精品解析：江西省吉安市十校联盟2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

吉安市2024－2025学年（上）九年级数学第一次练习卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程的常数项是（ ） A. 1 B. C. 4 D. 2. 下列四边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 3. 如若关于x的方程有一个根为， 则a的值是（ ） A. 9 B. 5 C. 3 D. 4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（ ） A. BD=AB B. DC=AD C. ∠ABC=90° D. OD=OC 5. 要组织一场篮球联赛，每两队之间只赛一场，计划安排15场比赛，如果邀请x个球队参加比赛，根据题意，列出方程为（　　） A. B. C. D. 6. 小明用四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是______． 8. 已知方程的一个解为，另一个解为______． 9. 如图，在直角坐标系中，矩形，点的坐标是，则的长是______． 10. 若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 11. 如图，在四边形中，对角线，且，，，，，分别是四边的中点，则四边形的面积为__________． 12. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，点E是边CD的中点，点P在AB边上运动，点F为DP的中点；当为等腰三角形时，则AP的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）用适当的方法解方程： （2）已知：如图，菱形中，点，分别在，边上，，连接，．求证：． 14. 取何值时，多项式的值与的值互为相反数？ 15. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形OCED是矩形． （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积． 16. 如图，在菱形中，，垂足为点E，请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图． （1）在图1中，画出线段的中点M； （2）在图2中，过点C画出边上的高． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图．利用一面墙（墙的长度不限），用的篱笆围成一个矩形场地．设矩形与墙垂直的一边，矩形的面积为 （1）若面积，求的长； （2）能围成的矩形吗？说明理由． 19. 定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： （1）写出方程的“对称方程”：____________________． （2）若关于的方程与互为“对称方程”， ①__________、__________． ②求方程的解． 20. 【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度． 【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接． （1）证明：； （2）若正方形的边长为4，点为中点，则的长为______． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【课本再现】如图，画，并画出斜边上的中线，量一量，看与有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 证明：延长至点，使，连结，． （1）【定理证明】请根据以上提示，结合图1，写出完整的证明过程． （2）【结论应用】如图2，在四边形中，，，，是的中点，连接，．求的度数． 22. “a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　； （2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值； （3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小． 六、（本大题共12分） 23. 中，，，点为直线上一动点（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）探究猜想：如图，当点在线段上时， 与的位置关系为：______________； 、、之间的数量关系为：______________； （2）深入思考：如图，当点在线段的延长线上时，结论、是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸：如图，当点在线段的延长线上时，正方形对角线交于点．若已知，，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安市2024－2025学年（上）九年级数学第一次练习卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程的常数项是（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式为，其中分别为二次项，一次项，常数项，进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的常数项是； 故选D． 2. 下列四边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【详解】解：平行四边形，是中心对称图形，而不是轴对称图形，故A符合题意； 矩形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故B不符合题意； 菱形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故C不符合题意； 正方形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 3. 如若关于x的方程有一个根为， 则a的值是（ ） A. 9 B. 5 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得 ， 解得：； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，理解定义是解题的关键． 4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（ ） A. BD=AB B. DC=AD C. ∠ABC=90° D. OD=OC 【答案】B 【解析】 【分析】根据有一组邻边相等的矩形是正方形添加条件． 【详解】∵四边形ABCD为矩形， ∴要使其为正方形，只需要使矩形ABCD为菱形即可， ∴可添加DC=AD． 故选：B． 【点睛】本题是考查了正方形的判定，判别一个四边形为正方形主要根据①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角来判断． 5. 要组织一场篮球联赛，每两队之间只赛一场，计划安排15场比赛，如果邀请x个球队参加比赛，根据题意，列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意每两队之间只赛一场，x个球队比赛总场数，由此即可列出方程． 【详解】解：设邀请x个球队参加比赛， 根据题意可得：， 故选C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程，读懂题意，得到总场数与球队之间的关系是解题关键． 6. 