11.1 平方根（12大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

第十一章 实数和二次根式 11.1 平方根（12大题型提分练） 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 题型一 平方根概念理解 1．已知一个正数的两个平方根分别是和．则这个正数为（   ） A．4 B．36 C． D． 2．正数有 个平方根，它们互为 ；0的平方根是 ；负数 平方根；平方根是它本身的数是 ；算术平方根是它本身的数是 ． 3．已知：，求x的值，小明同学解答过程如下： 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ (1)该同学解答过程从第______步开始出错，错误的原因是____________ (2)请写出此题正确的解答过程． 题型二 求一个数的平方根 1．下列判断中，错误的是（　　） A．的平方根是 B．的倒数是 C．的绝对值是1 D．的平方的相反数是 2．的平方根是 ． 3．求下列各数的平方根 (1)49； (2)； (3)． 题型三 求代数式的平方根 1．若，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 2．已知2xa-1y3与-3x2y2b＋1是同类项，则a＋b的平方根是 ． 3．已知，，求和的值． 题型四 已知一个数的平方根求这个数 1．若一个数的平方根为2a+3和a-15，则这个数是（    ） A．-18 B．64 C．121 D．以上结论都不是 2．已知与是一个正数的平方根，则这个正数的值为 ． 3．已知一个正数的平方根分别是和，求的值和这个正数． 题型五 利用平方根解方程 1．若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．2或3 2．若 ，则x的值为 ． 3．求x的值：． 题型六 平方根的应用 1．若x-5能开偶次方，则x的取值范围是（      ） A．x≥0 B．x>5 C．x≥5 D．x≤5 2．已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是 ． 3．小明手中有块长方形的硬纸片如图所示，其中长比宽多，长方形的周长是． (1)求长方形的面积； (2)小明想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为，面积为的新纸片作为它用，试判断小明能否成功，并说明理由． 题型七 求一个数的算术平方根 1．的相反数为（   ） A． B． C． D． 2．的算术平方根是 ，的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 3．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； (2)当时， ；当时， ； (3)计算：． 题型八 利用算术平方根的非负性解题 1．已知 则的平方根是（      ） A． B． C． D．2 2．如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 3．【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 题型九 估计算术平方根的取值范围 1．估计的值在（　　） A．7到8之间 B．6到7之间 C．5到6之间 D．4到5之间 2．的绝对值是 ． 3．在一次活动课中，小华同学用一根绳子围成一个长与宽之比为，面积为的长方形． (1)求长方形的长和宽； (2)她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于．”请你判断小华的说法是否正确，并说明理由． 题型十 求算术平方根的整数部分和小数部分 1．如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．的整数部分是 ．小数部分是 ． 3．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 题型十一 与算术平方根有关的规律探索题 1．设，，，…，，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．按要求填空： （1）填表： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现规律填空： 已知：，则 ， ； 已知：，，则 ． 3．（1）观察发现： 表格中________，________． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位． （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，求m的值． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 题型十二 算术平方根的实际应用 1．电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足，已知导线的电阻为2Ω，1s时间导线产生10J的热量．则电流Ⅰ的值是（    ） A． B． C． D． 2．数学家秦九韶提出“三斜求积术”（已知三角形三边长求三角形的面积），它与海伦公式实质上是同一个公式，又称海伦·秦九韶公式，表述为：如果一个三角形的三边长为，，，记，那么面积．若一个三角形的三边长为，，，则三角形的面积为 ． 3．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中测得，，肇事汽车的车速大约是多少？（结果精确到0.1km/h） （注：参考数据，，） 1．一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（    ） A．7 B．11 C．49 D．324 2．已知，，则（  ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 024 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的值是（   ） A． B． C． D．5 6．的平方根是 ，的相反数是 ，是 ． 7．一个数的平方根分别是和，则这个数是 ． 8．已知x，y为实数，且，则 ． 9．下表是利用计算器算出的正数的算术平方根： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 根据上表，求的值，若结果保留整数，则结果为 ． 10．有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是 ． 11．已知：和是的两个不同的平方根 (1)求的值． (2)求的平方根． 12．已知x， y为实数， 且 (1)确定 x、y的值； (2)求代数式的值． 13．观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 14．在学习平方根这一课后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．小明的解答过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个数为16或4． 请判断小明的解答正确吗？如果正确，请把小明的过程抄写一遍；如果不正确，请写出正确的解答过程． 15．综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______． 【知识迁移】 （2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______． 【拓展延伸】 （3）小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 实数和二次根式 11.1 平方根（12大题型提分练） 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 题型一 平方根概念理解 1．已知一个正数的两个平方根分别是和．则这个正数为（   ） A．4 B．36 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，则，再根据平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴这个正数为， 故选：B． 2．正数有 个平方根，它们互为 ；0的平方根是 ；负数 平方根；平方根是它本身的数是 ；算术平方根是它本身的数是 ． 