第一章 有理数章节压轴题模拟训练-2024-2025学年人教版数学七年级上册高频与压轴题型专项攻略

第一章 有理数章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．有理数m、n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．下列各说法中，正确的个数有（    ） ①若，则一定是负数；②一个正数一定大于它的倒数；③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；④若，则；⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在一条不完整的数轴上，点、、分别表示，，，若，则的长为（    ）    A．40 B．30 C．45 D．35 5．若，那么的取值可能是（    ） A． B．1 C．或3 D．1或 6．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（　　） A． B． C． D． 7．有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示．设，，．那么，，计算结果最小的是（　　　） A． B． C． D．根据，，的值才能确定 8．数轴上点，，，对应的有理数都是整数．若点对应有理数，点对应有理数，且，则数轴上原点应是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 9．已知a，b互为相反数，c是绝对值最小的负整数，m，n互为倒数，则的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 10．如图所示，点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 11．正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 12．如图，数轴上，点A、B、C所对应的数分别为a、b、c，且都不为0，C是线段的中点，若，则原点O的位置是（    ） A．在线段上 B．在线段的延长线上 C．在线段上 D．在线段的延长线上 二、填空题 13．已知，，，则 ． 14．在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度，有理数a，b，c，d表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示．已知，则代数式的值是 ． 15．如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为，则点表示的数是 ． 16．已知数轴上两点对应的数分别为，y，且y是的最小值，点P为数轴上一点，且原点O是的中点，点C是的三等分点，则点C在数轴上表示的数是 ． 17．在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是 ． 18．已知在数轴上有三点，，，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．沿，，三点中的一点折叠数轴，若另外两点互相重合，则点表示的数是 ． 19．已知，那么 ． 20．在数轴上有一个动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点P的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第113秒时，点P在数轴上所对应的数是 ． 三、解答题 21．在数轴上，把原点记作点O，表示数a的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O、点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P关于点A的幸福值，记作，即，例如：点P表示的数为1，点A表示的数为3，因为，，所以． (1)当点P是线段的中点时，点P关于点A的幸福值 ； (2)若点P表示的数为，点A表示的数为3，点P关于点A的幸福值 ； (3)若点P表示的数为2，点A表示的数为a，点P关于点A的幸福值，求点A表示的数a； (4)若点P表示的数为p，点A表示的数为a，，则点P关于点A的幸福值 ； (5)点、点为数轴上两个不同的点，并且点与关于原点对称，点表示的数为m，点A、点B分别表示数a、2，若，则a、m需满足条件： ． 22．距离能够产生美.唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无.”当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道:“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅而是尚未相遇便注定无法相聚”距离，是数学、天文学、物理学中的热门话题.唯有对宇宙距离进行测量,人类才能掌握世界尺度． 绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 例如：是指数轴上表示3的点到原点的距离 ，是指数轴上表示的点到原点的距离． 概念延伸：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ； ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； ③数轴上表示1和的两点之间的距离是 ， ． 归纳总结：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为， 则 ． 拓展应用：①数轴上表示数x和 1的两点A和B之间的距离为，则的最小值是 ，此时x的值为 ． ②数轴上表示数x和的两点A和B之间的距离为 ，如果，那么x的值为 ； ③式子有最小值吗？若有，请求出它的最小值． 23．如图1，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，且满足． (1)______，______，数轴上到点A、点B距离相等的点C对应的数为______． (2)动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动．