习题课1 带电粒子在磁场、复合场中的运动（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中物理选择性必修第二册（粤教版2019）

习题课一　带电粒子在磁场、复合场中的运动 综合提能(一)　带电粒子在不同边界磁场中的运动 [融通知能] 1．磁场边界的类型和特点 (1)直线边界：进出磁场具有对称性，如图所示。 (2)平行边界：存在临界条件，如图所示。 (3)圆形边界：沿径向射入必沿径向射出，如图所示。 2．与磁场边界的关系 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当速率v变化时，圆心角越大，运动的时间越长。 [典例]　如图所示，在纸面内有两个磁感应强度大小均为B、方向 相反的匀强磁场，等边三角形ABC为两磁场的理想边界。已知三角形 ABC边长为l，三角形内为方向垂直纸面向外的匀强磁场，三角形外部 的足够大空间为方向垂直纸面向里的匀强磁场。一电荷量为＋q、质量为m的带正电粒子从AB边中点P垂直AB边射入三角形外部磁场，不计粒子的重力和一切阻力。 (1)要使粒子从P点射出后在最短时间内通过B点，则从P点射出时的速度v0为多大？ (2)满足(1)问的粒子通过B后第三次通过磁场边界时到B点的距离是多少？ (3)满足(1)问的粒子从P点射入外部磁场到再次返回到P点的最短时间为多少？画出粒子的轨迹并计算。 /方法技巧/ 带电粒子在有界磁场中运动问题的三步解题法 (1)画轨迹：即确定圆心，几何方法画出半径及运动轨迹。 (2)找联系：半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系。 (3)用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。 [针对训练] 1．a、b两个带正电的粒子经同一电场由静止加速，先后以v1、v2从M点沿MN方向进入矩形匀强磁场区域，经磁场偏转后分别从PQ边E、F离开。直线ME、MF与MQ的夹角分别为30°、60°，粒子的重力不计，则两个粒子进入磁场运动的速度大小之比为 ( 　 ) A．v1∶v2＝1∶3　　　 B．v1∶v2＝3∶1 C．v1∶v2＝3∶2 D．v1∶v2＝2∶3 答案：B 答案：AD 综合提能(二)　带电粒子在磁场中运动的多解问题 [融通知能] 1．带电粒子的电性不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同速度时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解。如图所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。 2．磁场方向的不确定形成多解 磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度的大小， 而未说明磁感应强度的方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致 的多解。如图所示，带正电的粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b。 3．临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞出有界磁场时，由于粒子运动轨迹 是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射面边界 反向飞出，如图所示，于是形成了多解。 4．运动的往复性形成多解 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图所示为带负电的粒子在电磁组合场中的运动。 [典例]　在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，直线OM和ON之间的夹角为30°，一质量为m、带电量为q的粒子，沿纸面以大小为v0的速度从OM上的O′点向左上方垂直磁场方向射入NOM之间，速度与OM成30°角，如图所示。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，不计重力，则OO′的距离为多少？ 答案：BC　 答案：BD 综合提能(三)　带电粒子在组合场中的运动 [融通知能] 1．什么是组合场 电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现。 2．分阶段运动 带电粒子可能依次通过几个情况不同的组合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。 3．“磁偏转”和“电偏转”的比较 比较项目 垂直进入磁场(磁偏转) 垂直进入电场(电偏转) 情景图 受力 FB＝qv0B大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力 FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力 续表 (1)求第二象限内电场的电场强度大小； (2)求粒子第一次经过x正半轴时的位置坐标。 [答案]　(1)1 N/C　(2)(3 m,0)  [针对训练] 答案：B　 2．如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带正电荷离子，在D处沿图示方向以一定的速度射入磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。