3.第三章 圆锥曲线-高二数学必刷100题（苏教版2019）

3.第三章 圆锥曲线必刷100题（苏教版） 1．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）与椭圆有相同的焦点且与直线l：相切的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·上海虹口·阶段练习）已知双曲线 与 有共同的渐近线，则它们一定有相等的（    ） A．实轴长 B．虚轴长 C．焦距 D．离心率 3．（22-23高三上·广西柳州·阶段练习）椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（   ） A．曲线的图象不关于原点对称 B．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 5．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中错误的是（   ） A．点的轨迹方程是 B．直线是“最远距离直线” C．平面上有一点，则的最小值为 D．点的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（即没有交点） 6．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的左焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．若直线垂直于轴，则 B． C．若，则直线的斜率为 D．若，则 8．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·天津·期中）已知双曲线为坐标原点为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 10．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 11．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，设为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·四川内江·三模）设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B．1或 C． D．1或 13．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：    ①；②；③；④． 其中正确式子的序号是（    ）． A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 15．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二下·云南红河·期末）已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，则（    ） A．2 B． C． D． 18．（23-24高二下·广东河源·阶段练习）已知点F为椭圆的右焦点，点A，B是C上与其长轴端点不重合的两点，设甲：直线AB经过C的左焦点；乙：的周长为，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（2024·山西阳泉·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 20．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 22．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，真线与轴的交点为，过右焦点作于点，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 25．（2024·河南·二模）已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，焦距为，点在双曲线上，，且的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．4 26．（2024·江苏南京·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二下·重庆·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高二上·浙江嘉兴·阶段练习）设P是椭圆上的点，F1，F2为其两焦点，则满足的点P的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 30．（2024·陕西商洛·三模）已知是双曲线右支上的动点，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 31．（23-24高二下·浙江·阶段练习）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 32．（2024·新疆·二模）设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为(    ) A． B． C． D．6 33．（2015高二·全国·竞赛）已知抛物线上一定点和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，，则Q点的横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B．的最小值为 C．若为直角三角形，则的面积为 D．的范围为 36．（23-24高二下·甘肃白银·期末）下列直线中，与抛物线只有一个公共点，且过点的是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二下·浙江衢州·期末）已知是双曲线的右焦点，为其左支上一点，点，则（    ） A．双曲线的焦距为6 B．点到渐近线的距离为2 C．的最小值为 D．若，则的面积为 38．（23-24高二下·安徽宿州·期中）在平面直角坐标系中，曲线C上任意点P与两个定点和点连线的斜率之积等于2，则关于曲线C的结论正确的有（    ） A．曲线C为双曲线 B．曲线C是中心对称图形 C．曲线C上所有的点都在圆外 D．曲线C是轴对称图形 39．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知抛物线对称轴为轴．若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为 ． 40．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知双曲线，与直线只有一个公共点，符合题意的直线个数为 ． 41．（24-25高二上·全国·课后作业）抛物线的焦点坐标为 ． 42．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，若上存在三点，且为的重心，则三边中线长之和为 ． 43．（24-25高二上·全国·课后作业）写出一个同时满足下列条件①②③的双曲线方程为 .①中心在原点，焦点在轴；②焦距大于12；③双曲线上一点到两焦点距离之差的绝对值为4. 44．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的准线方程为 ． 45．（2024高二上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 . 46．（11-12高二上·江苏常州·期中）已知椭圆，直线，则直线与椭圆的公共点有 个. 47．（23-24高二下·全国·随堂练习）直线与曲线交点的坐标为 ． 48．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知，是双曲线的两个焦点，点是双曲线的右顶点，是双曲线渐近线上一点，满足，若以为焦点的抛物线经过点，则此双曲线的离心率为 . 49．