第13课 圆心角-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第13课 圆心角 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解圆的中心对称性和旋转不变性，体验利用旋转来研究圆的性质的思想方法. 2.理解圆心角的概念,并掌握圆心角定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也 相等. 3.掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质. 4.会运用关于圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 圆心角的概念 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆心角的度数等于它所对的弧的度数． 知识点02 圆心角定理 1.圆心角定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对弦的弦心距也相等． 2.圆心角定理推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，则它们所对应的其余各对量都相等． 　　 ( 能力拓展 )考点01 圆心角的概念 【典例1】下列图形所标记的角中是圆心角的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练1】下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点． （1）求证：四边形OACB为菱形； （2）延长OA至点P使得OA＝AP，连结PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长． 【即学即练2】如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．求证：CD＝CE． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列图形中表示的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在⊙O中，，∠AOB＝35°，则∠COD的度数是（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 3．下列说法中，正确的是（　　） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．相等的圆心角所对的弦也相等 D．相等的弦所对的圆心角也相等 4．如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 5．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（　　） A．AB＝AD B．BE＝CD C．BE＝AD D．AC＝BD 6．已知圆的半径为2cm，圆中一条弦长为2cm，则这条弦所对的圆心角的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．如图，在⊙O中，＝＝，则∠BOC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．150° 8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确的是要（　　） A．CE＝ED B． C．OE＝BE D．OA＝OB 9．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，则⊙O的周长为（　　） A．4π B．6π C．8π D．9π 10．已知圆的半径为1，弦，则弧AB的度数是 　　． 11．如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是 　　． 12．如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且OE＝OF． （1）求证：AE＝BF； （2）求证：＝． 13．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D． （1）若∠AOD＝40°，求∠DOB的度数； （2）若，ED＝1，求⊙O的半径长． 14．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：＝． 15．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠COA． 题组B 能力提升练 16．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 17．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（　　） A． B．∠AOD＝3∠BOC C．AC＝2CD D．OC⊥BD 18．如图，在⊙O中，＝，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正确的是 　 　（填序号）． 19．若⊙O的半径为3cm，一条弦分⊙O为1：3部分，这条弦所对的圆心角的度数为 　　，这条弦的长度为 　　． 20．如图，点A，B，C在半径长为4的⊙O上，点D，E分别是弦AB，弦BC的中点，连结DE，若弧AB的度数为70°，弧BC的度数为50°，则DE的长度为 　　． 21．如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O截三边所得的弦长DE＝FG＝HI，则∠AOC＝　　度． 22．如图，AB、CD为⊙O两弦，且AB＝CD，M、N分别为AB、CD的中点，求证：∠AMN＝∠CNM． 23．如图1，AD，BC是⊙O的弦，且AD＝BC，连接AB，CD． （1）求证：AB＝CD； （2）如图2，连接BD，若，BD＝24，，求⊙O的半径． 题组C 培优拔尖练 24．如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定 25．已知⊙O的半径OA＝2，弦AB、AC的长分别是、，则∠BOC的度数为（　　） A．30° B．120° C．30°或150° D．30°或120° 26．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是　　． 27．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝． （1）求证：AO平分∠BAC； （2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13课 圆心角 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解圆的中心对称性和旋转不变性，体验利用旋转来研究圆的性质的思想方法. 