11.4 无理数与实数（13大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

第十一章 实数和二次根式 11.4 无理数与实数（13大题型提分练） 知识点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 题型一 无理数 1．从数据，，1.9，，，0.010010001…中任选一个数，则该数恰好为无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的概念，概率的计算，解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法． 【详解】解：从数据，，1.9．，，中任选一个数，抽到的无理数的有，这2种可能， 从数据，，1.9．，，中任选一个数，则该数恰好为无理数的概率是． 故选：B． 2．在实数，，，，…，，，中，无理数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义．根据无理数的定义，结合所给数据即可求解． 【详解】解：，， ， 在实数，，，，…，，，中，有理数有个， 无理数有（个）， 故答案为：． 3．把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 整数：{                        } 负分数：{                    } 无理数：{                    } 【答案】③④⑤；②⑦⑧；①⑥ 【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，根据相关定义逐一填写即可，有限小数或无限不循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，这是区分有理数与无理数的关键． 【详解】解：整数：{0，， } 负分数：{，，} 无理数：{ ，} 故答案为：③④⑤；②⑦⑧；①⑥． 题型二 无理数的大小估算 1．如图，在一个边长为10的大正方形中，剪掉一大一小两个正方形，且较小正方形的面积为9，如果将剩余部分的纸片重新裁剪拼接成一个新正方形，则新正方形的边长最接近的整数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的大小估算，先求出小正方形和大正方形的边长，再求出剩余部分的面积，再对无理数进行估算即可求解，掌握估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵较小正方形的面积为9， ∴较小正方形的边长为3， ∵大正方形的边长为10， ∴右边较大正方形的边长为， ∴剩余部分的面积为， ∴新正方形的边长为， ∵，， ∴新正方形的边长最接近的整数为6， 故选：B． 2．x为一个无理数，且，写出一个符合要求的x的值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，得出，整理出，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵x为一个无理数， ∴ 即 ∴符合要求 故答案为：（答案不唯一）． 3．根据下表解答下列问题： a 3.31 3.32 3.33 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39 a² 10.9561 11.0224 11.0889 11.1556 11.2225 11.2896 11.3569 11.4244 11.4921 (1)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ (2)已知物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是一物体从高的比萨斜塔顶部自由落下，根据上表信息，求出物体到达地面约需要多长时间？（结果保留小数点后两位） 【答案】(1)，理由见解析； (2)3.35秒． 【分析】本题考查了无理数的估算以及算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表格数据，得出，即可作答． （2）依题意，，结合表格数据，得出（负值舍去），即可作答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵ ∴ （2）解：由题意得： （负值舍去） 答：物体到达地面约需要3.35秒． 题型三 无理数整数部分的有关计算 1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，则n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算．首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 所以其面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴的值为3． 故选：B． 2．我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．则的值为 ． 【答案】203 【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握的意义是解题的关键．根据的定义确定其值，进行计算即可． 【详解】解：，，，，，，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．阅读与理解 下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，x是整数，，求的值． 【答案】(1)6， (2) (3) 【分析】本题考查无理数整数部分及小数部分的计算： （1）仿照题干中的做法即可求解； （2）仿照题干中的做法求出a和b的值，再代入求值； （3）求出的整数部分x和小数部分y，再代入求值． 【详解】（1）解：∵，∴， ∴， ∴的整数部分为6，小数部分为， 故答案为：6，； （2）解：∵，∴， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴； 同理，∵，∴， ∴， ∴的整数部分为5， ∴， ∴； （3）解：∵，∴， ∴， ∴，即 ∴的整数部分为4，小数部分为， ∵，x是整数，， ∴，， ∴． 题型四 实数概念理解 1．下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可． 【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 2．下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 3．把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 【答案】，，，；：，，，；，，，，；，，． 【分析】根据实数的分类逐一填写即可． 【详解】解：∵， ∴中 有理数集合为：，，，； 无理数集合为：，，，； 正实数集合为：，，，，； 负实数集合为：，，． 【点睛】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是解本题的关键． 题型五 实数的分类 1．在，，，，，这些实数中，无理数有（ 　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．由此即可判定选择项． 【详解】解：， 无理数有：，，； 有理数有：，，； 故选：C． 2．（1）若，且a，b是两个连续的整数，则的值为 ． （2）在实数：，0，，，4.21，，中，整数有 个． 【答案】 30 2 【分析】本题考查实数及估算无理数的大小，能够熟记个位数的平方数是解答本题的关键． （1）由有理数去估算无理数，然后根据，是两个连续的整数，得到与值，最后求出； （2）根据整数的意义，即可解答． 【详解】（1）解：，且，是两个连续的整数， ，， ． 