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）如图，已知过双曲线右焦点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点.若，则双曲线的离心率为 .    50．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 ． 51．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若，则线段MF的长为 . 52．（24-25高二上·全国·随堂练习）长度为6的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为 ． 53．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆两顶点，，过焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，当时，直线l的方程为 . 54．（2024高二·全国·专题练习）已知椭圆：，则过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的长度为 ． 55．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则双曲线的方程是 ． 56．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，如图，点P为抛物线C上的动点，且位于直线AB的下方，则△ABP面积的最大值为 . 57．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为 . 58．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和直线：，则两直线交点的轨迹方程是 ． 59．（24-25高二上·全国·课后作业）已知定点，动点满足.设点的轨迹为，则轨迹的方程为 . 60．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）设M，N，P是椭圆上的三个点，O为坐标原点，且四边形OMNP为正方形，则椭圆的离心率为 ； 61．（24-25高二下·上海·单元测试）已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为 ． 62．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知，点是直线上的一点，以为焦点的椭圆过点，则当该椭圆的离心率取得最大值时，该椭圆的方程为 ． 63．（24-25高二·上海·随堂练习）已知椭圆的中心在原点且过点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程 ． 64．（24-25高二·上海·随堂练习）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则 ． 65．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 66．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆的两个焦点为、，过的直线交椭圆于M、N两点，则的周长为 ． 67．（24-25高二上·上海·单元测试）已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 68．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为 . 69．（23-24高二下·浙江杭州·期中）我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线设共轭双曲线的离心率分别为，则的最大值是 ． 70．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知是双曲线的左、右焦点，以为圆心的圆与双曲线的两支分别在第一第二象限交于两点，且，则双曲线的离心率为 71．（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若，且，则 . 72．（2024·四川雅安·模拟预测）已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线l，垂足为M，若直线l与双曲线C的另一条渐近线交于点N，且（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 . 73．（23-24高二下·上海·期末）如图，已知点为椭圆在第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点和上顶点分别作与轴和轴的平行线交于，过引、的平行线交于，交于，交于、，矩形的面积是，三角形的面积是，则 74．（23-24高二下·陕西榆林·开学考试）抛物线的焦点为，过的直线与该抛物线交于不同的两点、，若，则线段的中点与原点连线的斜率为 . 75．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知分别为椭圆的上､下焦点，，直线经过点且与交于两点，若垂直平分线段，则的周长为 . 76．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知抛物线E：的焦点为F，其准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（A点位于B点右方）.若为的角平分线，则 ；直线l的斜率为 . 77．（23-24高二下·上海·期中）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则下列命题正确的是 . （1）的准线为；（2）直线与相切；（3）；（4）. 78．（23-24高二下·上海·期中）某研究性学习小组发现，由双曲线的两渐近线所成的角可求离心率的大小，联想到反比例函数的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线的离心率 . 79．（23-24高二下·上海·期中）已知曲线与曲线，且曲线和恰有两个不同的交点，则实数m的取值范围为 . 80．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知直线与抛物线交于A，B两点，抛物线的焦点为F，O为原点，且，则 ． 81．（23-24高二下·上海·阶段练习）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 82．（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是 ． 83．（2024·云南贵州·二模）已知分别是双曲线的左、右焦点，经过点且与轴垂直的直线与交于点，且，则该双曲线离心率的取值范围是 . 84．（23-24高二下·全国·随堂练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 85．（24-25高二上·全国·课后作业）已知分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，且的最小值为16，求双曲线的标准方程. 86．（23-24高二下·全国·课堂例题）猜想双曲线离心率的大小与双曲线的形状有什么联系，并尝试证明. 87．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知点A，B的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程； （2）如图，已知圆和定点，P为圆O外一点，直线PQ与圆O相切于点Q，若，求点P的轨迹方程． 88．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知两个定点.动点满足直线和直线的斜率之积是 (1)求动点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线； (2)记（1）中点的轨迹为曲线，不经过点的直线与曲线相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 89．