3.3圆的有关性质（七大类型培优提升+压轴训练30道）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

3.3圆的有关性质（七大类型培优提升+压轴训练30道） 目录 类型一、垂径定理的有关计算与应用 1 类型二、弧、弦、圆心角之间的关系 2 类型三、圆周角的有关性质及推论 2 类型四、圆内接四边形的有关性质及计算 3 类型五、圆中的有关线段的最值问题 3 类型六、圆中有关角的性质及计算问题 4 类型七、圆有关角的综合问题 4 压轴能力测评 6 类型一、垂径定理的有关计算与应用 1．（22-23九年级上·河南南阳·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 2．（2024·广西南宁·模拟预测）《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(寸)，锯道长1尺尺寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径是（） A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 类型二、弧、弦、圆心角之间的关系 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，是同圆的两段弧，且，则弦与之间的数量关系为 ．（填“>”，“=”，“<”） 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，弦与弦相交于点，，，延长至点，连接，设，则的取值范围是 ． 类型三、圆周角的有关性质及推论 5．（2024·浙江·模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为(   ) A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（    ） A． B． C． D． 类型四、圆内接四边形的有关性质及计算 7．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，正方形内接于，E为的中点，直线交于点F，若的半径为，则C点到的距离为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·山东聊城·三模）如图，四边形内接于，，连接圆心O与各顶点，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 类型五、圆中的有关线段的最值问题 9．（22-23九年级上·浙江衢州·期中）如图，是的直径，点，在上，且点是弧的中点，是直径上的一个动点，连接，，已知，弧的度数为，则的最小值为（    ）    A．10 B． C． D．5 10．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 类型六、圆中有关角的性质及计算问题 11．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，以为直径的半圆分别交，于点，，连接，． (1)求证：； (2)当，的度数之比为时，求四边形四个内角的度数． 12．（2024·浙江杭州·一模）如图，点A，B，C，D，E在上顺次排列，已知． (1)求证：； (2)若直线过圆心O，设的度数为，的度数为． ①当时，求的值； ②探索和满足的等量关系． 类型七、圆有关角的综合问题 13．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图， 内接于， 点 D在上， 点F在 上， 与交于点 E， ， (1)如图1， 求证： ； (2)如图2， 射线交于点G， 过A作 于点M， 交于点H， 求证： 14．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，锐角，，以为直径作交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点G，， ①求证：； ②如图3，连接，若，求的长． 压轴能力测评 一、单选题 1．（2024·山西长治·模拟预测）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，某学习小组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取两点，设所在圆的圆心为，经测量：弦，过弦的中点作交圆弧于点，且，则该车轮的半径等于（   ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是的直径，弦是下半圆上一个动点，E为的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ）    A．50cm B．30cm C．25cm D．20cm 5．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，为直径，，点为弦的中点，点为上任意一点（点不与点重合），则的大小可能是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23九年级下·重庆南岸·阶段练习）如图，是上的一点，与交于点，已知弦，，，则半径的长为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖北·模拟预测）西昌市“北环线”是市政府为进一步优化市区交通布局打造的重点民生工程．如图，其中公路弯道处是一段圆弧，点是这条弧所在圆的圆心，点是的中点，与相交于点．经测量，，，那么这段弯道的半径为（） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 9．（23-24九年级下·山东菏泽·期中）如图，线段，分别为的弦，，，是的平分线，若，则弦长为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·广西·模拟预测）如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 11．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，点D是的中点，交的延长线于点E，于点F．若，则的半径等于（    ） A．4cm B．5cm C． D． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接，点在线段上，，连接，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，M，N是上的两个动点，且在弦AB的两侧，若的半径是，，则四边形面积的最大值是（    ） A． B．4 C． D． 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 15．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，四边形内接于，延长交于点E，连接，若，，则的大小为 °． 16．（2023九年级·广西柳州·专题练习）已知是半径为1的圆的一条弦，以为一边在圆内作正，点为圆上不同于点的一点，且（其中为常数，且），的延长线交圆于点，则的长为 .    17．（2024·北京·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，以 O 为圆心作，点A 、C分别是 与y轴正半轴、x轴正半轴的交点，点B 、D在 上，那么的度数是 ． 18．（2024·江苏·模拟预测）如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为 ．    19．（2024·广东江门·二模）如图，四边形内接于以为直径的，平分，，交的延长线于点E．若四边形的面积是，则 ．    