3.3幂函数（3知识点+12题型）-2024-2025学年第一学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

3.3 幂函数 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 幂函数的概念 1.幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2.理解 (1)自变量前的系数是1.(2)幂的系数为1. (3)α是任意常数．(4)函数的定义域与α有关． 3.幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③自变量x前的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 知识点2 幂函数的图象与性质 1.常见幂函数的图象 当时，可得到五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示． 2.常见幂函数的性质 观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下： 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 3.一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义． (4)在(—∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限． (5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 4.幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 知识点3 幂函数性质的综合运用 1.比较幂值大小的两种基本方法 2.解决幂函数的综合问题时应注意 掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式，并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性． 思路方法总结 1、求幂函数的定义域和值域的方法 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解． 幂函数的定义域由幂指数确定： （1）当幂指数取正整数时，定义域为， 当为正偶数时，值域为；当为奇数时，值域为． （2）当幂指数取零或负整数时，定义域为， 当时，值域为；当为负偶数时，值域为；当为负奇数时，值域为． （3）当幂指数取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域． 2、解决幂函数图象问题的原则 （1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴（指大图低）；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴（指大图高）； （2）当时，幂函数的图象都经过和点，在第一象限内，当，曲线上凸；当时，曲线下凸；当时，幂函数的图象都经过，在第一象限内，曲线下凸． 3、比较幂指数值的大小的三种常用方法 （1）直接法：当幂指数相同时，直接利用幂函数的单调性比较大小； （2）转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同的幂指数，再运用函数的单调性比较大小； （3）中间值法：当底数不同且幂指数也不同且不能运用单调性比较大小时，可以选取适当的中间值分别比较，从而达到比较大小的目的． 4、利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或者幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．解题步骤如下： （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 典例·举一反三 题型一 幂函数的概念 例1．下列哪些函数是幂函数（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列选项中哪些是幂函数（    ）． A． B． C． D． 题型二 幂函数的解析式 例2．若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 跟踪训练 1．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 3．已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可 题型三 幂函数的求值 例3．已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 跟踪训练 1．已知幂函数的图象经过点，则等于（    ） A． B．2 C． D． 2．已知幂函数的图象过点，若，则实数的值为 . 3．已知函数是幂函数，若，则 ． 题型四 幂函数的定义域 例4．若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为 . 3．已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 题型五 幂函数的值域 例5．（1）函数的定义域是 ，值域是 ； （2）函数的定义域是 ，值域是 ； （3）函数的定义域是 ，值域是 ； （4）函数的定义域是 ，值域是 ． 跟踪训练 1．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 2．已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，），则函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于（　  　） A． B． C．1 D．﹣1 3．函数，其中，则其值域为 . 题型六 幂函数的图像问题 例6．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 跟踪训练 1．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，，的图象如图所示，则、，的大小关系为 ． 题型七 幂函数的定点问题 例7．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象必经过定点 A． B． C． D． 3．不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 题型八 幂函数的单调性 例8．下面函数中既是奇函数又是上单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．下列函数中，满足“，，且，，都有”的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调减区间为 ； 题型九 幂函数的单调性求参数 例9．“或”是“幂函数在上是减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练 1．幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．或3 D． 2．已知幂函数在上单调递减，则 . 3．已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 题型十 利用幂函数性质解不等式 例10．