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为和定点为抛物线上一动点．设直线交抛物线于两点，当时，求的面积． 90．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线中，，经过点，求该双曲线的标准方程． 91．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点为坐标原点，点为线段的中点，当绕点旋转时，求动点的轨迹方程． 92．（24-25高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，设点的轨迹为曲线．①点到的距离比到轴的距离大；②过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径．在①和②中选择一个作为条件． (1)选择条件：________，求曲线的方程； (2)设直线与曲线相交于两点，若।，求实数的值． 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 93．（24-25高二上·上海·课前预习）已知动点M到点的距离减去它到点的距离之差为2，记点M的轨迹为曲线C，以方程的解为坐标的点是否都落在曲线C上？ 94．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过原点的两条直线分别交曲线于点和，且（为坐标原点）.判断四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积；若不为定值，请说明理由. 95．（23-24高二下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1． (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q． ①求证：点Q在定直线上： ②设，，求的最大值． 96．（23-24高二下·黑龙江大庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点．圆的切线l与椭圆E相交于A，B两点． (1)求椭圆E的方程； (2)直线OA，OB的斜率存在为，，直线l的斜率存在为k，若，求直线l的方程； 97．（23-24高二上·上海奉贤·期末）已知椭圆C:的左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点. (1)若点M的坐标为，求的面积； (2)若点M的坐标为，且是钝角，求横坐标的范围； (3)若点M的坐标为，且直线与椭圆C交于两个不同的点A，B.求证：为定值. 98．（2024·山东·模拟预测）已知抛物线：经过点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与的交点为，，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 99．（2024·吉林长春·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为6，左顶点为，点是双曲线的右支上相异的两点，直线AB，AC分别与直线交于点，且以线段为直径的圆恰过双曲线的右焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求面积的最小值． 100．（23-24高二下·全国·课堂例题）过点和双曲线只有一个公共点的直线有2条．( ) 试卷第14页，共15页 试卷第1页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D D B B A A B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C D B B C B D C C B 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 C C D C C B B D D C 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 答案 B B B CD ACD ABD AC BCD 1．A 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】利用椭圆性质，再结合直线与椭圆相切，只有唯一交点，即可求解. 【详解】因为所求椭圆与椭圆有相同的焦点，故设所求椭圆为， 联立方程组，得， 整理，得， 因为直线l与椭圆相切，所以解得（舍）或. 所以， 故选：A. 2．D 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的焦点坐标、求双曲线的实轴、虚轴、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据两双曲线有相同的渐近线，可得到，从而利用双曲线的离心率的平方可求得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为 ， 的渐近线方程为， 由题意可得， 又 ，，所以 ， 又推不出，所以推不出 故选：D 3．C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据直线AP，AQ的斜率之积列方程，求得，进而求得椭圆的离心率. 【详解】，设，则，则，， 故，又，则， 所以，即，所以椭圆C的离心率为． 故选：C 4．D 【难度】0.4 【知识点】由方程研究曲线的性质、圆锥曲线新定义 【分析】将代入方程，可判断A；结合方程，求解整点坐标，可判断B；联立方程组，结合其解唯一求出k的范围，判断C；结合方程以及距离公式可判断D. 【详解】对于A，结合曲线：，将代入， 方程不变，即曲线的图象关于原点对称，A错误； 对于B，令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 故曲线经过的整点只能是，B错误； 对于C，直线与曲线：必有公共点， 因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解， 即只有一个解为，即时，无解， 故，即实数的取值范围为，C错误， 对于D，由，可得，时取等号， 则曲线上任意一点到坐标原点的距离为，即都不超过3，D正确， 故选：D 5．D 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、求直线与椭圆的交点坐标、求椭圆中的最值问题、圆锥曲线新定义 【分析】设，根据题意列方程化简判断A，判断直线与轨迹方程是否有交点判断B，将转化为，结合图形判断C，根据图形直接判断D. 【详解】设，因为动点到点的距离是点到直线的距离的一半， 所以，整理得，A说法正确； 联立可得，解得， 所以存在点，直线是“最远距离直线”， B说法正确； 过作垂直于直线，垂足为， 由题意得，则， 由图可知的最小值即为点到直线的距离，C说法正确； 由得，圆圆心为，半径为， 易得点的轨迹与圆交于点，D说法错误； 故选：D 6．B 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解. 【详解】设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是集合. 由此得，将上式两边平方并化简，得， 即. 所以动点的轨迹方程为. 故选：B. 7．B 【难度】0.4 【知识点】求椭圆中的弦长 【分析】依题意设出直线方程，结合弦长公式分别判断ABC选项，再结合向量及焦半径长度公式可判断D选项. 【详解】依题意，椭圆的左焦点为，设，， 对于A选项，轴，直线，由，得：，则，A选项错误； 对于B选项，不垂直于轴时，设的方程为， 由，消去并整理可得：， 则，， ， 显然，， 于是得， 由选项A知，当轴时，，因此，B选项正确； 对于C，当时，由选项B得，解得，C选项错误； 对于D，因，有，则，即， 而，， 同理，则有，即， 于是得， 因此，D选项错误； 故选：B. 8．