3.2圆（七大类型培优提升+ 压轴训练30道）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

3.2圆（七大类型培优提升 压轴训练30道） 类型一、由点到圆上的距离求半径 1．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）一个点到圆上的点的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为 cm． 【答案】8或2/2或8 【分析】由于点与圆的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：分为两种情况：    ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， ∴半径； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， ∴半径， 综上所述，圆的半径为或， 故答案为：8或2． 【点睛】考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 2．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）已知点P到圆上的点的最大距离为11，最小距离为7，则此圆的半径为 ． 【答案】2或9/9或2 【分析】点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解． 【详解】解：如图，分为两种情况： ①当点P在圆内时，最近点的距离为7，最大距离为11，则直径是18，因而半径是9； ②当点P在圆外时，最近点的距离为7，最大距离为11，则直径是4，因而半径是2． 故此圆的半径为2或9． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 类型二、由点与圆的位置关系求半径的范围 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 【答案】(1)点在圆A上，点在圆A内，在圆A外 (2) 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握通过圆心与点的距离和半径的大小关系判断点与圆的位置关系是解题的关键； （1）先利用勾股定理计算出，再利用等面积法求出，然后根据点与圆的位置关系进行判断即可； （2）使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，根据，，可知，C必定在圆外，D必定在圆内，据此求出半径范围即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， 半径， ， ，， 点在圆A上，点在圆A内，在圆A外； （2）解：使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，，，， ，即， 圆A的半径的取值范围为． 4．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】(1)点在内，点在外，点在上 (2) 【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解； （2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解． 【详解】（1）解：连接， ，， ， 的半径为8， 点在内，点在外，点在上； （2）解：，，， 又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 类型三、利用点到圆的距离求线段的最值 5．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是以为圆心，1为半径的上的一个动点，已知，，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，两点间的距离．连接，设，可求出，从而得到，再由当点P位于与圆的交点上时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当点P位于与圆的交点上时，取得最小值， ∴的最小值为， ∴的最小值为．    故答案为： 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连结．则线段的最大值是 ．    【答案】//3.5 【分析】当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，而是的中位线，即可求解． 【详解】解：令，解得， 故点，， 设圆的半径为r，则， 连接，而点Q、O分别为、的中点， 故是的中位线， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，此时最大， ，， ，， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的基本性质，抛物线与x轴的交点坐标，勾股定理，三角形中位线的性质等．见两个中点，联想到三角形中位线，从而将所求线段进行转化，是解题的关键． 类型四、圆中的最长弦问题 7．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    【答案】2 【分析】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为． 【详解】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接， ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴． 点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长． ∵是直径， ∴． ∴的最大值为． 故答案为：2    【点睛】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键． 类型五、确定圆的个数 9．（2023九年级·全国·专题练习）如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为 ．    【答案】6 【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得． 【详解】解：如图，    以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 综上分析可知，共6组． 故答案为：6． 【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆． 10．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）平面内有5个点A，B，C，D，E，直线与直线正好相交于点E，在这5个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查确定圆的条件：经过不在同一条直线上的三个点确定一个圆；概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． 首先求出五个点任意选取3个点有10种情况，然后根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，所以过其中3个点能确定一个圆的情况有8种，由此求出概率． 【详解】解答：解：平面内有五个点A、B、C、D、E，任选3点有10种情况：：A、E、B；A、E、C；A、E、D；A、B、C；A、B、D；C、D、E；B、E、C；B、E、D；A、D、C；B、D、C， 在这五个点中，过其中3个点能确定一个圆的情况是：A、E、C；A、E、D；A、B、C；A、B、D；B、E、C；B、E、D；A、D、C；B、D、C，共8种； ∴概率为：． 故答案为：． 类型六、确定三角形的外心 11．