第13章 小专题6 利用轴对称解决最短路径问题-2024-2025学年八年级上册数学同步测控全优设计(人教版)

小专题6利用轴对称解决最短路径问题。数学 小专题6利用轴对称解决最短路径问题 1.如图，在△ABC中，AB=AC,AD,CE是 值为( ) △ABC的两条中线，P是AD上的一个动 A.3.5 B.4 C.5 D.6 点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的 是() A.BC B.CE C.AD D.AC C H (第5题图) (第6题图) 6.如图，点A在y轴上，G,B两点在r轴上，且 (第1题图) (第2题图》 G(-3,0),B(-2,0),HC与GB关于y轴对 2.如图，等腰三角形ABC底边BC的长为 称，∠GAH=60°，P,Q分别是AG,AH上的 4cm,面积为12cm2,腰AB的垂直平分线 动点，则BP+PQ十CQ的最小值是() EF交AB于点E,交AC于点F,若D为BC A.6 B.7 C.8 D.9 边上的中点，M为线段EF上一点，则 7.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°， △BDM周长的最小值为() ∠B=∠D=90°.在BC,CD上分别找一点 A.5 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm M,N,使△AMN周长最小时，则∠AMN+ 3.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰 ∠ANM的度数为( 长为6，EF垂直平分AB,点P为直线EF上 A.130 B.120 一动点，则BP+CP的最小值为( C.110 D.100 A.10 B.6 C.4 D.2 (第3题图) (第4题图) (第7题图) (第8题图) 4.如图，正三角形ABC的边长为2，过点B的 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， 直线I⊥AB,且△ABC与△A'BC'关于直线1 AC=6,P为BC边的垂直平分线DE上的一 对称，D为线段BC'上一动点，则AD+CD 个动点，则△ACP周长的最小值为 的最小值为() 9.如图所示，在Rt△ABC A.4 B.3 C.2 C.1 中，∠ACB=90°，AC=6, 5.如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于点 BC=8,AB=10,AD是 D,QD=1.5,点P,Q分别为边AB,AD上的 ∠BAC的平分线.若点P,Q分别是AD和 两个定点，且BP=AQ=2.在BD上有一动 AC上的动点，则PC十PQ的最小值为 点E使PE十QE最短，则PE十QE的最小 63 数学/第十三章轴对称 10.如图，在等边三角形ABC (3)请在y轴上求作一点P,使△PBC的周 中，AD是BC边上的中线， 长最小，并写出点P的坐标 且AD=4,E,P分别是 AC,AD上的动点，则 B CP十EP的最小值等于 11.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC.若AC=5, BC=12,AB=13,将Rt△ABC折叠，使得点 C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD, 点P为AD上一动点，则△PEB周长的最 小值为 15.如图1，在△ABC中，AB=AC,DE垂直平 分AB,分别交AB,AC于点D,E (第11题图) (第12题图) (1)若∠C=70°，则∠A为 ； 12.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,点E,F (2)若AE=BC,求∠A的度数： (3)如图2，点M是边BC上的一个定点.若 分别是CD,AC上的动点.若BC=6,S△Ax= 12,则AE+EF的最小值是 点N在直线DE上，当BN+MN最小 13.如图，点CD在线段AB的同侧，CA=6, 时，点N在何处？请用无刻度直尺作出 AB=14,BD=12,M为AB的中点， 点N的位置，（不需要说明理由，保留作 ∠CMD=120°，则CD的最大值为 图痕迹) 120 14.在如图的正方形网格中，每一个小正方形的 边长为1.格点三角形ABC(顶点是网格线 交点的三角形)的顶点A,C的坐标分别是 (-4,6),(-1,4) (1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐 标系； (2)请画出△ABC关于x轴对称的△AB,C: 64同厘可拜F过L srED,号×x-3EC 在△OD中.4D P=AP,AP+PP+BP,地时AA,P,B盘 民：直具连维的线点A与B文风的死离为器阴： 邮据羊鞭工角型的性精和工角影的内角和定观。