故答案为：30． （2）解：，， 在实数，0，，1.010010001，4.21，，中，整数有0，， 共有2个， 故答案为：2． 3．把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． 有理数集合{ }； 无理数集合{ }； 正数集合{ }； 负数集合{ }． 【答案】，，，，，；，，(相邻两个之间的个数逐次加)；，，，，，(相邻两个之间的个数逐次加)；，． 【分析】本题考查了实数的分类，根据有理数、无理数、正数和负数的定义即可判断求解，掌握实数的有关定义是解题的关键． 【详解】解：有理数集合{，，，，，，}； 无理数集合{，，(相邻两个之间的个数逐次加)，}； 正数集合{，，，，，(相邻两个之间的个数逐次加)，}； 负数集合{，，}； 故答案为：，，，，，；，，(相邻两个之间的个数逐次加)；，，，，，(相邻两个之间的个数逐次加)；，． 题型六 实数的性质 1．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．-3与 B．和 C．与 D．3和 【答案】C 【分析】先依据相反数和绝对值的定义化简各数，然后再依据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、-3的相反数是3，故A不符合题意 B、|-3|=3，3的相反数是-3，故B不符合题意； C、=，的相反数是，故C符合题意； D、=3，3的相反数是-3，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查相反数定义，即相加为0的两个数互为相反数，要注意细心运算每个选项． 2．的平方根是 ，的绝对值是 ． 【答案】 / 【分析】先计算，再求平方根，根据，即可求得的绝对值． 【详解】解：∵ ∴的平方根是， 的绝对值是， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了求一个数的平方根，实数的性质，无理数的大小比较，掌握以上知识是解题的关键． 3．【发现】 ① ② ③ ④… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则，满足的数量关系为______； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，且，求的值． 【答案】（1）；； （2）． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题目给出的规律解答； 归纳：根据，则，满足的数量关系为则； （2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值． 【详解】解：（1）， 故答案为：， 归纳：若，则，满足的数量关系为则； 故答案为：； （2）∵与的值互为相反数， ∴， ∴， 解得， 代入中， 解得，， ∴． 题型七 实数与数轴 1．如图，数轴上表示数的点可能是（    ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴、不等式性质及估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的值是解题的关键．先估算出的取值范围，即可判断． 【详解】解：， ， ， ， 数轴上表示数的点可能是点N， 故选：B． 2．如图，数轴上A，B两点分别表示和，点C与点B到原点的距离相等且在原点的两侧． （1）的中点表示的数是 ． （2）的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，两点间的距离： （1）根据中点公式进行计算即可； （2）求出和的长，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵数轴上A，B两点分别表示和， ∴的中点表示的数是； 故答案为：； （2）∵点C与点B到原点的距离相等且在原点的两侧， ∴点表示的数为， ∴； 故答案为：． 3．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是_______； (2)求的值； (3)在数轴上另有C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求线段的中点所表示的实数． 【答案】(1) (2) (3)点，点所表示的数是一对相反数，线段的中点为原点，表示的数为0 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、算术平方根与绝对值非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得m的值及非负数性质的应用，注意数形结合． （1）利用数轴两点间的距离公式计算即可； （2）根据绝对值性质化简绝对值即可； （3）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意，得，点A表示的数为， ∴，            解得，   故答案为：； （2）                  ； （3）∵与互为相反数， ∴．       ∴，        解得，．     ∴点，点所表示的数是一对相反数，线段的中点为原点，表示的数为0． 题型八 实数的大小比较 1．比较3，，的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，能熟练化简二次根式和三次根式是解题的关键，当二次根式和三次根式无法再化简时，可把整数化成二次根式或者三次根式的形式再做比较.先把3化成二次根式和三次根式的形式，再把3和做比较即可得到答案. 【详解】解：∵ ∴， ， 故， 故答案为：D. 2．已知实数、、满足，则、、的大小关系为 ．（用“”连接）． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数．熟练掌握偶次方，算术平方根，绝对值的非负性质，是解答问题的关键． 根据平方，算术平方根，绝对值的非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数同时为0，求出a，b，c的值，比较，得出答案． 【详解】∵，，，且， ∴， ， ， ∴，， ， ∴ ，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的运算，与实数有关的规律探索，实数比较大小等等： （1）根据题意可得规律； （2）根据结合题意求解即可； （3）先求出，再由进行求解即可； （4）仿照（3）求出，，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解： 以此类推可得， ， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：； （4）解：∵， ， ∴， ， ∵， ∴． 题型九 实数的混合运算 1、已知有理数a，b满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，解题的关键是将等式进行适当的变形，根据有理数的定义以及等式的性质即可求出答案． 【详解】解： ， a，b是有理数， ， ，则， ， 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，先根据绝对值的代数意义，负整数指数幂，立方根及零指数幂将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先去绝对值，然后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十 程序设计与实数运算 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查程序流程图与实数的运算，根据流程图，进行计算即可． 【详解】解：是有理数，是有理数，是无理数，输出， 故选A． 2．如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      （1）当输入的值为5时，则输出的值为 ； （2）若输出的是且，则输入的的值为 ． 