20．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，点在半径长为4的上，点分别是弦，弦的中点，连接，若弧的度数为，弧的度数为，则的长度为 ． 21．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，的直径，点是上一动点，弦，在点的运动过程中，弦的长度不变，作于点，点为中点，连结，当是以为腰的等腰三角形时，的长为 ． 22．（2024·浙江温州·三模）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 三、解答题 23．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，作的外接圆； （2）若是等边三角形，．则的外接圆的半径为__________． 24．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，的直径为10，弦为6，D是的中点，弦和交于点F，且． (1)求证：； (2)求证： (3)求的长． 25．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 26．（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，等边内接于，点P是劣弧上的一点（端点除外），连接，延长至点D，使，连接． (1)如图1，若经过圆心O． ①求的度数； ②猜想是何种特殊三角形，并加以证明． (2)数学课代表小明经过探究发现：“无论点P在劣弧上怎样运动（如图2），的大小不会发生变化．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 27．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，和分别是的直径和弦，与关于轴对称，交于点D，交于点E． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求半径的长． 28．（2024·陕西咸阳·三模）如图，为的直径，为上一点，连接，过点作于点，在劣弧上取一点，连接，且满足平分，连接，分别交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径长． 29．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知点，，，是上的四个点，且弦，于点． (1)如图1，点是的中点，在探究，，之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在上截取，连结，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系．请你帮圆圆同学写出完整的探究过程． (2)如图2，是等边三角形，若，，利用（1）的结论，求的周长． (3)如图3，若，，，，连结，求的度数． 30．（2023·浙江·模拟预测）如图，是上的四点，，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3圆的有关性质（七大类型培优提升+压轴训练30道） 目录 类型一、垂径定理的有关计算与应用 1 类型二、弧、弦、圆心角之间的关系 3 类型三、圆周角的有关性质及推论 4 类型四、圆内接四边形的有关性质及计算 7 类型五、圆中的有关线段的最值问题 9 类型六、圆中有关角的性质及计算问题 11 类型七、圆有关角的综合问题 14 压轴能力侧评30道 17 类型一、垂径定理的有关计算与应用 1．（22-23九年级上·河南南阳·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 故选：B 2．（2024·广西南宁·模拟预测）《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(寸)，锯道长1尺尺寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径是（） A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设圆的半径为寸，利用勾股定理列出方程是解题的关键．利用垂径定理和勾股定理求得圆的半径即可得出结论． 【详解】解：， （寸）． 设圆的半径为寸，则寸， 寸， ， ， 解得：． 圆柱形木材的直径是（寸）． 故选：C 类型二、弧、弦、圆心角之间的关系 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，是同圆的两段弧，且，则弦与之间的数量关系为 ．（填“>”，“=”，“<”） 【答案】< 【分析】本题主要考查了圆弧与弦的关系，三角形三边的关系．熟练掌握同圆中等弧对等弦，三角形任意两边的和大于第三边，是解决问题的关键． 画图，取的中点E，连接，，根据，，得到，得到，根据，即得． 【详解】如图，取的中点E，连接，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：<． 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，弦与弦相交于点，，，延长至点，连接，设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】连接，根据可得到，再根据三角形的内角和定理求得，然后根据三角形的外角性质得到可得到结论． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧、弦、圆周角的关系、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握弧与圆周角的关系以及三角形的外角性质是解答的关键． 类型三、圆周角的有关性质及推论 5．（2024·浙江·模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本考查了圆的相关性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，连接，，设圆心为，连接并延长交于，连接，过作交延长线于，由，，得，即得，可得，，由，得是等腰直角三角形，，在中，，由托勒密定理的推论知有，故，从而可得四边形的周长为． 【详解】解：连接，，设圆心为，连接并延长交于，连接，过作交延长线于，如图： ，， ， ， 是的直径， ， ， 半径为， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 在中，， 由托勒密定理任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号． ， ， ， ， 四边形的周长为， 故选：A． 6．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、割线长定理的应用，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键； 根据题意作线段关于的对称线段，交圆于点，然后利用勾股定理和割线定理解答即可． 【详解】解：如图所示：作线段关于的对称线段，交圆于点 为圆的直径， ， ， 由对称轴的性质可知：，，， ， 由割线定理可知：， 即， 解得：， ， 故选：C． 类型四、圆内接四边形的有关性质及计算 7．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，正方形内接于，E为的中点，直线交于点F，若的半径为，则C点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题综合运用了勾股定理，圆内接四边形，正确作出辅助线是解题的关键． 根据正方形的性质以及圆的性质可得出正方形边长，再利用勾股定理以及三角形面积关系得出即可． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵正方形内接于的半径为， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则C点到的距离为， 故选：C． 8．（2024·山东聊城·三模）如图，四边形内接于，，连接圆心O与各顶点，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记与的交点为，利用圆内接四边形性质和平行线性质，得到，利用圆周角定理得到，进而得到，利用直角三角形性质得到，，进而得到，最后利用等腰三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：记与的交点为， 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形性质，平行线性质，圆周角定理，直角三角形性质，等边三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 类型五、圆中的有关线段的最值问题 9．（22-23九年级上·浙江衢州·期中）如图，是的直径，点，在上，且点是弧的中点，是直径上的一个动点，连接，，已知，弧的度数为，则的最小值为（    ）    A．10 B． C． D．5 【答案】D 【分析】，作点关于的对称点，连接，当点在上时，，即取得最小值，进而根据圆心角与弧的关系可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，当点在上时，，即取得最小值    ∵的度数为，点是弧的中点， ∴的度数为， 又， ∴是等边三角形， ∵ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解题的关键． 10．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形中，求出，得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，求出和的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明是定值，从而得到点的轨迹． 【详解】解：四边形是正方形， ， 在凹四边形中，，，， 始终为， 得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，， ， 由解图可得，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为， 在中，， ， ， ， 故选：D． 类型六、圆中有关角的性质及计算问题 11．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，以为直径的半圆分别交，于点，，连接，． (1)求证：； (2)当，的度数之比为时，求四边形四个内角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆中的弧和圆周角之间的关系． （1）连接后，证明这两条弧所对的圆周角相等，即，该题得证； （2）由这两条弧度数之比为4:5，分别求出它们的度数，再根据，求出和的度数，即可求出和，利用圆的内接四边形对角互补可以得到另外两个内角的度数． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，与的度数之比为， ∴，， ∵，∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，，． 12．（2024·浙江杭州·一模）如图，点A，B，C，D，E在上顺次排列，已知． (1)求证：； (2)若直线过圆心O，设的度数为，的度数为． ①当时，求的值； ②探索和满足的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】本题考查圆内接四边形，圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，掌握圆内接四边形对角互补，圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理是正确解答的关键． （1）根据圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理进行解答即可； （2）①根据得到，再利用圆内接四边形的性质进行解答即可． ②根据①中原理进行解答即可． 【详解】（1）证明：（1）， ， ， ，即， ， ， ， ， 即， ； （2）解：①的度数， ，其度数都等于， ， 点、点、点、点在上， ， ， 即； ②，理由如下： 的度数， ，其度数都等于， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 即， ． 类型七、圆有关角的综合问题 13．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图， 内接于， 点 D在上， 点F在 上， 与交于点 E， ， (1)如图1， 求证： ； (2)如图2， 射线交于点G， 过A作 于点M， 交于点H， 求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形外角性质求得，再利用利用等腰三角形与三角形内角和定理求得，然后根据等腰三角形的性质得到，则，从而得出，即可得出结论； （2）证明，得到，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． （2）证明：∵于点M ∴ ∴ 由（1）知 ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵点A、B、D、H四点共圆， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，圆内接四边形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和圆周角定理是解题的关键． 14．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，锐角，，以为直径作交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点G，， ①求证：； ②如图3，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】题目主要考查圆内接四边形及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据圆内接四边形的性质得出，结合邻补角即可证明； （2）①根据等边对等角得出，再由等量代换确定，再由等角对等边即可证明； ②作于K，交的延长线于点M，根据全等三角形的判定和性质得出，再由三角形等面积法得出，结合图形利用勾股定理及全等三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是内接四边形， ∴， 又， ∴； （2）①证明：∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴； ②解：作于K，交的延长线于点M， ∴，， ∴（AAS）， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴（SAS）， ∴． 压轴能力侧评30道 一、单选题 1．（2024·山西长治·模拟预测）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 连接交于点，根据垂径定理得到米，，再根据勾股定理得到即可得解． 【详解】解：连接交于点， 依题得：米，，米， 设，即， 中，， 即， 解得， 即米， 米， 即点到弦所在直线的距离是米． 故选：． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，某学习小组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取两点，设所在圆的圆心为，经测量：弦，过弦的中点作交圆弧于点，且，则该车轮的半径等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确做出辅助线是解题关键．连接，设的半径为，根据垂径定理可得三点共线，进而可得，，在中，由勾股定理得解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接，设的半径为， ∵为的中点且， ∴三点共线， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 即该车轮的半径等于． 故选：D． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是的直径，弦是下半圆上一个动点，E为的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，垂径定理，确定圆心，连接，则是等边三角形，即可得到，然后根据弦的中点得到，即可得到点在以为直径的圆上运动，然后计算最值即可． 【详解】解：连接. ∵ 为的中点, ， ∴点在以为直径的圆上运动. ， 是等边三角形， ， 取的中点， 则 的半径为, ∴的最小值为， 故选A． 4．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ）    A．50cm B．30cm C．25cm D．20cm 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，，    在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故选C． 5．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，为直径，，点为弦的中点，点为上任意一点（点不与点重合），则的大小可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解题的关键．连接，先求出，，设，则，，然后运用等腰三角形的性质分别求得和的值，然后即可解答． 【详解】解：连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为弦的中点， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即可能是． 故选：C． 6．（22-23九年级下·重庆南岸·阶段练习）如图，是上的一点，与交于点，已知弦，，，则半径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，勾股定理等知识，作于，连接，可得，，设，则，，，即可根据求出，再利用勾股定理得，从而解决问题． 【详解】解：作于，连接，则， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴ 故选：A． 7．（2024·湖北·模拟预测）西昌市“北环线”是市政府为进一步优化市区交通布局打造的重点民生工程．如图，其中公路弯道处是一段圆弧，点是这条弧所在圆的圆心，点是的中点，与相交于点．经测量，，，那么这段弯道的半径为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是作辅助线构造直角三角形，由勾股定理列出关于半径的方程．连接，，设这段弯道的半径为，由圆心角、弧、弦的关系得到，由等腰三角形的性质得到，由垂径定理求出的长，由勾股定理得到，求出即可． 【详解】解：连接，， 设这段弯道的半径为， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 这段弯道的半径为． 故选：A 8．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了考查了圆的有关性质，等腰三角形的有关性质，平行线的性质，根据题意画图分情况分析即可，熟练掌握知识点的应是解题的关键． 【详解】如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 综上可知：的度数是或， 故选：． 9．（23-24九年级下·山东菏泽·期中）如图，线段，分别为的弦，，，是的平分线，若，则弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，，根据圆内接四边形的性质可得，由平分，可得，，，，再证明，，可得，，则，进而求得，可知，再由勾股定理即可求解，能根据角平分线正确作出辅助线是解此题的关键． 【详解】解：过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，， ∵平分，， ∴，，(圆内接四边形对角互补)， 则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则， ∴， 由勾股定理可得：，即：， ∴， 故选：D． 10．（2024·广西·模拟预测）如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，在上取一点F，使得，连接，由得到，进而证明，得到，由三线合一定理得到，则． 【详解】解：如图所示，在上取一点F，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 11．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，点D是的中点，交的延长线于点E，于点F．若，则的半径等于（    ） A．4cm B．5cm C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由弧，弦，圆周角之间的关系得到，，再由角平分线的性质得到，证明，得到，设的半径为，则，，在中由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接． ∵点D是的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ 设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 故选：C． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接，点在线段上，，连接，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，延长交圆于点，连接，利用圆周角定理和垂径定理求出及的度数即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交圆于点，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵圆中于点，根据垂径定理可得，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 13．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，M，N是上的两个动点，且在弦AB的两侧，若的半径是，，则四边形面积的最大值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，找到使四边形面积最大的点M与点N的位置是解题的关键． 过点O作于点C，交于D，E两点．连接，先证明，得到为等腰直角三角形，求出的长，然后利用，得出当M点运动到D点，N点运动到E点，四边形面积最大值，由此计算，即得答案． 【详解】如图，过点O作于点C，交于D，E两点．连接， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵． ∴当点M到的距离最大时，的面积最大；当点N到的距离最大时．