【答案】 2 相反数 0 没有 0 0和1 【分析】本题考查了平方根的相关概念性质内容，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：正数有2个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没平方根；平方根是它本身的数是0；算术平方根是它本身的数是0和1． 故答案为：2；相反数；0；没有；0；0和1 3．已知：，求x的值，小明同学解答过程如下： 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ (1)该同学解答过程从第______步开始出错，错误的原因是____________ (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)第二步；9的平方根是 (2)见解析 【分析】（1）根据平方根定义进行解答即可； （2）利用平方根解题即可． 【详解】（1）解：该同学解答过程从第二步开始出错，错误的原因是9的平方根是． （2）解：正确的解方程过程为： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了利用平方根解方程，解题的关键是熟练掌握平方根定义． 题型二 求一个数的平方根 1．下列判断中，错误的是（　　） A．的平方根是 B．的倒数是 C．的绝对值是1 D．的平方的相反数是 【答案】A 【分析】本题考查基本数学概念，涉及平方根、倒数、绝对值等，要求熟练掌握． 【详解】解：A. 没有平方根，原说法错误，符合题意； B. 的倒数是，说法正确，不符合题意； C. 的绝对值是1，说法正确，不符合题意； D. 的平方的相反数是，说法正确，不符合题意； 故选：A 2．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 3．求下列各数的平方根 (1)49； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方根，负整数指数幂，熟练掌握平方根的意义是解题的关键． （1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴49的平方根是； （2）解：∵，， ∴的平方根是； （3）解：∵，， ∴的平方根是． 题型三 求代数式的平方根 1．若，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式先计算出，再求平方根即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查完全平方公式、求平方根，利用完全平方公式计算出是解题的关键，注意平方根与算术平方根的区别，避免漏解． 2．已知2xa-1y3与-3x2y2b＋1是同类项，则a＋b的平方根是 ． 【答案】±2 【分析】根据同类项的定义即可求出a和b的值，然后根据平方根的定义即可求出结论． 【详解】解：∵2xa-1y3与-3x2y2b＋1是同类项 ∴a－1=2，2b＋1=3 解得：a=3，b=1 ∴a＋b的平方根是 故答案为：±2． 【点睛】此题考查的是根据同类项求指数中的参数和求平方根，掌握同类项的定义和平方根的定义是解决此题的关键． 3．已知，，求和的值． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式变形求得，再利用完全平方公式求得，在求其平方根即可． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵， ∴， 解得：． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式以及平方根，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 题型四 已知一个数的平方根求这个数 1．若一个数的平方根为2a+3和a-15，则这个数是（    ） A．-18 B．64 C．121 D．以上结论都不是 【答案】C 【分析】根据正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此即可得到关于a的方程，从而可求得a的值，进而求得这个数． 【详解】解：根据题意得：2a+3+（a-15）=0， 解得a=4， 则这个数是（2a+3）2=121． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，据此把题目转化为解方程的问题，这是考试中经常出现的问题． 2．已知与是一个正数的平方根，则这个正数的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”列方程并求解，可得的值，然后计算的值即可． 【详解】解：根据题意，可得， 解得， ∴． 故答案为：． 3．已知一个正数的平方根分别是和，求的值和这个正数． 【答案】，这个正数为． 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的意义得到，求解即可得到答案，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， ∴， ∴这个正数的平方根分别是和， ∴这个正数是9． 题型五 利用平方根解方程 1．若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义解答即可. 【详解】      故选：D 【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根，记作．正确理解算术平方根的定义是解题的关键. 2．若 ，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方根解方程，解题关键是掌握平方根的求法； 先系数化为1，再开平方即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．求x的值：． 【答案】的值为3或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键．直接利用平方根解方程即可得． 【详解】解：， 或， 解得或， 所以的值为3或． 题型六 平方根的应用 1．若x-5能开偶次方，则x的取值范围是（      ） A．x≥0 B．x>5 C．x≥5 D．x≤5 【答案】C 【详解】∵x-5能开偶次方，∴x-5≥0，∴x≥5， 故选C. 【点睛】本题主要考查开方与乘方运算，解题的关键是要明确只有非负数才能开偶次方. 2．已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是 ． 【答案】±3 【分析】首先根据2a-1的平方根是±3，可得：2a-1=9，据此求出a的值是多少；然后根据3a+b-1的算术平方根是4，可得：3a+b-1=16，据此求出b的值是多少，进而求出a-2b的平方根是多少即可． 【详解】解：∵2a-1的平方根是±3， ∴2a-1=9， 解得a=5； ∵3a+b-1的算术平方根是4， ∴3a-b-1=16， ∴3×5-b-1=16， 解得b=-2， ∴a-2b=5+2×2=9， ∴a-2b的平方根是： ． 故答案为：±3． 【点睛】此题主要考查了平方根、算术平方根的性质和应用．要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 3．小明手中有块长方形的硬纸片如图所示，其中长比宽多，长方形的周长是． (1)求长方形的面积； (2)小明想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为，面积为的新纸片作为它用，试判断小明能否成功，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析； 【分析】（1）设长方形的长为，宽为，根据长比宽多且长方形的周长是，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出得出的值，再利用长方形的面积公式即可求出答案； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，根据新纸片的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得知值，再由进一步分析即可得出小明不能成功． 【详解】（1）解：设长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴长方形面积为：， 答：长方形的面积为； （2）不能成功，理由如下： 设长方形纸片的长为，则宽为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴，， ∵， 即纸片的宽大于原来硬纸片的宽， ∴小明不能成功． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组与平方根的综合运用，根据题意找出正确的等量关系以及利用平方根的概念解方程是解题关键． 