【答案】 或 【分析】（1）把代入进行计算即可； （2）根据题意可得：若经过一次转换，则；若经过两次转换，则；若经过三次转换，则，根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）输入的值为5时， ， 取算术平方根：， ∵是无理数， ∴输出的值为， 故答案为：； （2）根据题意可得： 若经过一次转换：， 则，解得：或， ∵， ∴或均不符合题意； 若经过两次转换：， 则，解得：或， 若经过三次转换：， 则，解得：或， ∵， ∴或均不符合题意； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，程序图，解题的关键是理解题目所给程序的运算顺序以及实数混合运算的运算顺序和运算法则． 3．如图，是一个计算流程图：    (1)求的取值范围； (2)当输入的为时，输出的是多少？ (3)是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或者 【分析】（1）根据非负数才有算术平方根列出不等式即可解得． （2）把代入即可解得． （3）为0和1时，有效，始终输不出值． 【详解】（1）解：∵取算术平方根，负数没有算术平方根， ∴ 解得， （2）， 取算术平方根：， 2是有理数继续取算术平方根， 是无理数，输出即可， 故答案为：． （3）当时， 0的算术平方根是0， 始终输不出值， 解得， 当时， 1的算术平方根是1， 始终输不出值， 解得． 【点睛】此题考查了程序设计与实数运算，解题的关键是熟悉实数运算规则． 题型十一 新定义下的实数运算 1．用[x]表示不超过实数x的最大整数，，，．若正整数满足，则称为“好数”，那么在这个正整数中“好数”的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查取整函数的定义，理解定义是关键． 根据取整函数的定义即可求解． 【详解】解∶ 设， 则 '∵， ∴ 又∵， ， ， 综上所述，符合条件的有个，即符合条件的好数有个． 故选： B． 2．任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】255 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据算术平方根的意义得到，，进而得到对只需进行3次操作后变成1，对只需进行4次操作后变成1，据此可得答案． 【详解】解：，，， ，，，， ，， ， ∴对只需进行3次操作后变成1． ，，，， ∴对只需进行4次操作后变成1． ∴只需进行3次操作后变成1的所有正整数中，最大的正整数是． 故答案为：． 3．新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足 （其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数（a为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)； (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查了新定义，非负数的性质，解不等式组： （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可； （3）利用非负性求出的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； ∴的“青一区间”为； 故答案为：；； （2）解：∵无理数（a为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴a的值为7或8， ∴或； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为，即的“青一区间”为． 题型十二 实数运算的实际应用 1．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长. 2．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 3．“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【答案】(1)，，，； (2)见解析 【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可； （2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可． 【详解】（1）由面积公式，可得 ∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即． 故答案为：，，，； （2）小敏同学的做法，如图： 排列形式如图（3），如图： 画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键． 题型十三 与实数运算有关的规律题 1．用计算器探索：已知按一定规则排列的一组数：1，，，…，，，如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选几个数（    ） A．3个数 B．4个数 C．5个数 D．6个数 【答案】C 【分析】通过实数的分母有理化对每项化简，再根据计算器，可得每个数的值，根据有理数的加法求出大于3时，即可得答案． 【详解】解：第一个数是1，第二个是，前两项和为； 第三个数是，前三项和为， 第四个数是，前四个数的和为； 第五个数是，前五个数的和为满足条件； 所以可以把这些数加起来，至少要5个数和才大于3， 故选：C 【点睛】本题属于探究类题型，主要是考察实数的化简和对计算器的使用，难度一般. 2．已知，若当时，的值记为；当时，的值记为；当时，的值记为；…．请解决下列问题： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查数字规律问题，实数的运算，根据题意，求出，得到规律即可得到答案，根据运算，得到从第三项开始值均为，即（其中为正整数）是解决问题关键． 【详解】解：（1）， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）由（1）知，从第三项开始值均为，即（其中为正整数）， ， 故答案为：（1）；（2）． 3．观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键； （1）通过观察得出规律，根据规律即可解答； （1）利用规律得出原式为，化简即可． 【详解】（1）根据规律可知， =1+（n为正整数）， 故答案为：1+； （2）由规律可得，原式 ． 1．在实数：，，……（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了无理数的定义．无限不循环小数是无理数，计算立方根后据此进行判断即可． 【详解】解：， 在实数：，，……（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，……（相邻两个1之间依次多一个0），，是无理数，即无理数有3个， 故选：C 2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为时，输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据程序，，是有理数，继续运算，符合题意，输出即可． 本题考查了立方根，无理数，求代数式的值，熟练掌握立方根，无理数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是有理数，继续运算，符合题意， 故选：C． 3．如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（   ） A．0.8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，求出点，之间的距离，即的长，再根据题意求得的长，即可得出点对应的数． 