专题 第4章一元二次方程章末重点题型归纳（专项训练）数学青岛版九年级上册

第4章 一元二次方程（章末重点题型归纳） 题型一 一元二次方程的定义 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程定义“含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程”和一般形式进行判定即可求解． 【详解】解：A、，不是一元二次方程，不符合题意； B、，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C ． 2．若关于的一元二次方程的常数项为，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，根据题意，常数项是，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，关于的一元二次方程的常数项是， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 3．下列方程是一元二次方程的是（   ） A．（a、b、c为常数） B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，只有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，（a、b、c为常数），不是一元二次方程，不符合题意； B、，整理得：，是一元二次方程，符合题意； C、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，不是整式方程，不符合题意； 故选B． 4．关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．5，，1 B．5，2， C．，2，1 D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式：，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项，b叫做一次项系数；叫做常数项． 【详解】由，得 ， 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是5，2，， 故答案为：B． 5．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，绝对值方程等知识点，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得，，解该一元一次不等式和绝对值方程即可得出答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 6．一元二次方程的二次项为 ，一次项系数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．把一元二次方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：化为一般形式得到：， ∴二次项为，一次项系数为， 故答案为：， 7．方程，化成一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先展开，移项，即可得出的形式即可． 【详解】， 整理，得， 即． 8．已知是关于的一元二次方程，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是次的整式方程，特别注意二次项系数不为，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，且， 解得：． 9．将一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数：2；一次项系数：；常数项：9． 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程，其中叫做二次项系数，叫做一次项系数，叫做常数项解答即可． 本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 整理，得， 故方程的一般形式为：， ∴二次项系数：2；一次项系数：；常数项：9． 10．把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项为，一次项为，常数项 (2)，二次项为，一次项为，常数项 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． （1）根据一元二次方程的一般形式的定义即可解答； （2）根据一元二次方程的一般形式的定义即可解答． 【详解】（1）解：由， 得：， 化为一般式得：， 二次项为，一次项为，常数项； （2）解：由， 得：， 化为一般式得：， 二次项为，一次项为，常数项． 题型二 一元二次方程的解及解的估算 1．已知方程的一个根是，且，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意，把代入可得，由，根据等式的性质，两边同时除以可得，，由此即可求解． 【详解】解：已知方程的一个根是，且， ∴， 两边同时除以得，， ∴， 故选：A ． 2．若方程的一个根是，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意，把代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，把代入得，， 解得，， 故选：C ． 3．若为关于的一元二次方程的根，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，根据题意将代入方程化简即可得到，从而确定答案，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：若为关于的一元二次方程的根， ，则， ， 故选：B． 4．根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，关键观察函数值的变化． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的解的范围为， 故选C． 5．观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（    ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.19 0.44 0.71 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查估算一元二次方程的解，根据图表，找到相邻两个的值，使的值为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ∴当时，存在一个的值，使， ∴一元二次方程的一个解x所在的范围是； 故选B． 6．已知m是一元二次方程的根，则代数式的值为 【答案】2024 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，将方程的根m代入方程中求解即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的根， ∴， ∴， 故答案为：2024． 7．已知m是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，代数式求值，根据题意得出，再将式子变形即可得出答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的概念，掌握此概念是关键． 根据一元二次方程解的含义，把解代入所给的方程中，即可求得m的值，然后结合一元二次方程二次项系数不等于零求解即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有一根为0， ∴， ∴或，且 ∴． 故答案为：2． 9．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 10．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 题型三 用配方法解一元二次方程 1．用配方法解方程 时，配方所得的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可． 【详解】解： ， 故选：D． 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 3．一元二次方程用配方法解该方程，配方后的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为．