A 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】根据双曲线的定义可得答案. 【详解】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 9．A 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】首先求，，，再根据，结合余弦定理，即可求解. 【详解】由题意，不妨设点在上，焦点到直线的距离， ，，，则，， ，所以, 即，得， 所以双曲线的离心率. 故选：A 10．B 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】结合坐标运算和焦半径公式，转化，再利用数形结合求最值. 【详解】已知抛物线上有一点，则，即． 又，故在抛物线的外部， 则， 因为抛物线的焦点为，准线方程为，则，故．    由于，当三点共线（在之间）时，取到最小值， 则的最小值为． 故选：B 11．C 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】因为为线段的中点，所以这是一个中点弦问题，采用点差法运算即可. 【详解】如图: ， 由 可得点 的坐标为 ， 则直线 斜率为 ， 直线 斜率为 ， 另一方面， 设 , 则 两式相减得 ， 整理得 , 即 ， 故    故选：C 12．D 【难度】0.65 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】分以及两种情况分别进行求解即可求出结果. 【详解】因为，所以， 若（当时，面积一样），则，， 所以； 若，设，则，所以， 故，符合题意； 综上：的面积为1或. 故选：D 13．B 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、求椭圆的顶点坐标 【分析】首先利用两点间的距离表示，根据二次函数的性质，即可求解. 【详解】记， ， ， 对称轴为，由于时取到最小值，则. 故选：B 14．B 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c 【分析】根据图象可知，从而；根据，可知；进而根据基本不等式的性质分别进行判断即可． 【详解】由图象可知， ，故①错误； ，，故②正确； ，即， ，故③正确； 此时，，故④错误； 故选：B 15．C 【难度】0.65 【知识点】求直线与椭圆的交点坐标、求椭圆中的弦长 【分析】设，，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出，再由二次函数的性质计算可得. 【详解】设，，由， 消去整理得，解得或，则，， 则，， 所以 ， 所以当，即时取最大值. 故选：C 16．B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设 则，两式作差得：， 线段AB的中点为，故， 所以， 且直线AB过和， 则直线AB的斜率：, 故， 解得. 故选：B 17．D 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】不妨设点在第一象限，连接、，根据对称性可得四边形为矩形，从而得到，即可表示出点坐标，代入方程，求出，即可得解. 【详解】依题意可得，关于原点对称，不妨设点在第一象限，连接、， 又，则四边形为矩形， 所以，则， 所以，即，即，又，解得， 所以. 故选：D 18．C 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】设C的左焦点为E，直线AB经过C的左焦点E，由椭圆的定义推出充分性；由三角形不等式性质可知，，当且仅当A，B，E三点共线时等号成立，进而推出充分条件. 【详解】设C的左焦点为E，若直线AB经过C的左焦点E，则△ABF的周长为，故充分性成立． 由三角形不等式性质可知，，当且仅当点共线时等号成立． 故的周长为．故若的周长为，则直线AB经过C的左焦点，必要性成立． 故选：C． 19．C 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据条件得是等边三角形，设的边长为，结合双曲线定义得，在中，由余弦定理求得离心率. 【详解】 因为是线段的中点，且，所以， 又，所以是等边三角形， 设的边长为，由双曲线的定义知，，， 所以， 又，所以，即， 所以， 在中，由余弦定理知，， 所以 即，所以离心率. 故选：C 20．B 【难度】0.65 【知识点】抛物线的范围 【分析】设，表示出，依题意可得恒成立，分和两种情况讨论，当时恒成立，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】设，则，所以 ， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时显然恒成立，当时恒成立， 所以，则，又，所以，即实数的取值范围为. 故选：B 21．C 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】先根据双曲线定义列出，，然后结合求出的周长. 【详解】由题意知，， 所以， 又， 所以， 所以的周长为． 故选：C． 22．C 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】过点作垂直于准线且交准线于H，则的周长转化成即可求解. 【详解】由题意，抛物线的准线，过点作垂直于准线且交准线于H，则， 由题可知，的周长为，又， 如图，，当三点共线时， 的周长最小，且最小值为. 故选：C. 23．D 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】先根据双曲线的定义，判断点轨迹为双曲线的右支，并求出方程；再根据和把的周长转化为的范围问题，利用三角形两边之和大于第三边求解. 【详解】由动点P到两定点，的距离之差为定值4， 结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 易得，，由得，则动点P的轨迹方程为， 如图： 又，则，且 故的周长为:， 当且仅当P，A，三点共线且点位于、之间时等号成立，故周长的最小值为． 故选：D 24．C 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】连接，结合椭圆的定义，利用求出，由求出可得答案. 【详解】连接，依题意，知是线段的中点，， 又是线段的中点，所以，， 因为，所以， 因为点在椭圆上，结合椭圆的定义， ，得， 解得（舍去），所以， 所以椭圆的方程为. 故选：C. 25．C 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】依题意可得为直角三角形，且，设，，利用双曲线的定义及勾股定理求出，再由的面积为求出，最后由焦距求出，即可求出离心率. 【详解】因为的面积为，所以的面积为. 又，所以，所以为直角三角形，且. 设，，所以， 所以， 所以，又，所以. 焦距为，所以，则， 所以，则离心率.    故选：C. 26．B 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由三角形内切圆的性质得出的周长为，再由椭圆的定义得的周长为，列出等式即可求解． 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，， 设的内切圆与，相切于点，如图所示， 则，， 所以， 所以的周长为， 由椭圆定义可得，， 所以，则， 故选：B．   . 27．B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】将条件中的不等式用坐标表示，再结合椭圆方程化简不等式，即可求解椭圆的离心率的范围. 【详解】设，，，， ， 由题意可知，，即，得， 则. 故选：B 28．D 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】画出图形，由题意可得出，利用椭圆的定义结合已知条件可求出、的值，即可得解. 【详解】如下图所示： 因为点关于的对称点为，则， 因为，且， 所以，， 所以，，可得， 则， 所以，，故． 故选：D 29．