 A ＝{ x ∈Z｜ f ( x )≥ g ( x )}，函数 g ( x )的图象过定点(0，1)，在同一平面直角坐标系中作出 f ( x )， g ( x )的大致图象，如图所示. 因为 g ( x )＝ ax ＞0，所以由 f ( x )＝－ x 2＋8 x －7＞0，得1＜ x ＜7，且集 合{ x ∈Z｜1＜ x ＜7}＝{2，3，4，5，6}恰有5个元素，所以 A ＝{2， 3，4，5，6}，观察函数图象，要使－ x 2＋8 x －7≥ ax 成立，应满足 即又 a ＞1，所以1＜ a ≤ . 而1＜ ＜ ＜1.5＜ ，故 与 满足. (2)(多选)所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集 M 与 N ，且满足 M ∪ N ＝Q， M ∩ N ＝⌀， M 中的每一个元素都小于 N 中的 每一个元素，则称( M ， N )为戴德金分割，试判断下列选项中，可能成 立的是(　BD　) A. M ＝{ x ｜ x ＜0}， N ＝{ x ｜ x ＞0}是一个戴德金分割 B. M 没有最大元素， N 有一个最小元素 C. M 有一个最大元素， N 有一个最小元素 D. M 没有最大元素， N 也没有最小元素 BD 对于A，因为 M ＝{ x ｜ x ＜0}， N ＝{ x ｜ x ＞0}， M ∪ N ＝{ x ｜ x ≠0}≠Q，所以A错误；对于B，若 M ＝{ x ∈Q｜ x ＜0}， N ＝{ x ∈Q｜ x ≥0}，则满足戴德金分割，此时 M 没有最大元素， N 有一个最小元素0，故B正确；对于C，若 M 有一个最大元素，设为 a ， N 有一个最小元素，设为 b ，则 a ＜ b ，则 M ＝{ x ∈Q｜ x ≤ a }， N ＝{ x ∈Q｜ x ≥ b }，而( a ， b )内也有有理数，则 M ∪ N ≠Q，故C错误；对于D，若 M ＝{ x ∈Q｜ x ＜ }， N ＝{ x ∈Q｜ x ≥ }，则满足戴德金分割，此时 M 没有最大元素， N 也没有最小元素，故D正确. 解“新定义”题的方法 　　“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、 新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方 法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象 看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难 题”，掌握好基础，以不变应万变才是制胜法宝.对于新定义问题，可恰 当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性 质求解. 方法总结 10. 已知集合 A ＝{1，2，3，…， n }( n ∈N＋)，集合 B ＝{ j 1， j 2，…， jk }( k ≥2， k ∈N＋)是集合 A 的子集.若1≤ j 1＜ j 2＜…＜ jk ≤ n 且 ji ＋1－ ji ≥ m ( i ＝1，2，…， k －1)，符合题意的集合 B 的个数记为 n ( k ⊕ m )，则 7(3⊕2)＝(　B　) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 B 跟踪训练 由题意可得 n ＝7， k ＝3， m ＝2，那么集合 A ＝{1，2，3，4，5，6， 7}，集合 B ＝{ j 1， j 2， j 3}，1≤ j 1＜ j 2＜ j 3≤7且 ji ＋1－ ji ≥2( i ＝1，2)， 将符合题意的集合 B 列举出来可得{1，3，5}，{1，3，6}，{1，3，7}， {1，4，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，4，6}，{2，4，7}，{2，5， 7}，{3，5，7}，共10个. 11. (2024·广西南宁模拟)对于任意两个自然数 m ， n ，定义某种ⓧ运算如 下：当 m ， n 都为奇数或偶数时， m ⓧ n ＝ m ＋ n ；当 m ， n 中一个为偶 数，另一个为奇数时， m ⓧ n ＝ mn .则在此定义下，集合 M ＝{( a ， b )｜ a ⓧ b ＝18， a ∈N， b ∈N}中的元素个数为(　B　) A. 26 B. 25 C. 24 D. 23 若 a 和 b 一奇一偶，则 ab ＝18，满足此条件的有1×18＝2×9＝3×6＝ 18×1＝9×2＝6×3，故数对( a ， b )有6个； 若 a 和 b 同奇偶，则 a ＋ b ＝18，满足此条件的有0＋18＝1＋17＝2＋16 ＝3＋15＝4＋14＝…＝17＋1＝18＋0，故数对( a ， b )有19个. 