4.1相似三角形（九大类型培优提升+压轴训练30道）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

4.1相似三角形（九大类型培优提升+压轴训练30道） 目录 类型一、黄金分割与比例线段 1 类型二、相似多边形 2 类型三、相似三角形的判定 2 类型四、图形的位似及性质 3 类型五、相似三角形的有关计算与证明 4 类型六、相似三角形与实际应用问题 5 类型七、相似三角形与圆综合问题 6 类型八、相似三角形与动点问题 7 类型九、新定义探究问题 8 压轴能力测评30道 8 类型一、黄金分割与比例线段 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，点E是正方形边上的一点（E与A不重合），将线段绕着它的一个端点旋转，使另一个端点落在的延长线上的F处，并作正方形，若H是线段的一个黄金分割点，且，则的值是 ． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）小薛同学在学习了浙教版九年级上册“4.1      .3比例线段”课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值 ，感受这种特殊化的学习过程． 类型二、相似多边形 3．（22-23九年级上·浙江·周测）如图，矩形和矩形，要判定他们是否相似，小明有以下2种方法． ①如图1，将放在上，连接并延长与交于点．若点在同一直线上，则矩形和矩形相似； ②如图2，连接和，若，则矩形和矩形相似． 上述说法正确的是（    ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 类型三、相似三角形的判定 5．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，是的直径，弦于点．连接、、和．现从，，，中任取两个三角形，恰好都和相似的概率是（   ） A． B． C．1 D． 6．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A．  B．  C．  D．   7．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    类型四、图形的位似及性质 8．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ． 类型五、相似三角形的有关计算与证明 10．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在正方形的边上取中点E，连接，过点A作的垂线分别交延长线于点G，F． (1)求证：． (2)连接并延长交于点P，若，求的长． 11．（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在四边形中，平分，，，点E为的中点， (1)求证：． (2)若，，求的值． (3)在（2）的条件下， ______．（直接写答案） 12．（2019·上海·三模）如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． (3)求的长度． 类型六、相似三角形与实际应用问题 13．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）【学科融合】如图，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图，小波和小海很想知道学校教学楼前雕像的高度（含底座），于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，小波在处放置一平面镜，他从点沿后退，当退行米到处时，恰好在镜子中看到雕像顶端的像，此时测得小波眼睛到地面的距离为米；然后，小波沿的延长线继续后退到点，用测倾器测得雕像的顶端的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于（光的反射角等于入射角）． (1)求证：； (2)求雕像的高度． 14．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为米的竹竿的影长为米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上． (1)如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米，求树的高度． (2)如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少？ 类型七、相似三角形与圆综合问题 15．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，等腰内接于，，点E是上的点（不与点A，C重合），连接并延长至点G，连接并延长至点F，与交于点D． (1)求证：； (2)若的半径为5，，点D是的中点，求的长． 16．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）如图，四边形内接于，且．试说明：； （2）如图，四边形内接于，且为直径，，过圆心作，垂足为．试说明：； （3）如图，四边形内接于，对角线相交于点．过圆心作，垂足为，且．试说明：． 类型八、相似三角形与动点问题 17．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为8． (2)若两点同时分别从A、B出发，经过多长时间与相似？ 18．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)求点E落在区域（含边界）内的时长； (3)连接，当与相似时，求t的值； (4)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 类型九、新定义探究问题 19．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线． (1)如图，在中，为角平分线，，，求证：为的优美线； (2)在中，，为的优美线，且是以为腰的等腰三角形，请依据题意补全图形，求的度数． 压轴能力测评30道 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江·周测）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在平行四边形中，则为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形中，和分别为和的中点，如果矩形矩形，那么他们的相似比为（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（  ） A．24 B．20 C．16 D．10 5．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知在矩形中，M是边的中点，与垂直，交直线于点N，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 6．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，中，，，高线的长为，腰上的中线的长为，过作于点，则之间的数量关系式为（    ） A． B． C． D． 7．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，点是的重心，连接，作，使与互补，交边于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，，是上的一点，且，是的中点，连结，交于点．若时，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 10．