专题17.1 期中模拟测试卷（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题17.1 期中模拟测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）在下列条件：①，②，③，④，⑤一个外角等于与它相邻的内角．中，能确定是直角三角形的条件有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，7，点C在线段上且不与端点重合，若线段能围成三角形，则x可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：；②；③；，其中正确的有（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（    ） A．18 B．88 C．88或62 D．18或70 5．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（　　）    A．76° B．84° C．96° D．109° 7．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，点D是边上的中点，点E是上一点且，F、G是边上的三等分点，若四边形的面积为14，则的面积是（    ） A．24 B．42 C．48 D．56 8．（2024·江苏·模拟预测）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点落在四边形内点的位置，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，和的平分线相交于点交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③；④若，则．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 10．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，C为线段上一动点（不与点A，点E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，．以下六个结论：①；② ；③；④；⑤；⑥平分，其中正确的结论的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画个 个． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 13．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图所示，由五个点组成的图形，则 度． 14．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 15．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O在延长线上，，下面的结论：①；②是等边三角形；③；④，其中正确的结论是 ． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（6分）（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使得的周长最小． 17．（6分）（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在四边形中，平分，过作于，并且． （1）求证：． （2）求证：． 18．（6分）（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，和是等腰直角三角形，其中，，，过A点作，垂足为点F． （1）求证：； （2）若平分，求证：． 19．（6分）（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接、交于点P； （1）求证∶． （2）求的度数． （3）如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 20．（6分）（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． （1）若设的长为x，则_________，____________． （2）当时，求的长； （3）点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 21．（8分）（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点P． （1）若，则的度数是 ； （2）如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系； （3）如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ． 22．（8分）（23-24八年级上·湖北黄石·期末）在平面直角坐标系中，，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． （1）如图①，若，求点E的坐标； （2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变，连接，求证：平分； （3）若点C在x轴正半轴上运动，当时，求的度数． 23．（9分）（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17.1 期中模拟测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）在下列条件：①，②，③，④，⑤一个外角等于与它相邻的内角．中，能确定是直角三角形的条件有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】 本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为，逐项分析即可得解，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【解题过程】 解：①∵，， ∴， ∴，故是直角三角形，符合题意； ②∵，， ∴，故是直角三角形，符合题意； ③∵，， ∴， ∴，故是直角三角形，符合题意； ④∵，， ∴， ∴，故不是直角三角形，不符合题意； ⑤一个外角等于与它相邻的内角，则这个角为，故是直角三角形，符合题意； 综上所述，能确定是直角三角形的条件有①②③⑤，共个， 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，7，点C在线段上且不与端点重合，若线段能围成三角形，则x可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】 本题主要考查了实数与数轴，三角形三边的关系，解不等式组．先根据题意得到，由三角形三边关系定理得：，得到不等式组的解集是，即可解答． 【解题过程】 解：由点在数轴上的位置得：， ∵线段能围成三角形， ∴由三角形三边关系定理得：， 不等式①恒成立， 由不等式②得：， 由不等式③得：， ∴不等式组的解集是， 观察四个选项，只有C选项符合题意， 故选：C． 3．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：；②；③；，其中正确的有（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【思路点拨】 本题考查了三角形全等的判定与性质，证明得出，即可判断①②；证明即可判断③；证明得出，即可判断④，从而得出答案． 【解题过程】 解： ，，， ， ，，故②正确，符合题意； ，即，故①正确，符合题意； ， ， ，， ，故③正确，符合题意； ， ， ， ， ， ，， ， ， 和不一定相等，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②③， 故选：A． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（    ） A．18 B．88 C．88或62 D．18或70 【思路点拨】 本题主要考查了全等三角形判定，设，则，使与全等，由可知，分两种情况：当，时，当，时，列方程即可求解，利用分类讨论的思想求解是解答此题的关键． 【解题过程】 解：设，则，因为，使与全等，可分两种情况： 情况一：当，时， ，， ， 解得：， ； 情况二：当，时， ，， ， 解得：， ， 综上所述，或70． 故选：D． 5．