所以满足条件的元素个数为6＋19＝25. B 教材延展　用Venn图解决有关集合问题 (1)图中阴影部分所表示的集合是(　C　) A. ∁ U ( A ∪ C )∩ B B. ( A ∪ B )∪( B ∪ C ) C. ( A ∪ C )∩(∁ UB ) D. ∁ U ( A ∩ C )∪ B 由Venn图可知阴影部分所表示的集合为集合 A ， C 的并集与集合 B 在全 集 U 中补集的交集，即为( A ∪ C )∩(∁ UB ). C 例 (2)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96％的学生喜欢足球或游 泳，60％的学生喜欢足球，82％的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球 又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　C　) A. 62％ B. 56％ C. 46％ D. 42％ 设只喜欢足球的百分比为 x ，只喜欢游泳的百分比为 y ，两个项目都喜 欢的百分比为 z ，由题意，可得 x ＋ z ＝60， x ＋ y ＋ z ＝96， y ＋ z ＝82，解得 z ＝46，∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的 学生数占该校学生总数的比例是46％. C 　　利用Venn图可以迅速地解决多个集合之间的关系及运算问题，需 要引起重视. 方法总结 1. 已知全集 U ＝R，集合 A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{ x ∈R｜ y ＝lg( x －3)}，则图中阴影部分表示的集合为(　B　) A. {1，2，3，4，5} B. {1，2，3} C. {1，2} D. {3，4，5} ∵全集 U ＝R，集合 A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{ x ∈R｜ y ＝lg( x －3)}＝{ x ｜ x ＞3}， ∴∁ UB ＝{ x ｜ x ≤3}，∴图中阴影部分表示的集合为 A ∩(∁ UB )＝{1，2，3}. B 2. 调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是(　B　) A. 最多人数是55 B. 最少人数是55 C. 最少人数是75 D. 最多人数是80 B 又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为 x ，则 x ∈[0，20]，以上 两种药都带的人数为 y . 根据题意画出Venn图，如图所示，由图可知， x ＋75＋80－ y ＝100， ∴ y ＝55＋ x . ∵0≤ x ≤20， ∴55≤ y ≤75，故最少人数是55. 设100名携带药品出国的旅游者组成全集 I ，其中带感冒药的人组成集合 A ，带胃药的人组成集合 B . 课时作业　巩固提升 [A组　基础保分练] 1. 设集合 A ＝{0}， B ＝{2， m }，且 A ∪ B ＝{－1，0，2}，则实数 m ＝ (　A　) A. －1 B. 1 C. 0 D. 2 ∵ A ＝{0}， B ＝{2， m }，且 A ∪ B ＝{－1，0，2}， ∴－1∈ B ，∴ m ＝－1. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2. (2022·全国甲卷)设集合 A ＝{－2，－1，0，1，2}， B ＝ ，则 A ∩ B ＝(　A　) A. {0，1，2} B. {－2，－1，0} C. {0，1} D. {1，2} 集合 A 中的元素只有0，1，2属于集合 B ， 所以 A ∩ B ＝{0，1，2}. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 3. (2022·北京卷)已知全集 U ＝{ x ｜－3＜ x ＜3}，集合 A ＝{ x ｜－2＜ x ≤ 1}，则∁ UA ＝(　D　) A. (－2，1] B. (－3，－2)∪[1，3) C. [－2，1) D. (－3，－2]∪(1，3) 法一：因为全集 U ＝(－3，3)， A ＝(－2，1]， 所以∁ UA ＝(－3，－2]∪(1，3). 法二：因为1∈ A ，所以1∉∁ UA ，可排除A选项和B选项；0∈ A ，所以 0∉∁ UA ，可排除C选项. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4. (2023·北京卷)已知集合 M ＝{ x ｜ x ＋2≥0}， N ＝{ x ｜ x －1＜0}，则 M ∩ N ＝(　A　) A. { x ｜－2≤ x ＜1} B. { x ｜－2＜ x ≤1} C. { x ｜ x ≥－2} D. { x ｜ x ＜1} 由题意， M ＝{ x ｜ x ＋2≥0}＝{ x ｜ x ≥－2}， N ＝{ x ｜ x －1＜0}＝{ x ｜ x ＜1}， 根据交集的运算可知， M ∩ N ＝{ x ｜－2≤ x ＜1}. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 5. 