利 一象真我三二免时或P列A形两流的呢高文和最姐 .2+8+32=2(3, ；w-号D…-×2×度-m-24a 小 10.解1画，作么B美于 二每就其液老时，可以通生闲制崎特体物最大宣登为 在△xN△州N中 y棒的对非成F,连接 CC-OP. 象.D金民AAC中，∠C=国，∠=的，MC-8 ZCN-/PN: 时△.1的周美量小 AB=2=4 14解：》1，△A方等边三角形， ON-ON. A:B的是特分 :P光连上一的盖 ∠B ,△N△NsA8 为1,40(3,0)， ACAPAB. ”E8AB -0 ,A的堂特为 ∠E=∠B=4 4-3,00AE= 处进D, EFLDE,∠DEF= ∠MPN=∠NW十∠PM-+-0m 品EA,mE=AE 0D作DLAN于是D,AC=AB=互 ∠=-∠=3 故遇L :08AE,,1=()=3.纳业排是(0,3， (2)H∠AC非=0，∠EDC=f, 发10：晚的◆直平分线D尾交AH于A尽，0为 △AC的周长最小时，AC的坐为(0,1 .△E为等陵之角形， 风，AE=纪，点A,C关干直E时称. 1L,解：舟利a出点A美，V的对禁点县，C.追裤 EDg ,，ON千AD,,AD.AE,AD 5∠tP-e,/-, :是且DE上到AC,B短高之和最女转九中为AE。 DE,E1中有所市基径， .DF2DE4 AC的需类为8，仪■， 在AMDP”∠A-0,(0-3 1反(1)过用：，△A无等边入是形： E+'， C=,∠A-∠F=6',AB=AC ,“是我DE上的点列点C,B是离之和的最值为0， 在△M与△BF中， 6,解：童A:B:P不在网一直气上时，出时三A购或一十 址这 =, LB建点P作PT⊥MN ∠A=∠F 两地1P与HP的盖小千第三填A日 E-CP: PM-PN. ,A,H,P在同一直我上. C为N的◆孟 ACEACHFISAS. :P列A的潭角与P到节的那再之差氯大时，这个 .∠ME=∠CiF 航是AB的美7象 移，型C物2，镜骨长从幕程为2 车-e-MN-tm (2)解1由目，∠CEa∠CHF 12.D 在△中，∠A=, 餐.9在接D,C 小专题6利用蛀对你解决最阳路径问题 ∠fP3 ∠P+∠B= 1南等要元用型的对体桂可如，点与克：美下直度 ∠PF=. X-子球-1m AD骑静：剩有P=CP。么李AP也在◆线E上 元位，IBF.年∠代，E=r 响，BP+P=CP+EP,其小线为(E 54fOC-1e4-1=3(, ∠GEP=0 去C如调，地接A头 在Ra△求中，Pg=2代 △L假C是等程三来形，是议 上5成1如图，过是P Gw,PE2. 地的中A,AD江段品8■ 作PH⊥师十AH 134课量学习 最知路径问觅题 YPEPF. 吉度·A7X4mN-这m 的对林A EH-FH--EF- AD en. 的时称点A”,速接A'A”,交)型于A山，，到点 “∠-C.∠4=<1-==， :F是我我AH的香直年分线 1,∠非=· B,C种所此时△L的卡小， PF-DF.PE-CE 九且关于直直EF的时是为人A,AD的天为 4P=16, ,,X中+∠WAM=∠CXA+/周0 M中》约最小值，：△D制的属表且箱=M 六PH-o-& 年∠M3B=∠A+∠D ∠A清=W AMD+BD=AD+宁4+×=+2=8m 朝友D域动到AF有箱时 ·∠4十2=轮， 其选 5 ∠DPH= :△调是零壁三角即 选性A',由装随三商5Am'与△雀表于直 5PN-DI-8. ODOCDC. 底时体，得H4'=Am2,C=假A',∠CA' DF-DH-FHK-345. ∠A=÷∠°=4，单R∠A'C.电 台点D进动时点F发朝时，河理 人C DF+EF+ECIX9. 角的昨可得A'DCD自△CD2△M'D得 FDH+下H=&+3=1. 4非图，鲁酬作是关下形，双川的时#点C,D,莲 到)，AD+D=A)中A0.量点D与A年重合时+ F的卡为4友11. 南温小很，为底程A个的是星1， 及有吉？△面是￥边五彩，A》1 PN,MN,龙时C,PN周我票得录小盖- :的顶离之和量姓，厘W蜘下， 装C如周△A是等进三，科=CD 从D=Q+0=L5品AHC=2D=. AD灵∠C的平◆端， i∠AC=吉∠BC-3 E:4格QE,此时PE+BQ的维且小，面小值为PE+ 在w△AE中， 成-子AD-子×1g-, DELAC. ∠ED一r-=, 第摄格对#的性青，得汇(P一(D,∠八一∠N - ∠f=∠M ?∠，出=∠3kP+∠N ,-C= 53 qDDg1.6. 品△平的周表泰小植▣认C十A月例1R CDCCA+A'H+B'DCA+AM+BD6++ 线于=【的珍移AP'到里线上细1的距离冷5 BPw2,AP4AB-P一2=5 知帽所。D是∠M的年分城.