把常数项移项后，然后在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方． 【详解】解： 把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选A． 4．用配方法解一元二次方程，配方正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先将二次项系数化为1，再移项，同时配方，即可得出答案． 【详解】两边除以2，得， 移项，得， 配方，得， 即． 故选：D． 5．若，，为实数，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．的大小关系与的取值有关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，配方法的应用．直接利用整式的加减运算法则结合偶次方的性质得出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 6．将一元二次方程化成的形式，则 ． 【答案】 【分析】此题考查的是配方法的应用，在方程的两边都加上 ，配方后可求解的值，从而可得答案． 【详解】解：∵ ， ， ， ． 故答案为：． 7．代数式的最小值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查利用配方法求多项式的最小值，直接配方，利用完全平方式的非负性可求出最小值． 【详解】解：∵ ∵， ∴ ∴的最小值为12． 故答案为：12． 8．解方程：． 【答案】 【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解本题的关键． 方程利用配方法求出解即可 【详解】解：方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得． 9．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：， ，当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 仿照上述方法，求解代数式的最大值． 【答案】代数式的最大值是21． 【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最大值是21． 题型四 用公式法解一元二次方程 1．用公式法解方程时， ， ， ． 【答案】 1 3 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】∵， ∴ ∴，， 故答案为：1，3，． 2．用公式法解方程，其中的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查判别式的计算，由一般式得到的值，代入计算即可得到答案，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 3．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题的关键． 根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意及求根公式， 得，，， 该一元二次方程为， 故答案为：． 4．解方程； 【答案】无解 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键． 先求出的值，再代入求根公式求出答案即可． 【详解】解：， 这里，，， ， 原方程无解． 题型五 因式分解法解一元二次方程 1．解方程最适当的方法是（    ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 将方程等号左边提公因式后，变形为，即为因式分解法求解． 【详解】解：方程可化为， 因此因式分解法最为合适． 故选：D． 2．已知三角形的两边分别是3和5，第三边是方程的根，则这个三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的求解以及三角形的三边关系，求解一元二次方程后，利用三角形的三边关系加以验证即可． 【详解】解：由得：， 解得：； 若三角形的三边长分别为：， ∵， ∴不能构成三角形； 若三角形的三边长分别为：， 则这个三角形的周长， 故选：C 3．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，可以先因式分解，再分别令两个一次因式为零即可求解． 【详解】解： 或 故答案为： ． 4．一元二次方程的较小的根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用因式分解法解二元一次方程，熟练掌握用因式分解法解二元一次方程的方法是解题的关键．用因式分解法求出该方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴， ∵， ∴较小的根是． 故答案为：． 5．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法和公式法． （1）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一元一次方程即可； （2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）解：， 或， 所以，； （2）解：方程化为一般式为， ，，． ． ， 即， 所以，． 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 求出，根据根的判别式即可作出判断． 【详解】解：， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．根的判别式，根据的值可以判断方程的根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式来判断即可． 【详解】解：∵为关于x的一元二次方程， ∴， ∵， ∴， ∴此一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选A． 3．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟练掌握根的判别式与一元二次方程根的关系． 先求出该一元二次方程根的判别式，再由时，一元二次方程有两个不等实数根；时，一元二次方程有两个相等实数根；时，一元二次方程无实数根即可得解． 【详解】解：关于的一元二次方程中， ， 该方程有两个实数根． 故选：． 4．若关于的方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则此方程的根的情况是（） A．无法确定 B．无实根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，根据一元二次方程根的判别式得，根据在数轴上的对应点可得，即可确定判别式的符号，进一步确定根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：在一元二次方程中， ， 由数轴可知，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 5．用公式法解方程时， ， ， ． 【答案】 1 3 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】∵， ∴ ∴，， 故答案为：1，3，． 6．用公式法解方程，其中的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查判别式的计算，由一般式得到的值，代入计算即可得到答案，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 7．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题的关键． 根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意及求根公式， 得，，， 该一元二次方程为， 故答案为：． 8．一元二次方程 实数根（填“有”或“没有”）． 【答案】有 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是先根据根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【详解】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数解． 故答案为：有． 9．对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了新定义实数运算、一元二次方程根的判别式等知识点． 