专题08巧用圆的基本性质解圆的五种关系（五种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

专题08巧用圆的基本性质解圆的五种关系 （五种技巧精讲精练+过关检测） 题型01弦、弧之间的关系 【典例分析】 【例1-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，已知，则与的关系是（　　）    A． B． C． D．不确定 【例1-2】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，点 ，，， 在上． （）若，则 ； （）若，则 ． 【例1-3】（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，，若，求的长    【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图所示，在中，，那么（    ） A． B． C． D．无法比较 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的半径是8，是的直径，M为上一动点，，则的最小值为 ． 【变式1-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，为的弦，于点于点．若，求证：．    题型02圆周角、圆心角之间的关系 【典例分析】 【例2-1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点、、在上，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【例2-2】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，、、是上的三点，则，则 度． 【例2-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在给定的圆上依次取点，，，，连结，，，设，交于点． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，弦的长等于的半径，为优弧，则为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，是的外接圆，点是上一动点（不与A、C重合），过点作的垂线，交直线于点，若，则的度数是 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，为上一点，为上一点，且，延长交于，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型03弧、圆周角之间的关系 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，是的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则的度数为 ．    【例3-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在中，，，求的度数． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，是的直径．，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（21-22九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，是的直径，，，则的度数为 ． 【变式3-3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 题型04弦、圆心角之间的关系 【典例分析】 【例4-1】（21-22九年级上·广东江门·阶段练习）如图，点A，B，C，D，E均在上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【例4-2】（23-24九年级上·浙江丽水·期中）如图，，是的两条弦，且，E是弧的中点．    求证：． 【例4-3】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的三等分点，连结分别交于点．    (1)求出的度数； (2)求证：． 【变式演练】 【变式4-1】（22-23九年级·山东泰安·阶段练习）如图，是的直径，，，是的弦，且，则等于（     ）    A． B． C． D． 【变式4-2】（20-21九年级上·湖南娄底·期末）如图，的三个顶点都在⊙O上，直径，．求的长． 【变式4-3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，以等边三角形的边为直径作交于，交于，连接．试判断，，之间的大小关系，并说明理由． 题型05弦、弧、圆心角之间的关系 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（    ） A． B．1 C． D． 【例5-2】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，是的直径，，，则的度数是 °．    【例5-3】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，求证： (1)； (2)． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，经过五边形的四个顶点，若弧等于，，，则弧的度数为（     ）    A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为 ．    【变式5-3】（22-23九年级上·湖南湘西·期末）如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 一、单选题 1．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，是的直径，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，劣弧的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，，，是上的三个点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，是的直径，为半圆上靠近点的三等分点，于点，则的度数为 ． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，点A在半圆O上，是直径，，若，则的长为 ．    6．（23-24九年级上·吉林延边·阶段练习）如图，在中，是两条直径，弦，若所对圆心角的度数是，则 ． 三、解答题 7．（21-22九年级上·福建厦门·期中）已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数． 8．（23-24九年级·全国·单元测试）如图，C是的直径上一点，过点 C作弦，使，若，求，的度数． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，点C是上一点，是半径，且，求证：． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知点、、、在圆上，．求证：． ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08巧用圆的基本性质解圆的五种关系 （五种技巧精讲精练+过关检测） 题型01弦、弧之间的关系 【典例分析】 【例1-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，已知，则与的关系是（　　）    A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，由，得到，于是推出，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 【例1-2】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，点 ，，， 在上． （）若，则 ； （）若，则 ． 【答案】 = = 【分析】本题题考查了圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等． 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为：=； （2）∵， ∴． 故答案为：= 【例1-3】（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，，若，求的长    【答案】 【分析】本题考查了圆心角定理，掌握在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等是解答本题的关键． 由已知条件，得到=，而是公共弧，故=，因此． 【详解】解：由已知得， ， =， 是公共弧， =， 故 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图所示，在中，，那么（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系，在圆上截取，再根据“根据三角形的三边关系”可解，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：如图， 在圆上截取， ∵， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系知，， ∴， 故选：． 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的半径是8，是的直径，M为上一动点，，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理．