题型七 求一个数的算术平方根 1．的相反数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数、求一个数的算术平方根，先求算术平方根，再根据相反数的定义即可得出答案． 【详解】解：， 故的相反数为， 故选：C． 2．的算术平方根是 ，的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义：如果一个正数的的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，规定：的算术平方根是．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， ∵ ∴的算术平方根是， ∵ ∴的算术平方根是． 故答案为：；；． 3．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； (2)当时， ；当时， ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查算术平方根： （1）根据题目给出的式子特征按要求填空即可； （2）根据题目给出的式子特征按要求填空即可； （3）分别将算式中的算术平方根去掉，再运用有理数加法结合律计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，； 故答案为：； （2）解：由题意，得：时，，时，； 故答案为：； （3）解： ． 题型八 利用算术平方根的非负性解题 1．已知 则的平方根是（      ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的非负性和求平方根，先根据算术平方根和绝对值的非负性求出，的值，再求的平方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故选：A． 2．如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 【答案】； 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，且和互为相反数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是：， 故答案为：． 3．【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法； （1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数，可把原式化为，再结合算术平方根的含义可得答案． 【详解】解：（1），则a的取值范围是； 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：， ∴； （3）∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 题型九 估计算术平方根的取值范围 1．估计的值在（　　） A．7到8之间 B．6到7之间 C．5到6之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】估算的大小即可． 【详解】解：由于，而，即67， 所以的值在6和7之间， 故选：B． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，二次根式的乘除法，掌握算术平方根的定义，二次根式乘除法的计算方法是正确解答的前提． 2．的绝对值是 ． 【答案】 【分析】先判断实数的正负，再根据绝对值的法则进行求值即可． 【详解】∵＜0， ∴||＝3−． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查实数的绝对值，会根据实数的正负，运用绝对值法则进行求值是解题的关键． 3．在一次活动课中，小华同学用一根绳子围成一个长与宽之比为，面积为的长方形． (1)求长方形的长和宽； (2)她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于．”请你判断小华的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)长为，宽为 (2)小华的说法错误，理由见解析 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，利用平方根的含义解方程，以及无理数的估算，理解题意，准确的列出方程或代数式是解本题的关键． （1）根据题意设长方形的长为，宽为，则，再利用平方根的含义解方程即可； （2）根据题意可得正方形的边长为，再比较与的大小即可． 【详解】（1）解：设长方形的长为，宽为， ∴， 解得：，（舍）， ∴， 答：长方形的长为，宽为． （2）解：正方形的边长为， ∴正方形的边长与长方形的宽之差为：， ∵， ∴，即， ∴围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差小于，小华的说法错误． 题型十 求算术平方根的整数部分和小数部分 1．如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键． 由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可． 【详解】解：∵正方形墙的面积为， ∴正方形墙的边长为， ∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点， ∴石雕的面积为； ∴石雕的边长为， ∵， ∴， ∴石雕边长的整数部分为2． 故答案为：B． 2．的整数部分是 ．小数部分是 ． 【答案】 3 【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为3，． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键． 3．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出的值；进而得出的值，求出它的平方根即可； 【详解】解：∵的算术平方根是；的平方根是， ∴，， ∴，． ∵是的整数部分，， ∴． ∴． ∵的平方根是． ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键． 题型十一 与算术平方根有关的规律探索题 1．设，，，…，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字规律，求算术平方根，分别求出、、，找到规律再计算即可． 【详解】，， ，， ，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 2．按要求填空： （1）填表： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现规律填空： 已知：，则 ， ； 已知：，，则 ． 【答案】 0.02 0.2 2 20 26.83 0.02683 3800 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据计算找出规律即可得到答案． 【详解】（1），，，， 填表如下： a （2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍， ，； ， ， ∵， ． 故答案为0.02、0.2、2、20；26.38，0.02683，3800． 3．（1）观察发现： 表格中________，________． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位． （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，求m的值． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 【答案】（1）0.1；10；（2）右；1；（3）①；②25 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）根据算术平方根直接计算即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】解：（1），， 故答案为：，10； （2）由表格中的数据可知被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右，1； （3）①已知，则， ②已知，，则， ∴． 题型十二 算术平方根的实际应用 1．电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足，已知导线的电阻为2Ω，1s时间导线产生10J的热量．