第2章 特殊三角形 单元检测(A卷·夯实基础）-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第2章 特殊三角形 单元检测(A卷·夯实基础） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 3．下列命题中是假命题的是（　　） A．△ABC中，若∠C＝∠B﹣∠A，则△ABC是直角三角形 B．△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形 C．△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 D．△ABC中，若a：b：c＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 4．如果等腰三角形的一个内角为100°，则它的一个底角度数为（　　） A．100° B．40° C．50° D．60° 5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，BC＝8，则CD的长为（　　） A．10 B． C． D．5 6．已知：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的高，下面结论不一定成立的是（　　） A．BD＝CD B．BD＝AD C．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C 7．若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为（　　） A．13 B． C．7或17 D．13或 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边AC上一点，且AD＝BD，若∠DBC＝30°，则∠C＝（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，BD是∠ABC的角平分线，则CD的长为（　　） A． B． C． D．2 10．如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和_____cm2．（　　） A．14 B．35 C．42 D．49 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11．“对顶角相等”的逆命题是 　 　．（用“如果…那么…”的形式写出） 12．如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC＝17cm，则△ODE的周长是 　 　cm． 13．如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，连接BE，则∠CBE＝　 　°． 14．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角是 　 　． 15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是中线，BD＝BE，则∠AED是　 　度． 16．如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为 　 　． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）边AC、AB、BC的长； （2）求△ABC的面积； （3）点C到AB边的距离． 18．如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D． （1）求证AD＝ED； （2）若AC＝AB，DE＝3，求AC的长． 19．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB＝8米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC＝10米． （1）求出BC的长度； （2）若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 20．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件： ①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC． （1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形． （2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形； （3）在上述条件中，若∠A＝60°，BE平分∠B，CD平分∠C，则∠BOC的度数？ 21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝6，CD＝9，DA＝3． （1）直接写出AC的长为 　 　； （2）求四边形ABCD的面积． 22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE． （1）求证：CG＝EG． （2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积． 23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF， （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长． 24．如图，△ABD和△BCE均为等边三角形，∠ABC＜105°，AE与DC交于点F， （1）求证：AE＝DC； （2）求∠DFE的度数； （3）若AF＝9cm，BF＝3.5cm，CF＝7.5cm，求CD的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 特殊三角形 单元检测(A卷·夯实基础） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 【思路点拨】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解析】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 【思路点拨】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解析】解：（1）若2为腰长，5为底边长， 由于2+2＜5，则三角形不存在； （2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为5+5+2＝12． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 3．下列命题中是假命题的是（　　） A．△ABC中，若∠C＝∠B﹣∠A，则△ABC是直角三角形 B．△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形 C．△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 D．△ABC中，若a：b：c＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 【思路点拨】根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可． 