作点关于的对称点，连接与相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点， 此时，点为的最小值时的位置， 由垂径定理，， ∴， ∵，为直径， ∴为直径．则． 故答案为：16． 【变式1-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，为的弦，于点于点．若，求证：．    【答案】证明见解析． 【分析】连接，利用证明，推出，得到，即可证明． 【详解】证明：连接．    ， ． 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型02圆周角、圆心角之间的关系 【典例分析】 【例2-1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点、、在上，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据，得出，再由平行线的性质得出，根据圆周角定理即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 【详解】解：，， ． ∵， ， ．（同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍） 故选：B． 【例2-2】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，、、是上的三点，则，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理即可直接得出答案． 【详解】解：根据圆周角定理，可得： ， 故答案为：． 【例2-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在给定的圆上依次取点，，，，连结，，，设，交于点． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由圆心角、弧、弦的关系推出，得到，即可证明； （2）由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质得到，由三角形内角和定理求出，求出的度数，于是弧的度数． 本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由圆心角、弧、弦的关系推出，由圆周角定理求出弧的度数． 【详解】（1）证明：， ， ∴， ， ； （2）解：弧度数， ， ，， ， ， ， 的度数， ， 弧的度数． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，弦的长等于的半径，为优弧，则为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题重点考查了圆周角定理的知识，等边三角形的判定与性质；掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角为圆心角的一半，解题的关键是作出辅助线． 根据已知可证为等边三角形，得到，再根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，可得的度数． 【详解】解：连接、， ∵、都是的半径，弦的长等于的半径， ∴为等边三角形， ， ∴．（同弧所对的圆周角为圆心角的一半） 故选：A． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，是的外接圆，点是上一动点（不与A、C重合），过点作的垂线，交直线于点，若，则的度数是 ． 【答案】/25 度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．由圆周角定理可知，再由等边对等角的性质，得到，然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，为上一点，为上一点，且，延长交于，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，从而得到结论； （2）如图，连接、，利用（1）的结论和圆周角定理得到，，可得，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】（1）解：∵是的直径，为上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． （2）解：如图，连接、， ∵，由（1）可知， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理．熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键 题型03弧、圆周角之间的关系 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，是的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系．由，可求得，继而可求得的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 【例3-2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则的度数为 ．    【答案】 【分析】由题意易得，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 【例3-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在中，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．根据，得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，是的直径．，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可求得，继而可求得的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数． 【详解】解：如图，，， ， ． 又， ， ． 故选：A． 【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式3-2】（21-22九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，是的直径，，，则的度数为 ． 【答案】51°/51度 【分析】由，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数． 【详解】解：如图，∵，∠COD=34°， ∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°， ∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°． 又∵OA=OE， ∴∠AEO=∠OAE， ∴∠AEO=×（180°-78°）=51°． 故答案为：51°． 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用 【变式3-3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据即可求解； （2）求出的度数可得，过点作交于点连接，分别求出即可求解． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， 如图，过点作交于点连接， 则过， 由（1）可得． ∴， ∵的半径为3， ∴， ∴， ∴ 题型04弦、圆心角之间的关系 【典例分析】 【例4-1】（21-22九年级上·广东江门·阶段练习）如图，点A，B，C，D，E均在上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，可得，由圆心角定理可得． 【详解】解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【例4-2】（23-24九年级上·浙江丽水·期中）如图，，是的两条弦，且，E是弧的中点．    求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦之间的关系的应用，本题连接，，，，，再证明，，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，，，，，    ∵，E是弧的中点． ∴，， ∴， ∴． 【例4-3】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的三等分点，连结分别交于点．    (1)求出的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是： （1）连接，，根据圆心角、弧、弦的关系求出，得到，即可求解； （2）根据三角形内角和求出，得到，同理得到，根据得到，继而可得结果． 【详解】（1）解：证明：连接，，如图，    ∵在中，半径，C、D为以O为圆心的弧的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴，同理， ∵C，D是的三等分点， ∴， ∴． 【变式演练】 【变式4-1】（22-23九年级·山东泰安·阶段练习）如图，是的直径，，，是的弦，且，则等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，根据弧、弦、圆的关系可得，从而可得和是等边三角形，即，即可求解． 【详解】解：连接、， ∵， ∴， ∵， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C．    