专题12 勾股定理及勾股定理逆定理（11考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题12 勾股定理及勾股定理逆定理 目录 【典型例题】 1 【考点一 已知直角三角形的两边，求第三边长】 1 【考点二 以直角三角形三边为边长的图形面积】 3 【考点三 利用等面积法求直接斜边上的高问题】 5 【考点四 勾股定理与无理数】 8 【考点五 勾股定理与折叠问题】 10 【考点六 勾股定理的证明方法】 14 【考点七 勾股数的判断】 19 【考点八 判断能否构成直角三角形】 20 【考点九 在网格中判断直角三角形】 24 【考点十 利用勾股定理的逆定理求解】 28 【考点十一 勾股定理逆定理的实际应用】 31 【过关检测】 35 【典型例题】 【考点一 已知直角三角形的两边，求第三边长】 例题：（22-23八年级上·福建泉州·期末）一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是 ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，原来从A村到B村，需要沿路（）绕过两地间的一片湖，在A、B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若，那么建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为 ． 2.（23-24八年级下·河南新乡·期中）在直角中，，，则的长为 3.（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）若一个直角三角形的两边长为9和12，则这个三角形的斜边长为 ． 【考点二 以直角三角形三边为边长的图形面积】 例题：（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图所示，如果正方形A的面积为625，正方形B的面积为400，则正方形C的边长为 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ． 2.（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为 ． 3.（2024·四川成都·二模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为5、13、30，则正方形的面积为 ． 【考点三 利用等面积法求直接斜边上的高问题】 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则点A到直线BC的距离是 ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，的顶点在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为 ． 2.（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，求边上的高长＝ ． 3.（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．    【考点四 勾股定理与无理数】 例题：（23-24八年级下·河南濮阳·期中）如图，点 A 表示的实数是（      ）      A． B． C．1 D． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段于点A，且长为1个单位长度，若以点C为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（    ） A． B． C． D． 【考点五 勾股定理与折叠问题】 例题：（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为 ．    【变式训练】 1.（2024·山东烟台·二模）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·内蒙古通辽·阶段练习）如图已知长方形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的长为 ． 3.（2024九年级下·江苏徐州·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ． 【考点六 勾股定理的证明方法】 例题：（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 2.（23-24八年级下·河南平顶山·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． (1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点，，在一条直线上），，，． 证明：； (2)请利用“数形结合”思想，画图并推算出的结果． 3.（23-24八年级下·广西南宁·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【考点七 勾股数的判断】 例题：（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，5，6 D．1，2，3 【变式训练】 1.（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4 2.（23-24八年级下·广西来宾·期中）下列各组数是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24八年级下·江西新余·期中）下列各组数中，为勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．5，6，7 C．，， D．，， 【考点八 判断能否构成直角三角形】 例题：（23-24八年级下·安徽淮北·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 【变式训练】 1.（23-24八年级上·四川成都·期中）满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·云南昭通·期中）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 3.（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【考点九 在网格中判断直角三角形】 例题：（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B．的面积为5 C． D．点到的距离为 【变式训练】 1.（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．    (1)求的周长； (2)若点为直线上任意一点，则线段的最小值为________． 3.（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．    (1)求四边形的面积； (2)判断线段和的位置关系，并说明理由． 【考点十 利用勾股定理的逆定理求解】 例题： （23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）在四边形中，已知，，，． (1)连接，试判断的形状，并说明理由； (2)求的度数． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 2.（23-24八年级下·重庆长寿·期中）如图，在四边形中，已知，，，，． (1)求线段的长； (2)求证：是直角三角形． 3.（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，四边形中，，为对角线，于E，． (1)确定的度数； (2)求线段的长． 【考点十一 勾股定理逆定理的实际应用】 例题：（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，）在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．问是否为从村庄到河边最近的路？请说明理由．    【变式训练】 1.（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，阳光中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮．经测量，若每平方米草皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计） 2.