D 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】依题意，P为椭圆虚轴的顶点时，∠F1PF2最大，即，进而得到答案. 【详解】 在椭圆中，，所以. 当P为椭圆虚轴的顶点时，最大，因为， 所以，所以，则这样的点P有四个． 故选：D. 30．C 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解 【分析】根据可得双曲线定义，得，再由结合二次函数的性质即可得解. 【详解】因为是双曲线右支上的动点， 由双曲线定义，得， 则 ， 当且仅当取得最小值． 故选：C. 31．B 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据条件得到，设，再利用椭圆的定义及条件得到且，即可求出结果. 【详解】因为椭圆，所以， 又因为，所以，即， 设，则①，且②， 由①②得到，即，所以， 故选：B. 32．B 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题 【分析】根据椭圆定义可知周长为定值4a，从而可得当最小时，最大，再根据椭圆焦点弦最小为通径即可求解． 【详解】由椭圆的定义知 ∴的周长为， ∴当最小时，最大． 当轴，即AB为通径时，最小，此时， ∴的最大值为． 故选：B． 33．B 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设出点的坐标，由，运算得解. 【详解】设，， 由题意直线的斜率均存在， ，化简得， ，即， 解得或. 故选：B.    34．CD 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】根据抛物线定义可知点满足，再根据两点间距离列方程，结合方程只有一解，分情况讨论. 【详解】因为点到点的距离等于它到直线的距离， 则所在曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，则设点， 所以，即， 可知方程只有一解， 当时，方程为，解得，符合题意； 当时，，解得， 综上所述， 故选：CD. 35．ACD 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、根据椭圆的有界性求范围或最值、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】对于A,利用焦半径的范围求解即可；对于B，利用位于椭圆上顶点时最大求解即可；对于C，利用点坐标求的面积即可；对于D，设利用二次函数求的范围即可. 【详解】对A，易知，则，故A正确； 对B，位于椭圆上顶点时最大， 此时最小，且 故此时为等边三角形，，故B错误； 对C，若为直角三角形，由B知， ， 所以或，不妨设， 则此时点横坐标，代入，得， 故的面积为：，故C正确； 对D，,设 则， 由得：， 故， 故，故D正确. 故选：ACD 36．ABD 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】讨论直线的斜率，结合方程联立，以及直线与抛物线的位置关系，即可求解. 【详解】当直线的斜率存在且时,设， 与抛物线方程联立得，令，解得， 则直线的方程为； 当时,直线的方程为，此时直线平行于抛物线的对称轴,且与抛物线只有一个公共点； 当不存在时,直线与抛物线也只有一个公共点，此时直线的方程为. 故选：ABD 37．AC 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求点到直线的距离、双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线的性质判断A，利用点到直线的距离公式判断B，利用双曲线的定义判断C，求焦点三角形的面积，可判断D. 【详解】如图： 由双曲线的标准方程，可知，，所以，所以双曲线的焦距为：，故A正确； 双曲线的渐近线为，即，点到渐近线的距离为： ，故B错误； 设双曲线的左焦点为,根据双曲线的定义：， 所以，故C正确； 在中，由，，， 由余弦定理得：， 所以， 所以，所以，故D错误. 故选：AC 38．BCD 【难度】0.65 【知识点】由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程 【分析】设，根据题中条件，列式求出点的轨迹方程，再逐项判断，即可得出结果. 【详解】设点，根据题意可得，即，且， 化简得，曲线是双曲线除去顶点，，如图所示， 故A错误； 对于B，曲线关于原点中心对称，故B正确； 对于C，曲线上所有点均在圆外，故C正确； 对于D，曲线关于轴对称，故D正确. 故选：BCD. 39． 【难度】0.65 【知识点】求抛物线的切线方程、求抛物线上一点到定直线的最值 【分析】首先平移直线，至与抛物线相切时，此时点到直线的距离最短，利用平行线距离公式求得切线方程，再利用直线与抛物线的位置关系，即可求解. 【详解】如图，若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，即抛物线的焦点在轴的负半轴， 设抛物线方程为，如图，平移直线，当直线与抛物线相切时，此时切点到直线的距离为最小值1，    设切线方程为，切点到直线的距离为平行线间的距离， 即，得或（舍），所以切线方程为， 联立，得，，得或（舍）， 所以抛物线方程为. 故答案为： 40．3 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】联立方程解之可判断只有一个公共点时的直线条数. 【详解】解：联立， 消去得， 当，即时， 直线和直线分别与双曲线的渐近线平行， 故只有一个交点； 当时，由， 可得，此时直线与双曲线相切，故只有一个公共点. 故答案为：3 41． 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据题意可将向右平移个单位，再向下平移个单位而得到，从而可求解. 【详解】因为， 所以抛物线可由抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位而得到， 又抛物线的焦点坐标为，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为：. 42． 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式 【分析】先求抛物线焦点坐标，根据三角形重心坐标公式可得，由抛物线焦半径，结合三角形重心的性质，可求三边中线长之和. 【详解】如图：    依题意，设，， 因为为的重心，所以，即． 由抛物线的定义可知，所以边的中线长为， 同理可得边和边的中线长分别为，. 所以三边中线长之和为． 故答案为： 43．（答案不唯一，满足即可） 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据①可确定方程为，根据③得，根据②可得，进而得，即得. 【详解】由①设双曲线的标准方程为， 由③得， 由②得，所以，所以， 可取，此时双曲线方程为. 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 44． 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】写出直线方程，与抛物线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由韦达定理，得到，，再利用焦半径公式，表示出，根据可求得值，最后可得抛物线的准线方程. 【详解】易知，直线的方程为， 由得， 设， 则，， 所以， 解得，所以的准线方程为． 故答案为： 45． 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、求椭圆上点的坐标、求椭圆中的最值问题 【分析】设，根据得到，联立方程组解出点坐标，再设点坐标为，将直线与直线联立解得点坐标，由结合二次函数得性质即可求解. 【详解】由椭圆得左，右焦点分别为，，    设， 因为，所以，整理得， 又因为，联立方程组，解得，， 所以点A点坐标为， 设点坐标为，因为直线斜率不为，设直线方程为， 将，代入解得直线方程为， 再将直线与直线联立解得点坐标为， 所以， 当时，取最大值，最大值为， 故答案为： 46．