两弹珠遇到挡板后均立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠第一次相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等．试探究点M对应的数与点N对应的数是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 24．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是______；写出【N，M】美好点H所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 25．已知数轴上，两点表示的数分别为，，且，满足． (1)直接写出和的值； (2)若点表示的数为，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动，点的速度为个单位长度秒，点的速度为个单位长度秒，设两点运动时间为秒： 当点在，之间，且时，求出此时的值； 当点运动到点时，立刻以原来的速度返回，到达点后停止运动；当点运动到点时，立刻以原来速度返回，到达点后再次以相同速度返回向点运动，如此在，之间不断往返，直至点停止运动时，点也停止运动．求在此运动过程中，，两点相遇时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的乘法以及有理数大小比较的方法，掌握有理数的乘法法则是解题得关键，要分和两种情况讨论求解，当时，由，得，从而得，，由，得，当时，同理可得，即可得解． 【详解】解：当时，∵， ∴， ∵， ∴中有一个为负数， ∴，， ∵， ∴， 当时，∵， ∴， ∵， ∴的符号相同， 当，时，有，即， 当，时， ∵， ∴，即． 故选B． 2．有理数m、n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据数轴确定代数式的正负、取绝对值等知识点，掌握根据数轴确定代数式的正负成为解题的关键． 由数轴可知，可得，然后据此取绝对值即可解答． 【详解】解：由数轴可知，则， 则，即A、B选项不正确； ，即C选项错误，D选项正确． 故选D． 3．下列各说法中，正确的个数有（    ） ①若，则一定是负数；②一个正数一定大于它的倒数；③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；④若，则；⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、倒数、有理数除法运算、有理数乘法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据绝对值的性质、倒数、有理数除法运算、有理数乘法法则逐个判定即可． 【详解】解：①若，则可能是负数，也可能是零，故①错误； ②小于1的正数的倒数，这个正数小于它的倒数，故②错误； ③除以一个数（0除外）等于乘以这个数的倒数，故③错误； ④若，则，说法正确； ⑤若，则且或且，即⑤错误． 故选A． 4．如图，在一条不完整的数轴上，点、、分别表示，，，若，则的长为（    ）    A．40 B．30 C．45 D．35 【答案】B 【分析】本题主要考查两点间距离以及整式的加减，根据题意可求得，再求即可． 【详解】解：由题意得， ， ． 故选：B． 5．若，那么的取值可能是（    ） A． B．1 C．或3 D．1或 【答案】C 【分析】分为，；，；，；，四种情况化简计算即可． 【详解】解：当，时，原式； 当，时，原式； ，时，原式； 当，时，原式． 综上所述，的值是3或． 故选：． 【点睛】本题主要考查的是绝对值的化简、有理数的除法，分类讨论是解题的关键． 6．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴得到，，再脱去绝对值，进行整式的加减运算即可求解． 【详解】解：由题意得，， 所以． 故选：C 【点睛】本题考查了根据数轴判断式子的符号，绝对值的化简，整式的加减等知识，理解题意，正确判断出绝对值内各式的符号是解题关键． 7．有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示．设，，．那么，，计算结果最小的是（　　　） A． B． C． D．根据，，的值才能确定 【答案】C 【分析】根据有理数，，在数轴上的对应点的位置，确定a-b，a-c，b-c的正负，计算出x、y、z的值，比较大小即可． 【详解】解：根据，，在数轴上的对应点的位置可知， a-b＜0，a-c＜0，b-c＞0， ， ， ， ，∴， ，∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴上的点表示数的大小和绝对值的意义，体现了数形结合思想，根据数轴判断出，，的大小，根据绝对值的意义进行计算化简，再用求差法比较的大小是解题关键． 8．数轴上点，，，对应的有理数都是整数．若点对应有理数，点对应有理数，且，则数轴上原点应是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上点表示数的运用，熟练掌握相关概念是解题关键．由数轴可知，结合即可求出与的值，从而进一步确定原点的位置即可． 【详解】由数轴可得：点在点右侧且距离点个单位长度， ∴，即：， ∵， ∴，即， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示， ∴数轴上原点为点， 故选：． 9．已知a，b互为相反数，c是绝对值最小的负整数，m，n互为倒数，则的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，绝对值最小的负整数为，得到，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 10．如图所示，点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是解题的关键． 先用数轴上的点表示出和n，再根据数轴左边点表示的数总小于右边点表示的数，求解即可． 【详解】解：将n，用数轴 上的点表示如图所示， ∴． 故选：D． 11．正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】此题考查了利用数轴解决问题的能力，关键是能确定出此题的变化规律． 