（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且． (1)求证：； (2)求修建的公路的长． 3.（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）下列是勾股数的是（    ） A．1.5，2，2.5 B．11，12，23 C．9，40，41 D．6，7，8 2．（23-24八年级下·内蒙古通辽·阶段练习）以直角三角形的三边为边作正方形，三个正方形的面积如图所示，正方形A的面积为（　　） A．6 B．36 C．64 D． 3．（23-24八年级下·河南信阳·期末）在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角 三角形的是（　　） A． B．，， C． D． 4．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·河南新乡·期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·全国·假期作业）若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形． 7．（23-24八年级下·江西上饶·期末）在中，，，，则边的长是 ． 8．（23-24八年级下·广东广州·期中）在的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则边上的高为 ． 9．（23-24八年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则 ． 10．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，于点D，则的长为 三、解答题 11．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，在中选一点D，连接，使．已知，，，． (1)求的度数． (2)求阴影部分的面积． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高． 13．（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 14．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）（1）如图，在中，，求证：； （）在中，，，边上的高，求边的值． 15．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石（点A）向一棵杉树（点B）笔直走去，在其连线上的点D处向右转前进，到达唐伽山山脚下的一个洞穴（点C），宝物就在洞穴中．”若米，米，米．    (1)判断赤石、杉树、唐伽山形成的的形状，并说明理由； (2)求出洞穴到点D的距离． 16．（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)性质探究：如图，已知四边形中，，垂足为，求证：． (2)解决问题：如图，在中，，，，分别以的边和向外作等腰和等腰，连接，求的长． 17．（2024·广东清远·二模）综合与实践 主题：检测雕塑(下图)底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺． 步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 18．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ； (2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简）； (3)根据上面两个结论，解决下面问题： ①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值． ②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积= ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 勾股定理及勾股定理逆定理 目录 【典型例题】 1 【考点一 已知直角三角形的两边，求第三边长】 1 【考点二 以直角三角形三边为边长的图形面积】 3 【考点三 利用等面积法求直接斜边上的高问题】 5 【考点四 勾股定理与无理数】 8 【考点五 勾股定理与折叠问题】 10 【考点六 勾股定理的证明方法】 14 【考点七 勾股数的判断】 19 【考点八 判断能否构成直角三角形】 20 【考点九 在网格中判断直角三角形】 24 【考点十 利用勾股定理的逆定理求解】 28 【考点十一 勾股定理逆定理的实际应用】 31 【过关检测】 35 【典型例题】 【考点一 已知直角三角形的两边，求第三边长】 例题：（22-23八年级上·福建泉州·期末）一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方进行求解即可． 【详解】解：∵一直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴该直角三角形的斜边长为， 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，原来从A村到B村，需要沿路（）绕过两地间的一片湖，在A、B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若，那么建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再和以前的距离作比较即可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得， ∴建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为， 故答案为． 2.（23-24八年级下·河南新乡·期中）在直角中，，，则的长为 【答案】10或 【分析】本题考查了勾股定理．分是直角边或是斜边两种情况讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当是直角边时， 则， 当是斜边时， 则， 故答案为：10或． 3.（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）若一个直角三角形的两边长为9和12，则这个三角形的斜边长为 ． 【答案】12或15 【分析】本题考查了勾股定理．注意12可能是直角边，也可能是斜边，所以得分两种情况讨论． 【详解】解：当9和12都是直角边时， 斜边； 当9是直角边，12是斜边时， 斜边为12． 故答案为：12或15． 【考点二 以直角三角形三边为边长的图形面积】 例题：（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图所示，如果正方形A的面积为625，正方形B的面积为400，则正方形C的边长为 ． 【答案】15 【分析】设A的边长为a，B的边长为b，C的边长为c，根据题意，得，，，计算即可． 本题考查了勾股定理，正确理解定理是解题的关键． 【详解】解：设A的边长为a，B的边长为b，C的边长为c， 根据题意，得，，， ． 解得． 故答案为：15． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ． 【答案】48 【分析】本题考查勾股定理的应用．由正方形的边长分别为4和8可得中间的直角三角形的一直角边和斜边分别是4和8，再用勾股定理可求另一直角边，即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵正方形的边长分别为4和8， ∴ ∵是直角三角形， ∴ ∴正方形的面积． 故答案为：48． 2.（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 首先根据勾股定理求出，然后根据阴影部分面积等于以为直径的2 个半圆的面积加上减去为半径的半圆面积即，然后代数求解即可． 【详解】解：在中，， ， ． 故答案为：30． 3.（2024·四川成都·二模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为5、13、30，则正方形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，解题关键是勾股定理的正确应用． 由所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根据勾股定理得，由正方形、、的面积依次为、、，得，故正方形的面积为12． 