2.理解圆心角的概念,并掌握圆心角定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也 相等. 3.掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质. 4.会运用关于圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 圆心角的概念 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆心角的度数等于它所对的弧的度数． 知识点02 圆心角定理 1.圆心角定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对弦的弦心距也相等． 2.圆心角定理推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，则它们所对应的其余各对量都相等． 　　 ( 能力拓展 )考点01 圆心角的概念 【典例1】下列图形所标记的角中是圆心角的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据圆心角的定义即可求解． 【解析】解：第1、2、4个图中所标记的角中是圆心角， 第3个图中角的顶点在圆上，不在圆心，不是圆心角． 故选：C． 【点睛】本题考查圆心角的定义，掌握圆心角的定义是解题的关键，顶点在圆心上的角叫做圆心角． 【即学即练1】下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】顶点在圆心的角叫圆心角，由此即可判断． 【解析】解：由圆心角的定义得到：A、C、D图形的角不是圆心角，故A、C、D不符合题意； B图形中的角是圆心角，故B符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查圆心角，关键是掌握圆心角的定义． 【典例2】如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点． （1）求证：四边形OACB为菱形； （2）延长OA至点P使得OA＝AP，连结PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长． 【思路点拨】（1）连接OC，由C是的中点，∠AOB＝120°，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，则AC＝OA＝OB＝BC，根据菱形的判定方法即可得到结论． （2）解直角三角形求出PC． 【解析】（1）证明：连接OC，如图， ∵C是的中点，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°， 又∵OA＝OC＝OB， ∴△OAC和△OBC都是等边三角形， ∴AC＝OA＝OB＝BC， ∴四边形OACB是菱形． （2）解：由（1）知OA＝AC， 又∵OA＝AP， ∴AP＝AC， ∵∠PAC＝180°﹣∠OAC＝120°， ∴∠P＝∠ACP＝30°， ∴PC＝OC＝． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定． 【即学即练2】如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．求证：CD＝CE． 【思路点拨】首先根据等弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠OC，然后利用角平分线的性质定理求解即可． 【解析】证明：在⊙O中，＝， ∴∠AOC＝∠BOC， ∴OC是∠AOB的角平分线， ∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴CD＝CE． 【点睛】此题考查了等弧所对的圆心角相等，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列图形中表示的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据顶点在圆心的角叫圆心角解答即可． 【解析】解：四个图中只有A中图形是圆心角． 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知圆心角的定义是解题的关键． 2．如图，在⊙O中，，∠AOB＝35°，则∠COD的度数是（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 【思路点拨】根据“同圆中等弧对等角”得∠COD＝∠AOB＝35°． 【解析】解：∵＝，∠AOB＝35°， ∴∠COD＝∠AOB＝35°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟记，“同圆中等弧对等角”是解决问题的关键． 3．下列说法中，正确的是（　　） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．相等的圆心角所对的弦也相等 D．相等的弦所对的圆心角也相等 【思路点拨】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一分析． 【解析】解：A、∵在一个圆中一条弦所对的弧有两条， ∴等弦所对的弧不一定相等，故本选项不符合题意； B、等弧所对的弦相等，故本选项符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等，故本选项不符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角也相等，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 4．如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 【思路点拨】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，即可求解． 【解析】解：∵AB是直径， ∴∠AOB＝180°， ∵∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝120°， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系定理． 5．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（　　） A．AB＝AD B．BE＝CD C．BE＝AD D．AC＝BD 【思路点拨】根据弧与弦的关系得出＝，进而判断即可． 【解析】解：∵， ∴+＝+， ∴＝， ∴AC＝BD， 故选：D． 