3.2.1单调性与最大（小）值（3知识点+12题型）-2024-2025学年第一学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

3.2.1 单调性与最大（小）值 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数单调性的概念 1.函数单调性的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D： 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 2.函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3.理解 (1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集． (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替． (4)有序性，即要规定x1，x2的大小． (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一． (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质． (7)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开． 知识点2 函数单调性的应用 1.常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 2.利用定义证明函数的单调性的步骤 (1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式． (3)定号：确定f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))的符号，当符号不确定时，进行分类讨论． (4)结论：根据定义确定单调性． 3.由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件． 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性． 若为分段函数——数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小．探求参数满足的条件． (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． 知识点3 函数的最值 1.函数的最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2.函数的最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． 3.理解 (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标． (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值． (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性． (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是．比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值． 4.图象法求函数最值的一般步骤 5.利用函数的单调性求函数最值 (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性．②利用单调性写出最值． (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 思路方法总结 1、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且； ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形； ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； ④定论：根据定义做出结论，指出函数在给定区间上的单调性． 2、利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧 （1）因式分解：当原函数是多项式时，通常做差变形进行因式分解； （2）通分：当原函数是分式函数时，做差后往往先进行通分合并，然后对式子进行因式分解； （3）配方：当原函数是二次函数时，做差后可以考虑配方； （4）分子有理化：当原函数是根式函数时，做差后往往考虑分子有理化． 3、利用函数的单调性求参数的取值范围 首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小． 若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于右侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值． 4、利用单调性解不等式的相关结论 （1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，． （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，． 当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论． 典例·举一反三 题型一 单调性定义理解 例1．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 2．“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（    ） A．“存在a，，使得且” B．“存在a，，使得且” C．“存在，使得” D．“存在，使得” 3．下列命题正确的是（    ） A．若对于，，，都有，则函数 在R上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在R上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数在R上是增函数 D．函数，在R上都是增函数，则函数在R上也是增函数 题型二 单调性的定义法证明 例2．证明函数在区间上单调递减． 跟踪训练 1．已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 2．已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)求在区间上的最大值与最小值． 3．已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 题型三 根据函数图像求单调区间 例3．根据下列函数的图像（包括端点），分别指出这两个函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数的单调性． 跟踪训练 1．已知函数的图像如图所示，则函数的单调递增区间是 .    2．填空题：（1）函数的定义域为 （2）函数的图像如图所示，则函数的减区间是 ．    3．已知函数的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1，则函数的单调递增区间有 ；函数的单调递减区间有 ．    题型四 简单函数的单调区间 例4．函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 跟踪训练 1．函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 2．下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间是 . 题型五 复杂函数的单调区间 例5．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C．和 D． 2．函数的单调增区间是 ． 3．若，则的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ． 题型六 根据函数单调性求参数 例6．若函数在R上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B．[1,2] C． D． 跟踪训练 1．已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ． 题型七 利用函数单调性比较大小 例7．函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 跟踪训练 1．函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 2．若函数在上是减函数，则的大小关系为 . 3．已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 题型八 利用函数单调性解不等式 例8．已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若. (1)判断并证明的单调性; (2)解关于的不等式. 跟踪训练 1．定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 2．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 . 3．已知在上有意义，单调递增且满足． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 题型九 利用单调性求值域或最值 例9．已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 跟踪训练 1．已知函数，定义域为，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最大值是8 B．函数的最小值是8 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 2．函数的值域是 ． 3．已知函数(1)证明：函数在区间上是增函数； (2)当，求函数的值域. 题型十 分段函数的值域或最值 例10．记实数的最小数为若则函数的最大值为（   ） A．4 B． C．1 D．5 跟踪训练 1．设，记，则函数的最小值为 ． 2．对于实数a，b，定义新运算：设函数，当时，函数的值域为 ． 3．已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值. 题型十一 已知函数值域或最值求参数 例11．已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在上的最大值为，则实数的值为 . 3．若在上的最大值为，则实数的最大值为 . 题型十二 函数图像的应用 例12．如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 跟踪训练 1．如图所示是函数的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域内是增函数 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 2．如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在区间上的最大值为3，最小值为 D．在上有最大值3，有最小值 3．已知定义在上的函数下列结论正确的为（    ） A．函数的值域为 B． C．当时，函数的最大值为4 D．函数在上单调递减 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1 单调性与最大（小）值 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数单调性的概念 1.函数单调性的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D： 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 2.函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3.理解 (1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集． (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替． (4)有序性，即要规定x1，x2的大小． (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一． (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质． (7)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开． 知识点2 函数单调性的应用 1.常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 2.利用定义证明函数的单调性的步骤 (1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式． (3)定号：确定f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))的符号，当符号不确定时，进行分类讨论． (4)结论：根据定义确定单调性． 3.由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件． 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性． 若为分段函数——数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小．探求参数满足的条件． (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． 知识点3 函数的最值 1.函数的最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2.函数的最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． 3.理解 (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标． (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值． (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性． (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是．比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值． 4.图象法求函数最值的一般步骤 5.利用函数的单调性求函数最值 (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性．②利用单调性写出最值． (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 思路方法总结 1、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且； ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形； ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； ④定论：根据定义做出结论，指出函数在给定区间上的单调性． 2、利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧 （1）因式分解：当原函数是多项式时，通常做差变形进行因式分解； （2）通分：当原函数是分式函数时，做差后往往先进行通分合并，然后对式子进行因式分解； （3）配方：当原函数是二次函数时，做差后可以考虑配方； （4）分子有理化：当原函数是根式函数时，做差后往往考虑分子有理化． 3、利用函数的单调性求参数的取值范围 首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小． 若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于右侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值． 4、利用单调性解不等式的相关结论 （1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，． （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，． 当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论． 典例·举一反三 题型一 单调性定义理解 例1．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用增函数的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A项，因为在上是增函数， 所以对于任意的，（）， 当时，，所以，，所以， 当时，，所以，，所以， 综述：，故A项正确； 对于B项，因为在上是增函数， 所以对于任意的，（）， 当时，，所以，，所以， 当时，，所以，，所以， 综述：，故B项不成立； 对于C项、D项，由于，的大小关系不确定，所以与的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立. 故选：A. 跟踪训练 1．已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】利用函数单调性的定义易得“”是“函数在区间上单调递增”的必要条件；可通过举例子说明“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件，即得. 【详解】由得不到“函数在区间上单调递增”， 如，，显然满足，但是函数在上递增，在上递减， 故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件； 而由“函数在区间上单调递增”可得.则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：D. 2．“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（    ） A．“存在a，，使得且” B．“存在a，，使得且” C．“存在，使得” D．“存在，使得” 【答案】B 【分析】由增函数的定义，结合全称命题的否定形式，即可判断选项. 【详解】若函数在区间是增函数， 即任意，使得且， 则若函数在区间不是增函数， 即存在，使得且. 故选：B 3．下列命题正确的是（    ） A．若对于，，，都有，则函数 在R上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在R上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数在R上是增函数 D．函数，在R上都是增函数，则函数在R上也是增函数 【答案】AB 【解析】根据函数单调性定义判断． 【详解】A选项中 化简为，即时，， 故函数在R上是增函数； B选项中，即时，， 故函数在R上是增函数； C选项中，令，表示不超过x的最大的整数， 满足，但在R上不是增函数，如； D选项中，令，但函数在R上不单调． 故选：AB． 【点睛】结论点睛：本题考查函数的单调性，掌握单调性的定义是解题关键．另外 在定义域内，设，是增函数，是减函数． 题型二 单调性的定义法证明 例2．证明函数在区间上单调递减． 【答案】证明见解析 【分析】根据单调性的定义，即可作差求证. 【详解】证明:，且， ． 因为， 所以，，，， 所以， 即． 所以函数在上单调递减． 跟踪训练 1．已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）由配凑法可得函数解析式； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）在上单调递减. 证明如下： 令，则， ， 即， 所以在上单调递减. 2．已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)函数在区间上单调递增，证明见解析 (2)， 【分析】（1）由单调性定义证明即可； （2）借助（1）中结论，根据单调性得最值. 【详解】（1）函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，，且，则 因为，所以，且， 即， 所以 故在区间上单调递增． （2）由（1）知在上递增， 所以，. 3．已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3)最大值为，最小值为6. 【分析】（1）直接由代入，即可求得； （2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性计算最值即可. 【详解】（1）函数，因为， 所以，则. （2）函数在上单调递增， 由（1）知，， 下面证明单调区间， 设，则， 由，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以， 则函数在上的最大值为，最小值为6． 题型三 根据函数图像求单调区间 例3．根据下列函数的图像（包括端点），分别指出这两个函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数的单调性． 【答案】答案见详解 【分析】根据图象结合单调性的定义分析求解. 【详解】对于图（1）可知：的单调区间为， 其中单调递减区间为，单调递增区间为； 对于图（2）可知：的单调区间为， 其中单调递增区间为，单调递减区间为. 跟踪训练 1．已知函数的图像如图所示，则函数的单调递增区间是 .    【答案】（开闭均可） 【分析】根据根据函数图象即可得解. 【详解】由函数图象可知， 函数的单调递增区间是. 故答案为：.（开闭均可） 2．填空题：（1）函数的定义域为 （2）函数的图像如图所示，则函数的减区间是 ．    【答案】 【分析】（1）利用分式函数分母不为，求出定义域即可； （2）利用图象可以求出函数单调递减区间． 【详解】（1）由，得， 所以函数的定义域为， （2）由图象知，函数在单调递减，故函数的减区间是， 故答案为：， 3．已知函数的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1，则函数的单调递增区间有 ；函数的单调递减区间有 ．    【答案】 ， ， 【分析】利用定义结合函数图象分析可得答案； 【详解】由图可知函数的单调递增区间有，， 函数的单调递减区间有，. 故答案为：，；， 题型四 简单函数的单调区间 例4．函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【分析】作出的图象，结合图象可得单调区间. 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 跟踪训练 1．函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 2．下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调函数的定义，结合反比例函数、一次函数、二次函数和对勾函数的性质依次判断即可. 【详解】因为“对于任意，都有”，所以在上单调递增. A：反比例函数在和上单调递减，故A不符合题意； B：一次函数在上单调递减，故B不符合题意； C：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以该函数在上单调递增，故C符合题意； D：对勾函数在和上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 3．函数的单调递减区间是 . 【答案】和 【分析】对函数化简后，作出函数的图象，根据图象可求得结果. 【详解】当或时，，对称轴为， 当时，，对称轴为， 作出的图象如图所示， 由图可知单调递减区间为， 故答案为：和    题型五 复杂函数的单调区间 例5．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案. 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 跟踪训练 1．若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】作出分段函数的图象，通过观察图象可得函数的单调递减区间. 【详解】函数的图象，如图所示， 二次函数的对称轴为， 所以函数的单调递减区间为：和. 故选C. 【点睛】本题考查利用数形结合思想求函数的单调区间，注意单调区间为定义域的子区间，如果区间端点使得函数有意义，单调区间的端点可包括也可不包括. 2．函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得其单调增区间. 【详解】由题意可知，解得，即函数定义域为， 易知函数由复合而成， 且在单调递减，在单调递增，在上单调递减； 利用复合函数单调性可得的单调增区间是 故答案为：. 3．若，则的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ． 【答案】 ，； . 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性，即可容易求得结果. 【详解】当时，，易知其在单调递增； 当时，，易知其在单调递减，在单调递增； 综上所述：的单调递增区间是，；单调递减区间是. 故答案为：，；. 题型六 根据函数单调性求参数 例6．若函数在R上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B．[1,2] C． D． 【答案】B 【分析】分段函数在定义域内单调递增，则它在每一段均单调递增，且在时，前一段的函数值不大于后一段的函数值，从而构造出实数的不等式组，解出即可． 【详解】解：∵函数在R上是增函数， ∴，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查分段函数的单调性，须考虑连接点处的函数值大小关系，属于基础题． 跟踪训练 1．已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质，若函数在是单调函数，则区间应完全在对称轴的同侧，由此构造关于的不等式，解得的取值范围 【详解】函数的对称轴为 若函数在上是单调递增函数，则 若函数在上是单调递减函数， 解得或 故的取值范围是 故选：C． 2．已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可. 【详解】对任意，当时都有成立， 所以函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 3．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】由题意，解得． 故答案为：. 题型七 利用函数单调性比较大小 例7．函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性和不等式的性质求解. 【详解】因为，所以，， 又因为在R上严格增，所以，， 所以. 故选：A． 跟踪训练 1．函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；可得出，从而得出选项C正确；比较大小即可判断D. 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 2．若函数在上是减函数，则的大小关系为 . 【答案】 【分析】结合单调性比较大小. 【详解】因为函数在上是减函数，且，所以有. 故答案为： 3．已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 【答案】（或） 【分析】由函数单调递减的性质即可求解. 【详解】因为函数对于任意的，都有， 所以在区间上是减函数， 所以，所以. 故答案为：(或). 题型八 利用函数单调性解不等式 例8．已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若. (1)判断并证明的单调性; (2)解关于的不等式. 【答案】(1)在上为增函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意得，然后根据单调性的定义证明； （2）利用单调性解不等式． 【详解】（1）设，则 又当时， 在上为增函数. （2）在中，令，则. ，不等式，可转化为，即， 由函数在上为增函数，可得. ，原不等式解集为. 跟踪训练 1．定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据以及求出，再根据函数的单调性以及定义域即可求解. 【详解】解： ， 即， ， ，可转化为：， 即， 即， 满足，且，有， 在上单调递增， 即 ， 解得：， 即不等式的解集为：. 故选：C. 2．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据单调性的概念和函数的定义域得到满足的条件，从而得到结果. 【详解】由题意可得，，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 3．已知在上有意义，单调递增且满足． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，通过令，即可证明结果； （2）根据条件得到，再利用在区间上的单调性，即可求出结果. 【详解】（1）因为，令，得到， 所以. （2）， 又函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的的解集为. 题型九 利用单调性求值域或最值 例9．已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）用单调性的定义证明即可. （2）由在区间上的单调性易得值域. 【详解】（1）令，则 ， 又，，，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）由（1）知函数在区间上是增函数，又， 所以函数在区间上的值域为. 跟踪训练 1．已知函数，定义域为，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最大值是8 B．函数的最小值是8 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求得的最小值判断BD；由对勾函数的单调性可知无最大值判断AC. 【详解】函数，又， 所以，所以， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为8，故B正确，D错误； 由，知时，，所以， 故无最大值，故AC错误. 故选：B. 2．函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】解：因为，开口向下，对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 作出函数的图象，如图所示： 所以当时，函数取最小值，为0； 当时，函数取最大值，为16； 所以函数的值域为. 故答案为： 3．已知函数 (1)证明：函数在区间上是增函数； (2)当，求函数的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明即得； （2）利用已证的函数单调性，即可求得函数在给定区间上的值域. 【详解】（1）任取，且， 由， 因，故，，故， 即函数在区间上是增函数； （2）由（1）已证：函数在区间上是增函数，故在上也是增函数， 则，即，故函数的值域为. 题型十 分段函数的值域或最值 例10．记实数的最小数为若则函数的最大值为（   ） A．4 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值． 【详解】    如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象， 而的图象即是图中勾勒出的实线部分， 要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标. 由联立解得，，故所求函数的最大值为． 故选：B． 跟踪训练 1．设，记，则函数的最小值为 ． 【答案】0 【分析】根据题意，由所给的定义化简函数，再结合分段函数的性质，代入计算，即可求解. 【详解】当时，解得， 当时，解得， 则， 因为在上单调递减， 在上单调递增， 所以时，有最小值，且. 故答案为：0 2．对于实数a，b，定义新运算：设函数，当时，函数的值域为 ． 【答案】 【分析】先分、去掉的绝对值，再作差判断的范围，进而得到的解析式，进而求值域. 【详解】当时,, 则， 令,， 则,对称轴为，开口向下， 所以在上单调递减，此时 所以， 此时 当时,, 则， 令， 则,对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增， 此时， 所以, 此时； 终上所述，. 故答案为：. 3．已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)函数在区间和上单调递减；在区间上单调递增 (3)最大值为4，最小值为. 【分析】（1）由二次函数的性质作出图象即可； （2）由二次函数的性质得到分段函数的单调区间即可； （3）由分段函数的单调性和图象可得； 【详解】（1）图象如下：    （2）当时，，对称轴为，开口向上， 可得在时单调递减； 当时，，开口向下，对称轴为， 所以上单调递减；在区间上单调递增， 综上，可得函数在区间和上单调递减；在区间上单调递增. （3）由图象可得当时，最大值为， 当时，最小值为， 所以函数在区间上的最大值为4，最小值为. 题型十一 已知函数值域或最值求参数 例11．已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得的表达式，结合对勾函数的单调性，分类讨论a的取值范围，即分和两种情况，根据的值域列式求解，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 根据对勾函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 因为， 当时，在上单调递减且的值域为， 则，， 解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以为此时的最小值，， 因为的值域为， 所以，即， 解得，所以， 综上，a的取值范围为． 故选：B． 跟踪训练 1．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 2．已知函数在上的最大值为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性讨论最值取值情况即可得实数的值. 【详解】函数的对称轴为直线，因为 当时，，得（舍去）， 当时，，得， 综上，实数的值是. 故答案为：. 3．若在上的最大值为，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】解方程可得出，分、两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围，即可得解. 【详解】由可得，解得或， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，此时； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意可得，此时，. 综上，，因此，实数的最大值为. 故答案为：. 题型十二 函数图像的应用 例12．如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【答案】A 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A. 跟踪训练 1．如图所示是函数的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域内是增函数 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【答案】B 【分析】根据的取值范围可以得到函数的定义域和值域，判断AB两个选项；对于分段函数来讲，在每一段上都是增函数，在定义域内不一定是增函数，根据图象可以判断C；在范围内取，可以排除D. 【详解】A选项，函数在上没有定义，定义域应为，故A错误； B选项，值域是的取值范围，由图象可以看出值域为，故B正确； C选项，在定义域内取0和1，，而， 应该是在和上是增函数，故C错误； D选项，当时，，且由图象可知存在使得， 所以有两个自变量与对应， 正确的说法是“对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应”，故D错误. 故选：B. 2．如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在区间上的最大值为3，最小值为 D．在上有最大值3，有最小值 【答案】BD 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果． 【详解】对于A，B选项，由函数图象可得，在和上单调递减，在上单调递增，故A错误，B正确； 对于C选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故C错误； 对于D选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故D正确； 故选：BD． 3．已知定义在上的函数下列结论正确的为（    ） A．函数的值域为 B． C．当时，函数的最大值为4 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【分析】通过对函数的分析，作出其图象，即可求得函数的值域，判断各选项的正误. 【详解】因当时，， 故当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ,以此类推，可作出函数的图象，如图，    对于A，由图可知，函数的值域为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由图知，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 故时，函数取得最大值，故C正确； 对于D，由图可知，函数在上先增后减，故D错误. 故选：AC. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$