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，分别以它的三边为边向外作正方形，，，分别过点，作，，垂足分别为，．要知道阴影部分的面积，只需知道下列某个图形的面积，这个图形是（    ） A． B．正方形 C．正方形 D．正方形 11．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以的各边为边分别向外作正方形，再把正方形平移放入正方形内（如图2），使点在上，点在上，并将正方形沿翻折，得到正方形，若图2中，，三点共线，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，作于点，交于点若， ，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ． 14．（18-19九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为 ． 15．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在正六边形中，，分别是，的重心，若，则线段的长为 ．    16．（21-22九年级·浙江宁波·自主招生） 如图，在中，，分别以、为边作两个等边三角形：，，其中，与交于点M，与交于点N，连接，则的面积与的面积之比为 ． 17．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，，，于点F，交于点E，矩形矩形． （1）的长为 ； （2）连接，与交于点M，则的长为 ． 18．（2023·浙江台州·三模）如图，一张矩形纸片中，（m为常数）．将矩形纸片沿折叠，使点A落在边上的点H处，点D的对应点为点M，与交于点P．当点H落在的中点时，且，则 ． 19．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知点，，点C在x轴上，轴，交线段于点D，且点D不与A、B两点重合，将沿折叠，使点B落在x轴上的点E处．设点C的横坐标为x，则当为直角三角形时，x的值为 ． 20．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在师一学校第23届运动会开幕式上，由500名初一学生组成的大型团体操《传承•复兴》让全校师生眼前一亮，该方队面向主席台集合时共25列20排（整个方队看成矩形，且集合时人与人之间的距离忽略不计），其中每个小矩形（例如矩形）代表一名学生，且军列的宽度都等于（即），每排的宽度都等于（即）当方队成体操队形散开时，假设列与列之间的距离都为（即），排与排之间的距离都（），若矩形与矩形相似时，则y关于x的函数关系式为 （不考虑x的取值范围）． 三、解答题 21．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）某中学有一块正方形的空地，边长为40m，学校计划将空地分为五部分，种植不同的花束．白老师利用课后延时时间将设计任务交给小明和小芳两位同学，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图1，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为． 小芳：如图2，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形矩形，且相似比为，中间小正方形的边长为． (1)结合小明设计的方案，解决下列问题： ①求出图中的长； ②求出每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ (2)求小芳的方案中矩形的面积． 22．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是半圆O的直径，C是延长线上的点，的垂直平分线交半圆于点D，交于点E，连接．已知半圆O的半径为3，． (1)求OE，DE和AD的长； (2)点P是线段上一动点（不与A，C重合），连接，作，交线段CD于点F．当为等腰三角形时，求的长． 23．（2024九年级上·浙江·专题练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，D，E分别在，上，连接，若，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在，上，连接，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在上，连接，，若，，，，求的长． 24．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交y轴于点，点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线于点F，交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求M点的坐标； (3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）【阅读与思考】 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 如图1，在中，中线相交于点G，连接， ∵D，E分别是边的中点， ∴①_____________________． ∴，且． ∴②______∽______，______∽______ ∴， 任务： (1)笔记中横线部分应填写①_____________；②______∽______，______∽______ (2)如图2，在中，点K，L分别在边上，连接交于点F．若，，猜测与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别是的中点，，，，求长． 26．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在线段上找一点D，使得是三角形的中线． (2)如图2，在线段上找一点E，使得； (3)如图3，在三角形内寻找格点P，使得． 27．（2024九年级下·浙江宁波·专题练习）如图，为的直径，弦，连结，点E为上一点，，连结接并延长交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，记，请用含有x的代数式表示y． 28．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，以的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点E，F，延长交于点G，连结并延长交于点H． (1)证明：． (2)已知，． ①求的半径， ②取上一点P，连结并延长交于点Q，当等于四边形中的一个内角时，求的面积． 29．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向朝点匀速运动，同时点由点出发沿方向朝点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为秒，解答下列问题： (1)当为何值时，使得? (2)设的面积为，当为何值时，取得最大值？的最大值是多少？ (3)当为何值时，是等腰三角形？ 30．（2024·浙江杭州·模拟预测）【甚础巩固】 （1）如图1，在和中，点在上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连结．