（2024·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)在圆外 【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键． （1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，由图形可得的坐标； （2）分别求出和的长度进行比较即可作出判断． 【详解】（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点， 是过，，三点的圆的圆心，    ． （2），，， ，， ， 点在的外部． 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在下列（每个小正方形的边长为1）的网格中，已知的三个顶点在格点上，请分别按不同要求写出点的坐标． (1)经过三点有一条抛物线，图中存在点，点落在格点上，同时也落在这条拋物线上，则点的坐标为______． (2)经过三点有一个圆，圆心为点，则点的坐标为______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查抛物线的对称性，根据题意，可知，抛物线的对称轴为的中垂线，即，点关于对称轴对称，即可；利用对称性求出对称轴，是解题的关键 （2）本题考查圆的确定，根据圆心为线段的中垂线的交点，即可得出结果．掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵经过三点有一条抛物线，， ∴抛物线的对称轴为：， ∴当关于对称轴对称时，满足题意， ∴； 故答案为：； （2）∵经过三点有一个圆，圆心为点，则点为线段的中垂线的交点， 如图：的中垂线的解析式为：，的中垂线的解析式为：， ∴当时，， ∴； 故答案为：． 类型七、三角形的外接圆半径 13．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，三角形外接圆的定义，勾股定理，掌握直角三角形外接线圆心为斜边中点时解题的关键． （1）作出的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径画圆，即为所求； （2）先根据勾股定理求出，进而得出，最后根据圆的面积公式，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：∵，，， ∴根据勾股定理可得， ∴， ∴的面积． 14．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）在88的方格中，已知的各顶点都在格点上 (1)如图， 请仅用一把无刻度的直尺按要求作图 （请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图， 不要求写作法）． 找出外接圆的圆心． (2)若， 试求的半径． 【答案】(1)外接圆的圆心见解析图； (2)． 【分析】（1）利用网格的特点作出线段与线段的垂直平分线交于点，则点即为外接圆的圆心； （2）连接，根据可知一个网格的长为1，再由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）如图，点即为外接圆的圆心； （2）连接， ∵， ∴一个网格的长为1， ∴，即的半径为． 【点睛】本题考查的是作图——复杂作图及三角形的外接圆圆心，解题的关键是利用网格的特点作图． 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，，，．若在中点M处建一个网络基站，该基站的覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（    ） A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y 【答案】A 【分析】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到点的距离．根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得的长，然后与比较大小，即可解答本题． 【详解】解：，，． ， 是直角三角形， ， 点是斜边的中点， ， 是直角三角形，是斜边的中线， ， ， 点、、都在圆内， 这三栋楼都在该基站覆盖范围内． 故选：A 2．（2024·河北保定·二模）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，确定点所处的位置是解题关键．首先根据点的坐标，确定，由题意可知点在以点为圆心，以5为半径的圆上，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵，，， ∴，，， ∴， 由题意可知，， 则点在以点为圆心，以5为半径的圆上， ∴当点在线段上时，取最小值， 此时， 当点在线段的延长线上时，取最大值， 此时， ∴的取值范围为， ∴的长不可能是4，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 3．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交边于点P，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，圆的基本性质，由勾股定理得到，由题意得到，即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点B为圆心，为半径画弧交边于点P， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2023·浙江金华·三模）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以，为圆心，为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最小值是(　　) A． B．6 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积；过作于，连接，则由三角形面积公式得，，可求圆上点到直线的最短距离，由此求得答案． 【详解】解：过作于，连接， 直线与轴、轴分别交于、两点， 令，则；令，则； 点为，，点为，， ； ，， 则由三角形面积公式得，， ， ， 圆上点到直线的最小距离是 ， 面积的最小值是； 故选：A． 5．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在中，，点D在边上，且，连接．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到圆心距离为d，半径为r，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．先根据勾股定理求出，再得出，根据点A，B，C中只有1个点在圆内，推出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点A，B，C中只有1个点在圆内，， ∴在圆内的点为点B， ∴， 故选：B． 6．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，，，两两相外切，的半径，的半径，的半径，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，圆与圆的位置关系，利用两圆外切圆心距等于两半径之和和勾股定理的逆定理来判定即可． 【详解】解：由题意得，，，， 即， 是直角三角形， 故选：B． 7．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为，最小距离为，则的半径为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，分点在圆外和圆内两种情况解答即可求解，运用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：设的半径为， 当点在圆外时，； 当点在圆内时，； ∴的半径为或， 故选：． 8．