根据新的运算法则列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】解：由题意可得：可化为：，即 ∵， ∴关于的方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 10．解方程； 【答案】无解 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键． 先求出的值，再代入求根公式求出答案即可． 【详解】解：， 这里，，， ， 原方程无解． 题型七 根据一元二次方程根的情况求参 1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程有实数根，则”是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根，则列出不等式，解不等式即可，需要注意． 【详解】解：由题意得， 解得：且， 故选：D． 2．若一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，将原方程可化为一般式，再由方程有实数根时，即可得出答案． 【详解】原方程可化为， 该方程有实数根， ， 解得， ， m的值不可能是， 故选：A． 3．若一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键． 由方程无实数根即，从而得出关于m的不等式，解之可得． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ， 解得：． 故选：D． 4．关于x的方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不同的实数根， ∴， 解得：． 故选：B． 5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到且，解不等式即可求解． 【详解】解：∵有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得，且； 故答案为：且． 6．若关于的一元二次方程有实数根，则满足的最小整数为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：且， ∴满足的最小整数2 故答案为：2． 题型八 一元二次方程根与系数的关系 1．若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则， ∴． 故选：A． 2．已知一元二次方程的两个根和，则的值为（   ） A．10 B． C．24 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根和， ∴， 故选：C． 3．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2025 B．2023 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键是明确两根之和为． 先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：A． 4．已知是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此求得，，进而求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：A． 5．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，可以先因式分解，再分别令两个一次因式为零即可求解． 【详解】解： 或 故答案为： ． 6．一元二次方程的较小的根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用因式分解法解二元一次方程，熟练掌握用因式分解法解二元一次方程的方法是解题的关键．用因式分解法求出该方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴， ∵， ∴较小的根是． 故答案为：． 7．已知、是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，直接得出结果即可．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴； 故答案为：2． 8．若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．若一元二次方程的两个根分别为，，则代数式的值为 ． 【答案】2019 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程的解和根与系数关系得出，，再将代数式变形进行整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，，， ∴， 故答案为：2019． 10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围． (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求a的值． 【答案】(1)且； (2)的值为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根、一元二次方程根的判别式得出、，进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式的变形得到，由此解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 即， 解得， ∴且； （2）解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ， ， ∴或， 解得（且，故舍去），， ∴的值为． 题型九 一元二次方程的实际应用（面积） 1．2023年12月10日，龙城太原迎来这个冬天的第一场大雪．为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道（如图阴影部分为通道），保留了3块面积均为的积雪活动区．已知矩形空地的长为，宽为，若设通道的宽为，则根据题意可得方程（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设小道的宽为x米，根据题意列方程为： ， 故选：D． 2．如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在处，门用其他材料）．设的长为米，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，矩形面积公式．根据题意用含的代数式表示出长度，再利用矩形面积公式即可得到本题答案． 【详解】解：矩形在边上留一个2米宽的门，设的长为米，共用长为70米的棚栏围成矩形， ∴（米）， ∵围成一个面积为640平方米的矩形羊圈， ∴， 故选：D． 3．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑三条同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．若设道路宽为，则根据题意可列方程为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．利用平移可把草坪变为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【详解】解：设小路宽为，根据题意得： ， 故答案为：． 4．一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，设通道的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答． 【详解】解：设通道的宽为米， 根据题意得：， 解得：（不合题意舍去）或， 通道的宽为1米， 故答案为：1． 5．《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是 .    【答案】 【分析】设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为，根据整个挂图的面积是列出方程即可，读懂题意，数形结合是正确列方程的关键． 【详解】解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽就为， 根据题意得：， 故答案为：． 6．如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米．若苗圃的面积为，求苗圃的一边长为多少米． 