若，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，对角线相交于点，点是边上一点，，连结交于点，线段与的延长线交于点，若，，求的长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1相似三角形（九大类型培优提升+压轴训练30道） 目录 类型一、黄金分割与比例线段 1 类型二、相似多边形 3 类型三、相似三角形的判定 5 类型四、图形的位似及性质 9 类型五、相似三角形的有关计算与证明 11 类型六、相似三角形与实际应用问题 16 类型七、相似三角形与圆综合问题 20 类型八、相似三角形与动点问题 24 类型九、新定义探究问题 28 压轴能力测评30道 29 类型一、黄金分割与比例线段 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，点E是正方形边上的一点（E与A不重合），将线段绕着它的一个端点旋转，使另一个端点落在的延长线上的F处，并作正方形，若H是线段的一个黄金分割点，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质和黄金分割点的相关知识，根据旋转的性质得到，再得到，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：如下图所示， 根据旋转的性质得， ∵， ∴ ∵H是线段的一个黄金分割点，且， ∴, ∵正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）小薛同学在学习了浙教版九年级上册“4.1      .3比例线段”课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值 ，感受这种特殊化的学习过程． 【答案】3 【分析】本题考查了线段的比例中项，线段比例的计算，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由可知，，则． 【详解】解：当时， ，理由如下： ，， ． 故答案为：3． 类型二、相似多边形 3．（22-23九年级上·浙江·周测）如图，矩形和矩形，要判定他们是否相似，小明有以下2种方法． ①如图1，将放在上，连接并延长与交于点．若点在同一直线上，则矩形和矩形相似； ②如图2，连接和，若，则矩形和矩形相似． 上述说法正确的是（    ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】A 【分析】根据两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，逐一证明，①如图1，连接，若点P、G、C在同一直线上，证明，得到，同理得到，根据，得到，由，，得到，即可说明；证明，，得到，即可说明． 【详解】①如图1，连接，若点P、G、C在同一直线上， 由题意可知矩形和矩形的八个内角都是直角，故它们的对应角相等， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ，， ， 矩形和矩形相似， 故说法①正确； ②由题意可知矩形和矩形的八个内角都是直角，故它们的对应角相等， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ， 矩形和矩形相似， 故说法②正确； 故选：A． 【点睛】本题考查相似图形、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【答案】(1)不相似；证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式． 类型三、相似三角形的判定 5．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，是的直径，弦于点．连接、、和．现从，，，中任取两个三角形，恰好都和相似的概率是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，圆周角定理，概率等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先判断出四个三角形中，与相似的三角形个数，再根据概率公式即可得结论． 【详解】解：弦， ，， ， ， 是直径， ， ， ， ，， 与相似的三角形有：，，， ，，，中任取两个三角形有6种可能，两个都与相似的情况有3种， 从，，，中任取两个三角形，恰好都和相似的概率是， 故选：D． 6．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A．  B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故A不符合题意； 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B不符合题意； 如图3， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故C不符合题意； 如图4， ∵， ∴，， ∴， 假设， ∵， ∴，与已知条件不符， ∴与不相似， 故D符合题意， 故选：D． 类型四、图形的位似及性质 7．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    【答案】 【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 8．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．延长交于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比． 【详解】解：延长交于点E，如图． ∵在正方形中，， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 故选：B． 9．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似图形的性质，正方形的性质，勾股定理，解题关键求出正方形的边长．根据正方形的边长为和位似比求出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 正方形与四边形是位似图形， 四边形是正方形， ， 是四边形的外接圆直径， 正方形的边长为，， ， ， 四边形的外接圆半径为， 故答案为：． 类型五、相似三角形的有关计算与证明 10．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在正方形的边上取中点E，连接，过点A作的垂线分别交延长线于点G，F． (1)求证：． (2)连接并延长交于点P，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形四边相等，四个角都是直角，相似三角形对应边成比例． （1）根据正方形的性质得出，则， 根据，得出，即可推出，即可求证； （2）通过证明，求出，则，，再证明，得出，则，即可求解． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点E是边上中点，正方形边长， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在四边形中，平分，，，点E为的中点， (1)求证：． (2)若，，求的值． (3)在（2）的条件下， ______．（直接写答案） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知，利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证得结论； （2）利用相似三角形的性质可得是直角三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，，进一步推出，得出，再根据相似三角形的性质即可求得答案； （3）根据已知求出，再利用勾股定理求出和，然后根据，利用相似三角形的性质进一步计算即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 12．