【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【变式4-2】（20-21九年级上·湖南娄底·期末）如图，的三个顶点都在⊙O上，直径，．求的长． 【答案】 【分析】连接，根据，可以证明是等边三角形即可求解. 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴是等边三角形 ∴ 【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆心角是圆周角的两倍，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【变式4-3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，以等边三角形的边为直径作交于，交于，连接．试判断，，之间的大小关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】连接，．根据题意得出与都是等边三角形，继而得出，根据圆心角与弦的关系即可得证． 【详解】解：．理由如下：如图，连接，．　 ，， 与都是等边三角形． ． ． ． ． 【点睛】本题考查了在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，连接，，构造弦所对的圆心角是解此题的关键． 题型05弦、弧、圆心角之间的关系 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，弧，弦，圆心角定理，以及勾股定理．连接，由垂径定理、等弦得到等弧，根据同圆中弧与圆心角的关系可求出，，通过含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， 又， 即， ， ， ∴，， ∴，，， ∵，即， 解得， ∴， 故选：C． 【例5-2】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，是的直径，，，则的度数是 °．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，圆的基本性质；可求，从而可求，由等腰三角形的性质可求；掌握“同弧所对的圆心角相等”是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 【例5-3】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解答 (2)见解答 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，解答本题用到的知识点为：同弧所对的圆心角相等，等腰三角形两底角相等等． （1）由，可知，得到，可得结论； （2）根据圆心角、弧、弦的关系由，得到，然后利用等腰三角形底角相等即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， 即． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，经过五边形的四个顶点，若弧等于，，，则弧的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，多边形内角与外角，连接，由半径相等得到，，都为等腰三角形，根据，，求出与的度数，根据的度数确定出度数，进而求出的度数，即可确定出的度数． 【详解】解：连接，    ∵， ∴，，，皆为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则度数为． 故选：B． 【变式5-2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为 ．    【答案】/80度 【分析】本题考查平行线的性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识点， 连接，根据平行线的性质求出，根据圆周角定理求出，再求出的度数，即可求出本题答案． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴的度数是， ∵是的两条直径， ∴的度数是， ∴的度数是， 故答案为：． 【变式5-3】（22-23九年级上·湖南湘西·期末）如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得． 【详解】证明：连接． 在中，， ， ，、分别是半径和的中点， ， ， ， ． 一、单选题 1．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，是的直径，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，劣弧的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧的度数求解，求出弧所对的圆心角度数是解题的关键，连接，根据结合即可求出的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 故劣弧的度数为， 故选：D． 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，，，是上的三个点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理及圆的基本性质，由得，再根据等边对等角得，由三角形内角和定理得，可得结论．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【详解】解：∵在中，和所对的弧是，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B。 二、填空题 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，是的直径，为半圆上靠近点的三等分点，于点，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】连接，先根据弧和圆心角的关系求得，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可求解． 【详解】解：连接，    ∵为半圆上靠近点的三等分点， ∴，又， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧和圆心角的关系、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，求得是解答的关键． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，点A在半圆O上，是直径，，若，则的长为 ．    【答案】2 【分析】本题主要考查圆心角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解，的长是解题的关键．连接，由圆心角，弦，弧的关系可得，结合等腰直角三角形的性质可求解的长，进而可求解的长． 【详解】解：连接，    ∵ ，是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：2． 6．（23-24九年级上·吉林延边·阶段练习）如图，在中，是两条直径，弦，若所对圆心角的度数是，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，平行线的性质，等边对等角，连接，则，根据等边对等角和平行线的性质推出，则由平角的定义可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵所对圆心角的度数是 ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．（21-22九年级上·福建厦门·期中）已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数． 【答案】． 【分析】由题意易知，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解． 【详解】解：∵A，B，C，D是上的点，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键． 8．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，C是的直径上一点，过点 C作弦，使，若，求，的度数． 【答案】， 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，弧与圆心角之间的关系；先证明，，，再利用弧与圆心角之间的关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的度数为，． ∵， ∴， ； ∴的度数是． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，点C是上一点，是半径，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查同圆中，等弧对等角，在同一个三角形中，等边对等角，平行线的判定定理．利用证明，再利用证明，再利用三角形的外角性质可得，即可证明． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知点、、、在圆上，．求证：． ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，灵活运用定理，由弦相等得出弧相等，再证出弦相等是解决问题的关键．由圆心角、弧、弦的关系定理证出，得出，再由圆心角、弧、弦的关系定理即可得出结论． 【详解】证明：， ， ， 即， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$