【详解】解：∵点，在数轴上表示的数分别是2，， ∴， ∵， ∴， ∴点可以看成点向左移动， ∴点对应的数为， ∴点表示的数， 故选：D． 4．若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数比较大小，平方差公式，完全平方公式，通过得到，通过，利用完全平方公式和算术平方根得到，利用平方差公式得到，从而推出，据此可得答案． 【详解】解： ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．下列说法：①；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查平方根、实数的性质、无理数等知识．①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平方根的定义即可判定；④根据实数的分类即可判定；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断． 【详解】解：①，故说法错误； ②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确； ③是的平方根，故说法正确； ④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确； ⑤两个无理数的和还是无理数，如与的和是0，是有理数，故说法错误； ⑥无理数都是无限小数，故说法正确． 故正确的是②③④⑥共4个． 故选：C． 6．以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了实数的分类，熟知整数和分数统称为有理数是解题的关键．先化简每个数，然后根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：，， ，， 有理数有：0，，，，，共5个， 故答案为：5． 7．任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】255 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据算术平方根的意义得到，，进而得到对只需进行3次操作后变成1，对只需进行4次操作后变成1，据此可得答案． 【详解】解：，，， ，，，， ，， ， ∴对只需进行3次操作后变成1． ，，，， ∴对只需进行4次操作后变成1． ∴只需进行3次操作后变成1的所有正整数中，最大的正整数是． 故答案为：． 8．对于实数a，b，定义一种新运算“”为：，其中等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了实数的新定义运算和解分式方程．根据新定义得到，解方程并检验即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故答案为： 9．观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．已知，，均为正整数．若，，则满足条件的的个数总比的个数少 个． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数的估算，根据题意，可得是三个连续的自然数，由此可得，根据自然数的乘方运算找出规律即可求解． 【详解】解：已知均为正整数，， ∴，且为三个连续的自然数， ∴， ∵， ∴与之间的整数有个，与之间的整数有个， ∴满足条件的的个数总比 的个数少个， 故答案为： ． 11．求下列各式的值； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)4， (2)15 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算和实数的运算，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）仿照题中给出的方法估算的取值范围，即可得出其整数部分和小数部分； （2）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出a、b的值，从而计算的值； （3）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出x、y的值，从而计算出的值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴的整数部分：， ∵， ∴小数部分：， ∴． 13．已知：81的算术平方根是，b是的整数部分． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根，算术平方根，无理数的估算： （1）根据算术平方根的定义，无理数的估算，求得a和b的值； （2）根据（1）的结果，代入代数式，然后求得平方根即可求解． 【详解】（1）∵81的算术平方根是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）知：，， ∴， ∴的平方根为． 14．已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数是它本身的正数，d是9的负平方根． (1) ， ， ， ． (2)求的值． 【答案】(1)；0；1； (2)1 【分析】本题考查了实数的运算，实数的有关概念，解题的关键是∶ （1）根据已知可求得a、b、c、d的值； （2）根据（1）中的值代入即可． 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵b是绝对值最小的数， ∴， ∵c是倒数是它本身的正数， ∴， ∵d是9的负平方根． ∴， 故答案为：；0；1；； （2）解∶ 由（1）知：；；；； ∴ ． 15．阅读理解：因为，所以，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：的小数部分为．类似地，因为，所以的小数部分就是． 请根据上述材料，解答下列相关问题． (1)的整数部分是__________，小数部分是__________． (2)若的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了无理数的估算、无理数整数部分和小数部分的计算． （1）由得到，即可得到答案； （2）分别求出的小数部分为，的整数部分为，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：， （2）∵，， ∴， ∴的小数部分为，的整数部分为， ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 实数和二次根式 11.4 无理数与实数（13大题型提分练） 知识点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 题型一 无理数 1．从数据，，1.9，，，0.010010001…中任选一个数，则该数恰好为无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 2．在实数，，，，…，，，中，无理数有 个． 3．把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 整数：{                        } 负分数：{                    } 无理数：{                    } 题型二 无理数的大小估算 1．如图，在一个边长为10的大正方形中，剪掉一大一小两个正方形，且较小正方形的面积为9，如果将剩余部分的纸片重新裁剪拼接成一个新正方形，则新正方形的边长最接近的整数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．x为一个无理数，且，写出一个符合要求的x的值： ． 3．