（2019·上海·三模）如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． (3)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质得出，结合即可得证； （2）由得出，，由正方形的性质得出，，从而，即，推出，即可得证； （3）求出和的长，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴由勾股定理可得：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 类型六、相似三角形与实际应用问题 13．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）【学科融合】如图，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图，小波和小海很想知道学校教学楼前雕像的高度（含底座），于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，小波在处放置一平面镜，他从点沿后退，当退行米到处时，恰好在镜子中看到雕像顶端的像，此时测得小波眼睛到地面的距离为米；然后，小波沿的延长线继续后退到点，用测倾器测得雕像的顶端的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于（光的反射角等于入射角）． (1)求证：； (2)求雕像的高度． 【答案】(1)证明见解析； (2)米． 【分析】（）如图，作出法线，可得，即可证明； （）由题意可得四边形、、都为矩形，即得米，米，，又由可得为等腰直角三角形，可得，进而得，设米，则米，米，由得，求出即可求解； 本题考查了相似三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，作出法线，则，， ∴， ∴， 即， ∵、均垂直于， ∴， ∴； （2）解：∵、、均垂直于， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形、、都为矩形， ∴米，米，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 设米，则米，米， ∵， ∴， 即， 解得， ∴米， 答：雕像的高度为米． 14．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为米的竹竿的影长为米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上． (1)如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米，求树的高度． (2)如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少？ 【答案】(1)（米） (2)树的高度为为米 【分析】本题主要考查解直角三角形，线段成比例的运用，合作作出辅助线是解题的关键， （1）如图所示，连接并延长交延长线于点，根据与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米，可得，求出的值，同理，，即可求解； （2）如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，根据与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米，可得，求出的值，在中，，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，米，米， 如图所示，连接并延长交延长线于点， ∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， 同理，， ∴（米）； （2）解：如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，米，米，， ∴在中，（米），（米）， ∴（米），（米）， ∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴树的高度为米． 类型七、相似三角形与圆综合问题 15．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，等腰内接于，，点E是上的点（不与点A，C重合），连接并延长至点G，连接并延长至点F，与交于点D． (1)求证：； (2)若的半径为5，，点D是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由四边形为圆内接四边形，得到，根据等腰三角形的性质得出，根据同弧所对圆周角相等得出，再结合和对顶角相等即可证明； （2）作于H，过点D作于点M，连接，根据垂径定理可知点O在上，,根据勾股定理可求出，从而可求出．又易证，得出，即可求出，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点A，B，C，E均在上， ∴四边形为圆内接四边形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：作于H，过点D作于点M，连接，如图， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴点O在上， ∴, ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 16．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）如图，四边形内接于，且．试说明：； （2）如图，四边形内接于，且为直径，，过圆心作，垂足为．试说明：； （3）如图，四边形内接于，对角线相交于点．过圆心作，垂足为，且．试说明：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）连接，由，可得，从而得到，即可求证； （2）先证明是的中位线，据此即可证明结论成立； （3）作直径，连接，证明是的中位线，推出，再证明，得到，再根据圆周角定理即可得到，即可证明结论成立． 【详解】解：（1）连接， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴； （3）作直径，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 类型八、相似三角形与动点问题 17．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为8． (2)若两点同时分别从A、B出发，经过多长时间与相似？ 【答案】(1)2秒或4秒 (2)3秒或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）由题意知，，，再代入三角形面积公式，解方程即可； （2）分两种情形：当或时，分别根据对应边成比例解决问题． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒时，由题意知，，， ∴， 解得或4， ∴当移动2秒或4秒时，的面积为8， 答：当移动2秒或4秒时，的面积为8； （2）解：分两种情况： ①当时，则， 即， 解得：， ②当时， 则， 即， 解得：， 综上，当移动3秒或秒时，与相似． 18．