【详解】解：由所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根据勾股定理得， 由正方形、、的面积依次为、、，得， 故正方形的面积为12． 故答案为：12． 【考点三 利用等面积法求直接斜边上的高问题】 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则点A到直线BC的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了网格图的问题，解题关键是正确应用勾股定理．用割补法求出的面积，用勾股定理求出的长，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：面积， 由勾股定理得， 设点A到直线的距离是d， 得， 解得． 故答案为：2． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，的顶点在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，利用勾股定理求出的长，利用网格求出的面积，再根据面积法即可求出的长，利用割补法求出的面积是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理可得，， 由网格可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2.（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，求边上的高长＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形面积公式，运用分割法求出的面积，运用勾股定理求出的长，再运用等积法即可求出边上的高 【详解】解：； 由勾股定理得， 所以，边上的高长， 故答案为：． 3.（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．    【答案】3 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据题意求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由图形可知，，边上的高为3， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得，， 故答案为：3 【考点四 勾股定理与无理数】 例题：（23-24八年级下·河南濮阳·期中）如图，点 A 表示的实数是（      ）      A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴、勾股定理等知识点，解答本题的关键是求得的长度．根据勾股定理可得的长，再求出的长，然后求得点A所表示的数即可． 【详解】解：如图：    由题意得： ， ∵ ∴点A表示的实数是 故选B． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理与实数．先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标． 【详解】解：图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∴到A的距离是， ∴点A所表示的数为：． 故选：B． 2.（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，数轴上点的平移，熟练掌握左减右加是解题的关键． 根据勾股定理，得，点A向左平移个单位长度即可得到点D表示的数． 【详解】根据题意，得，， 由勾股定理得：， 故点A向左平移个单位长度即可得到点D表示的数，即． 故选：D． 3.（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段于点A，且长为1个单位长度，若以点C为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示，勾股定理；由勾股定理得，求出，由即可求解；能用勾股定理求解，找出实数在数轴的点是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， P表示的实数为； 故选：B． 【考点五 勾股定理与折叠问题】 例题：（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，运用勾股定理建立方程求出是关键；由折叠知，则，在中由勾股定理建立方程，即可求出，在中由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：， ； 由折叠知， 则； 在中，， 即， 解得：； 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 【变式训练】 1.（2024·山东烟台·二模）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得， 即， 故选：A． 2.（23-24八年级下·内蒙古通辽·阶段练习）如图已知长方形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的长为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．设的长为x，由将折叠使点D恰好落在边上的点F可得，所以，；在中由勾股定理得：，已知的长可求出的长，又，在中由勾股定理可得：，即：，将求出的的值代入该方程求出x的值，即求出了的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ，， 根据题意得：， ，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， ， ， 即． 故答案为：． 3.（2024九年级下·江苏徐州·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ． 【答案】或1或2 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分三种情况讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：当时，如图， 在等腰直角三角形中，，， ∴，， 设，则，， ∵将沿翻折， ∴，， ∴，即， 解得； ∴ 当时，如图， 此时，； 当时，如图， 此时，点A，B，在同一直线上，； 综上，当有一边与垂直时，的长为或1或2． 故答案为：或1或2． 【考点六 勾股定理的证明方法】 例题：（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式等知识．熟练掌握勾股定理的证明，完全平方公式是解题的关键． 由弦图可知，，则四边形和四边形是正方形，由，可得，整理得． 【详解】证明：由弦图可知，， ∴四边形和四边形是正方形， ∵， ∴， ， ∴． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则． ， ， ， ． 2.（23-24八年级下·河南平顶山·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． (1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点，，在一条直线上），，，． 证明：； (2)请利用“数形结合”思想，画图并推算出的结果． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键． （）利用面积法证明即可； （）利用面积法计算即可． 【详解】（1）证明：梯形的面积， 梯形的面积， ∴， 化简可得：； （2）解：如图所示： 大正方形的面积； 大正方形的面积， ∴． 3.（23-24八年级下·广西南宁·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)阴影部分的面积为52． 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． （1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可； （2），列式计算即可证明； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可． 【详解】（1）解：方法1：； 方法2：； ∵，即， 故； 根据以上信息，可以得到等式：； 故答案为：；；； （2）解：∵， 即， 整理得， 故； （3）解：如图，， ∵，， ∴， 则， ∴， 故阴影部分的面积为52． 