找出在翻转的过程中，顶点A、B、C、D分别对应数的规律，再根据可以得到答案． 【详解】∵每4次翻转为一个循环组依次循环， ∴， ∴翻转2016次后正方形在数轴上的方向和题干中一致， ∴此时点A对应的数为2016 ∴翻转2017次后，数轴上数2017所对应的点是B． ∴翻转2018次后，数轴上数2018所对应的点是C． ∴翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是D． 故选D． 12．如图，数轴上，点A、B、C所对应的数分别为a、b、c，且都不为0，C是线段的中点，若，则原点O的位置是（    ） A．在线段上 B．在线段的延长线上 C．在线段上 D．在线段的延长线上 【答案】A 【分析】本题考查了数轴与绝对值结合．解题的关键是分情况讨论． 先根据点C是线段的中点，得出，化简得出，再分类讨论根据图形和已知等式确定原点位子． 【详解】解：∵点C是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当点O在A左侧时，a、b、c均为正，则，把代入，得(舍)， ②当点O在线段上，则，得； ③当点O在线段上，则，把代入，得(舍)， ④当点O在B右侧时，a、b、c均为负，则，把代入，得(舍)， ∴点O在线段上， 故选：A． 二、填空题 13．已知，，，则 ． 【答案】343或1 【分析】根据绝对值的定义可得，．根据绝对值的性质可得，由此可得，；或，，进而可求得的值． 本题主要考查了绝对值的定义和性质，熟练掌握绝对值的定义和性质是解题的关键． 【详解】解：， ． ， ． ， ， ． ，；或，． 当，时，； 当，时，． 故答案为：343或1． 14．在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度，有理数a，b，c，d表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，则，，，结合，列式解答即可． 本题考查了数轴的意义，有理数的计算，熟练掌握有理数加减运算是解题的关键． 【详解】解：仔细观察图形，由数轴可知：. ∵每相邻两点之间的距离是1个单位长， ∴，，. ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴. 故答案为：． 15．如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为，则点表示的数是 ． 【答案】或1 【分析】本题主要考查的数轴，折叠的性质，掌握数轴的特点，折叠的性质是解题的关键． 根据折叠分类讨论，当落在4对应的点时；当落在对应的点时；结合数轴的特点即可求解． 【详解】解：，， 当落在4对应的点时，表示的数为：； 当落在对应的点时，表示的数为：； 综上，表示的数为或1， 故答案为：或1． 16．已知数轴上两点对应的数分别为，y，且y是的最小值，点P为数轴上一点，且原点O是的中点，点C是的三等分点，则点C在数轴上表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，有理数的加减计算，先根据绝对值的几何意义求出的最小值为2，即，进而求出点P表示的数为，再分当点C是靠近点A的三等分点时，当点C是靠近点B的三等分点时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵表示的是数轴上表示x的数到表示和表示的数的距离之和， ∴当时有最小值，最小值为， ∴， ∵原点O是的中点， ∴点P表示的数为， ∴， ∵点C是的三等分点， ∴当点C是靠近点A的三等分点时，点C表示的数为， 当点C是靠近点B的三等分点时，点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为或， 故答案为：或． 17．在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是 ． 【答案】，或 【分析】本题主要考查数轴的知识，解题的关键是利用掌握分类讨论思想，以及两点间的距离表示方法． 利用分类讨论思想，当点在线段上时且时，设点表示的数为，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数；当点在线段上时且时，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数；当点运动到点的左边时，那只有，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数． 【详解】设点表示的数为，当点在线段上时且时，如图所示， ∵M，N两点所表示的数分别是1、， ，， ， ， 解得：； 当点在线段上时且时，如图所示， ， 解得：； 当点运动到点的左边时，那只有，如图所示， ， 解得：； 故点表示的数为，或． 故答案为：，或． 18．已知在数轴上有三点，，，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．沿，，三点中的一点折叠数轴，若另外两点互相重合，则点表示的数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了数轴上的两点之间的距离，偶次方和绝对值的非负性，熟练掌握相关概念是解题的关键．先根据偶次方和绝对值的非负性，可得和b的值，再按照三种情况分类讨论：①若沿点折叠，点与点重合，②若沿点折叠，点与点重合，③若沿点折叠，点与点重合，分别求得点表示的数即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，； ①若沿点折叠，点与点重合， ∵， ∴点表示的数为：； ②若沿点折叠，点与点重合， ∵， ∴点表示的数为：； ③若沿点折叠，点与点重合， ∵， ∴， 点表示的数为：； 故答案为：或或． 19．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义和代数式求值，根据绝对值的意义进行讨论得出，得值，代入即可求解，解题的关键是正确理解绝对值的意义． 【详解】解：由， ∵，， ∴，即， 要使成立， 则，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 20．在数轴上有一个动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点P的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第113秒时，点P在数轴上所对应的数是 ． 