11.1 平方根（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

11.1 平方根 数学（京改版） 八年级 上册 第十一章 实数和二次根式 学习目标 1、理解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根. 2、理解算术平方根的非负性. 3、通过平方运算求某些非负数的算术平方根. 4、掌握平方根的意义及性质. 5、理解平方根与算术平方根的联系与区别． 　 导入新课 自由下落物体的高度 (米)与下落时间 (秒)的关系为h=4.9t2 ．有 一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：当h=10时 ，得19.6=4.9t2 ， 所以 t2=4 那t应为何值呢？ 讲授新课 知识点一 算术平方根 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 正方形的边长/dm 若题中的面积变为下表中的数值，你能知道对应的正方形画布边长吗？ 1 3 4 6 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题. 讲授新课 一般地，如一个正数x的平方等于a，即x2=a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数. 0的算术平方根是0. 记作： 规定： 讲授新课 试一试：1.你能根据等式 122=144，说出144的的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来． 144的算术平方根是12，即＝12. x时，就是2的算术平方根，即 y时，y就是3的算术平方根，即 w时，w就是5的算术平方根，即 z时，z就是4的算术平方根，即 2.试求出上面问题中的x、y、z、w的值. 非平方数的算术平方根只能用根号表示. 讲授新课 典例精析 解: (1)因为302＝900， 所以900的算术平方根是30，即=30; 【例1】求下列各数的算术平方根： (1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14． (3)因为，所以的算术平方根是，即; (2)因为12＝1， 所以1的算术平方根是1，即=1； (4)14的算术平方根是. 讲授新课 方法归纳 a的算术平方根 互为逆运算 求非负数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根． 是算术平方根的运算符号 x = x2 = a (x≥0) 算术平方根的求解方法 读作：根号a 讲授新课 练一练 1、计算： （1） ； （2） . 解：(1)原式=7+3-1=9； (2)原式=2+3-4=1. 讲授新课 2．若一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 ； 3． 的算术平方根是 ； 4． 的算术平方根是 ； 5．若 ，则 ． 7 16 讲授新课 知识点二 算术平方根的性质 想一想：(1)负数有算术平方根吗？ 只有非负数（正数和0）有算术平方根，负数没有算术平方根（即当a<0时，无意义）. (2)一个非负数的算术平方根可能是负数吗？ 不可能，非负数的算术平方根是非负数. 讲授新课 算数平方根具有双重非负性. (a≥0) 非负数 算术平方根的性质: 正数的算术平方根是正数； 0的算术平方根是0； 负数没有算术平方根. 知识归纳 讲授新课 典例精析 解: 因为|m-1| ≥0，≥0，又|m-1| +=0, 所以 |m-1| =0，=0， 所以m=1,n=-3, 所以m+n=1+(-3)=-2. 【例2】若|m-1| + =0,求m+n的值. 归纳：几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根. 讲授新课 练一练 1.已知： 求X-3Y+4Z的值. 解：由题意得： 解得 讲授新课 知识点三 算术平方根的实际应用 解:将s＝19.6代入公式 s=4.9t2， 得 t2 =4 ， 所以正数 t2 =(秒). 即铁球到达地面需要2秒. 做一做：自由下落物体下落的距离s（米）与下落时间t（秒）的关系为s=4.9．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 讲授新课 典例精析 【例3】如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？ 所以帐篷支撑竿的高是米. 解：由题意得AC＝5.5米，BC＝4.5米，∠ABC＝90°. 在Rt△ABC中，由勾股定理得 ==(米) 讲授新课 练一练 h d 1、“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远.如图,若观测点的高度为h,观测者视线能达到的最远距离为d,则 ,其中R是地球半径，约等于6400 km.小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20 m,她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值. 解： 由R=6400 km，h=0.02 km，得 讲授新课 知识点四 平方根的概念及其性质 （2）平方等于正数的数都有几个，它们有什么关系？ 平方等于正数的数有2个，它们互为相反数. 想一想：（1）平方等于的数有几个? 平方等于 0.64 的数呢? 平方等于的数有2个，即和； 平方等于 0.64 的数也有2个，即±0.8. 讲授新课 知识归纳 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2= a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫二次方根）. 例如:(±4)2=16，则4和-4都是16的平方根； 即16的平方根是4和-4；其中，4还是16的算术平方根. 