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 3．已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为 题型十一 利用幂函数性质比较大小 例11．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型十二 幂函数的综合问题 例12．已知为幂函数． (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)若，求实数m的取值范围． 跟踪训练 1．已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 2．已知幂函数的图象过点． (1)求出函数的解析式， (2)判断并证明在的单调性； (3)函数是R上的偶函数，当时，，求满足的实数的取值范围． 3．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若正实数，满足，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 幂函数 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 幂函数的概念 1.幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2.理解 (1)自变量前的系数是1.(2)幂的系数为1. (3)α是任意常数．(4)函数的定义域与α有关． 3.幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③自变量x前的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 知识点2 幂函数的图象与性质 1.常见幂函数的图象 当时，可得到五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示． 2.常见幂函数的性质 观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下： 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 3.一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义． (4)在(—∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限． (5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 4.幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 知识点3 幂函数性质的综合运用 1.比较幂值大小的两种基本方法 2.解决幂函数的综合问题时应注意 掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式，并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性． 思路方法总结 1、求幂函数的定义域和值域的方法 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解． 幂函数的定义域由幂指数确定： （1）当幂指数取正整数时，定义域为， 当为正偶数时，值域为；当为奇数时，值域为． （2）当幂指数取零或负整数时，定义域为， 当时，值域为；当为负偶数时，值域为；当为负奇数时，值域为． （3）当幂指数取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域． 2、解决幂函数图象问题的原则 （1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴（指大图低）；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴（指大图高）； （2）当时，幂函数的图象都经过和点，在第一象限内，当，曲线上凸；当时，曲线下凸；当时，幂函数的图象都经过，在第一象限内，曲线下凸． 3、比较幂指数值的大小的三种常用方法 （1）直接法：当幂指数相同时，直接利用幂函数的单调性比较大小； （2）转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同的幂指数，再运用函数的单调性比较大小； （3）中间值法：当底数不同且幂指数也不同且不能运用单调性比较大小时，可以选取适当的中间值分别比较，从而达到比较大小的目的． 4、利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或者幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．解题步骤如下： （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 典例·举一反三 题型一 幂函数的概念 例1．下列哪些函数是幂函数（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义对比选项即可求解. 【详解】由幂函数的标准形式，对比选项可知，与符合题意. 故选：BD. 跟踪训练 1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由幂函数的定义即可求解. 【详解】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 2．下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接得出结果. 【详解】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 故选：D 3．下列选项中哪些是幂函数（    ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由幂函数的定义依次判断各项即可. 【详解】因为幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数， 又，所以A项、C项正确. 故选：AC. 题型二幂函数的解析式 例2．若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得， 对于,解得或， 当时，满足，但时，不满足， 故， 故选：A 跟踪训练 1．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求解即可》 【详解】依题意可得, 所以, 又的图象经过点, 所以, 解得, 所以. 故选：D. 2．已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】由幂函数的定义：系数为1，再结合偶函数求参数m的值. 【详解】由为幂函数知：，解得或， ∴当时，；当时， 又是偶函数，故，即. 故答案为：. 3．已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可 【答案】 答案不唯一 【分析】根据常见幂函数的性质即可求解. 【详解】因为幂函数 在 上单调递减，所以 ， 又因为 为偶函数， 所以 适合题意． 故答案为: 答案不唯一. 题型三幂函数的求值 例3．已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用分段函数的概念计算即可. 