第三章 排列组合与二项式定理（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第二册）

第三章 排列组合与二项式定理（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．计算的值为（    ） A．2048 B．1024 C．1023 D．512 2．二项式的展开式（按的降幂排列）中的第4项是（    ） A． B． C． D． 3．如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 4．某单位春节共有四天假期，现安排甲、乙、丙、丁四人值班，每名员工值班一天．已知甲不在第一天值班，乙不在第四天值班，则值班安排共有（    ） A．12种 B．14种 C．18种 D．24种 5．已知，则被10除所得的余数为（    ） A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是 6．北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．504种 B．432种 C．384种 D．240种 7．从编号分别为1，2，…，9的9张卡片中任意抽取3张，将它们的编号从小到大依次记为，则且的概率是（    ）． A． B． C． D． 8．斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的展开式共有13项，则下列说法正确的有（    ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．二项式系数最大的项为第7项 C．所有项的系数和为 D．有理项共有5项 10．某次考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（    ） A．甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是 B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是 C．丙同学随机选择选项（即随机选1个、2个、3个或者4个选项），能得分的概率是 D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是 11．已知，则下列描述不正确的是（    ） A． B．除以5所得的余数是1 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数为 13．如图，将1，2，3，4四个数字填在6个“”中，每个“”中填一个数字，有线段连接的两个“”不能填相同数字，四个数字不必均使用，则不同的填数方法有 种． 14．电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个电平信号．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有4个0，则满足条件的电平信号种数为 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数及二项式系数. 16．设，且. (1)求、的值； (2)求展开式中各项系数和； (3)求展开式的奇数项系数和. 17．晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单. (1)其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场； (2)2个舞蹈节目不相邻； (3)前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目. 18．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C、D、E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数． 19．（1）6名同学（简记为，，，，，）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者. （i）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？ （ii）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？ （2）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示） （3）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 排列组合与二项式定理（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．计算的值为（    ） A．2048 B．1024 C．1023 D．512 【答案】C 【分析】根据二项式系数的性质计算即可. 【详解】由二项式系数的性质知， ， . 故选：C. 2．二项式的展开式（按的降幂排列）中的第4项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】由题意可知： 的展开式的通项是 ， 因为为减函数，可知二项式的展开式按的降幂排列， 所以 的展开式的第4项是 . 故选：B. 3．如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 【答案】D 【分析】先安排中心区域A，再从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，分D与B选用同一种和选用不同种类菊花两种情况，结合计数原理得到答案. 【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域， 则B有4种布置方法，C有3种布置方法． 如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法； 如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法． 按照分步乘法与分类加法计数原理， 则全部的布置方法有（种）. 故选：D． 4．某单位春节共有四天假期，现安排甲、乙、丙、丁四人值班，每名员工值班一天．已知甲不在第一天值班，乙不在第四天值班，则值班安排共有（    ） A．12种 B．14种 C．18种 D．24种 【答案】B 【分析】采用分类加法和分步乘法原理，分甲在与不在第四天值班，再分步计算即可，注意特殊的先排. 【详解】分两种情况讨论：①甲在第四天值班，则剩下的有种安排； ②甲不在第四天值班，则甲的安排有两种，乙的安排也有两种，剩下两人有种，共有种； 所以一共有种安排， 故选：B. 5．已知，则被10除所得的余数为（    ） A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是 【答案】C 【分析】由题意可得，将其展开式写出后可得，即可得解. 【详解】， 由， 故被10除所得的余数为. 故选：C. 6．北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．504种 B．432种 C．384种 D．240种 【答案】A 【分析】分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论 【详解】由题意分为两种情况：第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法； 第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法， 故总共有种排法. 故选：A. 7．从编号分别为1，2，…，9的9张卡片中任意抽取3张，将它们的编号从小到大依次记为，则且的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型及组合计算即可. 【详解】由而从1，2，…，9中抽取，且最多只能取到5． 当时，，8，9共5种； 当时，共4种； 当时，共3种； 当时，共2种； 当，时，共1种，总共15种． 同理2时共10种，时共6种，时共3种，时共1种，即9， 所以概率为. 故选:D． 8．斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 【答案】A 【分析】插空法，先排2，3，5，8四个数，再根据已知条件，分两类情况将剩下的两个1插空即可解答. 【详解】命题意图  本题考查排列与组合的应用． 解析  先排数字2，3，5，8，有种排法，4个数字形成5个空当． 第一类：若两个1相邻，则从可选择的3个空当中选出一个放入两个1，有3种排法； 第二类：若两个1也不相邻，则从可选择的3个空当中选出两个分别放入数字1， 有3种排法．所以密码个数为． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的展开式共有13项，则下列说法正确的有（    ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．二项式系数最大的项为第7项 C．所有项的系数和为 D．有理项共有5项 【答案】ABD 【分析】先根据展开式共有13项，求出，然后根据二项式系数的性质结合二项式展开式的通项公式逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，则所有奇数项的二项式系数和为，故A正确； 对于B，由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故B正确； 对于C，令，得所有项的系数和为，故C错误； 对于D，展开式的通项为， 当为整数时，，共有5项，即有理项共有5项，故D正确． 故选：ABD． 10．