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 此题考查了坐标与图形，证明得到，是解决问题的关键． 过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，运用证明得到，即可求得结论． 【解题过程】 解：过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：B． 6．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（　　）    A．76° B．84° C．96° D．109° 【思路点拨】 本题考查了最短路线问题．延长至，使，延长至，使，则垂直平分，垂直平分，所以，，的周长为，要使其周长最小，即使最小，设，则，设，则，在中，利用三角形内角和定理，可以求出，进一步可以求出的值． 【解题过程】 解：如图，延长至，使，    延长至，使， 则垂直平分，垂直平分， ，， 根据两点之间，线段最短， 当，，，四点在一条直线时，最小， 则的值最小， 即的周长最小， ，， 可设，， 在中，， ，， ， 故选：A． 7．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，点D是边上的中点，点E是上一点且，F、G是边上的三等分点，若四边形的面积为14，则的面积是（    ） A．24 B．42 C．48 D．56 【思路点拨】 本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分，同高三角形面积比等于底的比． 连接，设，则，，进而得出，根据，求出，即可解答． 【解题过程】 解：连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵F、G是边上的三等分点， ∴， ∴， ∵的面积为14， ∴， 解得：， ∴， ∵点D是边上的中点， ∴， 故选：C． 8．（2024·江苏·模拟预测）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点落在四边形内点的位置，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质是解题的关键． 延长交于点，利用四边形的内角和定理得到：，利用四边形的内角和定理，折叠的性质，三角形的内角和定理，等量代换的性质求得的值，则结论可求． 【解题过程】 解：延长交于点，设交于点，如图， 四边形的内角和为， ， ， ． 由折叠的性质可得：． ， ． 在和中， ， ， ，， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 9．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，和的平分线相交于点交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③；④若，则．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【思路点拨】 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质，由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解和的关系，进而判定①；根据得，根据角平分线和三角形内角和定理得，在上取一点H，使，利用证明可得，利用可证明得，进而可判定②；没有条件证明②；作于H，于M，根据题意得，根据，利用三角形面积即可判断④，即可得． 【解题过程】 解：∵和的平分线，相交于点， ∴，， ∴ = = =， 故①正确； ∵， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，在上取一点H，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③不一定成立，故③错误 如图所示，作于H，于M， ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴ = =， 故④正确； 综上，①②④正确， 故选：D． 10．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，C为线段上一动点（不与点A，点E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，．以下六个结论：①；② ；③；④；⑤；⑥平分，其中正确的结论的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定定理，构造辅助线，利用角平分线判定定理是解题的关键．证明即可判断①正确，证明即可判断②和③正确，证明，即进一步可判断④错误，过点O作于点G，于点H，只要证明，即可根据角平分线的判定定理判断⑤正确． 【解题过程】 解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ， 所以①正确； ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 所以②③都正确； ， ， ， 都是等边三角形， ， ， 所以④错误； 是等边三角形， ， ， ， ， 所以⑤正确； 过点O作于点G，于点H， ， ， ， ， ， 平分， 所以⑥正确； 所以正确的结论的有5个． 故选C． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画个 个． 【思路点拨】 本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题的难点在于确定出不同的对称轴. 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解. 【解题过程】 解：如图，最多能画出个格点三角形与成轴对称． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 【思路点拨】 本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．利用线段垂直平分线的判定定理判定垂直平分，再利用即可求解． 【解题过程】 解：设与交于点， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：2700． 13．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图所示，由五个点组成的图形，则 度． 【思路点拨】 本题考查了多边形的内角和，解题的关键是正确作出辅助线．连接，分别在、、中，利用三角形内角和定理求解即可． 【解题过程】 解：连接， 在中，， 在中，， 得：， 在中，， ， 故答案为：180． 14．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【思路点拨】 在边上截取，连接，，过点作交于点，交于点，过点作于点，由角平分线的定义及已知条件易证得，于是有，因而，由三角形三边之间的关系可得，由垂线段最短可得，于是可得，即的最小值等于（当点位于点且点位于点时，取得其最小值），然后利用三角形的面积公式即可求得，于是得解． 【解题过程】 解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点，交于点，过点作于点， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即：， 的最小值等于， 交于点， ， 是的平分线，且，， ， ， 当点位于点且点位于点时，取得其最小值， ，，，， 又， ， 即：的最小值为， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O在延长线上，，下面的结论：①；②是等边三角形；③；④，其中正确的结论是 ． 【思路点拨】 求出，，，可得，①正确；证明，根据三角形内角和定理求出，即可证明是正三角形，故②正确；延长到T，使得，证明，可得，再由线段之间的关系可得，③正确；推出四边形的面积是定值，可得④错误． 【解题过程】 解：如图，设交于点J． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是正三角形，故②正确； 延长到T，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ， ， ，且为定值， 是变化的， 是错误（与上面定值矛盾），故④错误； 综上所述：正确的是①②③， 故答案为：①②③． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（6分）（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使得的周长最小． 