【详解】由题意知. 故选：D 跟踪训练 1．已知幂函数的图象经过点，则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】运用待定系数法求幂函数解析式，再代入求值即可. 【详解】幂函数的图象经过点， 设幂函数，将点代入解析式得到，即，解得. 故.故. 故选：A. 2．已知幂函数的图象过点，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用幂函数的性质求解参数得到解析式，再求值即可. 【详解】因为幂函数的图象过点， 所以，解得，即， 因为，所以，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 3．已知函数是幂函数，若，则 ． 【答案】2 【分析】设，是常数，代入已知条件运算求解． 【详解】设，是常数，则，解得 则． 故答案为：2． 题型四 幂函数的定义域 例4．若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域是. 故选：B 跟踪训练 1．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 2．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可. 【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为. 故答案为： 3．已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数的定义域，根据复合函数的形式，求函数的定义域. 【详解】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为． 故答案为： 题型五 幂函数的值域 例5．（1）函数的定义域是 ，值域是 ； （2）函数的定义域是 ，值域是 ； （3）函数的定义域是 ，值域是 ； （4）函数的定义域是 ，值域是 ． 【答案】 【分析】（1）（2）（3）（4）将分数指数幂化成根式形式，依据根式有意义求定义域． 【详解】（1）的定义域为， 因为，所以，所以值域为． （2） 由，得，所以定义域为， 由，得，所以值域为． （3） 由，得，所以定义域为， 因为，所以，所以值域为． （4）， 由，得，所以定义域为， 因为，所以，则，所以值域为． 故答案为：，，，，，，， 跟踪训练 1．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可. 【详解】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立，所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误. 故选：C. 2．已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，），则函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于（　  　） A． B． C．1 D．﹣1 【答案】D 【分析】先由已知条件求得，再利用配方法求二次函数的最值即可得解. 【详解】解：已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，）， 则，即，所以， 所以， 所以y＝f（x2）﹣2f（x） ， 当且仅当，即时取等号， 即函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于， 故选：D. 【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，重点考查了二次函数求最值问题，属基础题. 3．函数，其中，则其值域为 . 【答案】/ 【分析】利用换元法将函数化为，结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为. 故答案为： 题型六 幂函数的图像问题 例6．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 跟踪训练 1．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和幂函数性质即可得解. 【详解】令，则， 所以函数是偶函数，故排除D， 由幂函数性质可知函数在上单调递增，且当时的图象高于的函数图象，故排除B、C. 故选：A. 2．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 3．已知函数，，的图象如图所示，则、，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的图象可确定幂指数的取值范围，即可得答案. 【详解】由函数，，的图象可知， 故， 故答案为： 题型七 幂函数的定点问题 例7．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 跟踪训练 1．下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由各幂函数的性质判断各项是否符合要求即可． 【详解】A项，函数图象在第一象限，故不关于轴对称，故不符合； B项，函数图象关于原点对称，且过，符合； C项，指数小于0，故其图象不过点，故不符合； D项，函数图象关于原点对称，故不符合； 故选：B 2．函数的图象必经过定点 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令,解得,代回即可得到函数值,进而得到所过定点 【详解】令,解得,当时,,所以图象恒过 故选D 【点睛】本题考查指数函数的特殊点,令指数部分等于0是解题关键 3．不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据，即可知恒过定点. 【详解】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 故答案为：. 题型八 幂函数的单调性 例8．下面函数中既是奇函数又是上单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义和在上的单调性易得. 【详解】由奇函数的定义，函数的定义域关于原点对称，排除D项， 又由，排除A项， 因在上单调递减，故排除B项， 而是奇函数，在上单调递增，符合要求. 故选：C. 跟踪训练 1．下列函数中，满足“，，且，，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由题意得函数是偶函数，在上单调递增，在上单调递减，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，知函数是偶函数， 由，都有，知在上单调递增， 所以在上单调递减. 对于A：不满足为偶函数，故A错误； 对于B:，符合题意，故B正确； 对于C：不满足为偶函数，故C错误； 对于D:符合题意. 故选：BD. 2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A选项，定义法得到不为奇函数；B选项，不满足在定义域上单调；C选项，为非奇非偶函数；D选项，满足在定义域上为单调函数，又是奇函数，D正确. 