已知集合 A ＝{ x ∈N＋｜ x 2－3 x －4＜0}，则集合 A 的真子集有(　A　) A. 7个 B. 8个 C. 15个 D. 16个 ∵集合 A ＝{ x ∈N＋｜ x 2－3 x －4＜0}＝{ x ∈N＋｜－1＜ x ＜4}＝{1， 2，3}， ∴集合 A 中共有3个元素， ∴真子集有23－1＝7(个). A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 6. (2023·天津卷)已知集合 U ＝{1，2，3，4，5}， A ＝{1，3}， B ＝{1， 2，4}，则(∁ UB )∪ A ＝(　A　) A. {1，3，5} B. {1，3} C. {1，2，4} D. {1，2，4，5} 由题意知∁ UB ＝{3，5}，∴ A ∪(∁ UB )＝{1，3，5}. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7. (多选)满足{1，3}∪ A ＝{1，3，5}的集合 A 可能是(　AB　) A. {5} B. {1，5} C. {3} D. {1，3} 由{1，3}∪ A ＝{1，3，5}知， A ⊆{1，3，5}，且 A 中至少有1个元素5. AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8. (多选)已知集合 A ＝{ x ｜ x ＞－1， x ∈R}， B ＝{ x ｜ x 2－ x －2≥0， x ∈R}，则下列关系中错误的是(　ABC　) A. A ⊆ B B. ∁R A ⊆∁R B C. A ∩ B ＝⌀ D. A ∪ B ＝R ∵ A ＝(－1，＋∞)， B ＝(－∞，－1]∪[2，＋∞)， ∴ A ∪ B ＝R，D正确，其余选项均错误. ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9. (多选)某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10， 8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上 班的职工人数可能是(　AB　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 如图所示， ( a ＋ b ＋ c ＋ x )表示周一开车上班的职工人数，( b ＋ d ＋ e ＋ x )表示周二开车上班的职工人数，( c ＋ e ＋ f ＋ x )表示周三开车上班的职工人数， x 表示这三天都开车上班的职工人数. 则 得得 b ＋ c ＋ e ＋2 x ＝12，当 b ＝ c ＝ e ＝0时， x 取得最大值6，则这三天都开车上班的职工人数至多是6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10. (2024·浙江台州模拟)若全集 U ＝{1，2，3，4}，集合 M ＝{1，2}， N ＝{2，3}，则∁ U ( M ∪ N )＝ ⁠. ∵全集 U ＝{1，2，3，4}，集合 M ＝{1，2}， N ＝{2，3}，∴ M ∪ N ＝ {1，2，3}，∴∁ U ( M ∪ N )＝{4}. {4}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11. 已知集合 ＝{0， a 2， a ＋ b }，则 a 2 023＋ b 2 024＝ ⁠. 易知 a ≠0， ＝0，即 b ＝0， 所以 a 2＝1，即 a ＝±1. 又由集合中元素的互异性，知 a ≠1，所以 a ＝－1， 故 a 2 023＋ b 2 024＝(－1)2 023＋02 024＝－1. －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 12. 已知集合 A ＝{ x ｜ x 2＋2 ax ＋2 a ≤0}，若 A 中只有一个元素，则实数 a 的值为 ⁠. ∵集合 A ＝{ x ｜ x 2＋2 ax ＋2 a ≤0}， A 中只有一个元素，∴Δ＝4 a 2－8 a ＝0，解得 a ＝0或 a ＝2，∴实数 a 的值为0或2. 0或2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 13. 已知集合 A ＝{ x ｜ x － a ≤0}， B ＝{1，2，3}.若 A ∩ B ≠⌀，则 a 的取 值范围为 ⁠. 集合 A ＝{ x ｜ x ≤ a }，集合 B ＝{1，2，3}，若 A ∩ B ≠⌀，则1，2，3这三 个元素至少有一个在集合 A 中，若2或3在集合 A 中，则1一定在集合 A 中，因此只要保证1∈ A 即可，所以 a ≥1. [1，＋∞)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14. 已知集合 A ＝{ x ｜ x 2＝4， x ∈R}， B ＝{ x ｜ kx ＝4， x ∈R}.若 B ⊆ A ，则实数 k ＝ ⁠. A ＝{ x ｜ x 2＝4， x ∈R}＝{－2，2}.因为 B ⊆ A ，所以 B ＝⌀，或 B ＝ {2}，或 B ＝{－2}，或 B ＝{－2，2}. 