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰中，，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键在找到圆心，依据的知识点是直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即斜边的中点为圆心，用字母表示多条边，然后找它们的关系是中考经常考的类型，平时要多加练习此类题型． 先设的三边长为，其中为斜边，设的半径为，根据图形找出的关系，用含的式子表示和，即可求出比值． 【详解】解：如图，取的中点为的中点为，连接，    设， 则，① 取的中点为， ∵是直角三角形， ∴， ∵圆心在和的垂直平分线上， ∴为圆心， 由勾股定理得： ，② 由①②得， ∴， 故选：C． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点A，B，且，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了圆的定义，掌握圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合成为解题的关键． 根据圆的定义可知：经过A、B两点的圆的圆心都在线段的垂直平分线上，结合的长可判断垂直平分线上点到点A和B的距离等于2的点有2个即可解答． 【详解】解：经过A、B两点的圆的圆心都在线段的垂直平分线上，而， ∴垂直平分线上点到点A和B的距离的点有2个， ∴经过A、B两点且半径为2的圆有2个． 故选：C． 10．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）数学活动课上，九（1）班同学在研究（）和等腰（）的外接圆时，有以下发现： 小明说“当时，这两个三角形的外接圆是等圆”； 小刚说“当，时，这两个三角形的外接圆是等圆”． 你认为说法正确的是（    ） A．小明对小刚不对 B．小刚对小明不对 C．小明小刚都对 D．小明小刚都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外接圆的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、三角形三边关系，记外接圆圆心为（如图1），外接圆圆心为（如图2），设，则，，证明，，再证明，即可判断小明的说法，画出图形，利用三角形三边关系即可判断小刚的说法，得到答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 记外接圆圆心为（如图1），外接圆圆心为（如图2）， 设，则， 为等腰三角形， 在底边的垂直平分线上， 由等腰三角形的三线合一可得：平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，故小明说法正确， 如图，当，时，由三角形三边关系可得：，故小刚说法错误， 故选：A． 11．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，的对角线相交于点O，E是以A为圆心，以4为半径为圆上一动点，连接，点P为的中点，连接，若，则的最大值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的综合问题，连接，由题意得，，由点P为中点得知随着点E的运动，点P的运动轨迹是以O为圆心、2为半径的圆，据此解答可得．掌握平行四边形的性质、中位线定理及点的运动轨迹问题是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形是平行四边形， ，， ∵点P为中点， ，且， ∴随着点E的运动，点P的运动轨迹是以O为圆心、2为半径的圆， 则当与交于点P时，最大，为， 故选：B． 12．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，直线与坐标轴交于，两点，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连结，则线段的最小值是（　　）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据同圆的半径相等可知：点在半径为2的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图，直线与坐标轴交于，两点， ∴令，得，解得：，令，得， ，， ， 点为坐标平面内一点，， 在上，且半径为2， 取，连接，   ，， 是的中位线， ， 当最小时，即最小，而，，三点共线时，当在线段上时，最小， ，， ， ． ． 即的最小值为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最小值时点的位置是关键，也是难点． 二、填空题 13．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）在中，若点O为边的中点，则必有：成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为2的上运动，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，三角形三边关系，设点是的中点，连接，，，由题意得出，结合得出最大值时，的值最大，再由三角形三边关系得出的最大值为，计算即可得出答案． 【详解】解：设点是的中点，连接，，， 在矩形中，，， ∴，，， 由题意可得：， ∵， ∴最大值时，的值最大， ∵，， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值， 故答案为：． 14．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在矩形中，，E为边上的一个动点，连接，点B关于的对称点为，连接．若的最大值与最小值之比为2，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点距离的最值问题，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，由轴对称的性质可得，则点在以A为圆心，半径为3的圆上运动，据此可得当三点共线时，最小，当点E与点B重合时，最大，据此表示出的最大值和最小值，再由的最大值与最小值之比为2列出方程求解即可． 【详解】解；如图所示，连接， 由轴对称的性质可得， ∴点在以A为圆心，半径为3的圆上运动， ∴当三点共线时，最小， ∴； ∵点E在线段上， ∴当点E与点B重合时，最大，最大值即为的长， ∴， ∵的最大值与最小值之比为2， ∴， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：． 15．（23-24九年级下·浙江金华·开学考试）在中，若O为边的中点，则必有：成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，点M在以半径为4的上运动，则的最大值为 ．    【答案】464 【分析】本题考查了一点到圆上一点的最值、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出的最大值是解题的关键． 设的中点为，连接、，根据题意可得，，由此可以判定的最大值，即当的值最大时，的值最大，进行求解即可． 【详解】解：设的中点为，连接、，如图：    则，， 根据题意可得，， ∴当的值最大时，的值最大， 又∵点在以半径为的上运动， ∴的最大值， 由勾股定理可得：， ∴的最大值为14， ∴的最大值为． 故答案为：464． 16．（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案． 【详解】解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 17．（2024·陕西西安·三模）如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆外一点到圆上各点的最小距离，勾股定理，矩形的性质，关键是构造圆．由可得，，点在以为直径的圆弧上，点在圆外，可求的最小值． 【详解】解：作的中点，连接． 