【解析】解：A、在△ABC中，若∠C＝∠B﹣∠A，则△ABC是直角三角形，故原命题是真命题； B、在△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形，故原命题是真命题； C、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，△ABC不是直角三角形，故原命题是假命题； D、在△ABC中，若a：b：c＝3：4：5，则△ABC是直角三角形，故原命题是真命题； 故选：C． 【点睛】本题主要考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理解答． 4．如果等腰三角形的一个内角为100°，则它的一个底角度数为（　　） A．100° B．40° C．50° D．60° 【思路点拨】根据等腰三角形的性质分两种情况：当顶角为100°时，当底角为100°时进行计算，再根据三角形内角和定理进行判断即可． 【解析】解：当顶角为100°时，底角为， 当底角为100°时，两底角的和为100°+100°＝200°＞180°，不满足三角形内角和定理， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，BC＝8，则CD的长为（　　） A．10 B． C． D．5 【思路点拨】在RT△ABC中，利用勾股定理求出AB，然后根据AB×CD＝AC×BC，可求出CD． 【解析】解：在RT△ABC中，AB＝＝10， ∵S△ABC＝AC×BC＝AB×CD，AC＝6，BC＝8， ∴CD＝． 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的知识，属于基础题，解答本题的关键有两点：①利用勾股定理求出AB，②利用面积表达式求解CD． 6．已知：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的高，下面结论不一定成立的是（　　） A．BD＝CD B．BD＝AD C．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C 【思路点拨】利用等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线相互重合进行判断即可． 【解析】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AD是底边BC上的高， ∴BD＝CD，AD平分∠BAC， ∴A、C、D都是正确的，一定成立，不符合题意， B不一定成立，符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线相互重合是解题的关键． 7．若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为（　　） A．13 B． C．7或17 D．13或 【思路点拨】本题直接利用勾股定理即可解出斜边的长． 【解析】解：由题意得：斜边长＝ 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的基本运用是解答本题的关键． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边AC上一点，且AD＝BD，若∠DBC＝30°，则∠C＝（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 【思路点拨】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【解析】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝， ∵AD＝BD， ∴∠DBA＝∠A， ∴∠BDC＝∠A+∠DBA＝2∠A， ∴∠BDC+∠DBC+∠C＝2∠A+30°+＝180°， ∴∠A＝40°， ∴∠C＝＝70°， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练运用三角形内角和公式计算是解题的关键． 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，BD是∠ABC的角平分线，则CD的长为（　　） A． B． C． D．2 【思路点拨】过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线的性质，可得DE＝CD，从而得到Rt△BCD≌Rt△BED（HL），可得BE＝BC＝3，然后设DE＝CD＝x，则AD＝4﹣x，在Rt△ADE 中，利用勾股定理，即可求解． 【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵BD是△ABC的角平分线，∠C＝90°， ∴DE＝CD， ∵BD＝BD， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴BE＝BC＝3， 在Rt△ABC 中，BC＝3，AC＝4，由勾股定理得： ， ∴AE＝AB﹣BE＝2， 设DE＝CD＝x，则AD＝4﹣x， 在Rt△ADE 中，DE2+AE2＝AD2， ∴（4﹣x）2＝22+x2， 解得：， 即． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 10．如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和_____cm2．（　　） A．14 B．35 C．42 D．49 【思路点拨】由勾股定理得正方形A，B，C，D的面积之和＝正方形1的面积＝72＝49cm． 【解析】解：如图所示： 根据勾股定理可得正方形C和正方形D的面积之和为正方形3的面积， 正方形A和正方形B的面积之和为正方形2的面积， 同理，正方形2和正方形3的面积之和为正方形1的面积， 则正方形A，B，C，D的面积之和为正方形1的面积为7×7＝49（cm2）， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．“对顶角相等”的逆命题是 　如果两个角相等，那么这两个角是对顶角　．（用“如果…那么…”的形式写出） 【思路点拨】交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题． 【解析】解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 【点睛】本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 12．如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC＝17cm，则△ODE的周长是 　17　cm． 【思路点拨】想办法证明OD＝BD，OE＝CE，再证明△ODE周长等于BC的长即可． 【解析】解：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠DBO， 又OD∥AB， ∴∠ABO＝∠DOB， ∴∠DBO＝∠DOB， ∴OD＝BD， 同理OE＝CE， ∵BC＝17cm， 则△ODE的周长c＝OD+DE+OE＝BD+DE+EC＝BC＝17cm． 故答案为17． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，关键是证明△BDO，△OEC都是等腰三角形． 