小明用四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的判定，全等三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据菱形的判定方法逐一分析即可； 【详解】解：四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的三个图案中， 第一个与第三个四边形的四条边都相等， ∴第一个与第三个图形是菱形， 如图， 由四个全等的含角的直角三角板拼成的四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴,， ∴, ∴， ∴四边形是菱形； 故选D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义求参数的取值范围．熟练掌握一元二次方程的二次项的系数不为0，是解题的关键． 8. 已知方程的一个解为，另一个解为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ∴或 解得，， 即另一个解为， 故答案为： 9. 如图，在直角坐标系中，矩形，点的坐标是，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据勾股定理求出是解本题的关键． 根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出即可解答． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 故答案为：． 10. 若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，即，再根据进行求解即可． 【详解】解；∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在四边形中，对角线，且，，，，，分别是四边的中点，则四边形的面积为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理证明四边形EFGH是矩形以及求出矩形的边长，根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵点E、F分别为边AB、BC的中点， ∴EF∥AC，EF=， ∵AC=8， ∴EF=4， 同理，HE∥BD，HE=， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵EH∥BD，AC⊥BD， ∴EH⊥AC， ∵EF∥AC， ∴EF⊥HE， ∴四边形EFGH是矩形， ∴矩形EFGH的面积=HE×EF=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是矩形的判定、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 12. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，点E是边CD的中点，点P在AB边上运动，点F为DP的中点；当为等腰三角形时，则AP的长为______． 【答案】3或或 【解析】 【分析】分三种情况，结合勾股定理，三角形中位线定理以及相似三角形的判断与性质讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∵为的中点， ∴ 设则 ①当时，如图1， 在中，， ∴ ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，但不合题意，舍去， ∴即 ②当时，连接如图2， 在中，， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴是△的中位线， ∴， ∵, ∴, 解得，， 经检验，是原方程的解，但不合题意，舍去， ∴即； ③当时，过点作，垂足为点垂足为点如图3， ∴四边形是矩形，//， ∴ ∵//， ∴△ ∴ ∴ ∴， 综上，的值为3或或． 故答案为3或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，进行正确的分类是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）用适当的方法解方程： （2）已知：如图，菱形中，点，分别在，边上，，连接，．求证：． 【答案】（1），； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程、菱形的性质、全等三角形的判定等知识． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用菱形的性质得到，又由已知即可证明． 【详解】（1）解： ∴， 则或， 解得，； （2） 略 14. 取何值时，多项式的值与的值互为相反数？ 【答案】或1 【解析】 【分析】根据相反数的性质得出关于x的方程，整理成一般式后利用因式分解法求解可得． 【详解】解：根据题意，得： 整理得： 则 或 解得： 当x取或1时，代数式: 的值与的值互为相反数 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 15. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形OCED是矩形． （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积． 【答案】 （1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形． 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即∠COD＝90°， ∴四边形OCED是矩形． （2）4． 【解析】 【分析】（1）由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得∠COD=90°，则可证得四边形CODE为矩形； （2）首先推知△ABC是等边三角形，所以AC=4，则OC=AC=2，根据勾股定理知，结合矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4， ∴AB＝BC＝CD＝4． 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝4， ∴OC＝AC＝2， ∴ ∴矩形OCED的面积是2×2＝4． 【点睛】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 16. 如图，在菱形中，，垂足为点E，请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图． （1）在图1中，画出线段的中点M； （2）在图2中，过点C画出边上的高． 【答案】（1）图1中AC与BD交点即是M．（2）图2中CN就是AD边上的高． 【解析】 【分析】（1）菱形是特殊的平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分可解．（2）根据矩形的判定方法作过A、E、C为顶点的矩形即可． 【详解】如图1 作法：连接BD交AC于M，则点M就是求作的点．理由如下： ∵菱形ABCD ∴AC与BD互相平分（菱形是特殊的平行四边形，平行四边形对角线互相平分） ∴M是AC的中点． （２）如图2 作法：连接EM并延长交AD于N，连接CN，则CN就是求作的高．理由如下： ∵菱形ABCD ∴AD∥BC ∴∠NAC=∠ACE ∠ANM=∠MEC 又∵M是AC的中点 ∴AM=CM ∴△AMN≌△CME（ASA） ∴EM=MN ∴四边形ECNA是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） 又∵ ∴四边形ECNA是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） ∴于N ∴CN是AD边上的高． 【点睛】本题是考查菱形和矩形有关的知识的作图题．解答的要点是先画划草图，再根据草图第（1）题应用菱形性质和第（2）应用矩形的判定方法找到作图的方法． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式得出，求出不等式的解集即可； （2）将转化为，再代入计算即可解答． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 即的取值范围是； 【小问2详解】 ，， ， ， ，即， 解得或． ； ． 