矩形中，， ， ， ， ， 当点移动时，点在以为直径的圆弧上移动，当点在上时，有最小值． ，，， ， ， 有最小值为4． 故答案为：4． 18．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）同一平面内，一个点到圆的最小距离为6，最大距离为8，则该圆的半径为 ． 【答案】1或7 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解题的关键．点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，分此点在圆内和此点在圆外两种情况，分别求出半径即可． 【详解】解：设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，则此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大和最小距离． 可分两种情况讨论： ①当此点在圆内时，如图所示，    由题意可知，，， ∴半径； ②当此点在圆外时，如图所示，    由题意可知，， ∴半径． 综上所述，圆的半径为1或7． 故答案为：1或7． 19．（2023·陕西西安·一模）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置． 由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点、点关于原点对称， ∴， ∴， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值， 过点作轴于点，    则、， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∴， 即点A的坐标为， 故答案为：． 20．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知点，为平面直角坐标系内两个点，以点A为圆心的经过坐标原点，轴于点C，点D为上的一动点，点E为的中点，则线段长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，，，取的中点为， 连接，，可求得，，根据三角形的三边关系即可求得答案． 【详解】解：如图所示，连接，，，取的中点为， 连接，． 根据题意，得 ， ∴． 根据题意，得 ． ∵为斜边的中点， ∴． ∵的中点为，的中点为， ∴． ∴，即 ． ∴长度的最大值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，圆的概念，中位线定理，三角形的三边关系，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，能根据题意绘制辅助线是解题的关键． 21．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）的边，边的长是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径是 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意先解一元二次方程，由勾股定理得是直角三角形，且斜边长为10，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案． 【详解】解：， ， 解得：， ， 是直角三角形，且斜边长为10， 直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点， 的外接圆半径为， 故答案为：5． 22．（2023·浙江台州·一模）如图，是半圆O的直径，P是上的动点，交半圆于点C，已知，则的最大值是 ．    【答案】 【分析】连接，可得，设，则，则问题转化为求的最大值，然后根据不等式的性质和完全平方公式的变形解答即可． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵（当且仅当时等号成立） ∴， ∴（当且仅当时等号成立）， ∴的最大值是，即的最大值是； 故答案为：．    【点睛】本题考查了勾股定理、圆的基本知识、不等式的应用和完全平方公式等知识，灵活应用转化的思想方法，求得是解题的关键． 三、解答题 23．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，点B在以为直径的半圆上，A为圆心，连接，设，，且． (1)请用m，n表示的三条边长． (2)若m，n均为不超过20的正整数，且使的三条边长都是整数，请找出三组符合题意的m，n的值． 【答案】(1)，， (2)，；，；， 【分析】题目主要考查圆与三角综合问题，三角形三边关系等，理解题意是解题关键． （1）根据题意得出，再结合图形求解即可，利用勾股定理确定； （2）根据（1）中结果，选择合适的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵DE为半圆的直径，A为圆心，，，． ∴， ∴半圆的半径为， ∵于点C， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的三条边长是：，，； （2）∵m，n均为不超过20的正整数， ∴，，均为正整数， ∴m，n同为奇数或同为偶数，且， ①当时，， 此时，，， ∴，符合题意； ②当时，， 此时，，， ∴，符合题意； ③当时，， 此时，，， ∴，符合题意． 24．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知：在中，． (1)求作：的外接圆；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)若的外接圆的圆心到边边的距离为，且，则边上的高为 ． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查作三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）作的角平分线，线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可． （2）连接，勾股定理解直角三角形求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）连接． 在中， ，则， ， ， ， 故答案为． 25．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，是一个圆拱形模型． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若弦的长为，圆拱形的最大高度为，则圆拱形所在圆的半径为_____． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查确定圆心的画法、线段垂直平分线的画法及其性质、勾股定理，正确确定圆心位置是解答的关键． （1）作线段的垂直平分线交圆拱形于点C，连接，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求作； （2）连接，设圆的半径为，根据题意和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求作： （2）解：连接，设圆的半径为， 由题意，，，， 在中，由勾股定理得， 则，解得， 即圆拱形所在圆的半径为， 故答案为：5． 26．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图在的方格中有一个格点（顶点都在格点上）． (1)在图1中画出格点外接圆的圆心，并保留作图痕迹． (2)在图2中找到一个格点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图、三角形的外接圆与外心、等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为外接圆的圆心； （2）由图可得，取格点，使，且，则，即． 【详解】（1）如图1，点即为所求； （2）如图2，点即为所求． 