【考点七 勾股数的判断】 例题：（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，5，6 D．1，2，3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数．解题的关键是理解勾股数的定义：有a，b，c三个正整数，满足，称为勾股数．想要判定是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A． ，能构成勾股数，故该选项正确； B． ，不能构成勾股数，故该选项错误； C．，不能构成勾股数，故该选项错误； D． ，不能构成勾股数，故该选项错误． 故选A． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若三个正整数、、满足，则称、、为勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，不符合题意； B、，是“勾股数”，符合题意； C、，不是“勾股数”，不符合题意； D、，不是“勾股数”，不符合题意； 故选：B． 2.（23-24八年级下·广西来宾·期中）下列各组数是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股数，根据勾股数是满足的三个正整数逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不是勾股数，不符合题意； B、∵，∴不是勾股数，不符合题意； C、∵都不是整数，∴不是勾股数，不符合题意； D、∵，∴是勾股数，符合题意； 故选：D． 3.（23-24八年级下·江西新余·期中）下列各组数中，为勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．5，6，7 C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，9，40，41是勾股数，故此选项符合题意； B、，5，6，7不是勾股数，故此选项不符合题意； C、，不是正整数，，，不是勾股数，故此选项不符合题意； D、，，不是正整数，，，不是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：A． 【考点八 判断能否构成直角三角形】 例题：（23-24八年级下·安徽淮北·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，正确理解勾股定理的逆定理是解题的关键．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【详解】A、， ， ， ， ， 是直角三角形， 故此选项正确，不符合题意； B、设，则，， ， 是直角三角形， 故此选项正确，不符合题意； C、， ， ， 是直角三角形， 故此选项正确，不符合题意； D、，，， ， 不是直角三角形， 故此选项错误，符合题意． 故选D． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·四川成都·期中）满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】解：A、，， ∴最大角为， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； B、设分别为， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； C、， ∴不符合三角形三边关系， 故本选项不符合题意； D、， ， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 2.（23-24八年级下·云南昭通·期中）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理和三角形内角和定理，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键， A、根据勾股定理的逆定理进行判定即可， B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状， C、根据三角形的内角和为度，即可计算出的值， D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状． 【详解】A、当，，， ，故是直角三角形； B、当时，设，，， 则，故是直角三角形， C、当时， ∵， ∴，则，故是直角三角形， D、当时， ∵， 则最大角为，故不是直角三角形， 故选：D． 3.（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，根据三角形内角和定理即可判断A、C；如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断B、D． 【详解】解：A、∵，， ∴，，， ∴不是直角三角形，符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； C、∵，且， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴设，，，且， ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 【考点九 在网格中判断直角三角形】 例题：（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B．的面积为5 C． D．点到的距离为 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理求出长可判定A，利用网格图计算三角形的面积可判定B，利用勾股定理及其逆定理判定C；利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D． 【详解】解：A． ∵， ∴，本选项结论正确，不符合题意； B．，本选项结论正确，不符合题意； C．，，， ， ，本选项结论正确，不符合题意； D．点A到的距离，本选项结论错误，符合题意； 故答案为：D 【变式训练】 1.（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解： A、如图： ，，， 不是直角三角形，故本选项符合题意； B、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； D、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2.（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．    (1)求的周长； (2)若点为直线上任意一点，则线段的最小值为________． 【答案】(1) (2)2 【分析】此题考查了勾股定理与网格、勾股定理逆定理等知识，准确掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出各边的长，求和即可得到的周长； （2）过作，证明是直角三角形，为斜边，利用等积法即可求出答案． 【详解】（1）解：，，， 的周长； （2）过作，    ∵， ∴是直角三角形，为斜边， 的面积， 即， 解得， 即线段的最小值为． 3.（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．    (1)求四边形的面积； (2)判断线段和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)17.5 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了四边形的面积，三角形的面积，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据四边形的面积等于长方形的面积减去四个直角三角形的面积和一个小长方形的面积计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】（1）解：四边形的面积为： ； （2）解：， 理由：如图，连接，   ，，， ， 是直角三角形且， 即． 【考点十 利用勾股定理的逆定理求解】 例题： （23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）在四边形中，已知，，，． (1)连接，试判断的形状，并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)为等边三角形，理由见解析. (2)． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质． （1）连接，根据，，得出是等边三角形即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，从而求得． 