13．如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，连接BE，则∠CBE＝　30　°． 【思路点拨】根据等腰三角形的性质可得到∠ABC＝∠C＝70°，再根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，推出∠ABE＝∠A＝40°，最后根据∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE，即可求解． 【解析】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC， ∴， ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝40°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣40°＝30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 14．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角是 　80°或20°　． 【思路点拨】等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况． 【解析】解：（1）当80°角为顶角，顶角度数即为80°； （2）当80°为底角时，顶角＝180°﹣2×80°＝20°． 综上所述，它的顶角是80°或20°， 故答案为：80°或20°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是中线，BD＝BE，则∠AED是　110　度． 【思路点拨】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝40°，∠ADB＝90°，根据三角形外角的性质，即可求解． 【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣100°）＝40°， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠ADB＝90°， ∵BD＝BE， ∴∠BDE＝（180°﹣40°）＝70°， ∴∠AED＝∠B+∠BDE＝40°+70°＝110°， 故答案为：110． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及等腰三角形的性质；做题时两次运用了等边对等角的性质及三角形内角和定理，要熟练掌握并能灵活应用这些知识． 16．如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为 　12　． 【思路点拨】根据勾股定理的几何意义，可得正方形A，B的面积的和等于正方形E的面积，可得正方形C，D的面积的和等于正方形F的面积，正方形E，F的面积的和等于正方形G的面积． 【解析】解：∵正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5， ∴S正方形E＝S正方形A+S正方形B＝3+2＝5， S正方形F＝S正方形C+S正方形D＝2+5＝7， ∴S正方形G＝S正方形E+S正方形F＝5+7＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查勾股定理，关键是勾股树的应用． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）边AC、AB、BC的长； （2）求△ABC的面积； （3）点C到AB边的距离． 【思路点拨】（1）根据勾股定理计算，求出边AC、AB、BC的长； （2）根据三角形的面积公式，正方形的面积公式，结合图形计算； （3）根据三角形的面积公式计算． 【解析】解：（1）AC＝＝， AB＝＝， BC＝＝； （2）△ABC的面积＝3×3﹣×1×2﹣×3×2﹣×1×3＝； （3）点C到AB边的距离为h， 则×AB×h＝，即××h＝， 解得，h＝． 【点睛】本题考查的是勾股定理，坐标与图形性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 18．如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D． （1）求证AD＝ED； （2）若AC＝AB，DE＝3，求AC的长． 【思路点拨】（1）由AE是∠BAC的角平分线可得∠DAE＝∠BAE，由DE∥AB，可得∠DEA＝∠EAB，则∠DEA＝∠DAE，可得结论． （2）根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，可证∠C＝∠CED则CD＝DE，即可求AC的长． 【解析】证明：（1）∵AE是∠BAC的角平分线 ∴∠DAE＝∠BAE ∵DE∥AB ∴∠DEA＝∠EAB ∴∠DAE＝∠DEA ∴AD＝DE （2）∵AB＝AC，AE是∠BAC的角平分线 ∴AE⊥BC ∴∠C+∠CAE＝90°，∠CED+∠DEA＝90° ∴∠C＝∠CED ∴DE＝CD且DE＝3 ∴AD＝DE＝CD＝3 ∴AC＝6 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，关键是利用这些性质解决问题． 19．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB＝8米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC＝10米． （1）求出BC的长度； （2）若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【思路点拨】（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在Rt△BDC中，根据勾股定理即可解答． 【解析】解：（1）由题意知∠B＝90°， ∵AB＝8米，AC＝10米， 在Rt△ABC中AB2+BC2＝AC2， ∴（米）， （2）设AD＝x米， ∵到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，AB＝8米， ∴则CD＝AD＝x米，BD＝（8﹣x）米， 在Rt△BDC中，DC2＝BD2+BC2， ∴x2＝（8﹣x）2+62， 解得， ∴小鸟下降的距离为米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． 20．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件： ①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC． （1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形． （2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形； （3）在上述条件中，若∠A＝60°，BE平分∠B，CD平分∠C，则∠BOC的度数？ 【思路点拨】（1）根据已知条件即可找到证明∠ABC＝∠ACB的组合； （2）要证△ABC是等腰三角形，就要证∠ABC＝∠ACB，根据已知条件即可找到证明∠ABC＝∠ACB的组合； （3）根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理即可求得∠BOC的度数． 