【答案】8米 【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．设苗圃的一边长为米，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设苗圃的一边长为米， 根据题意可列方程：， 整理得， 解得，， 当时，，不合题意，舍去 ∴． 答：若苗圃的面积为时，边长为8米． 7．如图，用长为米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度米），设花圃的一边长为米． (1)如果所围成的花圃的面积为平方米，试求的长； (2)按题目的设计要求，能不能围成面积为平方米的花圃？若不能，请说明理由． 【答案】(1)（米） (2)不能，理由见详解 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用， （1）根据题意可得（米），根据几何图形面积公式列式求解，再根据墙体长度确定合适的值即可； （2）根据题意列式，再根据一元二次方程根与系数的关系可得，即方程无解，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，则（米）， ∴，整理得，， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴，即（米）； （2）解：不能，理由如下， 根据题意，，整理得，， ∴， ∴方程无解， 不能围成面积为平方米的花圃． 8．如图所示某农户为了增加经济收入，购买了33米的铁栅栏，准备用这些铁栅栏在靠墙（墙长20米）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养猪场养猪． (1)若要建的矩形养猪场面积为72平方米，求猪场的边和的长度； (2)该农户想要建一个120平方米的矩形养猪杨．这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)猪场的边和的长度分别为9米和8米． (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设，则，根据矩形的面积公式结合矩形养猪场面积为72平方米2，列关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入中，取使得小于等于20的值即可得出结论； （2）同（1）可得出关于y的一元二次方程，再运用根的判别式判定方程根的情况即可． 【详解】（1）解：设，则， 依题意可得：，解得：． 当时，，不符合题意，舍去． 当时，，符合题意； 答：猪场的边和的长度分别为9米和8米． （2）解：不能，理由如下： 设，则， 依题意，得：， 整理得：． ∵， ∴该方程无解， ∴不能建成一个120平方米的矩形养猪杨． 题型十 一元二次方程的实际应用（增长率） 1．某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率是x，则可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为（当增长时中间的“”号选“”，当降低时中间的“”号选“”）． 【详解】解：设平均每月增长率是x，列出方程为， 故选：B． 2．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【详解】解∶二月份工业产值为， 三月份工业产值为， ∴第一季度总产值为， 根据题意，得， 故选∶B． 3．小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如图，设小明从2021年到2023年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，由2021年的鸟类种数2023年的鸟类种树列方程即可． 【详解】解：设小明从2021年到2023年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x， 根据题意，得， 故答案为：． 4．随着不动产登记政策的出台以及国家对楼房的价格进行调控，某省一个地市的房屋价格原价为 元/平方米，通过连续两次降价后，售价变为元/平方米，依题意，可列方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程与增长率，根据题意，由数量关系列式求解即可． 【详解】解：根据题意，， 故答案为：． 5．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该公司这两年缴税的年平均增长率是，利用该公司2023年缴税金额该公司2021年缴税金额该公司这两年缴税的年平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 该公司这两年缴税的年平均增长率是． 故答案为：． 6．李大爷承包荒山种了棵苹果树，现已是第三年收获，收获时，随意采摘了棵树上的苹果，称得这棵树摘得的苹果质量分别为（单位：千克）：，，，，． (1)根据样本平均数估计这一年苹果总产量约为多少千克． (2)若市场上苹果售价为每千克元，则这一年李大爷的苹果收入将达多少元？ (3)已知李大爷第一年卖苹果收入为元，根据以上估算，试求第二年、第三年苹果收入的年平均增长率． 【答案】(1)这一年苹果总产量约为千克． (2)这一年李大爷的苹果收入将达元． (3)第二年、第三年苹果收入的年平均增长率为． 【分析】本题考查的知识点是求平均数、用样本估计整体、一元二次方程的实际应用，解题关键是根据等量关系列出正确的一元二次方程并求解． （1）根据平均数的计算公式即可求出样本平均数，然后乘以即是这年苹果的总产量； （2）根据用样本估计整体的思想，市场上的苹果售价乘以总产量即是这年的苹果的收入； （3）设年平均增长率为，依题意根据等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：依题得：样本平均数为， 则根据样本平均数估计这一年苹果总产量约为千克． 答：这一年苹果总产量约为千克． （2）解：结合（1）中求得的该年苹果总产量可得， 这一年李大爷的苹果收入将达元． 答：这一年李大爷的苹果收入将达元． （3）解：设苹果收入的年平均增长率为， 依题得：， 解得或（舍）， 即第二年、第三年苹果收入的年平均增长率为． 7．某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元．对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量． (1)求空调的下降率； (2)若要求风扇的营业额为854000元，则空调应按照多少元销售． 【答案】(1)空调的下降率为 (2)空调应按照元销售 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用， （1）根据题意，设降价率为，运用一元二次方程与增长率的关系列式计算即可求解； （2）设下降了个元，则现在的售价为元，现在的销售量为台，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元， ∴设降价率为， ∴，则， ∴， 解得，或， ∵是降价， ∴，即空调的下降率为． （2）解：设下降了个元，则现在的售价为元，现在的销售量为台， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴下降了个元，即下降了元，则（元）， ∴空调应按照元销售． 题型十一 一元二次方程的实际应用（销售、利润） 1．某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为2万元，共销售60台．根据市场调查知：这种机床每台售价每增加万元，就会少售出1台．四月份该专卖店想将销售额提高，则这种机床每台的售价应定为（   ） A．3万元 B．5万元 C．8万元 D．3万元或5万元 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这种机床每台的售价应定为万元，则销售量为台，再根据四月份该专卖店想将销售额提高列出方程即可． 【详解】解：设这种机床每台的售价应定为万元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∴这种机床每台的售价应定为3万元或5万元， 故选：D． 2．商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1120元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设降价元，则每件利润为元，销售量为，根据“每天将盈利1120元”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设降价元，则每件利润为元，销售量为， 由题意得：， 故选：D． 