13.1.2 线段的垂直平分线的性质-2024-2025学年八年级上册数学同步测控全优设计(人教版)

数学/第十三章轴对称 13.1.2线段的垂直平分线的性质 第1课时 线段的垂直平分线的性质 B.点P在∠ACB的平分线上 恩|练基础千里之行始于足下 C.点P在边AB的垂直平分线上 D.点P在边BC的垂直平分线上 知识点一线段的垂直平分线的性质 5.在如图所示的仪器中，OD=OE,CD-CE.小 1.如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线. 州把这个仪器往直线L上一放，使点D,E落 若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的 在直线I上，作直线OC,则OC⊥1，他这样判 周长为( 断的理由是() A.16厘米 A.到一个角两边距离相等的 B.18厘米 点在这个角的角平分线上 C.26厘米 B.角平分线上的点到这个角 D.28厘米 两边的距离相等 2.如图，AD⊥BE,BD=DE,点E在线段AC C.到线段两端距离相等的点在这条线段的垂 的垂直平分线上.若AB=6cm,BD=3cm, 直平分线上 则DC的长为( D,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 ) 相等 A.3 cm B.6 cm 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D是△ABC内 一点，且DB=DC,连接AD并延长，交BC C.9 cm 于点E D.12 cm 3.如图，点P是∠AOB外一点， 点M,N分别是∠AOB两边 上的点，点P关于OA的对称 点Q恰好落在线段MN上， 点P关于OB的对称点R落 在线段MN的延长线上.若 (1)依题意补全图形： PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线 (2)求证：AD⊥BC. 段QR的长为 知识点二)线段的垂直平分线的判定 4.如图，点P是△ABC内的一 点.若PB=PC,则( A.点P在∠ABC的平分 线上 42 13.1轴对称。数学 知识点三)垂线的尺规作图 7.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长 为半径作弧，与BC交于点E,分别以点E,C . 为圆心，以大于EC的长为半径作弧，两弧 A.6个B.7个 C.8个 D.9个 12.如图，若AC是BD的中垂 相交于点P,作射线AP,交BC于点D.若 线，AB=5cm,BC=3cm, ∠B=45°，∠C=2∠CAD,则∠BAC的度数 则四边形ABCD的周长为 为() 13.如图所示，已知AB比AC长2cm,BC的垂 直平分线交AB于点D,交BC于点E, △ACD的周长是14cm,求AB和AC的长. A.80° B.75 C.65 D.30 8.如图，分别过点P作线段MN的垂线. 1”9” 9.如图，已知△ABC,求作：BC边上的高，并标上 字母.（要求用尺规作图，不写作法，但要保留作 图痕迹) 14.如图，已知AB=AC,DB= DC,P是AD上一点，求证： ∠ABP=∠ACP |练提能百尺竿头更进一步 10.如图，在四边形ABCD中 ∠A=80°，BC,CD的垂直平 分线交于点A,则∠BCD的 度数为( A.150 B.140 C.130° D.120 11.如图，A,B两点在正方形网格的格点上，每 个方格都是边长为1的正方形，点C也在格 点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的 点C有( 43 数学/第十三章轴对称 15.如图△ABC,AE平分∠BAC,EF⊥AB,垂 证明：如图2，设41,12相交于点O,分别连接 足为F,点F在AB的延长线上，EG⊥AC, OA.OB,OC 垂足为G,ED垂直平分BC,D为垂足，连接 l1是AB的垂直平分线， BE,CE.求证：△BEF≌△CEG. .OA=OB,(依据1) l2是BC的垂直平分线， ∴.OB=OC. .OA=OC,(依据2) ,l是AC的垂直平分线， ∴点O在13上.（依据3） 直线11，l2,l相交于一点 图2 (1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”“依 据3”分别指什么？ (2)如图3，直线1，l2分别是AB,AC的垂直 平分线，直线11,2相交于点O,点O是 △ABC的外心，l1交BC于点M,l交BC 于点N,分别连接AM,AN,OA,OB,OC 若OA=6cm,△OBC的周长为22cm,求 三练素养探究创新发展素养 △AMN的周长. 16.(江苏南京中考)如图，线段AB,BC的垂直 平分线11,12相交于点0.若∠1=39°，则 ∠AOC= 17.阅读下列材料，并完成任务. 三角形的外心 定义：三角形三边的垂直平分线相交于一 点，这个点叫做三角形的外心 如图1，直线11，l2,1分别是边AB,BC,AC 的垂直平分线 求证：直线l,l2,1相交于一点. 44 13.1轴对称。数学 第2课时 线段的垂直平分线的作图 5.如图，△ABC与△A'B'C‘关于某直线对称， 恩练基础 千里之行始于足下 请你作出它们的对称轴， 知识点一作线段的垂直平分线 1.(湖北宜昌中考)如图， 点E,F,G,Q,H在一条 直线上，且EF=GH,我 G O H 们知道按如图所作的直 知识点三线段的垂直平分线与角的平分线作图 线1为线段FG的垂直 6.(湖北襄阳中考)如图，在Rt△ABC 平分线.下列说法正确的是( 中，∠ABC=90°.根据尺规作图的痕 A.l是线段EH的垂直平分线 迹判断，以下结论错误的是( B.l是线段EQ的垂直平分线 A.DB-DE C.I是线段FH的垂直平分线 B.AB=AE D.EH是I的垂直平分线 C.∠EDC=∠BAC 2.(海南中考)如图，在△ABC D.∠DAC-∠C 中，BC=9,AC=4,分别以点 7.(山东济宁中考)如图，点M和点N在∠AOB A,B为圆心，以大于号AB 内部 的长为半径画弧，两弧相交于点M,N.作直 线MN,交BC边于点D,连接AD,则△ACD 的周长为 3.某旅游景区内有一块三角形绿地ABC,如图 所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息 (1)请你作出点P,使点P到点M和点N的 点M,使它到A,C两个点的距离相等.请你 距离相等，且到∠AOB两边的距离也相 在图中确定休息点M的位置. 等（保留作图痕迹，不写作法）： (2)请说明作图理由. 知识点二作对称轴 4.如图，请你用直尺和圆规作出弧AB的对称 轴.（不写作法，保留作图痕迹） 45 数学/第十三章轴对称 和D的距离也相等.如果你是红方的指挥 ②练提能百尺竿头更进一步 员，请你在下图中标出蓝方指挥部点P的位 置.（保留作图痕迹，不必写作法） 8.如图，已知△ABC(AC<BC),用尺规在BC 上确定一点P,使PA十PC=BC,则符合要 求的作图痕迹是( A区 11.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°. (1)尺规作图： ①作边AB的垂直平分线，交BC于点D: ②连接AD,作∠CAD的平分线，交BC 于点E:(要求：保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数. 9.如图，在△ABC中，AB BC,点D在线段BC上（不 与点B,C重合) 作法如下： ①连接AD,作AD的垂直平分线分别交直 线AB,AC于点P,Q,连接DP,DQ,则 三练素养探究创新发展素养 △APQ≌△DPQ: 12.(内蒙古赤峰中考)小琪同学和爸爸妈妈一 ②过点D作AC的平行线，交AB于点P,在 起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了 线段AC上截取AQ,使AQ=DP,连接PQ, 一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边 DQ,则△APQ≌2△DQP: 上均匀镶嵌着4颗巧克力，爸爸要求小琪只 ③过点D作AC的平行线，交AB于点P,过 切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得 点D作AB的平行线，交AC于点Q,连接 的蛋糕和巧克力数都相等。 PQ,则△APQ≌△DQP; (1)请你在图1中画出一种分法（无需尺规 ④过点D作AB的平行线，交AC于点Q,在 作图)： 直线AB上取一点P,连接DP,使DP= (2)如图2，小琪同学过正方形的中心切了一 AQ,连接PQ,则△APQ≌△DPQ 刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所 以上说法一定成立的是 ,(填写正确 在的直线（不写作法，保留作图痕迹）. 