【思路点拨】 本题主要考查了作轴对称图形，三角形面积计算，轴对称的性质； （1）先作出点、、关于轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）利用割补法求出的面积即可； （3）先作出点关于轴的对称点，连接交轴于一点，即为点． 【解题过程】 （1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：； （3）解：先作出点关于轴的对称点，连接交轴于一点，该点即为所求作的点，如图所示： ∵点B关于y轴的对称点， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时的周长最小． 17．（6分）（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在四边形中，平分，过作于，并且． （1）求证：． （2）求证：． 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的性质，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，题目比较好，难度适中． （1）如图所示，过点作交的延长线于，根据角平分线的性质得出，再证明，证出，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据，得出，证明，得出，即可证明； 【解题过程】 （1）证明：如图所示，过点作交的延长线于， ，，平分， ，， ， 又， ， 在和中 ， ； （2）证明：， ， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ． 18．（6分）（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，和是等腰直角三角形，其中，，，过A点作，垂足为点F． （1）求证：； （2）若平分，求证：． 【思路点拨】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定： （1）先证明，再利用即可证明； （2）延长到G，使，连接，先证明，，由角平分线的定义得到，据此证明，得到，再根据线段的和差关系证明即可． 【解题过程】 （1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（6分）（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接、交于点P； （1）求证∶． （2）求的度数． （3）如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【解题过程】 （1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 20．（6分）（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． （1）若设的长为x，则_________，____________． （2）当时，求的长； （3）点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 【思路点拨】 （1）根据等边三角形的性质并结合题意即可得出答案； （2）求出是直角三角形，再由含角的直角三角形的性质得出，建立方程计算即可得出答案； （3）过点作的平行线交于，证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得解． 【解题过程】 （1）解：∵是边长为6的等边三角形， ∴， 设的长为x，则，， ∴； （2）解：∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：点在运动过程中，线段的长不发生变化，，理由如下： 如图，过点作的平行线交于， ∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，． 21．（8分）（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点P． （1）若，则的度数是 ； （2）如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系； （3）如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ． 【思路点拨】 此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义． （1）根据角平分线定义及三角形内角和定理得，则，再根据可得的度数； （2）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得，之间的数量关系； （3）先求出，根据得，然后分四种情况讨论如下：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列方程计算即可． 【解题过程】 （1）解：在中，， 与的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，之间的数量关系是：，理由如下： ，，， ， 点是和的角平分线的交点， ， ， ， 故，之间的数量关系是：； （3）解：平分，平分，， ，， ， 即， ， 由（2）可知：， ， ， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况： ①当时，则， ， 此时， ②当时，则， ，则， 此时， ③当时，则， ， 此时， ④当时，则， ， ， 此时， 综上所述，的度数是或或或， 故答案为：或或或． 22．（8分）（23-24八年级上·湖北黄石·期末）在平面直角坐标系中，，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． （1）如图①，若，求点E的坐标； （2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变，连接，求证：平分； （3）若点C在x轴正半轴上运动，当时，求的度数． 【思路点拨】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，坐标与图形，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． （1）先证明，可得，结合点坐标为，从而可得答案； （2）过作于，于，利用全等三角形的性质面积相等证明，再结合角平分线的判定可得答案； （3）如图3，在上截取，连接，证明，可得，，证明，证明，可得，从而可得答案． 【解题过程】 （1）解：如图1， ，， ， ，， ， ∵，， ． 在和中， ， ， ， 点坐标为， ， ； （2）证明：如图2， 过作于，于， 由（1）知，， ，， ， ， 又，， 平分； （3）解：如图3， 在上截取，连接， 又，， ， ，， ，， ∴， ， ， 又， ， ， ， ． 23．（9分）（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【思路点拨】 （1）如图1，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得，再结合线段和差关系，即可解题； （2）如图2，与（1）同理可得：； （3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：． 本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题． 【解题过程】 解：（1）如图1，延长到点G，使．连接， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 则， 即， ∵，， ∴， ∴ 即， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， （3）①． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ， ，． ． ． ， 易证， ， ， ． ②． 证明：在上截取， 同第一种情况方法，证明， 证明， ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点在延长线上，点在延长线，此时线段，，之间并无直接数量关系． 综上，或或； 故答案为：或或； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$