3．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润销售量单位利润，设每台冰箱的定价元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，根据题意列方程即可； 【详解】解：设每台冰箱定价元时，种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，由题意得： ， 故选：C． 4．某直播间对一批成本价为40元/捆的温县铁棍山药进行直播销售，如果按60元/捆销售，每小时可卖出2000捆．通过市场调查发现每捆温县铁棍山药的售价每降低1元，每小时销售量增加200捆．若每小时利润保持不变，直播间想尽快销售完这批山药，每捆的售价应定为（   ） A．48元 B．50元 C．53元 D．60元 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每捆的售价应定为x元，依据“按60元/捆销售，每小时可卖出2000捆．通过市场调查发现每捆温县铁棍山药的售价每降低1元，每小时销售量增加200捆”，列出方程解答即可． 【详解】解：设每捆的售价应定为x元，根据题意，得 ， 整理，得， 解得：，， ∵直播间想尽快销售完这批山药， ∴， ∴直播间想尽快销售完这批山药，每捆的售价应定为50元． 故选：B． 5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价 ． 【答案】20元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件衬衫应降价x元，则销售量为件，再由利润单价利润销售量列出方程求解即可． 【详解】解：设每件衬衫应降价x元， 由题意得，， 整理得：或， ∵要扩大销售量，增加盈利， ∴应该降价20元， 故答案为：20元． 6．某超市经销的洗衣液中，甲、乙两个品牌比较畅销，其中甲品牌洗衣液的进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液的进价每瓶比甲品牌高10元．在销售中，该超市发现，若将甲品牌的洗衣液以每瓶45元出售，则每天固定售出100瓶，而乙品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，且当乙品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，每天就会少售出2瓶．当乙品牌洗衣液每瓶的售价为 元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元． 【答案】80 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，设设乙品牌洗衣液每瓶的售价为y元，则该洗衣液每瓶的销售利润为元，再列式，即可作答． 【详解】解：依题意，设乙品牌洗衣液每瓶的售价为y元，则该洗衣液每瓶的销售利润为元， 每天的销售量为瓶， 由题意，得， 整理，得， 解得， ∴当乙品牌洗衣液每瓶的售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元． 故答案为：80． 7．2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． (1)据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）设月平均增长率为x，根据题意，得出6月份的销售量8月份销售量，列出方程求解即可； （2）设售价降低y元，根据总利润=单件利润×销售量，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设售价降低y元， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∵， ∴为了尽量减少库存，售价应降低20元． 8．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天可售出20件．为了迎接国庆节，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件，当每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ 【答案】20元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，先设每件童装降价元，可表示每天可销售量，每件利润，再根据总利润等于1200列出方程，求出解即可． 【详解】解：设每件童装降价元，则每天可销售件，每件盈利元， 则根据题意，得：．    解得：，，   ∵要最大限度地扩大销售量，增加利润， ∴， 答：当每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元． 9．商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． (1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ (3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； (3)不能，理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设每套拖把降价x元，根据题意列出代数式即可； （2）设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，根据题意列出一元二次方程求解即可； （3）设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可. 【详解】（1）解：设每套拖把降价x元，则每天销售量增加套，即每天销售套， 每套拖把盈利元． 故答案为：，； （2）解：设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要尽快减少库存， ∴． 答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； （3）解：商家不能达到平均每天盈利1400元，理由如下： 设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无实数解， 即不可能每天盈利1400元． 10．社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少？ (2)该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 【答案】(1)6m (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． （2）解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元， 根据题意得， ， 整理得，， 解得或（舍去）． 答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元． 题型十二 一元二次方程的实际应用（传播） 1．贵阳某小区有一人感染了新冠肺炎，由于不知情没居家隔离，经过两轮传染后共有100人患了新冠，引起了全省人民的关注，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】B 【分析】本题考査了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由1个人患了新冠且经过两轮传染后共有100个人患新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：每轮传染中平均一个人传染m人， 依题意，得： 解得： (不合题意，舍去) 每轮传染中平均一个人传染9个人， 故选：B． 2．2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总票张数作为等量关系列方程求解． 设有个站点，根据每两个站点之间有来往两种车票，共要设计132中往返票，可列出方程． 【详解】解：设有个站点，则 ． 故选：B． 3．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，第一轮传染了x人，第二轮传染了人，根据“经过两轮传染后共有256人感染”列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染平均一个人传染x人， 根据题意，得即， 故选：C． 4．某校“研学”活动小组在一次野外实践中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故选：B． 