结果离子正好从距A点为d的小孔C沿垂直于电场方向进入匀强电场，此电场方向与AC平行且向上，最后离子打在G处，而G处距A点为2d(AG⊥AC)。不计离子重力，离子运动轨迹在纸面内。求： (1)此离子在磁场中做圆周运动的半径r； (2)离子从D处运动到G处所需时间； (3)离子到达G处时的动能。 综合提能(四)　带电粒子在叠加场中的运动 [融通知能] 1．什么是叠加场 电场、磁场、重力场叠加，或其中某两场叠加。 2．是否考虑粒子重力 (1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。 (2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。 (3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。 3．带电粒子在叠加场中的常见运动 静止或匀速直线运动 当带电粒子在叠加场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态 匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与静电力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动 较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线 /方法技巧/ 带电粒子在叠加场中运动问题的分析方法 答案：C　 2．空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面(xOy平面)向里，电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是 (　 ) 解析：在xOy平面内电场的方向沿y轴正方向，故在坐标原点O由静止开始运动的带正电粒子在电场力作用下会向y轴正方向运动。磁场方向垂直于纸面向里，根据左手定则，可判断出向y轴正方向运动的粒子同时受到沿x轴负方向的洛伦兹力，故带电粒子向x轴负方向偏转，A、C错误；由于匀强电场方向沿y轴正方向，故x轴为匀强电场的等势面，从开始到带电粒子偏转再次运动到x轴时，电场力做功为0，洛伦兹力不做功，故带电粒子再次回到x轴时的速度为0，因受电场力作用再次进入第二象限重复向左偏转，故B正确，D错误。 答案：B 综合提能(五)　磁场与现代科技　 [融通知能] 续表 [典例]　如图所示为一速度选择器(滤速器)的原理图。K为电 子枪，由枪中沿KA方向射出的电子，速度大小不一。当电子通过 方向互相垂直的匀强电场和磁场后，只有一定速率的电子能沿直 线前进，并通过小孔S。设产生匀强电场的平行板间的电压为300 V，间距为d＝5 cm，垂直纸面的匀强磁场的磁感应强度为0.06 T，问： (1)磁场的方向应该垂直纸面向里还是垂直纸面向外； (2)速度为多大的电子才能通过小孔S。 [答案]　(1)磁场方向垂直纸面向里　(2)1×105 m/s /方法技巧/ 速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件具有相同的特点，即在稳定状态时，电荷所受的洛伦兹力与电场力均等大反向。 [针对训练] 1．(多选)利用霍尔效应制作的霍尔元件，广泛应用于测量和自 动控制等领域。如图是霍尔元件的工作原理示意图，磁感 应强度B垂直于霍尔元件的工作面向下，通入图示方向的电 流I，C、D两侧面会形成电势差UCD，下列说法中正确的是 (　 ) A．电势差UCD仅与材料有关 B．若霍尔元件的载流子是自由电子，则电势差UCD＜0 C．仅增大磁感应强度时，电势差UCD变大 D．在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持水平 解析：电势差UCD与磁感应强度B、材料有关，选项A错误；若霍尔元件的载流子是自由电子，由左手定则可知，电子向C侧面偏转，则电势差UCD＜0，选项B正确；仅增大磁感应强度时，电势差UCD变大，选项C正确；在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持竖直且东西方向放置，选项D错误。 答案：BC　 2．(2024·湖北高考)(多选)磁流体发电机的原理如图所示，MN和PQ是两平行金属极板，匀强磁场垂直于纸面向里。等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子)从左侧以某一速度平行于极板喷入磁场，极板间便产生电压。下列说法正确的是(　 ) A．极板MN是发电机的正极 B．仅增大两极板间的距离，极板间的电压减小 C．仅增大等离子体的喷入速率，极板间的电压增大 D．仅增大喷入等离子体的正、负带电粒子数密度，极板间的电压增大 答案：AC [解析]　(1)当粒子运动半个圆周到达B点时所用时间最短，此时粒子做圆周运动的半径r＝， 根据洛伦兹力提供向心力可得r＝， 解得v0＝。 (2)粒子做圆周运动的半径r＝，设过B点后第三次通过磁场边界时到B点的距离为s，粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可得 s＝3r＝。 (3)粒子在磁场中运动的周期T＝，由图可知从P点射入外部磁场到再次返回到P点的最短时间为tmin＝T＝。 [答案]　(1)　(2)　(3)　见解析图 解析：a、b两个带正电的粒子在磁场中的运动轨迹如图。 设a粒子的轨道半径为R1，b粒子的轨道半径为R2，设MQ＝d，则几何关系得R1＋R1sin 30°＝d，R2－R2sin 30°＝d，由以上两式得＝，设加速电场的电压为U，匀强磁场磁感应强度为B，有Uq＝mv2，qvB＝m，得v＝，则有＝＝，故A、C、D错误，B正确。 2．(2024年1月·安徽高考适应性演练)(多选)如图所示，圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量为q的带电粒子由A点沿平行于直径CD的方向射入磁场，经过圆心O，最后离开磁场。已知圆形区域半径为R，A点到CD的距离为，不计粒子重力。则(　 ) A．粒子带负电 B．粒子运动速率为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子在磁场中运动的路程为 解析：由于粒子经过圆心O，最后离开磁场，可知，粒子在A点所受洛伦兹力向下，根据左手定则，四指指向与速度方向相反，可知，粒子带负电，故A正确；由于圆形区域半径为R，A点到CD的距离为，令粒子圆周运动的半径为r，根据几何关系有r2＝2＋，解得r＝R，粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qv0B＝m，解得v0＝，故B错误；根据上述分析，作出运动轨迹， 如图所示，由于圆形区域半径为R，A点到CD的距离为，根据上述，粒子圆周运动的半径也为R，则△AOO′与△EOO′均为等边三角形，则轨迹所对应的圆心角为120°，粒子圆周运动的周期T＝＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝，故C错误；结合上述可知，粒子在磁场中运动的路程为x＝·2πr＝，故D正确。 [解析]　若粒子带负电，其在磁场中运动的轨迹如图1所示， 由图1可得ab＝2R ，O′a＝R，Oa＝4R 根据洛伦兹力提供向心力，有Bqv0＝ 可得OO′＝Oa－O′a＝； 若粒子带正电，其在磁场中运动的轨迹如图2所示， 则可得OO′＝R，所以OO′＝。 [答案]　若粒子带负电，OO′的距离为；若粒子带正电，OO′的距离为 [针对训练] 1．(2024·湛江高二月考)(多选)如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，离子重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为s，负离子的比荷为、速率为v，OP与OQ间夹角为30°。则所加磁场的磁感应强度B应满足(　 ) A．垂直纸面向里，B> B．垂直纸面向里，B> C．垂直纸面向外，B> D．垂直纸面向外，B> 解析：当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知，负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识可知r2＝OBsin 30° ＝OB，而OB＝s＋r2，故r2＝s， 所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件，可得qvB＞，解得B>，A错误，B正确； 当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知，负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知r1＝，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件，可得qvB＞，解得B>，C正确，D错误。 2.(多选)如图所示，在x轴上方且x＞0的区域有电场强度大小为E、垂直x轴向上的匀强电场，在x轴下方且x＞0的区域有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，M点在x轴上，OM的长度为L。现把电子(质量为m、电荷量为e)在某位置(x＞0)无初速释放，要求能通过M点，则电子释放时的坐标x、y应满足的关系为(　 ) A．x＝L，y＜0 B．x＝L，y＞0 C．y＝(n＝1,2,3，…) D．0＜x＜L，y＝(n＝1,2,3，…) 解析：画出满足题中条件的可能情况如图所示，Q、C之间还有整数个半圆未画出。电子最初坐标为(x，y)，若电子最初位置在AM右侧，即x＞L，不能经过M点；若电子最初位置在AM上，只需y＞0即可经过M点；若电子最初位置在AM左侧，即0＜x＜L，根据题意有L－x＝2nR(n＝1,2,3，…)，即R＝(n＝1,2,3，…)，电子由静止释放至运动到x轴，根据动能定理，有eEy＝mv02，电子在磁场中做匀速圆周运动的半径R＝，解得y＝(n＝1,2,3，…)。B、D正确，A、C错误。 运动规律 做匀速圆周运动 r＝，T＝ 做类平抛运动 vx＝v0，vy＝t，x＝v0t，y＝t2 运动时间 t＝T＝ t＝ 动能 不变 变化 [典例]　如图甲所示，直角坐标系xOy中，第二象限内有沿x轴正方向的匀强电场，第一、四象限内有垂直坐标系平面的匀强交变磁场，以磁场方向垂直纸面向外为正方向。第三象限内有一发射装置(图中没有画出)，沿y轴正方向射出一个比荷＝100 C/kg的带正电的粒子(可视为质点且不计重力)，该粒子以v0＝20 m/s的速度从x轴上的点A(－2 m，0)进入第二象限，从y轴上的点C(0,4 m)(C点未画出)进入第一象限。