【详解】A选项，定义域为R，且， 故不是奇函数，A错误； B选项，的定义域为，而在上单调递减， 故不在定义域上单调，B错误； C选项，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，C错误； D选项，的定义域为R，且， 故为奇函数，且当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递增， 又，故在定义域上单调递增，为单调函数，D正确. 故选：D 3．函数的单调减区间为 ； 【答案】 【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可. 【详解】解：令，则可以看作是由与复合而成的函数. 令，得或. 易知在上是减函数，在上是增函数，而在上是增函数， 所以的单调递减区间为. 故答案为：. 题型九 幂函数的单调性求参数 例9．“或”是“幂函数在上是减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由幂函数的概念，系数为1，且在上是减函数，指数为负即可. 【详解】由幂函数在上是减函数， 则，解得， 故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件. 故选：C. 跟踪训练 1．幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．或3 D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】因为函数是幂函数且在上单调递增， 所以，解得. 故选：B. 2．已知幂函数在上单调递减，则 . 【答案】 【分析】先根据函数是幂函数计算求参得出或，最后结合函数的单调性计算得出符合题意的参数. 【详解】由题意可得为幂函数，则，解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在单调递减，符合题意. 故答案为:. 3．已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 故答案为： 题型十 利用幂函数性质解不等式 例10．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意构造函数，首先得出的单调性与奇偶性，然后将条件表达式等价转换即可得解. 【详解】令，因为的定义域为关于原点对称，且， 所以是上的奇函数， 注意到幂函数都是上的增函数， 所以是上的增函数， 而， 所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用函数单调性与奇偶性解不等式. 跟踪训练 1．若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件求出的知，分析函数在上的单调性，由可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由已知条件可得，解得，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得. 故选：B. 2．已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知求出幂函数的解析式，得出单调性后求解不等式． 【详解】由已知，所以， 又是正整数，故解得，即，函数定义域是， 易知是增函数， 所以由得， 解得， 故答案为：． 3．已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据幂函数的定义与单调性得的值，从而可得不等式为，设函数，结合幂函数的性质列不等式即可得实数的取值范围. 【详解】由函数为幂函数得，解得或，又 函数在上是减函数，则，即， 所以，所以； 所以不等式为， 设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型十一 利用幂函数性质比较大小 例11．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小即得. 【详解】，而函数在上单调递增，，因此， 所以. 故选：A 跟踪训练 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数的单调性判定即可． 【详解】由单调递增， 则可知， 由单调递增， 又，可得 所以． 故选：C． 2．若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数在第一象限内是增函数，即可判断的大小. 【详解】因为，，， 又在第一象限内是增函数，， 所以，即. 故选：D. 3．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应的幂函数单调性进行求解. 【详解】由题意得函数在上单调递增， 因为，所以得：，故A项正确. 故选：A. 题型十二 幂函数的综合问题 例12．已知为幂函数． (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，解出即可； （2）取值、作差变形再判断符号即可； （3）根据单调性和定义域得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 则. （2），任取， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数. （3）因为，则，解得， 实数m的取值范围. 跟踪训练 1．已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用幂函数的定义，结合其图象所过的点求出解析式. （2）利用（1）的结论，分离参数构造函数，再求出函数的最小值即得. 【详解】（1）设函数，由的图象过点，得，解得， 所以函数的解析式是. （2）由（1）知，，则，由，得， 即，令，依题意，任意，， 而函数在上单调递减，，因此， 所以实数的取值范围是. 2．已知幂函数的图象过点． (1)求出函数的解析式， (2)判断并证明在的单调性； (3)函数是R上的偶函数，当时，，求满足的实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)幂函数在上是增函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）设幂函数的解析式为，将点代入求解即可； （2）按照函数单调性的定义证明即可； （3）由题意可得在上是增函数，在上是减函数，原不等式等价于，，求解即可. 【详解】（1）解：根据题意，设幂函数的解析式为， 将点代入解析式中得，解得， 所以所求幂函数的解析式为 （2）解：幂函数在上是增函数． 证明：任取，，且， 则 ， 因为，， 所以， 即幂函数在上是增函数． （3）解：当时，， 而幂函数在上是增函数， 所以当时，在上是增函数． 又因为函数是上的偶函数， 所以在上是减函数． ，由，可得． 即， 所以满足的实数的取值范围为． 3．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若正实数，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式； （2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性求解； （3）由基本不等式求得最小值． 【详解】（1）由为幂函数得：， 且在上单调递增， 所以， 又，所以或， 当时，为奇函数，不满足题意， 当时，为偶函数，满足题意， 所以. （2）由函数为偶函数， 所以 且在上单调递增， 所以， 即， 所以的取值范围为：， （3）因为且， 所以， 所以 ， 当且仅当 且，即时取等号， 所以的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$