5．某种植物的主干长出x根支干，每根支干又长出x根小分支，若主干、支干和小分支的总数共133根，依据题意列方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设每个支干长出个小分支，根据题意，可以列出相应的方程：主干支干小分支，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 6．国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的有 人． 【答案】13 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意准确找出等量关系是解答本题的关键．设参加聚会的人数是x人，根据题意列方程解答即可． 【详解】设有x个人参加聚会， 根据题意可得：， 所以， 解得，（不合题意舍去）， 所以参加聚会的人数是有13人． 故答案为：13． 7．九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x名学生，则列出的方程化为一般式为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．设全班有人．根据互赠卡片一张，则人共赠卡片张，列方程即可． 【详解】解：根据题意得， ，即， 故答案为：． 8．有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有台电脑被感染． (1)求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑； (2)若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过台？ 【答案】(1)每轮传播中平均一台电脑会感染台电脑； (2)若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑超过台． 【分析】（）设每轮传播中平均一台电脑会感染台电脑，由经过两轮传播后共有台电脑被感染建立方程求出其解即可； （）根据题意求出经过四轮传播后被感染的电脑台数即可； 此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设每轮传播中平均一台电脑会感染台电脑， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 答：每轮传播中平均一台电脑会感染台电脑； （2）∵经过两轮传播后共有台电脑被感染， ∴经过三轮传播后被感染的电脑台数为：， 经过四轮传播后被感染的电脑台数为：， ∴若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑超过台． 9．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225个人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，第三轮有多少个人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染14个人 (2)第三轮有3375个人患流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有225人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：， 解得：， ， ∴（不合题意，舍去）， ， 答：每轮传染中平均一个人传染14个人． （2）解：根据（1）可得每轮传染中平均一个人传染14个人， 则第三轮的患病人数为：． 故第三轮有3375个人患流感． 题型十三 一元二次方程的实际应用（运动变化） 1．如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点运动的时间是（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设出动点P，Q运动t秒，能使四边形的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：当运动时间为t秒时， 则． 依题意得：，即， 整理得：， 解得：． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 则当四边形的面积为时，点P运动的时间是2秒． 故选：A． 2．如图，中，，一动点P从C出发沿着边以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．当t为几秒时，的面积是面积的（    ） A．1.5 B．2 C．3或1.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，根据题意列出方程是解题的关键． 根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：， ， 依题意，， ． 的面积是面积的， ， 解得． 答：当s时，的面积是面积的． 故选B． 3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．点Q到达点C后，点P、Q停止运动．设P、Q从点A、B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10cm2？ 【答案】1秒 【分析】可设经过x秒后，△PBQ的面积是10cm2，根据三角形面积公式建立等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2，由题意可得： 4x（6﹣x）÷2＝10， 解得x1＝1，x2＝5（不合题意舍去）． 答：经过1秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“△PBQ的面积是10cm2”，找到等量关系是解决问题的关键． 4．问题背景 如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以、的速度从点A、C同时出发，沿规定路线移动. 问题探究 (1)若点P从点A沿向终点B移动，点Q从点C沿向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】(1)或 (2)4秒或6秒 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程以及一元一次方程等知识点，注意计算的准确性是解题关键． （1）过点P作于E，根据四边形均为矩形可得，，据此即可求解； （2）分类讨论①当点P在线段上和②当点P在线段上两种情况即可求解； 【详解】（1）解：如图1，过点P作于E， 则四边形均为矩形， ∴， 设x秒后，点P和点Q的距离是， ∵， ∴， 由题意得， ， ∴，， 由题意知点P的运动时间为，即，故和均符合题意. ∴经过或，P、Q两点之间的距离是. （2）解：由点P从点A移动到点C停止知，点P运动的时间为. 设经过后的面积为. ①当点P在线段上（如图1），即时， ，连接， ∴， 即， 解得； ②当点P在线段上（如图2），即时，连接， 则，， 则， 解得，（舍去） 综上所述，经过4秒或6秒，的面积为. 5．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发． (1)________，________，________（用含的代数式表示）； (2)经过几秒后的面积等于； (3)四边形的面积能否等于，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)2秒 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，含30度角的直角三角形，利用面积公式正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，利用面积公式，列出一元二次方程，进行求解即可； （3）利用分割法求面积，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，； 故答案为： （2）过点作， ∵，， ∴， ∴的面积为， 解得：或（不合题意，舍去）； 故经过2秒后的面积等于； （3）不能，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 当四边形的面积等于时， ，整理，得：， ∵， ∴方程无实数根， 故四边形的面积不能等于． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 一元二次方程（章末重点题型归纳） 题型一 一元二次方程的定义 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程的常数项为，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．