2 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、讨论椭圆与直线的位置关系 【分析】由直线过定点且定点在椭圆内，可得直线与椭圆 C 的公共点有两个． 【详解】直线 过定点 , ，即定点在椭圆内， 则直线 与椭圆 C 的公共点有两个. 故答案为：2. 47．和. 【难度】0.65 【知识点】求两曲线的交点 【分析】联立方程，运用代入法进行消元，通过方程是否有解进行求解判断即可. 【详解】将直线方程与曲线方程联立得：， 解得，或， 当时，； 当时，， 因此直线与曲线交点坐标为：和. 故答案为：和 48． 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由以及点在直线上，列出方程，根据抛物线的定义可知，然后求解双曲线的离心率即可． 【详解】设 由可知， 又点在直线上， 所以， 解得， 所以，轴， 于是根据抛物线的定义可知，且， 所以，即，所以， 则双曲线的离心率为. 故答案为： 49． 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先设坐标再应用坐标的线性运算，最后结合数量积公式计算得出齐次式求出离心率. 【详解】设，， 因为，所以， 又，所以，则， 因为，所以 又，所以，所以， 则，则 故答案为: 50．2或 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】本题根据渐近线的夹角求出渐近线的斜率，再根据渐近线的斜率与双曲线方程中参数以及离心率的关系即可求得结果. 【详解】双曲线的两条渐近线的夹角为，且渐近线关于x、y轴对称， 若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为， 则，或， 此时， 或， 若双曲线的焦点在y轴上，同理可得离心率为或. 综上，离心率为或. 故答案为：或. 51．8 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线的方程求参数 【分析】设出线段MF的长度，再由已知条件表达出M的坐标，代入抛物线即可得出结果. 【详解】如图所示： 设，易求，作轴于点E， 因为 ，所以 ， 所以在，， 所以 ， 又因为M是抛物线 上一点，所以 ，即 ， 解得 或 舍去 所以线段MF的长为8. 故答案为：8 52． 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程、求平面轨迹方程 【分析】因为M是AB的中点，所以，所以M的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，可得答案. 【详解】当（或）中有一个在原点处时，则. 当均不在原点处时，三点构成以O为直角顶点的直角三角形. 由M为线段AB的中点，则 所以，则M的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，其方程为： 故答案为： 53．或 【难度】0.65 【知识点】根据弦长求参数 【分析】首先由题意求椭圆方程，再联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，代入弦长公式，即可求解. 【详解】由题意得，.∴.∴椭圆方程为. 当直线l的斜率不存在时，，不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设l的方程为， 联立，得， 恒成立. 设，.∴，. ∴， 即， 解得，∴. ∴直线l的方程为或. 故答案为：或. 54．/ 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的弦长 【分析】设出直线方程，直曲联立得出一元二次方程，利用韦达定理即可求出长度 【详解】根据题意知过点且斜率为的直线的方程是． 设此直线与椭圆的交点为，． 联立直线方程和椭圆方程，得消去，化简得， 故，． 所以 ． 故答案为：． 55．或 【难度】0.65 【知识点】根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据双曲线的性质，利用待定系数法求双曲线方程. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 则解得，则双曲线的方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 则解得双曲线的方程为． 综上，双曲线的方程是或． 故答案为：或 56． 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】利用过点的切线与直线平行时，的面积最大求出点，然后利用弦长公式求即可. 【详解】当抛物线过点的切线与直线平行时，的面积最大， 设点，由得：，， 所以切线的斜率：，解得：， 所以，所以， 点到直线的距离， 由，消去，得：， 设，，则，， 所以， 所以的面积的最大值为：. 故答案为： 57．3 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】利用双曲线定理结合勾股定理求出的长，再利用三角形面积公式即可. 【详解】由题意得双曲线中，，则其焦点坐标， 根据双曲线对称性，不妨假设点在第一象限， 设，其中， 因为，则， 根据勾股定理知， 即，解得（负舍）， 则，则面积为. 故答案为：3. 58． 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求平面轨迹方程 【分析】联立两直线方程用表示交点坐标，再消元化简即可. 【详解】联立两直线方程得, 解之得，消去参数得， 所以两直线交点的轨迹方程为：． 故答案为：. 59． 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】设，利用平面向量数量积的坐标表示计算化简即可. 【详解】设动点，则. 又， . 化简得，即， 动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 60．/ 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据四边形OMNP为正方形，设出点的坐标，代入椭圆的方程中，再结合点的坐标特点，得到与的关系，最后结合的关系，求椭圆的解离心率即可. 【详解】 因为四边形OMNP为正方形，结合图形可知，可设， 则，则，的坐标为， 所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 61．/ 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意得圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式列方程化简可求出离心率. 【详解】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径，该圆与直线相切， 则圆心到直线的距离， 整理可得， 所以． 故答案为： 62． 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】结合椭圆的定义利用直线对称点结合三角形两边之和大于第三边求解出长轴的取值范围，离心率最大即半长轴取最小值,从而求解出椭圆的方程. 【详解】由题意知：椭圆以为焦点，所以， 因为椭圆过点，所以， 设点关于直线对称的点为， 则解得： 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 又，所以，即， 所以当时该椭圆的离心率取得最大值， 所以该椭圆的方程为． 故答案为： 63．或 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】分焦点在轴上和在轴上两种情况分别设椭圆的方程，根据长轴长是短轴长的3倍，得，再由点在椭圆上代入，解出、，得到椭圆方程. 【详解】若焦点在轴上，设，则由题意， 解得，∴． 若焦点在轴上，设，则由题意， 解得，∴． 故答案为：或. 64．