【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据弧与弦的关系得出＝． 6．已知圆的半径为2cm，圆中一条弦长为2cm，则这条弦所对的圆心角的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【思路点拨】先画出几何图形，再证明△OAB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质得到∠AOB的度数即可． 【解析】解：如图，连接OA、OB， ∵AB＝2cm，OA＝OB＝2cm， ∴OA＝OB＝AB， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， 即这条弦所对的圆心角的度数是60°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：画出几何图形和等边三角形的判定与性质的运用是解决问题的关键． 7．如图，在⊙O中，＝＝，则∠BOC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．150° 【思路点拨】证明△ABC是等边三角形，求出∠BAC＝60°，根据圆周角定理求出即可． 【解析】解：∵＝＝， ∴AB＝AC＝BC， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝2∠A＝120°， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出∠A的度数和根据定理得出∠BOC＝2∠A是解此题的关键． 8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确的是要（　　） A．CE＝ED B． C．OE＝BE D．OA＝OB 【思路点拨】根据垂径定理对A、B选项进行判断；利用CD没有确定位置可对C选项进行判断；利用半径相等可对D选项进行判断． 【解析】解：∵AB⊥CD， ∴CE＝DE，＝，所以A选项、B选项不符合题意； 只有当CD垂直平分OB时，OE＝BE，所以C选项符合题意； ∵OA、OB都为圆的半径， ∴OA＝OB，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．也考查了垂径定理． 9．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，则⊙O的周长为（　　） A．4π B．6π C．8π D．9π 【思路点拨】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为BC＝4cm；然后由圆的周长公式进行计算． 【解析】解：如图，连接OC、OD． ∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD＝DA＝4， ∴＝＝， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°． 又OA＝OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴OA＝AD＝4， ∴⊙O的周长＝2×4π＝8π． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定与性质．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等． 10．已知圆的半径为1，弦，则弧AB的度数是 　90°　． 【思路点拨】如图，连接OA、OB，先根据勾股定理的逆定理证明△OAB为直角三角形得到∠AOB＝90°，然后利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【解析】解：如图，连接OA、OB， ∵OA＝OB＝1，AB＝， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△OAB为直角三角形，∠AOB＝90°， ∴弧AB的度数为90°． 故答案为：90°． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．也考查了勾股定理的逆定理． 11．如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是 　64°　． 【思路点拨】根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等，可推出∠BOD＝∠AOE＝32°，再根据对顶角相等，可推出∠AOC＝∠BOD＝32°，最后用∠COE＝∠COA+∠AOE即可求解． 【解析】解：∵，∠AOE＝32°， ∴∠BOD＝∠AOE＝32°， ∵∠AOC＝∠BOD＝32°， ∴∠COE＝∠COA+∠AOE＝32°+32°＝64°． 故答案为：64°． 【点睛】本题主要考查等弧和圆心角的关系，熟知在同圆中，等弧所对的圆心角相等，和对顶角相等是解题的关键． 12．如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且OE＝OF． （1）求证：AE＝BF； （2）求证：＝． 【思路点拨】（1）过O作OM⊥AB于M，连接OA、OB，根据等腰三角形的性质求出AM＝BM，EM＝FM，再求出答案即可； （2）根据等腰三角形的性质求出∠AOM＝∠BOM，∠EOM＝∠FOM，求出∠AOC＝∠BOD，再求出答案即可． 【解析】证明：（1）过O作OM⊥AB于M，连接OA、OB， ∵OA＝OB，OE＝OF， ∴AM＝BM，EM＝FM， ∴AM﹣EM＝BM﹣FM， ∴AE＝BF； （2）∵OM⊥AB，OA＝OB，OE＝OF， ∴∠AOM＝∠BOM，∠EOM＝∠FOM， ∴∠AOM﹣∠EOM＝∠BOM﹣∠FOM， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴＝． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记等腰三角形的性质（等腰三角形顶角的平分线，底边的中线，底边上的高互相重合）是解此题的关键． 13．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D． （1）若∠AOD＝40°，求∠DOB的度数； （2）若，ED＝1，求⊙O的半径长． 【思路点拨】（1）根据垂径定理可得＝，从而可得∠AOD＝∠BOD＝50°，即可解答； （2）根据垂径定理可得AE＝AB，然后设⊙O的半径长为r，再在Rt△AOE中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解析】解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB， ∴＝， ∴∠AOD＝∠BOD＝40°， ∴∠DOB的度数是40°； （2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB， ∴AE＝AB＝， 设⊙O的半径长为r， 在Rt△AOE中，AO2＝OE2+AE2， ∴r2＝（r﹣1）2+（）2， ∴r＝2， ∴⊙O的半径长为2． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 14．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：＝． 【思路点拨】连接AF，根据平行线的性质及在同圆中圆心角相等，则所对的弧相等求得结论． 【解析】证明：连接AF， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF． ∴∠GAE＝∠EAF． ∴＝． 【点睛】本题利用了等边对等角，平行线的性质及在同圆中圆心角相等所对的弧相等等知识点的综合运用． 15．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠COA． 【思路点拨】根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB＝AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得． 【解析】证明：∵＝ ∴AB＝AC，△ABC为等腰三角形 （相等的弧所对的弦相等） ∵∠ACB＝60° ∴△ABC为等边三角形，AB＝BC＝CA ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA （相等的弦所对的圆心角相等） 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及等边三角形的判定，正确理解圆心角、弧、弦的关系是关键． 题组B 能力提升练 16．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【思路点拨】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可． 【解析】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°， ∴∠OBA＝∠OAB＝25°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°， ∵OA＝OC，∠OCA＝40°， ∴∠OAC＝∠OCA＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 17．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（　　） A． B．∠AOD＝3∠BOC C．AC＝2CD D．OC⊥BD 【思路点拨】分别根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形三边的关系和线段的垂直平分线的判定判断即可． 【解析】解：A、∵OB⊥AC， ∴＝，故不符合题意； B、∵＝， ∴∠AOB＝∠COB， ∵BC＝CD， ∴∠BOC＝∠DOC， ∴∠AOD＝3∠BOC，故不符合题意； C、∵∠AOB＝∠BOC＝∠DOC， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴AC＝BD， ∵BD＜BC+CD＝2CD， ∴AC＜2CD，故符合题意； D、∵OB＝OC，BC＝DC， ∴OC⊥BD，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、三角形三边的关系和线段的垂直平分线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18．如图，在⊙O中，＝，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正确的是 　①②③④　（填序号）． 【思路点拨】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【解析】解：在⊙O中，＝， ∴AB＝CD，故①正确； ∵BC为公共弧， ∴＝故④正确； ∴AC＝BD，故②正确； ∴∠AOC＝∠BOD，故③正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 19．若⊙O的半径为3cm，一条弦分⊙O为1：3部分，这条弦所对的圆心角的度数为 　90°　，这条弦的长度为 　3cm　． 【思路点拨】根据弦分圆周长为1：3两部分，则分圆心角也为1：3两部分，求出劣弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【解析】解：∵一条弦分⊙O为1：3部分， ∴这条弦所对的圆心角的度数为360°×＝90°，这条弦的长度为3cm． 故答案为：90°，3cm． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 20．如图，点A，B，C在半径长为4的⊙O上，点D，E分别是弦AB，弦BC的中点，连结DE，若弧AB的度数为70°，弧BC的度数为50°，则DE的长度为 　2　． 【思路点拨】连接OA，OC，AC，作OF⊥AC于点F，根据已知得∠AOC＝120°，可得CF＝OF＝2，所以AC＝4，再根据DE是△ABC的中位线，即可得出答案． 【解析】解：连接OA，OC，AC，作OF⊥AC于点F， ∵弧AB的度数为70°，弧BC的度数为50°， ∴∠AOC＝120°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝30°，AC＝2CF＝2AF， ∵OC＝4， ∴OF＝OC＝2， ∴CF＝OF＝2， ∴AC＝4， ∵点D，E分别是弦AB，弦BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝AC＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形中位线定理以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． 21．如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O截三边所得的弦长DE＝FG＝HI，则∠AOC＝　125　度． 【思路点拨】过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，求出OM＝OP＝OK，求出点O是△ABC的角平分线的交点，根据三角形内角和定理求出∠BAC+∠BCA的度数，再根据角平分线定义得出∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠ACB）＝55°，再根据三角形内角和定理求出答案即可． 