1或 3．下列方程是一元二次方程的是（   ） A．（a、b、c为常数） B． C． D． 4．关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．5，，1 B．5，2， C．，2，1 D．，， 5．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 6．一元二次方程的二次项为 ，一次项系数为 ． 7．方程，化成一般形式是 ． 8．已知是关于的一元二次方程，求的值． 9．将一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 10．把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． (1)； (2)． 题型二 一元二次方程的解及解的估算 1．已知方程的一个根是，且，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 2．若方程的一个根是，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 3．若为关于的一元二次方程的根，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 4．根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 5．观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（    ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.19 0.44 0.71 A． B． C． D． 6．已知m是一元二次方程的根，则代数式的值为 7．已知m是方程的一个根，则 ． 8．关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为 ． 9．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 10．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 题型三 用配方法解一元二次方程 1．用配方法解方程 时，配方所得的方程为（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A． B． C． D． 3．一元二次方程用配方法解该方程，配方后的方程为（   ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程，配方正确的是 （    ） A． B． C． D． 5．若，，为实数，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．的大小关系与的取值有关 6．将一元二次方程化成的形式，则 ． 7．代数式的最小值是 ． 8．解方程：． 9．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：， ，当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 仿照上述方法，求解代数式的最大值． 题型四 用公式法解一元二次方程 1．用公式法解方程时， ， ， ． 2．用公式法解方程，其中的值是 ． 3．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 4．解方程； 题型五 因式分解法解一元二次方程 1．解方程最适当的方法是（    ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 2．已知三角形的两边分别是3和5，第三边是方程的根，则这个三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．9 3．方程的解是 ． 4．一元二次方程的较小的根是 ． 5．解方程： (1)； (2)． 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 3．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 4．若关于的方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则此方程的根的情况是（） A．无法确定 B．无实根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 5．用公式法解方程时， ， ， ． 6．用公式法解方程，其中的值是 ． 7．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 8．一元二次方程 实数根（填“有”或“没有”）． 9．对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况是 ． 10．解方程； 题型七 根据一元二次方程根的情况求参 1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．若一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 3．若一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．关于x的方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 6．若关于的一元二次方程有实数根，则满足的最小整数为 ． 题型八 一元二次方程根与系数的关系 1．若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（    ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程的两个根和，则的值为（   ） A．10 B． C．24 D． 3．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2025 B．2023 C．2024 D．2023 4．已知是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 5．方程的解是 ． 6．一元二次方程的较小的根是 ． 7．已知、是一元二次方程的两根，则 ． 8．若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为 9．若一元二次方程的两个根分别为，，则代数式的值为 ． 10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围． (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求a的值． 题型九 一元二次方程的实际应用（面积） 1．2023年12月10日，龙城太原迎来这个冬天的第一场大雪．为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道（如图阴影部分为通道），保留了3块面积均为的积雪活动区．已知矩形空地的长为，宽为，若设通道的宽为，则根据题意可得方程（   ）    A． B． C． D． 2．如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在处，门用其他材料）．设的长为米，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑三条同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．若设道路宽为，则根据题意可列方程为 4．一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米． 5．《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是 .    6．如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米．若苗圃的面积为，求苗圃的一边长为多少米． 7．如图，用长为米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度米），设花圃的一边长为米． (1)如果所围成的花圃的面积为平方米，试求的长； (2)按题目的设计要求，能不能围成面积为平方米的花圃？若不能，请说明理由． 8．