/ 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解 【分析】利用双曲线的定义求出 ，，，利用余弦定理得出结果即可. 【详解】由题意可得，由双曲线的定义得， 而，解得，， 由余弦定理得 ，所以． 故答案为： 65． 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】先设点的坐标，再根据已知模长及向量垂直化简得出椭圆方程. 【详解】设点, 又因为,,， 所以， 所以， 所以，根据椭圆定义可得, 所以椭圆的方程是. 故答案为：. 66．8 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据椭圆定义求解. 【详解】由椭圆可知，即， 由椭圆的定义可知，的周长为， 故答案为： 67． 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】由已知点的坐标求得，根据内切圆性求得点坐标，然后由数量积的坐标运算计算． 【详解】因为在双曲线上，所以，解得， ∴，则、， 如图，设，内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、， ∵由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，，， 故，即，故， ∴，即，则，， ∴， 故答案为：． 68．/ 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，则，，表示出，在中求出，再结合椭圆的定义可得，然后在中利用勾股定理列方程可求出离心率. 【详解】设，则由题意可得，，， 所以， 在中，， 因为，所以，解得， 所以，， 因为，所以， 所以，解得， 所以离心率. 故答案为： 69． 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由，设，然后由辅助角公式化简即可求解. 【详解】由题知，共轭双曲线和的半焦距相等，记为， 则，所以， 又，故设， 所以， 其中， 当时，取得最大值. 故答案为：. 70．/ 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】连接交于点，由可得与相似，结合双曲线的定义可得，，，再利用余弦定理列式即可求解. 【详解】如图所示连接交于点，    因为，则，所以与相似， 设，则， 由双曲线的定义可得，解得， 所以，，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 所以， 故答案为： 71． 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】根据写出和的关系，令，求出，根据写出勾股定理，据此即可求解. 【详解】 设的半焦距为，由题可知，且，因为， 所以，令， 则， 所以， 则，得， 所以，因为， 所以， 解得，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于令，求出. 72．/ 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线向量共线比例问题 【分析】由确定与线段的位置关系，求出到渐近线的距离，接着由的关系结合以及离心率公式即可求解. 【详解】因为，故即， 故、、三点共线，且为线段靠近一端的四等分点， 又由题意知，斜率为正的渐近线方程为， 所以到渐近线的距离为，即， 所以，， 所以， 又由渐近线性质知， 故， 即，故， 故答案为：. 73．1 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】设，用表示矩形的面积和的面积，可得. 【详解】如图： 设，则. 因为，，所以，， 所以. 又直线的方程为：，所以，， 所以. 因为，所以. 所以. 故答案为：1 74． 【难度】0.65 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线的中点弦 【分析】设直线方程为，联立直线与抛物线方程，得到，再由焦点弦公式求出，从而得到的中点坐标，即可得解. 【详解】依题意的斜率存在，设直线方程为， 代入得， 因为，所以， 所以，所以， 则，， 所以的中点坐标为， 所以线段的中点与原点连线的斜率为. 故答案为： 75． 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据直线l过，求出c和a的值；连接，根据垂直平分线段得，从而可得的周长为． 【详解】由题意知A为的左顶点，设的半焦距为，则， 所以线段的中点为，直线的斜率为， 所以的斜率为，所以直线的方程为， 又过，所以，解得， 所以. 连接，因为垂直平分线段，所以， 所以的周长为. 故答案为：. 76． 4 / 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】先根据抛物线得性质，求直线与轴所成得角，再利用焦半径公式，可求及点坐标，进一步可得直线即直线的斜率. 【详解】如图： 延长交抛物线E于点D，连接，过点A作轴于点H. 设直线：，代入得：， 设，，则，， 所以. 所以直线与关于x轴对称． 又因为为的角平分线，所以， 所以， 由抛物线定义可知：， 所以，则，. 又因为，所以或． 又因为，所以直线l的斜率或， 所以直线l的斜率为. 故答案为4；. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是推导直线，关于轴对称，求得，利用焦半径公式求解即可. 77．（2）（3）（4） 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】利用待定系数法求出参数，从而可以得到准线方程；再利用方程组思想得到的一元二次方程来判断是否相切；同理利用方程组和韦达定理，用坐标来表示各线段的长度，并转化到韦达定理上去，从而根据系数满足的范围去加以判断. 【详解】（1）因为在抛物线上，所以，解得：， 所以抛物线的准线方程为：，故（1）错误. （2），所以直线的方程为：， 由可得，抛物线方程为：， 联立直线和抛物线方程可得：可得：， 因为， 所以方程有唯一解， 即直线与抛物线相切，故（2）正确. （3）， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 直线与抛物线只有1个交点，不合题意，所以直线的斜率存在， 设直线的方程为：，， 联立可得：， 所以， ，故（3）正确. （4）， ，故（4）正确. 故答案为：（2）（3）（4）. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 78． 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由双曲线的渐近线互相垂直，其为等轴双曲线，从而可得离心率． 【详解】由题意，双曲线的渐近线为， 若两渐近线垂直，则，解得，即双曲线为等轴双曲线， 所以离心率为. 双曲线的两渐近线为轴和轴，互相垂直，则双曲线为等轴双曲线， 所以离心率为. 故答案为：. 79． 【难度】0.4 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】曲线是以为端点的两条射线，然后分类讨论曲线为双曲线和椭圆的情况，数形结合求解实数m的取值范围即可. 【详解】曲线过定点， 曲线：， 故曲线是以为端点的两条射线：和，关于x轴对称. （1）当时，曲线为焦点在y轴的双曲线， 则曲线和在y轴左侧必有两个交点，渐近线为， 故当即时，曲线和在y轴右侧无交点，满足题意； （2）当时，曲线为圆或椭圆， 联立，消y得，. i.故当时，，椭圆和两条射线相切，恰有两个不同的交点； ii.当时，，曲线和没有交点； iii.当时，，两条射线的端点在椭圆外， 椭圆和两条射线均相交，曲线和有四个不同的交点； iv.当时，，两条射线的端点在圆上， 圆和两条射线均相交，此时曲线和有三个不同的交点； v.当时，，两条射线的端点在椭圆内， 此时曲线和有两个不同的交点. 综上，曲线和恰有两个不同的交点，实数m的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：曲线交点个数问题，一般考虑数形结合，注意含绝对值的方程需要去绝对值进行分类讨论，然后结合曲线的形状进行分析即可. 