的面积最大．即点M运动到点D，点N运动到点E． 此时四边形面积的最大值 ． 故选D． 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和圆的内接四边形性质，熟练掌握圆的内接四边形性质是解题的关键．利用三角形内角和定理和圆的内接四边形对角互补，根据题意列出关系式化简即可． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ，即 ， ∴ ． 故选：C． 二、填空题 15．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，四边形内接于，延长交于点E，连接，若，，则的大小为 °． 【答案】50 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理得到，求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为：50． 16．（2023九年级·广西柳州·专题练习）已知是半径为1的圆的一条弦，以为一边在圆内作正，点为圆上不同于点的一点，且（其中为常数，且），的延长线交圆于点，则的长为 .    【答案】1 【分析】由等边 和圆的内接四边形可推导，然后通过得出，最后证明和全等即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接、、 是等边三角形 ， 即： 为等腰三角形， 为等腰三角形 在 和中， ， ， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了圆的内接四边形、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理；其中熟练运用圆的内接四边形对角互补来倒角，是解决此题的关键． 17．（2024·北京·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，以 O 为圆心作，点A 、C分别是 与y轴正半轴、x轴正半轴的交点，点B 、D在 上，那么的度数是 ． 【答案】/135度 【分析】本题主要考查了坐标与图形，圆周角定理，利用“在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”求得；然后由圆内接四边形的对角互补来求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵点A、B、C、D共圆， ∴， ∴． 故答案是：． 18．（2024·江苏·模拟预测）如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接，由，得到，求得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，求得，推出，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 19．（2024·广东江门·二模）如图，四边形内接于以为直径的，平分，，交的延长线于点E．若四边形的面积是，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，首先证明，从而得到的面积等于四边形的面积，证明为等腰直角三角形，根据三角形面积公式即可求出，解题的关键是将四边形的面积转化为的面积． 【详解】∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，点在半径长为4的上，点分别是弦，弦的中点，连接，若弧的度数为，弧的度数为，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形中位线定理以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角，连接，作于点，根据已知得，可得，，所以，再根据是的中位线，即可得出答案． 【详解】解：连接，作于点， ∵弧的度数为，弧的度数为， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点分别是弦，弦的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 21．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，的直径，点是上一动点，弦，在点的运动过程中，弦的长度不变，作于点，点为中点，连结，当是以为腰的等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了圆的综合性质，涉及垂径定理，圆周角的性质，中位线，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．分和两种情况，其中时又有两种情况，分别讨论计算即可． 【详解】解：①当时， （Ⅰ）如图1，延长交于，连结，， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 垂直平分， 过圆心， 连结， 则，， ， ， ， ； （Ⅱ）如图2， 延长交于点，连结， 则，， 则， 又， ， 又， ∴点、在以为直径的圆上， 取中点，连接，，交于点， ， ， ， 又， ，， ， ， ， ； ②如图3，当时， ， ， ，， ， 得， 又， 则在线段上，点在处， 连结，， ，为中点， ，， 则， ， 即， ； 综上，的长为或或， 故答案为：或或． 22．（2024·浙江温州·三模）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、直径所对的圆周角是直角、求一点到圆上点距离的最值，分析得出“动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动”是解题的关键． 根据勾股定理计算，由直径所对的圆周角是直角，推出，推出动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，当，，在同一直线上时，最小，根据勾股定理求出，则，计算得出答案即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 如图，连接， ∵以为直径作， ∴， ∴， ∴如图，动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动， ∴， ∴当，，在同一直线上时，最小，， ∴，即的最小值， 故答案为：． 三、解答题 23．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，作的外接圆； （2）若是等边三角形，．则的外接圆的半径为__________． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）分别作，的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径作，即为所求； （2）连接，，设的垂直平分线交于点E，首先求出，然后得到，根据垂直平分线的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，作，的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径作，即为所求． （2）如图所示，连接，，设的垂直平分线交于点E ∵是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的垂直平分线 ∴， ∴， ∴ ∴，负值舍去． ∴的外接圆的半径为． 【点睛】本题考查了作三角形的外接圆，垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理，含角直角三角形的性质和等边三角形的性质等知识，掌握基本作图是解题的关键． 24．