二口 D的最大值为2 品对种A的金种冷（一2,2）， ∴AP-Ag=i P.平PC+Q=P+严=(.由在师有逢排两点 14.解：(13(2)如避. 410 的真中●城提系短知，代十口的系小住为，出 作AB关干y轴的对棒是B:,接BC,相 -恒=PA=5,'E+Q花的或小位者3 三果形的委衡公式可知.C·C附AH-CM,,C用 下点P,时盖P脚为时长，高P的之格是(0,2). A=∠M,,《川C=∠属 ∠MD=∠A+∠B.∠4Y=∠(+ 4.B分列作点.C美于AG和AH时种助五广，C,连 ∠U.∠M-∠+∠(0. BP.CQ.B'P.CQ.PQ. ∠0C-2∠4BM+2∠OC24BM+∠. ,汇与关于y仙时 G》HH.=A ∠2∠8=2X1可=W ,:种1y轴， 膏，C,P,Q点%一备直线上对，P+Q+Q= 14AE美于AD的 P十PQ-CQ一㎡C“本，时B'r F,走C ,14w, ”△A%7是等逢三再每，D是 △H为等晚三果， ℃边上的中汽， 13,4107 ∠A= AD上C 解：国，连样E “”轴.，美十AG对称， “,AD是C的海是年拿我 :D罪看直平分A, ∠PG∠代：m∠0，PP :丸且美于AD的时能是为F △PG为零边工角利. ,CF做是P+《甲的量小值 ∠A=∠AE 长正明：如国 过点P作L,交陆于是. 世△A议是等地三角易，事民是从峰的中A时， 公A)是△AC的角华分线 P十CP量小，，F是AI的中点 E= ∠1∠2.EF⊥AD Gw1,)m5. CF是△A的◆线，CFAD=4 品∠C∠ ∠1=∠4=0 P-PB-G-1.-号6- ,EP+(P的量小值为4 W∠HET=∠A+∠ABE-2∠A: 在△E和△F中 11如华△A0E由△AD降AD对禁得到， ∠AhiC=∠m2∠A, 12。 2rn+N-n+N+一1++g- ,E是C关下直AD，AE== ∠A+∠AC+∠C=1 A0A0. ,“4R=AB一AE=一有=， ∠A十2∠A十2∠A=Mr,∠A= ∠=∠4 同厦可裤Q+QN ，连摇C AE☑△MFAS1. 曲难意，厚代C=PE =岸 4.BC-T. ,PB+PE■PB+ AD是EF的◆真平身 =12, “.E=W 否P在C这上，即DA 3.CY在等路三用形A瑞C中，D为∠A改的平身线。 时桌殊最小值1已 3. ∠=∠C-2∠ABD=T 24作玉A关于D的对化走日. ∠AD=3=∠A. D是△A州岭角平分质， 进展A,交尿十AN,AN序为所表 01. ,,是H一瓷虚HC上 事末复习 ∴.∠LX=CA+∠AD=T-∠C 成AH锋HF⊥AC于AP,交D个A星.速传A, .BD 知说整理 制此时AE+F的值量小，AE十EF的录小值 FAD-AC-a.I-. 1重倍对你独2重合对降袖对称及 7,B作点A美个和(D HF,过表A作：⊥于点G 玉.中九系直 CD-AC-ADa- 的昨称A1。A·抽 H△A改二的面相寿2.C表为，G■ 其道C 4.(10原直平分线12再直平外线 D◆直◆分A川.AC-(H, k4ABD.∠LMD=r, 多相等车，柔直平分线 CD平AN:则AA”即角 △AN的小用 SnC,HF=号r, 7山再叫心牛径0大8分A8 ∠m-1-业1-2 DA4长线AH, .HF=从=L,AB+F的最小值是1 象，(1)相同对东点康直平分()对称对岸 T∠LD是△ABD的外用， ,∠AB=12r,,./HAA=G.,∠2A+∠ 35作克A美于的时静点，作点日无DM 六《A-∠H+∠4p=r+=16T, ∠HA'=”∠A-∠LL'∠NAD-∠A. 的对林点'，如下图肾康 1.阳尊答动对等角1.南价三线合一 A0= ∠A+∠MAA'=∠AMN,∠XAD+∠A"=∠ANM. 13,附等等对等边14.朝等 +∠c-K-m,10r-1 ∠AMN+∠A=∠A'+∠LLM'+∠ND 2 15.《1)船等)G和等016.初一丰 .正期：在△，D下CCEF中， 拓展练习 18女周， 解：C1D这明如下 ∠DF-∠EFC1对确角相等》， :P香C泡的◆重平分我 ∠FBD∠FE AB=D:五A在D的垂直干章战二 )2， 生为=卡确儿 点C和点Ⅱ表子直我DE 世∠1-∠2，∠1-∠4，∠MD-12 △BDF2△CEFLAAS :在C在D的香是平分直上. .m上 ∠1+∠8=0 :AC德直平舟D: ∴音砖在P和上童◆粉 ,∠FB∠L且， ∠A3B=120一=0 AC⊥BD. △AP的周表单得录小值 风为AB的中点， 高顿考点提丹体 又：∠A-∠MD Af=MA'=制g=3B ∠FBC+∠AIE=∠FCB+∠ACD 1.都是始对程阳影荐室不暗一】2.D 1Bw2=12. ,△A'3B寿等直三角彩.，AB'=AM=工 ∠AX=∠L 1-22)AP%421, APCP-AP4 IP-A8-12. 斯爵点文间食低最经可如。 ,点P明重我：=1的完离府1一1一：“，点P美于直 △段C是平三高 56