如图所示某农户为了增加经济收入，购买了33米的铁栅栏，准备用这些铁栅栏在靠墙（墙长20米）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养猪场养猪． (1)若要建的矩形养猪场面积为72平方米，求猪场的边和的长度； (2)该农户想要建一个120平方米的矩形养猪杨．这一想法能实现吗？请说明理由． 题型十 一元二次方程的实际应用（增长率） 1．某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率是x，则可以列出方程（   ） A． B． C． D． 2．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为（   ） A． B． C． D． 3．小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如图，设小明从2021年到2023年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x，则可列方程为 ． 4．随着不动产登记政策的出台以及国家对楼房的价格进行调控，某省一个地市的房屋价格原价为 元/平方米，通过连续两次降价后，售价变为元/平方米，依题意，可列方程： ． 5．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． 6．李大爷承包荒山种了棵苹果树，现已是第三年收获，收获时，随意采摘了棵树上的苹果，称得这棵树摘得的苹果质量分别为（单位：千克）：，，，，． (1)根据样本平均数估计这一年苹果总产量约为多少千克． (2)若市场上苹果售价为每千克元，则这一年李大爷的苹果收入将达多少元？ (3)已知李大爷第一年卖苹果收入为元，根据以上估算，试求第二年、第三年苹果收入的年平均增长率． 7．某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元．对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量． (1)求空调的下降率； (2)若要求风扇的营业额为854000元，则空调应按照多少元销售． 题型十一 一元二次方程的实际应用（销售、利润） 1．某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为2万元，共销售60台．根据市场调查知：这种机床每台售价每增加万元，就会少售出1台．四月份该专卖店想将销售额提高，则这种机床每台的售价应定为（   ） A．3万元 B．5万元 C．8万元 D．3万元或5万元 2．商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1120元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．某直播间对一批成本价为40元/捆的温县铁棍山药进行直播销售，如果按60元/捆销售，每小时可卖出2000捆．通过市场调查发现每捆温县铁棍山药的售价每降低1元，每小时销售量增加200捆．若每小时利润保持不变，直播间想尽快销售完这批山药，每捆的售价应定为（   ） A．48元 B．50元 C．53元 D．60元 5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价 ． 6．某超市经销的洗衣液中，甲、乙两个品牌比较畅销，其中甲品牌洗衣液的进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液的进价每瓶比甲品牌高10元．在销售中，该超市发现，若将甲品牌的洗衣液以每瓶45元出售，则每天固定售出100瓶，而乙品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，且当乙品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，每天就会少售出2瓶．当乙品牌洗衣液每瓶的售价为 元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元． 7．2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． (1)据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 8．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天可售出20件．为了迎接国庆节，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件，当每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ 9．商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． (1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ (3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 10．社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少？ (2)该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 题型十二 一元二次方程的实际应用（传播） 1．贵阳某小区有一人感染了新冠肺炎，由于不知情没居家隔离，经过两轮传染后共有100人患了新冠，引起了全省人民的关注，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 2．2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于的方程为（    ） A． B． C． D． 4．某校“研学”活动小组在一次野外实践中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A． B． C． D． 5．某种植物的主干长出x根支干，每根支干又长出x根小分支，若主干、支干和小分支的总数共133根，依据题意列方程是 ． 6．国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的有 人． 7．九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x名学生，则列出的方程化为一般式为 ． 8．有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有台电脑被感染． (1)求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑； (2)若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过台？ 9．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225个人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，第三轮有多少个人患流感？ 题型十三 一元二次方程的实际应用（运动变化） 1．如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点运动的时间是（    ）    A． B． C．或 D． 2．如图，中，，一动点P从C出发沿着边以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．当t为几秒时，的面积是面积的（    ） A．1.5 B．2 C．3或1.5 D．3 3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．点Q到达点C后，点P、Q停止运动．设P、Q从点A、B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10cm2？ 4．问题背景 如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以、的速度从点A、C同时出发，沿规定路线移动. 问题探究 (1)若点P从点A沿向终点B移动，点Q从点C沿向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间的面积为？ 5．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发． (1)________，________，________（用含的代数式表示）； (2)经过几秒后的面积等于； (3)四边形的面积能否等于，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$