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，的直径为10，弦为6，D是的中点，弦和交于点F，且． (1)求证：； (2)求证： (3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据对顶角相等及同弧所对的圆周角相等得，即可证明； （2）根据题意可得，则，再证明，即可证明； （3）过B作于点H，连接，利用等弧所对的圆周角相等证明是等腰直角三角形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∴； （2）证明：是的中点， ∴， ， ， ， 即， ∴； （3）解：过B作于点H，连接， 为的直径， ， 由（2）可知， ∴， ， 在等腰直角三角形中， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了弧与弦，圆周角的关系，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键． 25．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识点．灵活运用垂径定理是解答关键． （1）如图：连接，由垂径定理可得，则，再根据圆周角定理求得的度数． （2）设，则，求出，得到，则，解得，由勾股定理得到，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，等边内接于，点P是劣弧上的一点（端点除外），连接，延长至点D，使，连接． (1)如图1，若经过圆心O． ①求的度数； ②猜想是何种特殊三角形，并加以证明． (2)数学课代表小明经过探究发现：“无论点P在劣弧上怎样运动（如图2），的大小不会发生变化．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)①；②等边三角形，证明见解析 (2)小明的说法正确，无论点P在劣弧上怎样运动，的大小不会发生变化 【分析】本题考查的是垂径定理的推理、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及研究四边形的性质，灵活运用相关定理、数形结合思想是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质得到，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到答案；②根据等边三角形的性质和题意证明，得到，根据圆内接四边形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； （2）证明，得到，根据圆内接四边形的性质得到，证明等边三角形，根据等边三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解：①∵是等边三角形， ∴， ∴，又经过圆心O， ∴， ∴； ②等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴等边三角形； （2）解：无论点P在劣弧上怎样运动，的大小不会发生变化，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴等边三角形， ∴， ∴无论点P在劣弧上怎样运动，的大小不会发生变化． 27．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，和分别是的直径和弦，与关于轴对称，交于点D，交于点E． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】题目主要考查圆与四边形综合问题，包括全等三角的判定和性质，垂径定理，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据轴对称的性质得出，，，由全等三角形的判定和性质得出，再由平行线的判定即可证明； （2）连接，根据菱形的判定确定四边形为菱形，再由菱形的性质及全等三角形的判定得出，即可证明； （3）过作垂线交于F，根据题意得出，利用垂径定理确定，设两圆的半径为x，得出， ，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵与关于轴对称， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，如图： 由（1）知，，， ∴四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ， ， ， ， ； （3）解：过作垂线交于F，如图： ， ， 由垂径定理可知，， 设两圆的半径为x， 则， ， 在和中， ， 解得：（负值已舍去）， 即半径的长为． 28．（2024·陕西咸阳·三模）如图，为的直径，为上一点，连接，过点作于点，在劣弧上取一点，连接，且满足平分，连接，分别交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）平分可得，所以，在中，易得，,即证； （2）利用（1）中条件，易证，所以，求出的长，在中，利用勾股定理求得的长，即得半径长． 【详解】（1）证明：平分 为的直径 （2）由（1）得 即 在中，利用勾股定理得: ，即半径为5 【点睛】题目考查了圆周角定理，直角三角形角度性质及勾股定理，三角形相似，等腰三角形判定等知识点，熟练掌握定理内容是解题的关键． 29．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知点，，，是上的四个点，且弦，于点． (1)如图1，点是的中点，在探究，，之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在上截取，连结，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系．请你帮圆圆同学写出完整的探究过程． (2)如图2，是等边三角形，若，，利用（1）的结论，求的周长． (3)如图3，若，，，，连结，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据弧，弦，角之间的关系，得到，圆周角定理，得到，证明，得到，三线合一，得到，得到，即可； （2）勾股定理求出的长，进而得到的长，等边三角形得到，进一步求出的周长即可； （3）在延长线上截取，连接，设，易得垂直平分，得到，推出，等边对等角，求解即可． 【详解】（1）∵A是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． （2）∵， ∴ ， 由（1）知：， ∵是等边三角形， ∴， ∴周长． （3）在延长线上截取， 连接， 不妨设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴，且， ∴． 【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，涉及弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握相关性质，是解题的关键． 30．（2023·浙江·模拟预测）如图，是上的四点，，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）根据圆周角定理由得，则是等边三角形，所以，，再由得到，即可判断是等边三角形，得到，，易得，然后利用“”可判断，从而求解； （）由得，则，由于是等边三角形，于是可根据等边三角形的性质计算其面积即可； 本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴； （2）由（）得：是等边三角形，， ∴，， ∵，， ∴， 过作于点， ∴， ∴， ∴的面积． ( 54 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$