平方根的概念 讲授新课 议一议:（1）一个正数有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？ （3）因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根. 平方根的性质：一个正数有两个平方根（互为相反数）；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根. 2个 1个 平方根如何表示呢？ 讲授新课 知识归纳 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根（一般省略+），另一个是 .它们互为相反数.这两个平方根合起来记作 ，读作“正、负根号a”. (a是非负数) 根号 a叫被开方数 读作：正、负根号a 意义：a的平方根（a≥0） 和为0 平方根的表示方法 讲授新课 典例精析 【例4】求下列各数的平方根： (1) 64 ；(2) ；(3) 0.0004；(4)(-25)2 ；(5)11. 解:(1)因为 (8)2 = 64，所以 64的平方根是8，即±±. (2)因为 ()2 =，所以的平方根是，即±±. (4)因为 (25)2 =(-25)2，所以(-25)2的平方根是25，即±±. (5)11的平方根是± (3)因为(0.02)2 = 0.0004， 所以 0.0004 的平方根是0.02，即±±. 讲授新课 探究：开平方 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. 想一想：开平方与平方运算有什么关系呢？ a的平方根 底数 幂 被开方数 互为 逆运算 指数 根号 已知底数和指数求幂 已知幂和指数求底数 开平方运算 平方运算 （a≥0） （a≥0） 讲授新课 开平方运算 ±3的平方是9，即 例如： 9的平方根是±3，即 平方运算 互为 逆运算 讲授新课 探究：与的关系 64 7.2 0 ? 表示a的算术平方根，依据算术平方根的定义: (a≥0) . 想一想：(1)根据所学知识填一填，并说明理由. ; ; ; ; 讲授新课 2 3 0.5 2 3 0.5 a 0 -a (a>0) (a=0) (a<0) (2)填一填，并说说你的理由. 对于任意数a，一定等于a吗？ 当a≥0时，=a . 讲授新课 之间有什么关系？一定相等吗？ (3) 与 不一定相等，只有当a≥0时，它们才相等. 当a<0 时，没有意义. 讲授新课 练一练 1、若一个正数x的两个平方根分别为3a-5和1-2a,求2x+2的平方根. 解：由题意得（3a-5）+（1-2a）=0, 解得a=4. ∴3a-5=12-5=7 ∴x=72=49 ∴ 2x+2=2×49+2=100. ∴2x+2的平方根为±10. 当堂检测 1.化简的结果是（ ） A.-4 B.4 C.±4 D.2 2.若，则a的值为（ ） A.-9 B.9 C.-3 D. 3.要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A.x＞3 B.x＜3 C.x≥-3 D.x≥3 B D B 4.下列说法正确的是（　　） A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根 C.-6是(-6)2的算术平方根 D.0没有算术平方根 A 当堂检测 5.若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 . 6.的算术平方根是 ；的算术平方根是 . 7.若，则 ． 8.已知a,b满足(a-1)2+=0，则a+b= ． 16 49 -1 当堂检测 10.若一个正数的两个平方根为2a-6、3a+1，则a= ，这个正数为 ； 1 16 11.若x2=3，则 x= ， 若=3，则x= . ±3 ± 9.平方根等于本身的数是 ； 算术平方根等于它本身的数是 ； 算术平方根和平方根相等的数是 . 0 0和1 0 当堂检测 12.求下列各数的算术平方根:（1）25； （2）；（3）10-6 ；（4） 解：(1)因为52=25，所以25的算术平方根是5， 即. (4)，22=4，所以的算术平方根是2. (3)因为(10-3)2=10-6，所以10-6的算术平方根是10-3，即 10-3; (2)因为，所以的算术平方根是，即. 当堂检测 13. 已知4x2=81，求x的值. 解：∵4x2=81， ∴x2= ∴x=± ∴x的值为±. 当堂检测 14.(1)已知y=，求x+y的值； 解：∵7－x≥0，x－7≥0， ∴x－7＝0，x＝7， ∴y＝5， ∴x＋y＝12. (2)若4a＋1的算术平方根是3，求a的值． 解：∵4a＋1的算术平方根是3， ∴4a＋1＝32＝9， ∴a＝2 当堂检测 15. 若=2，正数b的两个平方根分别是2c-1和-c+2，求a+b+c的平方根. 解：∵正数b的两个平方根分别是2c-1和-c+2， ∴2c-1-c+2=0.解得c=-1. ∴b=（-2-1）2=9. ∵ =2， ∴a=5. ∴a+b+c=5+9-1=13. ∴13的平方根是± . 当堂检测 解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得 240x2=60, ∴x2=， ∴, 所以每块地板砖的边长是0.5 m. 16.用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？ 课堂小结 一般地，如一个正数x的平方等于a，即x2=a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根. 0的算术平方根是0. 算术平方根： 中的双重非负性： a≥0 课堂小结 平方根的性质 平方根的概念 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数；0的平方根是0； 负数没有平方根. 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根或二次方根.a﹙a≥0﹚的平方根表示为 . 谢 谢~ $$