因为方程 kx ＝4最多有一个实数根或无实数根，因此分类讨论如下：当 B ＝⌀时，方程 kx ＝4无实根，所以 k ＝0； 当 B ＝{2}时，2是方程 kx ＝4的实根，故2 k ＝4⇒ k ＝2； 当 B ＝{－2}时，－2是方程 kx ＝4的实根，故－2 k ＝4⇒ k ＝－2.综上可 知，实数 k ＝0，2，－2. 0，2，－2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [B组　能力提升练] 15. 已知集合 M ＝{( x ， y )｜ y ＝3 x 2}， N ＝{( x ， y )｜ y ＝5 x }，则 M ∩ N 中的元素个数为(　C　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 由解得或因此 M ∩ N 中的元素个数为2. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16. 已知集合 A ＝ ，则具有性质“若 x ∈ A ，则 ∈ A ” 的 A 的所有非空子集的个数为(　B　) A. 3 B. 7 C. 15 D. 31 满足“ x ∈ A ，且 ∈ A ”的 A 的非空子集为{1}， ， ， ， ， ， ，共7个. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17. 已知全集 U ＝ A ∪ B 中有 m 个元素，(∁ UA )∪(∁ UB )中有 n 个元素.若 A ∩ B 是非空集合，则 A ∩ B 的元素个数为(　D　) A. mn B. m ＋ n C. n － m D. m － n 因为(∁ UA )∪(∁ UB )中有 n 个元素，如图中阴影部分所示，又 U ＝ A ∪ B 中有 m 个元素，故 A ∩ B 中有( m － n )个元素. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18. (多选)若集合 A ＝{ x ｜ sin 2 x ＝1}， B ＝ ，则 下列结论正确的是(　AB　) A. A ∪ B ＝ B B. ∁R B ⊆∁R A C. A ∩ B ＝⌀ D. ∁R A ⊆∁R B AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 B ＝ ＝ ， 显然集合 ⊆ ， 所以 A ⊆ B ，则 A ∪ B ＝ B 成立，所以A正确. ∁R B ⊆∁R A 成立，所以B正确，D错误. A ∩ B ＝ A ，所以C错误. A ＝{ x ｜ sin 2 x ＝1}＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19. 设集合 U ＝{( x ， y )｜ x ∈R， y ∈R}， A ＝{( x ， y )｜2 x － y ＋ m ≥0}， B ＝{( x ， y )｜ x ＋ y － n ＞0}.若点 P (2，3)∈ A ∩(∁ UB )，则 m ＋ n 的最小值为 ⁠. A ＝{( x ， y )｜2 x － y ＋ m ≥0}，∁ UB ＝{( x ， y )｜ x ＋ y － n ≤0}， 由于 P (2，3)∈ A ∩(∁ UB )，所以 解得 所以 m ＋ n ≥4，即 m ＋ n 的最小值为4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 20. 定义 P ☉ Q ＝ ，已知 P ＝{0，－2}， Q ＝{1，2}，则 P ☉ Q ＝ ⁠. x ， y 取不同值时 z 的值如下表所示. 　　　　　　　 y 　　　　 z 　 x 　　　　　 1 2 0 10＋ ＝1 20＋ ＝1 －2 1－2＋ ＝－1 2－2＋ ＝－ 所以 P ☉ Q ＝ . 　 y z 　 x 　　　　　 1 2 0 10＋ ＝1 20＋ ＝1 －2 1－2＋ ＝－1 2－2＋ ＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [C组　高考新动向] 21. (2023·全国乙卷)已知等差数列{ an }的公差为 ，集合 S ＝{ cos an ｜ n ∈N＋}.若 S ＝{ a ， b }，则 ab ＝(　B　) A. －1 B. － C. 0 D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ∴ a 1＋ a 1＋ ＝2 k π( k ∈Z)， ∴ a 1＝－ ＋ k π( k ∈Z).不妨取 k ＝1，则 a 1＝ ， a 2＝ ＋ ＝π，则 S ＝ ＝{ a ， b }， ∴ ab ＝－1× ＝－ . 由题意，得 an ＝ a 1＋( n －1)· . 又 S ＝{ cos an ｜ n ∈N＋}＝{ a ， b }，∴ cos a 1≠ cos a 2， 但 cos a 1＝ cos a 3，即 cos a 1＝ cos ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 $$