【答案】57 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，规律探索，解题的关键是明确题意，发现运动规律，利用数轴的知识解答． 找出每一秒时对应的数与时间的关系，发现当时间为奇数时，对应数的2倍减1就是时间，即可求解． 【详解】解：由题意得第1秒时在数轴上的数为1， 第2秒时在数轴的数为， 第3秒时在数轴上的数为2， 第4秒时在数轴的数为， 第5秒时在数轴的数为3， 第6秒时在数轴的数为， 发现当时间为奇数时，第1，3，5秒对应的数为1，2，3，满足对应的数的2倍减1就是时间， ∴第113秒时对应的数为， 故答案为：57． 三、解答题 21．在数轴上，把原点记作点O，表示数a的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O、点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P关于点A的幸福值，记作，即，例如：点P表示的数为1，点A表示的数为3，因为，，所以． (1)当点P是线段的中点时，点P关于点A的幸福值 ； (2)若点P表示的数为，点A表示的数为3，点P关于点A的幸福值 ； (3)若点P表示的数为2，点A表示的数为a，点P关于点A的幸福值，求点A表示的数a； (4)若点P表示的数为p，点A表示的数为a，，则点P关于点A的幸福值 ； (5)点、点为数轴上两个不同的点，并且点与关于原点对称，点表示的数为m，点A、点B分别表示数a、2，若，则a、m需满足条件： ． 【答案】(1)1；(2)；(3)1或3；(4)或；(5)或 【分析】（1）直接利用“幸福值”的定义即可求解． （2）易得，再利用“幸福值”的定义计算即可． （3）由题意可得关于a的分式方程，求解即可； （4）分别两种情况：点P、A在点O的同侧和点P、A在点O的异侧．分别表示出和，再根据“幸福值”的定义计算即可． （5）根据题意，分别表示出，由可得关于a，m的含绝对值的等式，取绝对值符号即可求解． 【详解】（1）解：∵点P是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：1． （2）解：∵点P表示的数为，点A表示的数为3， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：∵点P表示的数为2，点A表示的数为a， ∴， ∵点P关于点A的幸福值， ∴， 经检验，或3原方程的解， 解得：或3． （4）解：①当点P、A在点O的同侧时（此处以点P、A在原点右侧来分析），如图， 由题意得，则， ∴； ②当点P、A在点O的异侧时（此处以点P在原点左侧，点A在原点右侧来分析），如图， 由题意得，则， ∴； 故答案为：或． （5）解：∵点与关于原点对称，点表示的数为m， ∴点表示的数为，且， ∵点A、点B分别表示数a、2， ∴， ∴， ∵， ∴，即或， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查数轴、新定义、绝对值、数轴上两点间的距离公式，理解新定义并灵活应用相关知识解决问题是解题关键． 22．距离能够产生美.唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无.”当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道:“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅而是尚未相遇便注定无法相聚”距离，是数学、天文学、物理学中的热门话题.唯有对宇宙距离进行测量,人类才能掌握世界尺度． 绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 例如：是指数轴上表示3的点到原点的距离 ，是指数轴上表示的点到原点的距离． 概念延伸 ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ； ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； ③数轴上表示1和的两点之间的距离是 ， ． 归纳总结 点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为， 则 ． 拓展应用 ①数轴上表示数x和 1的两点A和B之间的距离为，则的最小值是 ，此时x的值为 ． ②数轴上表示数x和的两点A和B之间的距离为 ，如果，那么x的值为 ； ③式子有最小值吗？若有，请求出它的最小值． 【答案】概念延伸：①3，3；②3，3；③4，4 归纳总结： 拓展应用：①0，1；②，或1；③有最小值，最小值为3 【分析】本题为新定义问题，考查了绝对值概念的进一步理解．理解题意，根据绝对值的概念，结合题目的概念延伸，逐步理解即可求解． 概念延伸：①根据数轴和有理数的加减以及绝对值等知识逐项化简即可求解； ②根据数轴和有理数的加减以及绝对值等知识逐项化简即可求解； ③根据数轴和有理数的加减以及绝对值等知识逐项化简即可求解； 归纳总结：根据概念延伸规律可以得到数轴上两点间的距离等于表示这两个点的有理数的差的绝对值，据此即可求解； 拓展应用 ①根据绝对值的非负性可以得到的最小值为0，进而即可求出x的值为1； ②根据归纳总结的内容即可得到，根据绝对值的化简即可求出x的值为或1； ③根据绝对值的意义得到表示数轴上点到表示的点的距离与到表示2的点的距离之和，据此即可求出当时， 最小值为3． 【详解】解：概念延伸 ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3，； 故答案为：3，3； ②数轴上表示和的两点之间的距离是3，； 故答案为：3，3； ③数轴上表示1和的两点之间的距离是4，． 故答案为：4，4； 归纳总结 点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为， 则． 故答案为：； 拓展应用 ①数轴上表示数x和 1的两点A和B之间的距离为，则的最小值是 0，此时x的值为1． 故答案为：0，1 ②数轴上表示数x和的两点A和B之间的距离为，如果，那么x的值为或1； 故答案为：，或1； ③∵， ∴表示数轴上点到表示的点的距离与到表示2的点的距离之和， 所以当时，此时的值最小，最小值为3． 