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)求点E落在区域（含边界）内的时长； (3)连接，当与相似时，求t的值； (4)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 【答案】(1) (2)秒 (3)的值为或1 (4)1或 【分析】（1）由题意可知，得，由此可知，代入相关数据即可求解； （2）找到临界位置，当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内，再此时证明，可知，据此列出方程即可求解； （3）由（1）可知，，，则，则，分两种情况：当时，；当时，，即：，分别求解即可； （4）由题意得，若将的面积分成两部分，可知或，分两种情况：当时，，当时，，结合面积列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，，则， ∴； （2）由勾股定理可知，， 当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内， 此时，，，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，则， ∴， ∴，即：，解得：， 即：点落在区域（含边界）内的时长为秒； （3）由（1）可知，，，则， 则， ∵， ∴当时，，即：，解得：； 当时，，即：，解得：； 综上，当与相似时，的值为或1； （4）， 若将的面积分成两部分， 则或， 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在线段上，则， 即：点到的距离为1； 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在射线上，则， 即：点到的距离为； 综上，点到的距离为1或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、列代数式、方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 类型九、新定义探究问题 19．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线． (1)如图，在中，为角平分线，，，求证：为的优美线； (2)在中，，为的优美线，且是以为腰的等腰三角形，请依据题意补全图形，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）根据三角形的优美线的定义，只要证明是等腰三角形，即可解决问题； （2）如图，分两种情形讨论求解①若，则则这与这个条件矛盾；②若，则可根据三角形的内角定理求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ， ∴， ∴线段是的优美线． （2）如图， 若， ∴， ∴这与这个条件矛盾； 若，， ， ， ． 压轴能力测评30道 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江·周测）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在平行四边形中，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出，设，则，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出，进而可得，然后推出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为四边形，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形中，和分别为和的中点，如果矩形矩形，那么他们的相似比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质和矩形的性质． 设，，根据相似多边形的性质得到，代入求解即可． 【详解】解：如图，设，．    ∵矩形矩形，和分别为和的中点，， ∴，即， ∴， ∴，即． 故选：A． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（  ） A．24 B．20 C．16 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键． 由得且为的中位线，再推出是的中位线，根据勾股定理求出圆的半径，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，点O是中点， ∴，即E为中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知在矩形中，M是边的中点，与垂直，交直线于点N，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】通过证明，可得，可证；过作交于，可证四边形是平行四边形，可得，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得；由平行线性质可得，，可证；通过证明，可得，可求，即可得，则可求解． 【详解】解：在矩形中， ， ， ， 是边的中点， ， ， ，故①正确； 如图，过作交于，   ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，且， 是的垂直平分线， ，故②正确； 四边形是矩形， ，，， ，， ，故④正确； ， ， ， ，且，， ，且， ， ， ， ， ， ∴，故③错误． 故选：B． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，斜边上的中线，中垂线的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 6．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，中，，，高线的长为，腰上的中线的长为，过作于点，则之间的数量关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据，，得到，利用相似三角形的性质得到，在中，用勾股定理即可求解． 【详解】∵， ∴ ∴ ∴ ∵腰上的中线为 ∴ ∵，， ∴是边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴在中，，即， 整理得： 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，垂线的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理，证出是解题关键． 7．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，点是的重心，连接，作，使与互补，交边于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查重心的性质及相似三角形．利用三角形重心的性质得出，通过作平行线得到．进而证出，由，得解． 【详解】解：连接并延长交于点，过点作交于点． 点是的重心， ，， ， ． ． 又， ． 又， ， ， ． 故选：C． 8．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，，是上的一点，且，是的中点，连结，交于点．若时，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形和相似三角形、熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作交延长线于点，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，证明，得出，利用证明，得出，推出，，根据计算面积，则，计算得出答案即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ∵， ∴，， ∴， ∵是的中点，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 设，，由矩形与矩形相似得，求出，解方程得，先求出，进而可求出． 【详解】解：由题意得，，，． 设，， 则，， ∵是正方形， ∴， ∴． ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选D． 10．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，分别以它的三边为边向外作正方形，，，分别过点，作，，垂足分别为，．要知道阴影部分的面积，只需知道下列某个图形的面积，这个图形是（    ） A． B．正方形 C．