取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，第一、四象限内磁场的磁感应强度按图乙所示规律变化。 [解析]　(1)带电粒子在第二象限的电场中只受静电力，且静电力方向与初速度方向垂直，所以粒子做类平抛运动； 粒子从A点到C点用时t＝＝ s＝ s； 粒子在水平方向上有a＝，OA＝at2， 则有E＝a＝·＝ N/C＝1 N/C。 (2)设粒子进入磁场时的速度为v， 则其竖直分量vy＝v0＝20 m/s， 水平分量vx＝at＝t＝20 m/s； 所以v＝＝20 m/s，v与y轴正方向的夹角为45°； 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得Bvq＝，粒子在磁场中做圆周运动的半径 R＝＝ m＝ m； 粒子做圆周运动的周期T＝＝ s， 所以由题图乙可知，粒子每运动半个圆周，偏转方向改变一次，则粒子在磁场中的运动轨迹如图所示， 因为4 m＝8R，所以粒子运动第四个半圆的过程中第一次经过x轴，由几何关系可知，粒子第一、二次经过x轴，在x轴上对应的弦长为R＝1 m； 所以OD＝3 m， 则粒子第一次经过x正半轴时的位置坐标为(3 m，0)。 1．(2024·东莞高二月考)如图所示，第一象限内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，第二象限内存在方向向右垂直y轴、场强为E的匀强电场。一带电粒子从A(－L，L)点由静止释放，经电场加速后从C(0，L)点进入磁场，最后从D(L,0)点垂直x轴射出磁场，不计粒子的重力，则带电粒子射出磁场时的速度为(　 ) A．v＝　 B．v＝　　 C．v＝　 D．v＝ 解析：带电粒子在电场中加速时，由动能定理得qEL＝mv2，带电粒子在磁场中运动时，有qvB＝，由几何关系得r＝L，联立解得v＝，故选B。 解析：(1)离子运动轨迹如图所示。 由几何知识可知圆周运动半径r满足 d＝r＋rcos 60° 解得r＝d。 (2)设离子在磁场中的运动速度为v0，则有 qv0B＝m，因为r＝d，代入解得v0＝， 离子做圆周运动的周期T＝＝ 由图知离子在磁场中做圆周运动的时间 t1＝T＝ 离子在电场中做类平抛运动，从C到G的时间 t2＝＝ 故离子从D处运动到G处的总时间 t＝t1＋t2＝。 (3)设电场强度为E，则有 qE＝ma d＝at22 由动能定理得qEd＝EkG－mv02 解得EkG＝。 答案：(1)d　(2)　(3) [典例]　霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 (1)求电场强度的大小E； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1。 [解析]　(1)由题知，入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动，则有Ee＝ev0B 解得E＝v0B。 (2)电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的叠加场中，由于洛伦兹力不做功，且由于电子入射速度为，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有 eEy1＝m2－m2 解得y1＝。 [答案]　(1)v0B　(2) [针对训练] 1．如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R。已知该电场的电场强度为E，方向竖直向下；该磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。不计空气阻力，设重力加速度为g，则 (　 ) A．液滴带正电荷 B．液滴比荷＝ C．液滴沿顺时针方向运动 D．液滴运动速度大小v＝ 解析：液滴在重力场、匀强电场、匀强磁场的复合场中做匀速圆周运动，可知qE＝mg，得＝，B错误；液滴所受的静电力竖直向上，则液滴带负电荷，A错误；由左手定则可判断液滴沿顺时针方向运动，C正确；对液滴有qE＝mg，qvB＝m，解得v＝，D错误。 装置 原理图 规律 速度选择器 若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动 磁流体发电机 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极板间电压为U时稳定，q＝qv0B，U＝v0Bd 电磁流量计 q＝qvB，所以v＝ 所以Q＝vS＝ 霍尔 元件 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差 [解析]　(1)由题知，平行板间的电场强度E方向向下，带负电荷的电子受到的静电力FE＝eE，方向向上。若没有磁场，电子束将向上偏转，为了使电子能够穿过小孔S，所加的磁场施于电子束的洛伦兹力必须是向下的，如图所示，根据左手定则分析得出，磁场的方向垂直于纸面向里。 (2)能够通过小孔的电子，其速率满足evB＝eE， 解得v＝，又因为E＝，所以v＝＝1×105 m/s。 即只有速率为1×105 m/s的电子才可以通过小孔S。 解析：带正电的粒子受到向上的洛伦兹力向上偏转，极板MN带正电为发电机正极，A正确；粒子受到的洛伦兹力和电场力相互平衡时，此时设极板间距为d，极板间的电压为U，则qvB＝q，可得U＝Bdv，因此增大极板间距、增大等离子体的喷入速率，极板间的电压U变大，其大小和等离子体的正、负带电粒子数密度无关，B、D错误，C正确。 $$