27．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点为的中点．    (1)以点为圆心，6为半径作圆，试判断点与的位置关系； (2)当的半径为多少时，点在上？ 【答案】(1)点A在上，点在内，点在外 (2)5 【分析】 （1）各点到的距离与半径6作对比，大于半径的在圆外，等于半径的在圆上，小于半径的在圆内； （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，所以当半径为5时，在上． 【详解】（1） 如图，在中，，，， ， 在上， ， ， ， ， 在内， ， 在外； （2） 在中，， 为的中点， ， 当的半径为5时，点在上； 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 28．（2022·江苏南京·中考真题）如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5 【分析】（1）连接、、、，先证明，得到，再由，可得垂直平分，即， （2）设求的半径为，由（1）可知为中点，则，利用勾股定理求出，再求出，，，由勾股定理建立方程，解得，则的半径为5． 【详解】（1）证明：连接、、、， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分，即， （2）解：设求的半径为， 由（1）可知， ∴为中点，为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ∵ ∴， 解得， ∴的半径为5． 【点睛】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 29．（2023·浙江台州·一模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l． (1)_______°； (2)若的半径为10，小圆的半径都为1； ①当圆心H到l的距离等于时，求OH的长； ②求证：在旋转过程中，的长为定值． 【答案】(1)60 (2)①；②见解析 【分析】（1）将平均分6份即可； （2）①设的挂点为K，过点H作于点T，先证四边形是矩形，再用勾股定理解即可；②先证是等边三角形，再证是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：60； （2）①解：如图，设的挂点为K，过点H作于点T， 挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， K，H，T在同一直线上， 圆心H到l的距离等于， ， ，， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ， ， ； ②证明：如图所示，连接，， 由（1）知， 又， 是等边三角形， ， 小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ，， 四边形是平行四边形， ， 的长为定值． 【点睛】本题考查圆的基本知识，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是根据题意抽象出数学模型． 30．（2023·陕西西安·模拟预测）问题研究 如图1，是的中线，是边上的高． (1)当，，时，________． (2)求证：． 问题解决 (3)某地为打造元宵节灯展景观，需按如下要求设计一批灯展造型．如图2，矩形是造型框架，以顶点为圆心悬挂圆形灯架（），以，为顶点钉两个正方形展板（正方形和正方形），接合点点恰好在上．若，，的半径为，求两个正方形展板面积和的最小值． 【答案】(1)10 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求出的长，然后在中利用勾股定理求解即可； （2）在中，，在中，，整理可得，结合可证结论成立； （3）取的中点F，连接，由（2）知，，由于为定值，所以当取最小值时，的值最小，则当A，E，F共线时，取得最小值，根据勾股定理求出的长，进而求出的长，然后可求出的值最小值． 【详解】（1）∵是边上的高 ∴ ∵， ∴ ∵是的中线 ∴ ∴ 在中，， ∴ 故答案为：10 （2）∵，， ∴ 在中， 在中， ∴ 在中， ∴ （3）由已知可得两个正方形的面积和为： 取的中点F，连接 由（2）知， ∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴为定值 ∴当取最小值时，的值最小，则当A，E，F共线时，取得最小值 ∵ ∴ ∴的值最小值 【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的高，勾股定理，矩形的性质，以及圆的知识，熟练掌握勾股定理和圆的性质是解答本题的关键． ( 42 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2圆（七大类型培优提升+压轴训练30道） 类型一、由点到圆上的距离求半径 1．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）一个点到圆上的点的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为 cm． 2．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）已知点P到圆上的点的最大距离为11，最小距离为7，则此圆的半径为 ． 类型二、由点与圆的位置关系求半径的范围 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 4．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 类型三、利用点到圆的距离求线段的最值 5．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是以为圆心，1为半径的上的一个动点，已知，，连接，，则的最小值是 ． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连结．则线段的最大值是 ．    类型四、圆中的最长弦问题 7．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    类型五、确定圆的个数 9．（2023九年级·全国·专题练习）如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为 ．    10．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）平面内有5个点A，B，C，D，E，直线与直线正好相交于点E，在这5个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是 ． 类型六、确定三角形的外心 11．（2024·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在下列（每个小正方形的边长为1）的网格中，已知的三个顶点在格点上，请分别按不同要求写出点的坐标． (1)经过三点有一条抛物线，图中存在点，点落在格点上，同时也落在这条拋物线上，则点的坐标为______． (2)经过三点有一个圆，圆心为点，则点的坐标为______． 类型七、三角形的外接圆半径 13．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 14．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）在88的方格中，已知的各顶点都在格点上 (1)如图， 请仅用一把无刻度的直尺按要求作图 （请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图， 不要求写作法）． 找出外接圆的圆心． (2)若， 试求的半径． 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，，，．