答案的序号)》 10.尺规作图： 如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员 发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路 FG和公路CE的距离相等，到两通讯站C 46∠DCE=∠DFB, ∠GB+∠CDP0.∠ED+∠ED A'B'CAC3 mm.A'C2 cm ∠Bm4 5AB-A'R'.nC-BC ∠1-18-5-0-5 DE-D8. 在△A'和△，CDE◆， .△A''的月表为A'C'+(十=AC+ 线料◆ ∠ACB=∠CED A'C8+1=20( ADC-DP. Hr-DE. (21出《11，恳△ACC的面根为 :AD色∠AC的平分能上 ∠A-∠D, AD平价∠BAC ∴.AmA.DECASA》 文AAT"-文×修-制m2% 1上2荣满场意可知，AD是∠BC岭平分气： AB-CD. 7.A,盒R△AC◆，∠IAC=可，∠B=, 守牛选 附∠AAD=∠FAD 证明：接AC 在△AD和△AFD中， 在AAE和AAF中， :△ADB有△AD站美于克气AD时种， ABAF. ∠AD=∠H= ∠AD=∠FAD. (E-CF. ∠CLg■r-w=16. AD-AD. AC-AC. 连A AAABDRAAFDISAS AACEAACFISSSL 18,解：方满一：根想对非格实又可，接周形意看装来是 bD-FD .D+0-D+-度- :∠B=∠D= 峰4C,直填下C两考车分晋下C备量气至相章乡 FCAC-AF=4一i=3. △CDF的周长为FD十汽'+F=9十3=2 4.20 C,D的泰直平分线 327传作因本清可和，仪：为 多解：有程意，得-摆，∠A者=9 良于点A: ∠C的平争线，G作 ADLDE.BEI DE. AI-M.AC-AD. GH⊥C.MLAR, ∠ADCm∠CE因m0 ∠B=∠AB:∠D ∠A AB.GM '∠E=∠DAC ,∠度D=A74 △ADC和△EB, ∠ACTD=∠B+∠ 改 ∠ADx=∠CE. 方去二，我出两时对庭标等复走点风长商的交九F G∠HAD+∠B+∠mD+∠D-3, /2A=/N, 与A相史于，D与以C相文于，这两 /A=, 交点，川作克我4.和国两帝，直线1形为骨皋 ,2∠BCD1.子∠D=10. △AD4△CERLA8) 8,=7 ◆，料有0个，监速 章末复习 由夏套，得AD==9m,“=E=Im, 知识镜理 ÷两传表墙之树岭用离为知m 2.完全重合精应装点对应边对应角△4 △DEF对 第十三章辅对称 玉相等。相得A暂等5 1,1轴对移 13.1.2线段的垂直平分线的性质 5.00 (0C CD (4)射线U西 第1课时型程的带直平分置的性图 12.1m 淡细 13.1.1轴对称 LBE是△B中C蜂◆直平分线 13,解：：D尾南重平分堂，洁=D 1.D2.D3D4B5骑乐.C1.B A=我 AC+AD+DC-14 00- 发.北中一个角AA写 象.斜边直角道H 素？0：∠AD是占A山的外角 AB-AF+E-CE+BE-10. ,AC+D+Dm4■ ∠N-∠A+∠A度 △FBC的具装+E+ED十▣1风（星表 中C十Ai4m L3N内露11，相等 12.平离相零 ∠ADC是AD的并角 ∠ADC=∠D+∠D, 及4（印由轴时称岭植情可知，直线以光找昆阳的 花ABmE,d”=ytn 刻展体习 正明：如图，社表E作下⊥A非F表F, :△和川与△？作美下边（小州春的直线或种对非 备至平价气 世PM2imQ-PM-么5m 银排理意，得十y二国 ,N∠AFE∠AGE■ ÷∠-/AC∠C-∠A-z 展理，可件N=PN=3 ÷<A+∠AC-∠mD+号∠AC LYQN-NN-QM4-2.LG(cm) 解得8 行 在△AF和△AC中： Q=RN+QV=1十1,5=5(， “.AH的长为餐阳：AC的长青阳 ∠AFE-∠AE ∠FAE-∠CGME mg+∠A-6+∠ 14.延明：速 6.1)解：如图 AIAC. AF-AE- △AFB≌△GEKAAS),EF= 都∠A“=好 (2山证用，WAB-C ∠ADC=∠A+∠改-2+4g一 AA卷C的◆直平分线上 情上 在R△时E和民△：试中.F-, ER-EC 气un6L,B1以C13,D4. +on-pC. 5(0）本国，电折 六在D克C的★直平奇值上 品AD在直程风的香直平合 ,k△F△CEUL :AA,D都益aC的★直中分 上 ,∠AE=∠ACE 叠可∠1=∠4. 