【详解】（1）解：是等边三角形． ，， 是等边三角形； （2）解：是等边三角形， ，， 在中，，， ， ， ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键． （1）在直角中利用勾股定理即可求解． （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】（1）解：， 是直角三角形，． ． （2）是直角三角形，理由如下： ， 是直角三角形，． ， ． ， 是直角三角形，是直角． 2.（23-24八年级下·重庆长寿·期中）如图，在四边形中，已知，，，，． (1)求线段的长； (2)求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理： （1）先根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理得出答案即可； （2）得出，即，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形． 3.（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，四边形中，，为对角线，于E，． (1)确定的度数； (2)求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断； （2）利用等面积法即可求解． 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握等积法是关键． 【详解】（1）证明：在直角中，，，， ． ，， ， 是直角三角形，且． （2）解：， ． 【考点十一 勾股定理逆定理的实际应用】 例题：（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，）在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．问是否为从村庄到河边最近的路？请说明理由．    【答案】是，理由见解析 【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用、垂线段最短，熟练掌握勾股逆定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； 【详解】解：是，理由如下： 在中，∵， 即， ∴为直角三角形，且， ∴， 由点到直线的距离垂线段最短可知，是从村庄到河边的最近路； 【变式训练】 1.（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，阳光中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮．经测量，若每平方米草皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计） 【答案】11400元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答． 【详解】解：解：如图，连接， 在中，， 在中，，， 而， 即， 为直角三角形， ， ， 所以需费用 (元)． 2.（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且． (1)求证：； (2)求修建的公路的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形，进而得解； （2）利用的面积公式可得，，从而求出的长． 【详解】（1）解：证明：∵，，，， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 答：修建的公路的长是． 3.（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)这块空地的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． （3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【详解】（1）解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． （2）解：，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． （3）解：由（2）可知，是直角三角形，， ， 由（1）可知，， 这块空地得面积为：． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）下列是勾股数的是（    ） A．1.5，2，2.5 B．11，12，23 C．9，40，41 D．6，7，8 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股数．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、三边长，，不都是正整数，不是勾股数，不合题意； B、，则11，12，23不是勾股数，不合题意； C、，则9，40，41能构成直角三角形，符合题意； D、三边长，则6，7，8不是勾股数，不合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·内蒙古通辽·阶段练习）以直角三角形的三边为边作正方形，三个正方形的面积如图所示，正方形A的面积为（　　） A．6 B．36 C．64 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股树问题：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 根据图形知道所求的A的面积即为正方形中间的直角三角形的A所在直角边的平方，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】∵两个正方形的面积分别为8和14， 且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方， ∴正方形A的面积． 故选A． 3．（23-24八年级下·河南信阳·期末）在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角 三角形的是（　　） A． B．，， C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理等知识点，灵活运用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形成为解题的关键． 根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，则最大角为,即是直角三角形，不符合题意； B、由，符合勾股定理的逆定理，即是直角三角形，不符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意； D、由，则,即是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 4．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理先求出的长，再计算的长即可． 本题考查勾股定理，正确记忆计算公式是解题关键． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中， ， 故选：A． 5．（23-24八年级下·河南新乡·期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可． 【详解】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和， ∴， 以上公式为完全平方公式， ∴A选项不能说明勾股定理，符合题意； B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理得， ∴B选项可以证明勾股定理，不符合题意； C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， ∴C选项可以证明勾股定理，不符合题意； D，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， ∴D选项可以说明勾股定理，不符合题意． 故选：A． 二、填空题 6．（23-24八年级下·全国·假期作业）若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形． 