【解析】解：过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图， ∵DE＝FG＝HI， ∴OM＝OK＝OP， ∴OA平分∠BAC，OC平分∠ACB， ∴∠OAC＝BAC，∠OCA＝BCA， ∵∠B＝70°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝110°， ∴∠OAC+∠OCA ＝（∠BAC+∠ACB） ＝×110° ＝55°， ∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA） ＝180°﹣55° ＝125°， 故答案为：125． 【点睛】本题考查了角平分线定义和性质，三角形内角和定理和垂径定理等知识点，能熟记到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解此题的关键． 22．如图，AB、CD为⊙O两弦，且AB＝CD，M、N分别为AB、CD的中点，求证：∠AMN＝∠CNM． 【思路点拨】连接OM，ON，根据AB与CD相等，即可得到弦心距OM＝ON，根据等边对等角，即可求证． 【解析】证明：连接OM，ON． ∵M、N分别为AB、CD的中点， ∴∠AMO＝∠CNO＝90°， 又∵AB＝CD， ∴OM＝ON， ∴∠OMN＝∠ONM， ∴∠AMO﹣∠OMN＝∠CNO﹣∠ONM， ∴∠AMN＝∠CNM． 【点睛】本题主要考查了圆中，弦、弦心距之间的关系以及等腰三角形的性质等边对等角． 23．如图1，AD，BC是⊙O的弦，且AD＝BC，连接AB，CD． （1）求证：AB＝CD； （2）如图2，连接BD，若，BD＝24，，求⊙O的半径． 【思路点拨】（1）欲证明AB＝CD，只要证明即可； （2）过点O作OE⊥BD于点E，交⊙O于点F，连接OB，根据若得出AB＝BF，在Rt△BEF中利用勾股定理求出EF＝8，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣8，利用勾股定理求出r即可． 【解析】（1）证明：∵AD＝BC， ∴， ∴， 即， ∴AB＝CD； （2）解：过点O作OE⊥BD于点E，交⊙O于点F，连接OB， ∴，，BE＝DE＝12， ∵， ∴， ∴AB＝BF＝4， ∴在Rt△BEF中，EF＝＝8， 设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣8， 根据勾股定理得：122+（r﹣8）2＝r2， 解得r＝13， 即⊙O的半径为13． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题组C 培优拔尖练 24．如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定 【思路点拨】如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB．证明AE＝EB＝CD，再利用三角形的三边关系解决问题． 【解析】解：如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB． ∵＝2，＝， ∴＝＝， ∴AE＝EB＝CD， ∵AE+EB＞AB， ∴2CD＞AB． 故选：B． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间等分关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线． 25．已知⊙O的半径OA＝2，弦AB、AC的长分别是、，则∠BOC的度数为（　　） A．30° B．120° C．30°或150° D．30°或120° 【思路点拨】根据圆的轴对称性知有两种情况：两弦在圆心的同旁；两弦在圆心的两旁． 根据垂径定理和三角函数求解． 【解析】解：过点O作OM⊥AB于M， 在直角△AOM中，OA＝2．根据OC⊥AB，则AM＝AB＝， 所以cos∠OAM＝，则∠OAM＝30°， 同理可以求出∠OAC＝45°， 当AB，AC位于圆心的同侧时，∠BAC的度数为45﹣30＝15°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝30°， 当AB，AC位于圆心的异侧时，∠BAC的度数为45+30＝75°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝150°， 综上所述，∠BOC的度数为30°或150°． 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理，解直角三角形等知识，分类讨论是此题的关键． 26．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是　2　． 【思路点拨】作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则DP+CP最小，根据解直角三角形求出CE，根据轴对称求出DP′+CP′＝CE即可． 【解析】解：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE， 则根据垂径定理得：E在⊙O上，连接EC交AB于P′，则若P在P′时，DP+CP最小， ∵C是半圆上的一个三等分点， ∴∠AOC＝×180°＝60°， ∵D是的中点， ∴∠AOE＝∠AOC＝30°， ∴∠COE＝90°， ∴CE＝OC＝2， 即DP+CP＝2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力． 27．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝． （1）求证：AO平分∠BAC； （2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长． 【思路点拨】（1）已知＝得到AB＝AC，又OC＝OB，OA＝OA，则△AOB≌△AOC，根据全等三角形的性质知，∠1＝∠2，进而解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【解析】证明：（1）连接OB、OC， ∵＝． ∴AB＝AC， ∵OC＝OB，OA＝OA， 在△AOB与△AOC中， ． ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠1＝∠2， ∴AO平分∠BAC； （2）连接AO并延长交BC于E，连接OB， ∵AB＝AC，AO平分∠BAC， ∴AE⊥BC， 设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2， 可得：，x2＝OE2+42，OE+x＝8， 解得：x＝5，OE＝3， ∴半径OA的长＝5． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用圆中半径相等的隐含条件，获得全等的条件，从而利用全等的性质解决问题． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$