线上 ,AD备直平分我程 高餐考点提升蓝 曲平行且的质。可得，∠： W'越长D交C边于AE, PB-PC. 1,A在△Aa和△B9, 在△ABP和△AP◆， AH=, ∠则∠ AE⊥，ADL, 是∠1=∠1=上， T.打库作国限建可和，A》1K国 AB-AG ∠A=∠B, BCCB. 机据三角形内角和式理。 ,∠C+∠CAD- T得∠2-r-9-(四-含小 见∠C=∠LD PwLP. 2,证图：1B⊥WD,E1BD.AL星， 6解：11门：△A美子直成MV的时种A年利为 ∠ABP-∠P. -∠AC=B=∠AB=90. 44 I5.E明：WAE平分∠FC,FEF⊥AF,B0⊥A 未照女国： △APG☑△DQP(A5A),S至%： 又肌中固用币，可代表盆州与蜀包 5.EF-E IDE◆直平令C ,,= YEF LAF ECLAC ∠f5=∠GE=e 在△EF和R△CE中 4A如因.可以满后个 =E, EFEG B.F为围心钱大子一F豹装为 △PQ△DQ不或 车径画盆，局低是于D,E得A 目.翻：如围，在P序为两本 拔8中国，连据自)许轮， 守州直气DE,制直直D出就是 △.A每△ABT"的对华格 .D由风作标，AD是∠CAB的平分气，DE C.在△AED和△AD中， ∠A=∠A的， ∠EAD=∠LA ADAD、 ∴.△AG△AmAA ∴D=D6,A=AE,这喷A,B年兵满 11,解：(1)如周.面kD印为所表 民朝：如避两示，纯到关健的通克，身料向仙程击民，是尾 在△ED中，∠ED∠. “分列是我A的直平 在△A配，∠AC=90-∠C 长我列时点来，顿以速精 ,=店，从=”，∠DC∠下=0 “∠A=∠A,∠C-∠ 4须D,是眉中使少条件鞋用，载鲨线理格议： ∠2-2∠A,∠8-2∠(，20D=∠0FE- 不，留：(1)如国，等∠HB的乎分线有线共N的◆克平 g=5, 分★叉于P,A时气和生N的理离期等， ,∠C=∠1+∠1=∠A+∠. 到∠用局建的是高意相等 ):DF◆是平分气发LB ”∠0D=∠A+∠MG∠FE=∠十∠F ÷.DB=A务s△AFI@△BNH且D, ,∠M0G=i-∠A,∠CF=i-∠C ∠1B=∠B=1, ∠u,+∠十∠1十∠+∠=1 :/C-56../4C-1130=100 长解：1)奶图，下， ,1-∠A+1∠A+∠C+31-∠C+3=10 ∠A+∠- ,∠C=2∠A+∠C)=78. ￥ :AE羊分∠M, 17,解：《1孩满1：线◆真平分气上的A为域者气汽商 ∴∠DE∠DC- 理由，角桥平分成上的无明具的商进的题高加羊： 12,解：()如下得所6：相着至方形贤其0财质线切出两 维相2：零重代桃 商段的◆皇平分线上的人到线姐所魂A的海相零， 然据3，每线现个是耐的点在条汽登的 票力由是意可如，点P点走能茂AB的◆直车会线与边 命直平分直上， 的交，比时AP=P,有AP+P十P= (2)有国直接健出AA:=1 ()如，，直线，是A的备直平线 仪释合道意. T,书 长C如耳所示，日的垂小植为3 ,PQ为AD的击直年身线 PA-PD.QA-QD. 在△APQ和△Q中 PA-PD. 所氧的停分，系二万为第一对的中备线即可。如了周 Po0o. 黄序。度革一万与善机边我的文点为A,,好利候A: ,AM=M,A=狼 Q4Q0, 国累义点的连观昨为器二月： 克气么是C的女直平分线 更书（补全字得包醒则所） 日 ,AN=《V,A- D,M∠DQ∠ “溶='0H￥名m4△AMN的离头=A国+ B00K- MN-AN-DC. 在△A的和△0中， 世△的闻柔为22图 AQ-DF. ∠AQP=∠DQ .C-230+中=2-11-10(m QP-PQ. △AN的调天★0m -△AQ△DOPISAS), 第？课时找段的通直平分线的作图 周， 13.2国轴对称图形 入解：如围种单，作AC的垂是平分线，交A于A制，则 FPDAC. 期1灌时备纳时称园彩 A解平角两求 ∠DQ∠AP 间厘.∠DQP=∠Q 1解：如国所6 在△AQ和△D0P 1,解：要楼高黑球统黑埠M无稀使合进A月上的 ∠DQ=∠QP. O后反体去单白味N,害∠AM=∠议V,弹是美 取=QP ∠I0P=∠A0. 于AB物时称点'，难接N,交A于点队如园 所1 45 46