若在中点M处建一个网络基站，该基站的覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（    ） A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y 2．（2024·河北保定·二模）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 3．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交边于点P，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2023·浙江金华·三模）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以，为圆心，为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最小值是(　　) A． B．6 C．8 D． 5．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在中，，点D在边上，且，连接．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，，，两两相外切，的半径，的半径，的半径，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 7．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为，最小距离为，则的半径为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 8．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰中，，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（　　）    A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点A，B，且，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 10．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）数学活动课上，九（1）班同学在研究（）和等腰（）的外接圆时，有以下发现： 小明说“当时，这两个三角形的外接圆是等圆”； 小刚说“当，时，这两个三角形的外接圆是等圆”． 你认为说法正确的是（    ） A．小明对小刚不对 B．小刚对小明不对 C．小明小刚都对 D．小明小刚都不对 11．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，的对角线相交于点O，E是以A为圆心，以4为半径为圆上一动点，连接，点P为的中点，连接，若，则的最大值为（　　）    A． B． C． D． 12．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，直线与坐标轴交于，两点，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连结，则线段的最小值是（　　）    A． B． C．2 D． 二、填空题 13．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）在中，若点O为边的中点，则必有：成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为2的上运动，则的最大值为 ． 14．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在矩形中，，E为边上的一个动点，连接，点B关于的对称点为，连接．若的最大值与最小值之比为2，则的长为 ． 15．（23-24九年级下·浙江金华·开学考试）在中，若O为边的中点，则必有：成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，点M在以半径为4的上运动，则的最大值为 ．    16．（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 17．（2024·陕西西安·三模）如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为 ． 18．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）同一平面内，一个点到圆的最小距离为6，最大距离为8，则该圆的半径为 ． 19．（2023·陕西西安·一模）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为 ．    20．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知点，为平面直角坐标系内两个点，以点A为圆心的经过坐标原点，轴于点C，点D为上的一动点，点E为的中点，则线段长度的最大值为 ． 21．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）的边，边的长是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径是 ． 22．（2023·浙江台州·一模）如图，是半圆O的直径，P是上的动点，交半圆于点C，已知，则的最大值是 ．    三、解答题 23．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，点B在以为直径的半圆上，A为圆心，连接，设，，且． (1)请用m，n表示的三条边长． (2)若m，n均为不超过20的正整数，且使的三条边长都是整数，请找出三组符合题意的m，n的值． 24．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知：在中，． (1)求作：的外接圆；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)若的外接圆的圆心到边边的距离为，且，则边上的高为 ． 25．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，是一个圆拱形模型． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若弦的长为，圆拱形的最大高度为，则圆拱形所在圆的半径为_____． 26．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图在的方格中有一个格点（顶点都在格点上）． (1)在图1中画出格点外接圆的圆心，并保留作图痕迹． (2)在图2中找到一个格点，使得． 27．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点为的中点．    (1)以点为圆心，6为半径作圆，试判断点与的位置关系； (2)当的半径为多少时，点在上？ 28．（2022·江苏南京·中考真题）如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的半径长． 29．（2023·浙江台州·一模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l． (1)_______°； (2)若的半径为10，小圆的半径都为1； ①当圆心H到l的距离等于时，求OH的长； ②求证：在旋转过程中，的长为定值． 30．（2023·陕西西安·模拟预测）问题研究 如图1，是的中线，是边上的高． (1)当，，时，________． (2)求证：． 问题解决 (3)某地为打造元宵节灯展景观，需按如下要求设计一批灯展造型．如图2，矩形是造型框架，以顶点为圆心悬挂圆形灯架（），以，为顶点钉两个正方形展板（正方形和正方形），接合点点恰好在上．若，，的半径为，求两个正方形展板面积和的最小值． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$