23．如图1，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，且满足． (1)______，______，数轴上到点A、点B距离相等的点C对应的数为______． (2)动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动．两弹珠遇到挡板后均立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠第一次相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等．试探究点M对应的数与点N对应的数是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)或 (3)或 【分析】此题考查了数轴上的动点问题，以及非负数的性质，一元一次方程的应用： （1）根据已知等式，利用非负数的性质求出与的值，设点对应的数为，表示出与，根据求出的值，即可确定出点对应的数； （2）表示出点对应的数，进而表示出与，根据求出的值即可； （3）分两种情况考虑：甲、乙均反弹之后在中点相遇，设点对应的数为，点对应的数为，则、的中点对应的数为，根据甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点和点的距离相等列出关系式即可；甲反弹乙没反弹在中间相遇，同理可得关系式． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴ ， 设点对应的数为，则， ， ， 解得：， 点对应的数为； 故答案为：；；； （2）解：由题意得，对应的数为， ， ， ， 当时，解得； 当时，解得； 综上所述，存在或，使得P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍； （3）解：设点对应的数为，点对应的数为，运动时间为t， 分两种情况考虑： 甲、乙均反弹之后在的中点相遇，则、的中点对应的数为， ， ， 化简得； 甲反弹乙没反弹在中间相遇，同理可得， 解得：， 综上，与的关系式为或 24．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是______；写出【N，M】美好点H所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)，或；(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5 【详解】（1）根据美好点的定义，，，，只有点符合条件， 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离2倍的点，点的右侧不存在满足条件的点，点和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：，或； （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当为[，]的美好点，点在，之间，如图1， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第二种情况，当为[，]的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第三种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第四种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第五种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第六种情况，为[，]的美好点，点在，左侧，如图6， 当时，，因此秒； 第七种情况，为[，]的美好点，点在左侧， 当时，，因此秒， 第八种情况， 为[，]的美好点，点在右侧， 当时，，因此秒， 综上所述，的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 25．已知数轴上，两点表示的数分别为，，且，满足． (1)直接写出和的值； (2)若点表示的数为，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动，点的速度为个单位长度秒，点的速度为个单位长度秒，设两点运动时间为秒： 当点在，之间，且时，求出此时的值； 当点运动到点时，立刻以原来的速度返回，到达点后停止运动；当点运动到点时，立刻以原来速度返回，到达点后再次以相同速度返回向点运动，如此在，之间不断往返，直至点停止运动时，点也停止运动．求在此运动过程中，，两点相遇时的值． 【答案】(1)，；(2)；或或． 【分析】（）根据绝对值和平方的非负性，即可解答； （）由点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，求出，由，列出方程即可求解； ②当、第一次相遇时，当点到达点返回但未到达点且点未到达点时，、两点相遇，，当点到达点返回但未到达点，且点到达点返回时，、两点相遇，当点从点返回时，、两点相遇，分别列出方程求解即可； 本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，掌握数轴上两点之间距离的表示方法，以及仔细分析点的运动情况，具有分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）∵，且，， ∴，， ∴，； （2）∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∵点速度为个单位长度秒，点速度为个单位长度秒，点从点出发，点从点出发， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 由题意得，，， ∵点的运动路程为，点的运动路程为，点运动的时间为（秒）， ．当、第一次相遇时，， 解得：； ．当点到达点返回但未到达点且点未到达点时，、两点相遇，则， 解得：（舍去）； ．当点到达点返回但未到达点，且点到达点返回时，、两点相遇，则， 解得：； ．当点从点返回时，、两点相遇，则， 解得：， 综上所述，在此运动过程中，、两点相遇时，或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$