3.1.1函数的概念（3知识点+11题型）-2024-2025学年第一学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

3.1.1 函数的概念 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数的概念 1.函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2.函数的三要素 （1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； （2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． （3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值． 3.函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 4.判断是否为同一个函数的三个要点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 知识点2 区间的概念 1.区间的概念 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) 特别地：实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 2.理解 (1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆． (2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别． (3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立． (4)“∞”是一个符号，而不是一个数． 3.用区间表示数集的注意点 (1)区间左端点值小于右端点值．(2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 知识点3 函数的定义域与值 1.具体函数定义域的求法 ①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有： (ⅰ)分式的分母不为0； (ⅱ)偶次根式的被开方数非负数，奇次方根的被开方数为全体实数； (ⅲ)零次幂的底数不等于0，即y＝x0要求x≠0. ②不对解析式化简变形，以免定义域变化． ③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 2.抽象函数定义域的求法 (1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域． (2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域． 3.函数求值的方法 ①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． ②已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 4.函数的值域的求法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法． (3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域． (4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． (5)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． 思路方法总结 一、求函数定义域的一般原则 1、分式中分母不能为零； 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中； 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，； 3、零次幂的底数不能为零，即中； 4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义； 5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合． 【注】定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而用并集符号“∪”连接． 二、复合函数的定义域求解 1、若函数的定义域为，则中，从中解出的解集即的定义域． 2、若的定义域为，则由可确定的范围，设，则，又与是同一函数，所以的范围即为的定义域． 3、已知的定义域，求的定义域，先由的取值范围求出的取值范围，即中的取值范围，即的取值范围，再根据的取值范围求出的取值范围，即的定义域． 三、求函数值的三种类型及解法 1、已知函数解析式求函数值：可分别将自变量的值代入解析式，即可求出相应的函数值．当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解． 2、已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解析式中的参数值），只需将函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制． 3、抽象函数的求值，往往通过赋值法解决，赋值法就是把满足条件的特殊值赋给函数中的某个变量．它是解决抽象函数问题的常用策略． 四、函数值域的求法 1、观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 2、配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，将解析式配成完全平方的形式，再求函数的值域； 3、换元法：对含有根号的函数，可以同归对函数的解析式进行适当还原，将复杂的函数化归为几个简单的函数，进而利用基本初等函数的值域求函数的值域，但要注意新元的取值范围； 4、分离常数法：先将形如的函数分离常数，变形过程为，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域； 5、判别式法：将函数视为关于自变量的二次函数，利用相应一元二次方程根的判别式求函数值的范围，常用语“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围； 6、基本不等式法：分子、分母期中一个为一次、一个为二次函数结构以及两个变量（如，）的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值（值域）． 五、已知函数的值域求参数问题的解题思路 1、注意调整思维方向，根据值域的含义，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题； 2、根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围． 典例·举一反三 题型一 函数关系的判断 例1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 跟踪训练 1．下列各图中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A． B． C． D． 3．已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二 具体函数的定义域 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为 ． 3．函数的定义域为 . 题型三 抽象函数的定义域 例3．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 题型四 复合函数的定义域 例4．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型五 已知函数定义域求参数 例5．已知函数的定义域是R，则的取值范围是 . 跟踪训练 1．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ． 3．（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． （2）若函数的定义域为，则实数取值范围是 ． 题型六 求函数的值 例6．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（    ） 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 2．函数，则 ． 3．已知函数，计算 ． 题型七 已知函数值求参数 例7．已知函数，其中. (1)若，求实数的值； (2)求不等式的解集. 跟踪训练 1．已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 2．已知函数，且，则 ． 3．已知数. (1)求函数的定义域 (2)求； (3)已知，求的值. 题型八 函数的值域 例8．求下列函数的值域： (1) (2) (3) 跟踪训练 1．函数的值域为 2．函数的值域为 . 3．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 题型九 已知函数值域求参数 例9．若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 2．已知函数，且该函数的值域为，则的值为 . 3．已知函数. (1)若函数定义域为R，求a的取值范围； (2)若函数值域为，求a的取值范围. 题型十 已知函数值域求定义域 例10．已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的值域为，则函数的定义域为 . 3．为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为 ． 题型十一 同一函数的判断 例11．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 跟踪训练 1．下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．下列各组中不是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．，. 3．下列各组函数为同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1 函数的概念 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数的概念 1.函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2.函数的三要素 （1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； （2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． （3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值． 3.函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 4.判断是否为同一个函数的三个要点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 知识点2 区间的概念 1.区间的概念 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) 特别地：实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 2.理解 (1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆． (2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别． (3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立． (4)“∞”是一个符号，而不是一个数． 3.用区间表示数集的注意点 (1)区间左端点值小于右端点值．(2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 知识点3 函数的定义域与值 1.具体函数定义域的求法 ①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有： (ⅰ)分式的分母不为0； (ⅱ)偶次根式的被开方数非负数，奇次方根的被开方数为全体实数； (ⅲ)零次幂的底数不等于0，即y＝x0要求x≠0. ②不对解析式化简变形，以免定义域变化． ③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 2.抽象函数定义域的求法 (1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域． (2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域． 3.函数求值的方法 ①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． ②已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 4.函数的值域的求法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法． (3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域． (4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． (5)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． 思路方法总结 一、求函数定义域的一般原则 1、分式中分母不能为零； 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中； 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，； 3、零次幂的底数不能为零，即中； 4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义； 5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合． 【注】定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而用并集符号“∪”连接． 二、复合函数的定义域求解 1、若函数的定义域为，则中，从中解出的解集即的定义域． 2、若的定义域为，则由可确定的范围，设，则，又与是同一函数，所以的范围即为的定义域． 3、已知的定义域，求的定义域，先由的取值范围求出的取值范围，即中的取值范围，即的取值范围，再根据的取值范围求出的取值范围，即的定义域． 三、求函数值的三种类型及解法 1、已知函数解析式求函数值：可分别将自变量的值代入解析式，即可求出相应的函数值．当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解． 2、已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解析式中的参数值），只需将函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制． 3、抽象函数的求值，往往通过赋值法解决，赋值法就是把满足条件的特殊值赋给函数中的某个变量．它是解决抽象函数问题的常用策略． 四、函数值域的求法 1、观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 2、配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，将解析式配成完全平方的形式，再求函数的值域； 3、换元法：对含有根号的函数，可以同归对函数的解析式进行适当还原，将复杂的函数化归为几个简单的函数，进而利用基本初等函数的值域求函数的值域，但要注意新元的取值范围； 4、分离常数法：先将形如的函数分离常数，变形过程为，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域； 5、判别式法：将函数视为关于自变量的二次函数，利用相应一元二次方程根的判别式求函数值的范围，常用语“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围； 6、基本不等式法：分子、分母期中一个为一次、一个为二次函数结构以及两个变量（如，）的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值（值域）． 五、已知函数的值域求参数问题的解题思路 1、注意调整思维方向，根据值域的含义，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题； 2、根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围． 典例·举一反三 题型一 函数关系的判断 例1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】C 【分析】根据函数的定义，结合特例法逐一判断即可. 【详解】A：因为集合是整数集合，其中奇数除以的结果不是整数， 所以不是的函数，因此本选项不符合题意； B：显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义， 因此本选项不符合题意； C：因为任意一个实数的平方是一个确定的实数，符合函数的定义， 所以本选项符合题意； D：因为，但是没有意义，因此不符合题意，所以本选项不符合题意， 故选：C 跟踪训练 1．下列各图中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】由函数的定义知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应， 由选项A，C和D的图象可知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应，所以选项A，C和D错误， 由选项B的图象知，存在的取值，一个的取值，有两个值与之对应，所以不能表示是的函数， 故选：B. 2．在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义一一判定选项即可. 【详解】根据函数的定义可知，中的每一个元素在中都有唯一的元素与之对应， 显然A、B、C符合题意， 而D选项中，E中的元素在中有两个元素对应，不符合函数的定义. 故选：D 3．已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数定义判断. 【详解】对应关系若能构成从M到N的函数，则应满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应. A选项中，当时，，故A不能构成函数； B选项中，当时，，故B不能构成函数； C选项中，当时，，故C不能构成函数； D选项中，当时，，当时，，当时， ，故D能构成函数. 故选：D. 题型二 具体函数的定义域 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数定义域：二次根式被开方数为非负数. 【详解】由题设， ∴， ∴. 故选：D 跟踪训练 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以所求定义域为. 故选：D 2．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据求定义域的法则求解. 【详解】要使函数有意义， 需满足，即， 则函数的定义域为， 故答案为：. 3．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】利用二次根式与零指数幂的意义计算即可. 【详解】由题意可知函数解析式有意义需，解之得. 故答案为： 题型三 抽象函数的定义域 例3．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由求的范围，然后解不等式可得. 【详解】因为函数的定义域为，即，所以， 由解得，所以函数的定义域为. 故选：B 跟踪训练 1．若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先，从而根据有意义可列出不等式组求解. 【详解】若函数的定义域为，则， 要使得有意义，当且仅当， 所以的定义域为. 故选：D. 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用抽象函数的定义域求法计算即可． 【详解】由，得，所以函数的定义域为． 故答案为： 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】 【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可. 【详解】∵函数的定义域为，即，可得， ∴函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为. 故答案为： 题型四 复合函数的定义域 例4．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可. 【详解】由题可知的定义域为， 则为使有意义必须且只需， 解得， 所以的定义域为. 故选：D 跟踪训练 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求解即可 【详解】函数的定义域为， 由，得， 则函数的定义域为 故选：C 2．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出的解析式，由二次根式内部的代数式大于等于0即可求解的定义域. 【详解】由题可得：，所以，解得：, 则的定义域为； 故选：A 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【详解】∵函数的定义域为， ∴要使函数有意义， 则有，解得， ∴，即函数的定义域为. 故选：D. 题型五 已知函数定义域求参数 例5．已知函数的定义域是R，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】当时，可得或， 当时，符合题意； 当时，，显然不符合题意. 当时，由于定义域为R，可得，解得：， 综上所述：的取值范围是 故答案为： 跟踪训练 1．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为不等式恒成立问题，分类讨论与两种情况，结合根的判别式得到不等式，从而得解. 【详解】因为的定义域为， 所以不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，满足题意； 当时，则，解得； 综上，，即的取值范围是. 故选：D. 2．若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ． 【答案】 2 【分析】利用函数的定义域求解即可. 【详解】函数，故，即 函数的定义域为，故. 故答案为：2； 3．（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． （2）若函数的定义域为，则实数取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）根据条件，将问题转化成无解，再分和两种情况讨论，即可求出结果； （2）根据条件，将问题转化成的解集为，再分和两种情况讨论，即可求出结果. 【详解】（1）因为的定义域为，又有意义需， 所以无解；当时，方程无解，符合题意； 当时，，解得． 综上实数． （2）因为函数的定义域为，所以不等式的解集为， 当时，恒成立，满足题意； 当时，则，解得． 综上，实数的取值范围是． 故答案为：. 题型六 求函数的值 例6．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别令、和，运算求解即可. 【详解】因为， 令，可得； 令，可得； 两式相加可得， 令，可得； 则，即. 故选：D. 跟踪训练 1．已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（    ） 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据的图像可知，，根据表格即可求得. 【详解】根据的图像可知，，根据表格可知，. 故选：B 2．函数，则 ． 【答案】 【分析】将代入函数解析式即可得. 【详解】. 故答案为：. 3．已知函数，计算 ． 【答案】 【分析】先求出，再观察所求，倒序相加即可得解. 【详解】由，得， 所以 . 故答案为：. 题型七 已知函数值求参数 例7．已知函数，其中. (1)若，求实数的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，由，列出方程，即可求解； （2）根据题意，得到，结合一元二次不等式不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）由函数，因为，可得，解得. （2）因为，可得，即， 当时，解得，所以不等式的解集为； 当时，解得或，所以不等式的解集为， 综上可得，当时，解集为；当时，解集为. 跟踪训练 1．已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，代入解方程即得. 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 2．已知函数，且，则 ． 【答案】/0.5 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】令 . 故答案为：. 3．已知数. (1)求函数的定义域 (2)求； (3)已知，求的值. 【答案】(1)或 (2)， (3) 【分析】（1）根据函数定义域的求法求得正确答案. （2）根据函数的解析式求得正确答案. （3）根据已知条件解方程来求得. 【详解】（1）由解析式知：，可得且， 故定义域为或， （2）， . （3）由，， 所以，显然在定义域内， 所以. 题型八 函数的值域 例8．求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 跟踪训练 1．函数的值域为 【答案】 【分析】设，求出新函数的定义域即可求出值域. 【详解】设，，所以， 由图象易知值域为. 故答案为：. 2．函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出分母的范围，然后根据倒数关系即可得的值域. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为：. 3．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）判断函数的单调性，求出区间端点函数值，即可得解； （2）首先求出函数的定义域，即可求出的取值范围，从而得解； （3）利用分离常数法及反比例函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． 题型九 已知函数值域求参数 例9．若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对分两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值范围即可. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则，解得， 综上，. 故选：C. 跟踪训练 1．已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【详解】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 2．已知函数，且该函数的值域为，则的值为 . 【答案】3 【分析】由题意可得，且在上递减，上递增，然后由可求得答案. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以若，的值域为，则， 因为的图象是开口向上的抛物线， 所以在上递减，上递增， 因为， 所以，即，解得或（舍去）， 故答案为：3 3．已知函数. (1)若函数定义域为R，求a的取值范围； (2)若函数值域为，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据二次根式的性质进行求解即可； （2）根据函数值域的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为函数定义域为R， 所以在R上恒成立， 当时，，不符合题意； 当时，要想在R上恒成立，即在R上恒成立， 只需， 所以a的取值范围为； （2）当时，，符合题意； 当时，要想函数值域为， 只需， 综上所述：a的取值范围为. 题型十 已知函数值域求定义域 例10．已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对四个选项依次求解相应的值域，得到答案. 【详解】A选项，当时，，故，A错误； B选项，当时，，故，B正确； C选项，当时，，故，C正确； D选项，当时，，故，D正确. 故选：BCD 跟踪训练 1．若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论解不等式即可. 【详解】由函数的值域是， 所以当时，， 当时， 即，解得， 所以函数的定义域为：， 故选：D 2．已知函数的值域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据题意，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】由函数的值域为，可知，解得，因此函数的定义域为. 故答案为： 3．为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】根据的定义，函数的定义域和值域分析求解 【详解】因为函数，，的值域为， 所以最大取到3，最小取到， 所以的最大值为， 故答案为：4 题型十一 同一函数的判断 例11．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数. 【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确； 对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误； 对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确； 对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误. 故选：AC 跟踪训练 1．下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项. 【详解】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误； 对于B中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误； 对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为， 所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误； 对于D中，函数与的定义域均为R， 可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确； 故选：D. 2．下列各组中不是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的定义域和对应关系是否相同课判断. 【详解】选项A：的定义域为，此时，故两个函数是同一个函数； 选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数； 选项C：两个函数的定义域都是，，故是同一个函数； 选项D：函数的定义域为，函数的定义域是，定义域不同，故不是同一函数， 故选：BD 3．下列各组函数为同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【分析】根据当两个函数的定义域相同，对应关系相同为同一个函数逐个分析判断. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 则两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于B，，的定义域均为，， 则两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于C，，的定义域均为，， 则两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数； 对于D，的定义域均为， 则两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数． 故选：CD 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$