某次考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（    ） A．甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是 B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是 C．丙同学随机选择选项（即随机选1个、2个、3个或者4个选项），能得分的概率是 D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是 【答案】ABC 【分析】根据题意逐个分析，结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】对于A，甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是，所以A正确， 对于B，乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是，所以B正确， 对于C，丙同学随机选择选项，能得分的概率是，所以C正确， 对于D，丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是，所以D错误， 故选：ABC 11．已知，则下列描述不正确的是（    ） A． B．除以5所得的余数是1 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用赋值法即可判断AC、求导数后结合赋值法可判断D，根据二项式展开式的通项即可求解B. 【详解】， 令，可得，再令，可得， ,故A错误． 由于，即展开式各项系数和系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确． 把函数两边同时对求导数，可得， 再令，可得，，可得， 故,故D错误． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数为 【答案】 【分析】利用组合知识求解含的项即可. 【详解】可以看作5个相乘， 利用组合知识可知，展开式中含的项为，， 合并同类项为. 故答案为： 13．如图，将1，2，3，4四个数字填在6个“”中，每个“”中填一个数字，有线段连接的两个“”不能填相同数字，四个数字不必均使用，则不同的填数方法有 种． 【答案】264 【分析】按使用数字数的不同分成两类，每一类中分步进行，先确定填A，D，E三点填法数，再讨论点B，F，C的填法数即可. 【详解】如图，计算不同填数方法有两类办法： 当用四个数字时，先填A，E，D，有种填法，再从B，F，C中选一处填第四个数，如B，再填F， 若F与D同，则C有2种填法，若F与D不同，则C有1种填法，于是得有种填法， 当用三个数字时，先填A，E，D，有种填法，再填B，有2种填法，则F，C各有1种填法，于是得有种填法， 利用分类加法计数原理得不同填数方法为：（种）， 所以不同的填数方法共有264种. 故答案为：264. 14．电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个电平信号．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有4个0，则满足条件的电平信号种数为 ． 【答案】22 【分析】 依据题意确定有类，再依据分类加法计数原理求解即可. 【详解】依据题意，办法有类，若6个数字中有个0，故有种，若6个数字中有个0，故有种， 若6个数字中有个0，故有种，由分类加法计数原理得共有种. 故选：22 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数及二项式系数. 【答案】（1）280；（2），84. 【分析】（1）利用二项式定理直接求出指定项系数. （2）求出二项式展开式的通项公式，再求出指定项的系数及二项式系数. 【详解】（1）的展开式的第四项是， 所以的展开式的第四项的系数是280. （2）因为的展开式的通项是， 由，得，所以的系数，的二项式系数. 16．设，且. (1)求、的值； (2)求展开式中各项系数和； (3)求展开式的奇数项系数和. 【答案】(1)，(2)2048(3)1024 【分析】（1）根据二项式定理可得，结合题意可得，利用赋值法令即可得结果； （2）利用赋值法令即可得结果； （3）利用赋值法令，结合（2）中结论即可得结果； 【详解】（1）因为的展开式为，可知， 又因为，解得； 可得， 令，可得展开式中各项系数和. （2）由（1）可知：， 令，可得， 所以展开式中各项系数和2048. （3）由（1）可知：，且， 令，可得， 两式相加可得，即， 所以展开式的奇数项系数和为1024. 17．晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单. (1)其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场； (2)2个舞蹈节目不相邻； (3)前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目. 【答案】(1)1200(2)3600(3)3456 【分析】（1）采用分步计数原理，特殊元素先排计算出结果即可； （2）采用分步计数原理，特殊元素先排，再用插空法即可； （3）先分三类，一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目；另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目；最后一种为歌唱节目，舞蹈节目､相声节目各1个；再分步计算，最后求和即可. 【详解】（1）按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分3步： 先排第1个节目，有种安排方法， 再排最后一个节目，可以从余下的5个非相声节目中选一个排在最后，有种排法， 最后余下的节目随便排，有种排法， 由分步计数原理得共有种排法. （2）先排非舞蹈节目，有种排法， 将2个舞蹈节目插到6个空中，有种排法， 故种排法. （3）前3个节目共三种情况： 一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有种排法， 另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有种排法， 最后一种为歌唱节目，舞蹈节目､相声节目各1个，有种排法， 故共有种排法. 18．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C、D、E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【答案】(1)480(2)360(3)1140 【分析】（1）采用插空法，先拍其余四科，再插空； （2）特殊的先排，再用分步乘法； （3）按甲所教科目的数量分类，然后由分类加法计数原理求解. 【详解】（1）第一步，先将另外四门课排好，有种情况； 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况； 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种； （2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. （3）①当A只任教1科时：先排A任教科目，有种；再从剩下5科中排B的任教科目，有种；接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种；所以当A只任教1科时，共有种； ②当A任教2科时：先选A任教的2科有中，这样6科分为4组共有种， 所以，当A任教2科时，共有种， 综上，A不任教“围棋”的课程安排方案有1140种． 19．（1）6名同学（简记为，，，，，）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者. （i）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？ （ii）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？ （2）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示） （3）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示） 【答案】（1）（i）126；（ii）114；（2）14；（3）60 【分析】 （1）（i）利用隔板法求解即可； （ii）把，视为一人，再把人按和分组，再分配即可； （2）把4名干部按和分成两组，再分配到两个街道列式计算作答； （3）根据给定条件，利用倍缩法列式计算作答. 【详解】 （1）（i）16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙， 插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可， 所以不同的发放方法种； （ii）把，视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆， 分组方法有两类：第一类1，1，3，去掉，在一组的情况，有种分组方法， 再分配给三个场馆，有种方法， 第二类1，2，2，去掉，在一组的情况，有种分组方法， 再分配给三个场馆，有种方法， 所以不同的安排方法有种方法； （2）把4名干部按分成两组，有种分组方法， 按分成两组，有种分组方法， 所以4名干部按要求分到两个街道的不同方法数是（种）； （3）依题意，6串香蕉任意收取有种方法， 其中中间一列按从下往上有1种，占， 最右一列按从下往上只有1种，占， 所以不同取法数是（种）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$