【答案】直角 【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【详解】解：∵一个三角形的三边长之比为8∶15∶17， 设三边分别为，，， 而， ∴三角形构成直角三角形， 故答案为：直角 7．（23-24八年级下·江西上饶·期末）在中，，，，则边的长是 ． 【答案】4 【分析】根据勾股定理求出即可， 本题考查了，勾股定理解直角三角形，解题的关键是：熟练掌握勾股定理． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：4． 8．（23-24八年级下·广东广州·期中）在的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则边上的高为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，首先求出的面积，再根据勾股定理可求出的长，进而根据面积公式即可求得边上的高的长． 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴中边上的高长． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理，折叠，先利用勾股定理求出，根据折叠得出，，，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：15． 10．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，于点D，则的长为 【答案】2 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理得逆定理和直角三角形斜边高的求法，掌握勾股定理及其逆定理是本题关键．根据勾股定理计算的长，再利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】由勾股定理得：，，， ，，，， 是直角三角形，， ， ， ， 故答案为：2． 三、解答题 11．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，在中选一点D，连接，使．已知，，，． (1)求的度数． (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)96 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先在中由勾股定理求得，由，，可以得到，故根据勾股定理逆定理得到； （2）利用，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由得， ∵， ∴． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高． 【答案】(1)是直角三角形；理由见解析 (2)边上的高为2 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）勾股定理求出三边长，勾股定理逆定理，判断三角形形状即可； （2）等积法求高即可． 【详解】（1）解：是直角三角形；理由如下： 由勾股定理，得：， ∴， ∴是直角三角形； （2）设边上的高为， ∵， ∴， ∴； 即：边上的高为2． 13．（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 【答案】的长度为或3 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边的长度，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设，则，再根据翻折的性质可得，然后分两种情况求出，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 沿直线折叠B落在处， ， 点为的三等分点，， 或， 当时，在中， ，即， 解得：； 当时，在中， ，即， 解得：， 综上所述，的长度为或3． 14．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）（1）如图，在中，，求证：； （）在中，，，边上的高，求边的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理证明即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（）在，中，根据勾股定理得： ，， ∴， ∴； （）在，中，根据勾股定理得： ， ， ∴． 15．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石（点A）向一棵杉树（点B）笔直走去，在其连线上的点D处向右转前进，到达唐伽山山脚下的一个洞穴（点C），宝物就在洞穴中．”若米，米，米．    (1)判断赤石、杉树、唐伽山形成的的形状，并说明理由； (2)求出洞穴到点D的距离． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)120米 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理计算判断即可； （2）利用直角三角形的性质和面积公式计算即可． 本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质和面积公式，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）是直角三角形． 理由如下： 米，米，米， ， ， ， 即是直角三角形． （2）， ， （米）， 故洞穴到点D的距离是120米． 16．（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)性质探究：如图，已知四边形中，，垂足为，求证：． (2)解决问题：如图，在中，，，，分别以的边和向外作等腰和等腰，连接，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）运用勾股定理可得：，，，，即可证得结论； （2）如图，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理可得，再证得，得出，，运用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：，垂足为，如图， ，，，， ，， ． （2）解：如图，过点作，交的延长线于点，则， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，． 17．（2024·广东清远·二模）综合与实践 主题：检测雕塑(下图)底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺． 步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用， （1）由勾股定理逆定理求出，则可得出结论； （2）在边上量一小段，在边上量一小段，这时只要量一下是否等于即可． 【详解】（1）解：垂直，理由为： 在中，因为，，， 所以， ， 所以， 所以． （2）解：在边上量一小段， 在边上量一小段，， 这时只要量一下是否等于即可． 18．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ； (2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简）； (3)根据上面两个结论，解决下面问题： ①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值． ②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积= ． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了代数式，整式的混合运算，勾股定理，掌握常见的几何图形的面积公式以及整式的运算法则是解题的关键． （1）根据图形列出代数式即可； （2）图中的面积为直角梯形的面积，也可以看成几个三角形面积的和，分别列出代数式即可得到答案； （3）①利用（2）的结论代入数据计算即可；②根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：图1的面积为大正方形的面积，即， 图1的面积也可以为两个不同正方形的面积加上两个相同长方形的面积，即， 故可得等式； （2）解：图2的面积为直角梯形的面积，即 图2的面积也可以看作个直角三角形的面积和，即， 故可得到等式， 故； （3）解：①，， ； ②，在直角中，，， 在直角中， 学科网（北京）股份有限公司 $$