故的值为2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合、，找出关于的一元二次方程． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图．利用一面墙（墙的长度不限），用的篱笆围成一个矩形场地．设矩形与墙垂直的一边，矩形的面积为 （1）若面积，求的长； （2）能围成的矩形吗？说明理由． 【答案】（1）或 （2） 解：不能围成的矩形，理由如下： 设矩形场地的宽为，则长为， 依题意列方程：， 即， ∵， ∴方程无实数解， 故矩形场地的面积不能达到． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）设矩形与墙垂直的一边，矩形的面积为，则长为，根据矩形面积公式列方程，解方程即可； （2）利用根的判别式判断即可； 【小问1详解】 解：矩形与墙垂直的一边，矩形的面积为，则长为，则， 当时， ， 解得或， 故的长为或． 【小问2详解】 略 19. 定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： （1）写出方程的“对称方程”：____________________． （2）若关于的方程与互为“对称方程”， ①__________、__________． ②求方程的解． 【答案】（1） （2）①0；1；②， 【解析】 【分析】此题主要考查的是解一元二次方程，公式法解一元二次方程，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． （1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得，，即可求得，，然后利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得：的“对称方程”是； 【小问2详解】 解：由，移项可得：， 由互为“对称方程”的定义可得， ，， 解得：，， 化为， ， ，． 20. 【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度． 【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接． （1）证明：； （2）若正方形的边长为4，点为中点，则的长为______． 【答案】【操作感知】：30； （1）证明：∵正方形纸片按照【操作感知】进行折叠， ∴， 在和中， ， ∴， 即； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定等知识， 操作感知：根据折叠求出，即可得出结论； 迁移探究： （1）根据证即可； （2）设的长为x，则，，利用勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：【操作感知】：由折叠知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30； 【迁移探究】（1） 略 （2）解：设的长为， ∵正方形的边长为4，点P为中点， ∴，，， 在中，， 即， 解得 故答案为：． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【课本再现】如图，画，并画出斜边上的中线，量一量，看与有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 证明：延长至点，使，连结，． （1）【定理证明】请根据以上提示，结合图1，写出完整的证明过程． （2）【结论应用】如图2，在四边形中，，，，是的中点，连接，．求的度数． 【答案】（1） 证明：延长至点，使，连接，， 是斜边上的中线， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等： （1）证明四边形是矩形，推出，可得． （2）先根据已知条件证明，再根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质得出，再根据三角形内角和定理、等边对等角，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ，，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ． 22. “a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　； （2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值； （3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小． 【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x2﹣1＞2x﹣3 【解析】 【分析】（1）直接配方即可； （2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再求x＋y的值； （3）将两式相减，再配方即可作出判断． 【详解】解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， 故答案为：-2，1； （2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0， （x﹣2）2+（y+1）2＝0， 则x﹣2＝0，y+1＝0， 解得x＝2，y＝﹣1， 则x+y＝2﹣1＝1； （3）x2﹣1﹣（2x﹣3） =x2﹣2x+2 =（x﹣1）2+1， ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2+1＞0， ∴x2﹣1＞2x﹣3． 【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方的关键步骤是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 六、（本大题共12分） 23. 中，，，点为直线上一动点（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）探究猜想：如图，当点在线段上时， 与的位置关系为：______________； 、、之间的数量关系为：______________； （2）深入思考：如图，当点在线段的延长线上时，结论、是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸：如图，当点在线段的延长线上时，正方形对角线交于点．若已知，，请求出的长． 【答案】（1）； （2）结论成立，结论不成立，， 理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故结论仍然成立； ， ， ， ， 故结论不成立，正确结论是：； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，进而可证得，于是可得，利用直角三角形的两个锐角互余可证得，于是可得结论；由可得到，于是可得结论； （2）根据正方形的性质得到，进而可证得，于是可得，利用外角的性质可证得，于是可得结论；由可得到，于是可得结论； （3）利用勾股定理可求得，于是可得，，根据正方形的性质得到，进而可证得，于是可得，，利用直角三角形的两个锐角互余可证得，利用邻补角互补可求得，利用勾股定理可求得，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出答案． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即：， ， 故答案为：； ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即：， ， ， 四边形是正方形， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，垂线的定义，外角的性质，勾股定理，利用邻补角互补求角度，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $