期中提升检测金卷（范围：第1～5章）-2024～2025学年九年级数学上学期模拟测试卷【广东专版 配北师大版】

2024~2025学年度第一学期数学期中模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．4，1，6 B．4，6，1 C． D． 2．（2024·山东济南·一模）如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，， ，，则DF的长为（　　） A．2 B．4 C．9 D．10 4．（23-24九年级上·广东佛山·期中）林业局为考察一种树苗移植的成活率，展开了大量调查，并将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·广东佛山·期中）参加夏季篮球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，点是的边上一点，连接，以下条件中，不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是矩形 8．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，则的值为（    ）．    A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·天津·期中）如图，四边形是菱形，顶点A，的坐标分别是，，点在轴的正半轴上，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四边形为矩形，且，，点E为上一点且，连接、，且，，连接，则的长为（    ） A．10 B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知，若b+d≠0，则＝ ． 12．（23-24九年级上·广东佛山·期中）已知，是一元二次方程的解，则的值为 13．在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是．则n= ． 14．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，学校元旦晚会的舞台的长为米，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知点C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为 米． 15．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图：正方形中，，为对角线，P为内一点，连接、、，若，，则 ．    三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解方程： 17．已知，△ABC 在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为 A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度）． ①画出△ABC 向下平移 4 个单位得到的△； ②以点B为位似中心，在网格内画出△，使△与△ABC 位似，且位似比为 2：1； ③△与△是位似图形，位似中心为原点，位似比为 3：2，若 M（a， b）为线段上任一点，写出点 M 对应点的坐标． 18．（22-23九年级上·陕西渭南·期末）琳琳有4盒外包装完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她准备和好朋友分享糖果． （1）若琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是______； （2）若琳琳从这4盒中随机挑选两盒打开，请用列表或画树状图法打开的两盒都是巧克力味的概率． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G； （1）求证：△ABE∽△EGB； （2）若AB＝4，求CG的长. 20．（22-23九年级上·广东深圳·阶段练习）“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； （3）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 21．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． （1）【直接应用】代数式的最小值为______； （2）【类比应用】若多项式，试求的最小值； （3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．    五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图1，一动点E从矩形的顶点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿路线向终点B运动，另一动点F从B出发，沿边向终点C运动，两点同时出发同时到达终点，连接交于点M，已知，．设运动时间为t秒，且． （1）F点的运动速度为每秒________个单位； （2）当时，求的面积； （3）如图2，过点M作，交直线于点，在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由． 23．（2024·浙江宁波·一模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期数学期中模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．4，1，6 B．4，6，1 C． D． 【答案】C 【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是4，，1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2．（2024·山东济南·一模）如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形，且两个长方形等长． ∴左视图是： 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握左视图是从物体的左面看得到的视图是解本题的关键． 3．（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，， ，，则DF的长为（　　） A．2 B．4 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了平行线分线段成比例，利用平行条件，找到线段比例式，代入对应边长求解是解题的关键． 4．（23-24九年级上·广东佛山·期中）林业局为考察一种树苗移植的成活率，展开了大量调查，并将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图中数据可以看出这种树苗移植成活的频率在上下浮动，由此频率估计出概率即可． 【详解】解：根据图中数据可以看出这种树苗移植成活的频率在上下浮动． 故选：B． 5．（23-24九年级上·广东佛山·期中）参加夏季篮球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用比赛的总场数=参加比赛的班级球队数参加比赛的班级球队数，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．如图所示，点是的边上一点，连接，以下条件中，不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理有两角分别相等的两个三角形相似，有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两个三角形相似逐个进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，故A不符合要求； 和，不能判断∽，故B符合要求； ∵，， ∴，故C不符合要求；； ∵，， ∴，故D不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用．能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键． 7．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查了特殊四边形的判定定理，平行四边形的性质，根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，则， A．当时，四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； B．当时，四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意； C．当时，四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D．当时，四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 8．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，则的值为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的性质，根据位似图形的面积比等于相似比的平方可得答案，熟记位似图形的性质是解本题的关键. 【详解】解：∵与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的， ∴， ∴， ∴； 故选B 9．（23-24八年级下·天津·期中）如图，四边形是菱形，顶点A，的坐标分别是，，点在轴的正半轴上，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，交于点，根据菱形的性质可知点的坐标为，根据的坐标确定的坐标即可． 【详解】解：连接，，交于点， 四边形是菱形， ，，， ，的坐标分别是，， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用．菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 10．（22-23九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四边形为矩形，且，，点E为上一点且，连接、，且，，连接，则的长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点G，先根据矩形的性质，结合证明，得出，设，则，则，求出x的值，得出，，证明，得出，求出，，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点作于点G，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则， 即， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定和性质，证明． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知，若b+d≠0，则＝ ． 【答案】 【分析】分别设a=2m，c=2n，根据可用m、n表示出b、d，代入所给代数式即可得答案. 【详解】设a=2m，c=2n， ∵， ∴b=3m，d=3n， ∴==， 故答案为： 【点睛】本题考查等比性质的应用，若，则=k，熟练掌握等比性质是解题关键. 12．（23-24九年级上·广东佛山·期中）已知，是一元二次方程的解，则的值为 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义．由是一元二次方程的一个解，将代入原方程，即可求得的值，从而得解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ， ∴， ． 故答案为：4． 13．在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是．则n= ． 【答案】5 【分析】根据口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，故球的总个数为6+4+n，再根据黄球的概率公式列式解答即可． 【详解】解：∵口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，∴球的总个数为6+4+n， ∵从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为， ∴ ， 解得，n=5． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 14．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，学校元旦晚会的舞台的长为米，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知点C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为 米． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义得，再将的值代入进行计算即可得． 【详解】解：∵舞台的长为米，点C是线段上靠近点B的黄金分割点， ∴（米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割点的定义． 15．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图：正方形中，，为对角线，P为内一点，连接、、，若，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，通过证明，可得，即，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解方程： 【答案】， 【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ， 配方得： ， 即， ∴，． 17．已知，△ABC 在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为 A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度）． ①画出△ABC 向下平移 4 个单位得到的△； ②以点B为位似中心，在网格内画出△，使△与△ABC 位似，且位似比为 2：1； ③△与△是位似图形，位似中心为原点，位似比为 3：2，若 M（a， b）为线段上任一点，写出点 M 对应点的坐标． 【答案】①见解析；②见解析；③（，） 【分析】①根据题目的叙述，正确地作出图形，然后确定各点的坐标即可； ②直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； ③根据位似的性质，即可写出变化后点M的对应点M2的坐标． 【详解】解：①如图所示：△A1B1C1，即为所求； ②如图所示：△A2BC2，即为所求； ③∵△与△是位似图形，位似中心为原点，位似比为 3：2， ∴则点M的对应点M2的坐标为：（，）． 【点睛】本题考查位似变换作图的问题，正确理解位似变换的定义，会进行位似变换的作图是解题的关键． 18．（22-23九年级上·陕西渭南·期末）琳琳有4盒外包装完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她准备和好朋友分享糖果． （1）若琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是______； （2）若琳琳从这4盒中随机挑选两盒打开，请用列表或画树状图法打开的两盒都是巧克力味的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）4盒外包装完全相同的糖果中有1盒牛奶味的，随机打开1盒糖果恰巧是牛奶味的概率，用1除以4，即得； （2）从4盒外包装完全相同的糖果中随机挑选两盒打开，列表写出共12种等可能结果，其中两盒都是巧克力味的结果有2种，随机挑选两盒糖果都是巧克力味的概率，用2除以12，即得． 【详解】（1）； 故答案为：； （2）用Q1 、Q2表示巧克力味的，N表示牛奶味的，S表示水果味的，列表如下： 糖果味道 Q1 Q2 N S Q1 —————— Q1Q2 Q1N Q1S Q2 Q2Q1 —————— Q2N Q2S N NQ1 NQ2 —————— NS S SQ1 SQ2 SN —————— 共12种等可能结果，其中两盒都是巧克力味的结果有2种，随机挑选两盒都是巧克力味的概率为：． 【点睛】本题主要考查了求概率，解决问题的关键是熟练掌握概率的定义，简单概率的计算，用列表法或树状图法求概率． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G； （1）求证：△ABE∽△EGB； （2）若AB＝4，求CG的长. 【答案】(1)证明见解析；(2)CG=6. 【分析】(1)由正方形的性质与已知得出∠A＝∠BEG，证出∠ABE＝∠G，即可得出结论； (2)由AB＝AD＝4，E为AD的中点，得出AE＝DE＝2，由勾股定理得出BE＝，由△ABE∽△EGB，得出，求得BG＝10，即可得出结果. 【详解】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°， ∴∠A＝∠BEG， ∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°， ∴∠ABE＝∠G， ∴△ABE∽△EGB； (2)∵AB＝AD＝4，E为AD的中点， ∴AE＝DE＝2， 在Rt△ABE中，BE＝， 由(1)知，△ABE∽△EGB， ∴，即：， ∴BG＝10， ∴CG＝BG﹣BC＝10﹣4＝6. 【点睛】本题主要考查了四边形与相似三角形的综合运用，熟练掌握二者相关概念是解题关键 20．（22-23九年级上·广东深圳·阶段练习）“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； （3）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 【答案】(1) (2)6元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，根据2022年的种植面积2020年的种植面积建立方程，解方程即可得； （2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程可得的值，再根据该水果售价不能超过15元/千克即可得． 【详解】（1）解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为． （2）解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克， 由题意得：， 解得或， ∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克， ， 解得， 所以， 答：售价应上涨6元． 21．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． （1）【直接应用】代数式的最小值为______； （2）【类比应用】若多项式，试求的最小值； （3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．    【答案】(1) (2)2018 (3)围成的菜地的最大面积是 【分析】（1） 配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：； （2）解： ， 当，时，有最小值，最小值为2018； （3）解：设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得：， 当时，有最大值，最大值是， 围成的菜地的最大面积是． 【点睛】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图1，一动点E从矩形的顶点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿路线向终点B运动，另一动点F从B出发，沿边向终点C运动，两点同时出发同时到达终点，连接交于点M，已知，．设运动时间为t秒，且． （1）F点的运动速度为每秒________个单位； （2）当时，求的面积； （3）如图2，过点M作，交直线于点，在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）根据E、F两点同时出发同时到达终点，即可求解； （2）①过点M作直线交与点G、H，证，有相似三角形性质求 ，进而可解答；②当E在上时，证，，由相似三角形性质转换求解即可求面积； （3）①当E在上时，证，结合勾股定理得，证，由相似性质得，，结合勾股定理可解答；②当E在上时，作，证，，，，由相似三角形性质转换求解即可； 【详解】（1）解：∵E、F两点同时出发同时到达终点， ∴F点的运动速度为(单位/秒）． 故答案为：2． （2）①当E在上时，过点M作直线交与点G、H． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ②当E在上时，，则，， 延长交于点T，过M作， ∵， ∴，， ∴，即， ∴ ，即， ∴ ∴， ∴． （3）①当E在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴． ②当E在上时，如图，作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 同理，， ∵， ∴， 或（舍去）． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的证明及性质应用，勾股定理，正确做出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 23．（2024·浙江宁波·一模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析； (2)18； (3)． 【分析】（1）可证得 ， 从而 ， 进一步得出结论； （2）可证得 ，从而得出 ，进而得出 ，从而 ， 设 ，则 ， 从而得出 ， 从而求得 的值，进一步得出结果； （3） 延长 ，交于点 ， 可得出 ， 从而 ， 进而表示出 ，可证得 ， 从而 ，进而求得 的值，进一步得出结果； 【详解】（1）证明：∵， （2）解：∵四边形 是平行四边形， 设，则 （舍）， 设 ， 则 ， （舍去）， （3）解：如图， 延长 ，交于点 ， 设则 ∵四边形 是菱形， 即 在 中， ∵ 为 的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∴ (舍去)， ∴， 即菱形 的边长为 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质， 相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形 6 学科网（北京）股份有限公司 $$