【解析】解：（1）上述四个条件中，①③，①④，②③，②④组合可判定△ABC是等腰三角形． （2）选择①③证明． ∵∠DBO＝∠ECO，BD＝CE，∠DOB＝∠EOC， ∴△DOB≌△EOC， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形； （3）∵∠A＝60°， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BE平分∠B，CD平分∠C， ∴∠OBC＝∠OBC＝30°， ∴∠BOC＝180﹣30﹣30＝120°， 答：∠BOC的度数为120°． 【点睛】此题主要考查利用等角对等边来判定等腰三角形；题目对学生的要求比较高，利用等量加等量和相等是正确解答本题的关键． 21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝6，CD＝9，DA＝3． （1）直接写出AC的长为 　6　； （2）求四边形ABCD的面积． 【思路点拨】（1）根据勾股定理列式计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明△CDA是直角三角形，∠CAD＝90°，再根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，列式计算即可． 【解析】解：（1）如图， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝6， ∴AC＝＝＝6， 故答案为：； （2）∵，CD＝9，DA＝3， ∴AC2+DA2＝72+9＝81，CD2＝92＝81， ∴AC2+DA2＝CD2， ∴△CDA是直角三角形，且∠CAD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE． （1）求证：CG＝EG． （2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积． 【思路点拨】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DE＝AB＝AE，根据等腰三角形的性质证明结论； （2）作EF⊥BC于F，根据题意求出BD，根据等腰三角形的性质求出DF，根据勾股定理求出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解析】（1）证明：连接DE， 在Rt△ADB中，点E是AB的中点， ∴DE＝AB＝AE， ∵CD＝AE， ∴DE＝DC，又DG⊥CE， ∴CG＝EG． （2）解：作EF⊥BC于F， ∵BC＝13，CD＝5， ∴BD＝13﹣5＝8， ∵DE＝BE，EF⊥BC， ∴DF＝BF＝4， ∴EF＝＝＝3， ∴△EDC的面积＝×CD×EF＝×5×3＝7.5． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键． 23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF， （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长． 【思路点拨】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，BE＝CF，即可求出答案． 【解析】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， ∴在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC； （2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL） ∴AE＝AF， ∵AC＝20，CF＝BE＝4， ∴AE＝AF＝20﹣4＝16， ∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 24．如图，△ABD和△BCE均为等边三角形，∠ABC＜105°，AE与DC交于点F， （1）求证：AE＝DC； （2）求∠DFE的度数； （3）若AF＝9cm，BF＝3.5cm，CF＝7.5cm，求CD的长． 【思路点拨】（1）由等边三角形的性质可知∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE，得到∠DBC＝∠ABE．即可利用SAS可证明△DBC≌△ABE，得出结论AE＝DC； （2）由△DBC≌△ABE可知∠BDF＝∠BAF，由对顶角的性质得到∠BOD＝∠FOA，由三角形内角和定理得到∠OBD＝∠OFA，由等边三角形的性质得到∠OBD＝60°，因此∠OFA＝60°，即可求出∠DFE＝180°﹣60°＝120°； （3）过点B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．由△DBC≌△ABE，得出结论BH＝BN，即得出BF平分∠DFE，即可求出∠BFE＝60°．延长BF至Q，使FQ＝AF，连接AQ．证明△AFQ是等边三角形，得出结论AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°．证明△DAF≌△BAQ（SAS），据此即可求解． 【解析】（1）证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形， ∴∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE， ∴∠DBA+∠ABC＝∠EBC+∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABE， 在△DBC和△ABE中， ， ∴△DBC≌△ABE（SAS）， ∴AE＝DC； （2）解：∵△DBC≌△ABE， ∴∠BDF＝∠BAF， ∵∠BOD＝∠FOA， ∴∠OBD＝∠OFA ∵△ABD是等边三角形， ∴∠OBD＝60°， ∴∠OFA＝60°， ∴∠DFE＝180°﹣60°＝120°； （3）解：如图，过点B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H， ∵△DBC≌△ABE，AE＝DC， ∴S△DBC＝S△ABE， ∴BH＝BN， ∴BF平分∠DFE， 延长BF至Q，使FQ＝AF，连接AQ， 则∠AFQ＝∠BFE＝60°， ∴△AFQ是等边三角形， ∴AF＝AQ，∠FAQ＝60°， ∵△ABD是等边三角形， ∴AD＝AB，∠DAB＝60°， ∴∠DAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAQ，即∠DAF＝∠BAQ， 在△DAF和△BAQ中，， ∴△DAF≌△BAQ（SAS）， ∴DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF， ∴CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝3.5+9+7.5＝20（cm）． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及角平分线的判定和性质，关键是证明△DBC≌△ABE（SAS），△DAF≌△BAQ（SAS）． 学科网（北京）股份有限公司 $$