正方形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．过点A作，过点B作，设，则，再证明，可得，同理，可得，再由阴影部分的面积梯形的面积梯形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作，过点B作， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积梯形的面积梯形的面积 ， ∵的面积， ∴阴影部分的面积的面积， 即要知道阴影部分的面积，只需知道下列某个图形的面积，这个图形是． 故选：A 11．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以的各边为边分别向外作正方形，再把正方形平移放入正方形内（如图2），使点在上，点在上，并将正方形沿翻折，得到正方形，若图2中，，三点共线，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，连接交于点，设交于点，交于点，则点在上，由正方形的性质得，，，可证明，得，则四边形是矩形，所以点在上，而，所以，则，再证明，则，再证明△，得，由，证明，则，求得，，则，于是得到问题的答案．此题重点考查正方形的性质、平移的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 【详解】解：如图2，设，连接交于点，设交于点，交于点， ，，三点共线， 点在上， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 点在上， 由平移得， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ，， ， 四边形是矩形， ， 故选：B． 12．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，作于点，交于点若， ，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据有两个角相等的三角形相似可得，因为，所以与的相似比为，由相似三角形对应线段成比例，列比例式求出，，再根据勾股定理可得，证明，对应线段成比例即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题 13．（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，作交于点K，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：作交于点K， ∴，． ∵H是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（18-19九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、正方体展开图．由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，，，，证明，得出，证明，得出，求出，再由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】如图： 由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，，，， ，， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 故答案为：16． 15．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在正六边形中，，分别是，的重心，若，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了重心的性质以及相似三角形的性质，依据重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：，即可得到，再根据相似三角形的性质，即可得到的长．解决问题的关键是掌握：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，，则点在上，点在上，   ，分别是，的重心， ∴， 连接，，则， ∴． 正六边形的边长为， ∴，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 16．（21-22九年级·浙江宁波·自主招生） 如图，在中，，分别以、为边作两个等边三角形：，，其中，与交于点M，与交于点N，连接，则的面积与的面积之比为 ． 【答案】 【分析】过点N作于点H．首先利用相似三角形的性质证明，求出的面积，再求的面积与的面积之比，可得结论． 【详解】解：过点N作于点H． ∵，都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是证明． 17．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，，，于点F，交于点E，矩形矩形． （1）的长为 ； （2）连接，与交于点M，则的长为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用相似多边形的性质即可求解； （2）首先得到，再得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵矩形矩形， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）连接，与交于点M，如图： ∵四边形，是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 18．（2023·浙江台州·三模）如图，一张矩形纸片中，（m为常数）．将矩形纸片沿折叠，使点A落在边上的点H处，点D的对应点为点M，与交于点P．当点H落在的中点时，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，根据，设，则，根据，得到①，在中，利用勾股定理可得到②，解①②即可求解 【详解】解：∵， 设，则， ∴点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∴ ∴， ∴， 即， ∴①， ∵，，， ∴， 在中，， ∴②， 解得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 19．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知点，，点C在x轴上，轴，交线段于点D，且点D不与A、B两点重合，将沿折叠，使点B落在x轴上的点E处．设点C的横坐标为x，则当为直角三角形时，x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由折叠的性质可知，，，根据直角三角形的定义，分两种情况讨论，证明，得出，进而求出的长，再表示出的长即可． 【详解】解：，， ，， 由折叠的性质可知，，， 为直角三角形， 当时，如图所示，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即x的值为； 当时，如图所示， 同理可证，， ， ， ， ， ，即x的值为； 综上可知，x的值为或； 20．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在师一学校第23届运动会开幕式上，由500名初一学生组成的大型团体操《传承•复兴》让全校师生眼前一亮，该方队面向主席台集合时共25列20排（整个方队看成矩形，且集合时人与人之间的距离忽略不计），其中每个小矩形（例如矩形）代表一名学生，且军列的宽度都等于（即），每排的宽度都等于（即）当方队成体操队形散开时，假设列与列之间的距离都为（即），排与排之间的距离都（），若矩形与矩形相似时，则y关于x的函数关系式为 （不考虑x的取值范围）． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质及矩形的性质，函数关系式，依次表示出的长，再利用矩形与矩形相似，即可得到，从而得出结果． 【详解】解：，， ，， 矩形与矩形相似， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 21．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）某中学有一块正方形的空地，边长为40m，学校计划将空地分为五部分，种植不同的花束．白老师利用课后延时时间将设计任务交给小明和小芳两位同学，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图1，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为． 小芳：如图2，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形矩形，且相似比为，中间小正方形的边长为． (1)结合小明设计的方案，解决下列问题： ①求出图中的长； ②求出每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ (2)求小芳的方案中矩形的面积． 【答案】(1)①② (2) 【分析】（1）①根据小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为，得到正方形的边长为，设，，根据勾股定理即可得到结论；②根据①中的结果求出模型中小直角三角形的面积，再根据模型和实际的比例关系进行求解即可； （2）设矩形的长为，宽为．根据矩形矩形相似，相似比为，得到矩形的长为，宽为，列出方程进行求解即可得到结论． 【详解】（1）①小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为， 正方形的边长为， 设，， ，， ， 整理可得， 解得， 负数舍去， ，即： ②由①知：，， ∴小直角三角形的周长是． 每个小三角形的实际周长为． （2）解：设矩形的长为，宽为． 矩形矩形相似，相似比为， 矩形的长为，宽为， 由图可知，，， 解得，， 矩形的面积为． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，综合运用以上知识是解题的关键． 22．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是半圆O的直径，C是延长线上的点，的垂直平分线交半圆于点D，交于点E，连接．已知半圆O的半径为3，． (1)求OE，DE和AD的长； (2)点P是线段上一动点（不与A，C重合），连接，作，交线段CD于点F．当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)，， (2)的长为5或 【分析】（1）连接，求出的长，中垂线求出的长，线段和差关系求出的长，勾股定理的长即可； （2）分三种情况，利用相似三角形得出比例式，即可得出结论． 【详解】（1）（1）如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，； 在中，； （2）①当时，如图， 点与重合，与重合， 不符合题意，舍去； ②当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ③当时，如图， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴, ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   ∴ ∴； 综上所述：当为等腰三角形时，的长为5或． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线定理，等腰三角形的性质，判断出和是解本题的关键． 23．（2024九年级上·浙江·专题练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，D，E分别在，上，连接，若，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在，上，连接，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在上，连接，，若，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据已知条件，证明，根据相似三角形的性质即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，，证明，，，可得，结合（1）的结论代入数据即可求解； （3）延长交于点G，同（2），可得，再证明，即可． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， 解得：（负值已舍去） ∴； （3）如图，延长，交于点G， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴ 解得：（负值舍去）； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即（负值已舍去）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交y轴于点，点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线于点F，交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求M点的坐标； (3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在， 或． 【分析】（1）将A，B，C三点的坐标代入，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组即可； （2）设，则，求得直线的解析式为，即可得到，根据三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得结论； （3）分和两种情况列式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：设，则， 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，即当时，； （3）解：存在以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下： 设，则，． ∴， 如图，过点作轴于点，则， 由（1）可得：，，则 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点， ①当时，则，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴； ②当时，，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴ 综上所述，或 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质以及坐标系中面积的求法，其中第（3）小问，要注意分类求解，避免漏解． 25．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）【阅读与思考】 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 如图1，在中，中线相交于点G，连接， ∵D，E分别是边的中点， ∴①_____________________． ∴，且． ∴②______∽______，______∽______ ∴， 任务： (1)笔记中横线部分应填写①_____________；②______∽______，______∽______ (2)如图2，在中，点K，L分别在边上，连接交于点F．