则电流Ⅰ的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的应用，弄清题意各个数量的含义是解题的关键．将已知量代入物理公式，即可求得电流的值． 【详解】解：根据题意可知， 当，，时， （舍去负值） 故选：A． 2．数学家秦九韶提出“三斜求积术”（已知三角形三边长求三角形的面积），它与海伦公式实质上是同一个公式，又称海伦·秦九韶公式，表述为：如果一个三角形的三边长为，，，记，那么面积．若一个三角形的三边长为，，，则三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用．直接利用海伦·秦九韶公式列式计算即可． 【详解】解：，， 则 则三角形的面积为 故答案为： 3．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中测得，，肇事汽车的车速大约是多少？（结果精确到0.1km/h） （注：参考数据，，） 【答案】肇事汽车车速大约是． 【分析】本题主要考查了算术平方根在实际中的应用．将d，f代入公式即可求解． 【详解】解：将，代入中， ． 答：肇事汽车车速大约是． 1．一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（    ） A．7 B．11 C．49 D．324 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，据此求出，再根据平方根的概念求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根为和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴这个正数是49， 故选：C． 2．已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由得到，即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：B． 3．若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 024 【答案】C 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性，由几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，即可求得，的值，再代数求值． 【详解】解：， ，， 解得，， 故， 故选：C． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根及平方根的运算，根据算术平方根及平方根的性质依次化简即可做出判断． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 5．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根、平方根、有理数、无理数的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据算术平方根、平方根、有理数、无理数的定义解决此题即可． 【详解】解： 25的算术平方根为5，5是有理数 取5的平方根，是无理数 输出值是． 故选：B． 6．的平方根是 ，的相反数是 ，是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了平方根，相反数，绝对值的性质，根据平方根，相反数的计算，绝对值的性质进行计算即可求解． 【详解】解：， ∴的平方根是， ， ∴的相反数是， ， ∴， 故答案为： ①；②；③． 7．一个数的平方根分别是和，则这个数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查平方根的定义；根据“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”即可列出关于的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和； ， ， ， 这个正数为：， 故答案为：1． 8．已知x，y为实数，且，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查算术平方根的非负性和运算，被开方数非负得到，，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．下表是利用计算器算出的正数的算术平方根： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 根据上表，求的值，若结果保留整数，则结果为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．根据规律求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：21． 10．有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查规律探索问题，根据题干中的数据总结规律可知第n个数的符号为，分母为，分子为，即可得出答案． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； ， 第个数是； 故答案为：． 11．已知：和是的两个不同的平方根 (1)求的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键． （1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解，即可求解； （2）先求出的值，利用平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 12．已知x， y为实数， 且 (1)确定 x、y的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，平方差公式，整式的化简求值．熟练掌握二次根式有意义的条件，平方差公式，整式的化简求值是解题的关键． （1）由，可得，，可求，进而可求y的值； （2）进行乘法，然后进行减法计算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴，； （2）解： ， 将，代入得，原式． 13．观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， ∴由可知， 故答案为：0.245； ②∵，， ∴可知0.03464的小数点向右移动了3位得到， ∴由上述表格可知被开方数小数点需要向右移动6个单位得到， ∴， ∴． 14．在学习平方根这一课后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．小明的解答过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个数为16或4． 请判断小明的解答正确吗？如果正确，请把小明的过程抄写一遍；如果不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，正确过程见解析 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的概念，正确理解平方根与算术平方根的概念是解题的关键．错误的在第②部分，求出后，将x的值代入得，不符合算术平方根的概念，应舍去． 【详解】解：不正确． 一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ， 这个数为16； ②当时，解得， 当时，，舍去； 综上所述，这个数为16． 15．综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______． 【知识迁移】 （2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______． 【拓展延伸】 （3）小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【答案】（1）2；；；（2）1；13；；（3）小思说得对，小明说得不对，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，则，计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；长方形的对角线长为； （3）小思说得对，小明说得不对，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$