根据下表解答下列问题： a 3.31 3.32 3.33 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39 a² 10.9561 11.0224 11.0889 11.1556 11.2225 11.2896 11.3569 11.4244 11.4921 (1)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ (2)已知物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是一物体从高的比萨斜塔顶部自由落下，根据上表信息，求出物体到达地面约需要多长时间？（结果保留小数点后两位） 题型三 无理数整数部分的有关计算 1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，则n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．则的值为 ． 3．阅读与理解 下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，x是整数，，求的值． 题型四 实数概念理解 1．下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 3．把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 题型五 实数的分类 1．在，，，，，这些实数中，无理数有（ 　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（1）若，且a，b是两个连续的整数，则的值为 ． （2）在实数：，0，，，4.21，，中，整数有 个． 3．把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． 有理数集合{ }； 无理数集合{ }； 正数集合{ }； 负数集合{ }． 题型六 实数的性质 1．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．-3与 B．和 C．与 D．3和 2．的平方根是 ，的绝对值是 ． 3．【发现】 ① ② ③ ④… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则，满足的数量关系为______； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，且，求的值． 题型七 实数与数轴 1．如图，数轴上表示数的点可能是（    ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 2．如图，数轴上A，B两点分别表示和，点C与点B到原点的距离相等且在原点的两侧． （1）的中点表示的数是 ． （2）的值是 ． 3．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是_______； (2)求的值； (3)在数轴上另有C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求线段的中点所表示的实数． 题型八 实数的大小比较 1．比较3，，的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知实数、、满足，则、、的大小关系为 ．（用“”连接）． 3．阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 题型九 实数的混合运算 1、已知有理数a，b满足，则（    ） A．2 B． C． D． 2．计算： ． 3．求下列各式的值： (1) (2) 题型十 程序设计与实数运算 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C．2 D． 2．如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      （1）当输入的值为5时，则输出的值为 ； （2）若输出的是且，则输入的的值为 ． 3．如图，是一个计算流程图：    (1)求的取值范围； (2)当输入的为时，输出的是多少？ (3)是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． 题型十一 新定义下的实数运算 1．用[x]表示不超过实数x的最大整数，，，．若正整数满足，则称为“好数”，那么在这个正整数中“好数”的个数为（    ） A． B． C． D． 2．任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 3．新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足 （其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数（a为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 题型十二 实数运算的实际应用 1．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 2．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 3．“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 题型十三 与实数运算有关的规律题 1．用计算器探索：已知按一定规则排列的一组数：1，，，…，，，如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选几个数（    ） A．3个数 B．4个数 C．5个数 D．6个数 2．已知，若当时，的值记为；当时，的值记为；当时，的值记为；…．请解决下列问题： （1） ； （2） ． 3．观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 1．在实数：，，……（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为时，输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（   ） A．0.8 B． C． D． 4．若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法：①；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 ． 7．任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 8．对于实数a，b，定义一种新运算“”为：，其中等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 9．观察下列等式： …… 则的值为 ． 10．已知，，均为正整数．若，，则满足条件的的个数总比的个数少 个． 11．求下列各式的值； (1) (2) 12．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的值． 13．已知：81的算术平方根是，b是的整数部分． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 14．已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数是它本身的正数，d是9的负平方根． (1) ， ， ， ． (2)求的值． 15．阅读理解：因为，所以，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：的小数部分为．类似地，因为，所以的小数部分就是． 请根据上述材料，解答下列相关问题． (1)的整数部分是__________，小数部分是__________． (2)若的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$