若，，猜测与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别是的中点，，，，求长． 【答案】(1)是的中位线，， (2)，理由见解析 (3)４ 【分析】（1）由三角形中位线定理和相似三角形的判定定理可得出结论； （2）连接，证明，得出，，证明，得出 ，则可得出答案；（3）连接，由平行四边形的性质得出，，证明四边形是平行四边形，得出，由平行线得出，可证，得出；设则证明是的中位线，由三角形中位线定理得出得出由勾股定理得得出方程，求出，在中，由勾股定理求出即可得的长． 【详解】（1）证明：如图1，在中，中线相交于点G，连接， ∵D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∴②， ∴， （2）解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）解：如图，连接 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则 ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ 由勾股定理得，， 即， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，证明三角形相似是解决问题的关键 26．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在线段上找一点D，使得是三角形的中线． (2)如图2，在线段上找一点E，使得； (3)如图3，在三角形内寻找格点P，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用矩形对角线相互平分，即可得到的中点，即可解答； （2）分别取格点，，使，且，连接，交于点E，结合相似三角形的判定与性质可知，点E即为所求； （3）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，利用圆周角定理即可解答． 【详解】（1）解：如图1，利用矩形对角线相互平分，可得， 是三角形的中线； （2）解：如图2，取格点，，使，且，连接，交于点E， ， ， ， ； （3）解：如图3，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，连接，，， 根据垂直平分线的性质可得， 在以点为圆心，长度为半径的圆上， 根据圆周角定理可得， 故点P即为所求． 27．（2024九年级下·浙江宁波·专题练习）如图，为的直径，弦，连结，点E为上一点，，连结接并延长交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，记，请用含有x的代数式表示y． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，．则，结合三角形内角和定理得，根据，即有成立． （2）连接，则有平分，即．得到．即可证明，有，即可求得． （3）连接，则有，那么．结合，有，即．进一步证明，有即可． 【详解】（1）证明：设， ． ， ． ， ， ， ， 即； （2）证明：连接， ， 平分， ， ． ， ． ， ， ． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ． （3）解：连接，如图， ， ， ． ， ， ∵， ． ∵， ∴ ∵， ∴， ， ∵， ∴， ． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质和比例的基本性质，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和圆的知识． 28．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，以的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点E，F，延长交于点G，连结并延长交于点H． (1)证明：． (2)已知，． ①求的半径， ②取上一点P，连结并延长交于点Q，当等于四边形中的一个内角时，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)①；②或 【分析】（1）证明，得出，即可得到，从而得解； （2）①连接，证明，由相似三角形的性质得出，设，，结合，求出的值即可得解；②分两种情况：当；当；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中， ∴， ∴ ∴，即 （2）解：①连接， ， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵为直径 ∴ 设， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 化简得， 解得， (舍去) ∴半径 ②∵ ∴， ∴只有以下两种 情况1：当， 连接， ∵       ∴ 又∵， ∴ ∴ 情况2：当，即 ∴ 综上所述，的面积等于． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 29．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向朝点匀速运动，同时点由点出发沿方向朝点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为秒，解答下列问题： (1)当为何值时，使得? (2)设的面积为，当为何值时，取得最大值？的最大值是多少？ (3)当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1)当时，使得 (2)当时，有最大值是 (3)当的值为或或时，是等腰三角形 【分析】（1）由勾股定理得出，由题意得出，，，再结合当时，，则，计算即可得解； （2）作于，证明，由相似三角形的性质得出，从而得出，最后利用二次函数的性质即可得出答案； （3）分三种情况：当时；当时；当时；分别利用等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，列出关于的方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 由题意得：，， ∴， 当时，，则， 解得：， ∴当时，使得； （2）解：如图，作于， ， 则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值是； （3）解：∵是等腰三角形， ∴当时，， 解得：； 当时，作于， ， 则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 当时，作于， ， 则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 综上所述，当的值为或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 30．（2024·浙江杭州·模拟预测）【甚础巩固】 （1）如图1，在和中，点在上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连结．若，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，对角线相交于点，点是边上一点，，连结交于点，线段与的延长线交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行可得，再根据相似三角形的判定和性质即可求解； （2）根据可得的长，再直角中，根据勾股定理即可求解； （3）根据四边形是平行四边形，可证，设，则，，同理可得：，可得，根据，可得，由（1）的证明方法可得，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍）， ∴． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$