80．13 【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】联立直线与抛物线方程得到，再利用求得，从而利用抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】设，由得， 则，所以， 因为，所以，即，解得， 所以， 所以． 故答案为：13. 81．4 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】由双曲线的定义把表示为的函数，然后由函数的单调性得最小值． 【详解】根据题意可得，， ，， 所以， 由双曲线性质可得，设，， 则， 设，， 设，， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数 是上的增函数. 所以当时，取得最小值4， 即的最小值为4，此时点为右顶点. 故答案为：4.    82．8 【难度】0.65 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、求双曲线的焦点坐标 【分析】由双曲线的方程，可得，的值，进而求出的值，由双曲线的定义及三点共线的性质可得的最小值． 【详解】由双曲线的方程可得，，则， 设双曲线的右焦点，则， 圆的圆心，半径， 由题意可得， 当且仅当，，三点共线，且在，之间时取等号， 即的最小值为． 故答案为：． 83． 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意画出图形，求得，再由求得的范围，结合双曲线的离心率公式得答案． 【详解】设双曲线的焦距为， 如图，    由题意，，， 则． 由，得， 即． ． 故答案为： 84．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可． 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为：． （2）设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为． 85． 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】由题可知，，，因此当时，最小，由此求出，进而得到，进行求出标准方程. 【详解】由于，则， 由双曲线的定义可知，， 则， 又的最小值为16， 且， 所以， 所以， 故双曲线的标准方程为. 86．离心率越大，双曲线开口越大,证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】双曲线离心率大小与双曲线形状的关系 【分析】由离心率大小与的大小一致性，即可判断. 【详解】根据离心率公式 双曲线焦点在x轴时，， 所以e越大，的值越大，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越宽阔，即双曲线开口越大. 双曲线焦点在y轴时同理. 综上，离心率越大，双曲线开口越大. 87．（1）；（2）0. 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】设动点坐标为，用坐标表示动点满足的条件，列出方程，化简即可. 【详解】（1）设，则，， ， 化简整理得，， 所以点的轨迹方程为：. （2）设，依题意，则， 即，即， 整理得. 88．(1)的轨迹方程为，即点的轨迹是除去两点的椭圆 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）设点的坐标为，把点满足的条件用坐标表示，列出方程，再化简即可得轨迹方程，再结合轨迹方程说明点的轨迹. （2）设，对直线有无斜率分情况讨论.当直线有斜率时，设直线：，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得与，结合，确定的关系，可确定直线所过的定点. 【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是， 所以直线的斜率， 同理，直线的斜率， 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程为， 即点的轨迹是除去两点的椭圆. （2）设 如图： ①当直线斜率不存在时，可知， 且有， 解得或，当时，则直线经过点，与题意不符，舍去，故，此时直线为， ②当直线斜率存在时，设直线，则 . 联立直线方程与椭圆方程， 消去可得：， 根据韦达定理可得：， 所以， 即 整理得：， 所以，则或， 当时，则直线恒过点，与题意不符，舍去， 故，直线恒过原点， 结合①②可知，直线恒过原点，原命题得证. 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中直线过定点问题，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合已知条件求解，考查计算能力，属于较难题. 89．答案见解析 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】由抛物线可知焦点，又，因此可知直线的方程，与抛物线联立，可求出弦长；因为，由抛物线的定义可求，进而可求出，分两种情况求的面积即可. 【详解】    因为，所以，所以直线方程为． 设， 联立得，显然， 所以， 则， 因为，所以，则． 当时，到的距离； 当时，到的距离． 90． 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】分焦点在x,y两种情况讨论求参进而得出双曲线的标准方程 【详解】当焦点在x轴上时， 设所求标准方程为， 把点A的坐标代入得， 计算得，不符合题意； 当焦点在y轴上时， 设所求标准方程为， 把点A的坐标代入得， 计算得． 故所求双曲线的标准方程为． 91． 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】设P坐标，当直线斜率存在时，设的点斜式方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示P坐标，消参即可得P轨迹方程，再验证斜率不存在时即可. 【详解】解:设是所求轨迹上的任一点 ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为． 由得，则， 由得，即， 消去得． ②当直线的斜率不存在时，的中点为坐标原点，也适合方程． 综上，动点的轨迹方程为． 92．(1)答案见解析 (2)． 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）选①，把点满足的条件用坐标表示出来，列出方程，化简即可得曲线的方程；选②，利用抛物线的定义先判断曲线的形状，再求曲线方程. （2）利用弦长公式可求的值. 【详解】（1）选①：设，由题意， 即， 整理可得，即或， 所以曲线的方程为或． 选②：过作轴的垂线，垂足为，交直线于点， 设动圆的圆心为，半径为，则点到轴的距离为， 在梯形中，由中位线性质可得， 所以， 又，所以， 由抛物线的定义知，点是以为焦点的抛物线， 所以曲线的方程为．    （2）设，将代入， 消去整理得． 则， 故 ， 化简得，解得（负值舍去），故． 93．答案见解析 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】设，由题意,求出的轨迹方程，再根据题意判断是否落在曲线上. 【详解】设，由题意，故点的轨迹是双曲线右支， 所以，则，而， 故曲线C：. 对于方程，如在方程上，但是不在曲线C上. 94．(1) (2)是定值，四边形的面积为 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题 【分析】（1）先根据椭圆的定义判断点的轨迹是椭圆，再确定的值，可得曲线的方程. （2）分直线有无斜率分类讨论，当直线有斜率时，设其方程为，代入椭圆方程，根据一元二次方程根与系数的关系，表示出，，再用它们表示出四边形的面积，化简整理可得定值. 【详解】（1）由题意知，圆心为，半径为4，且. 如图： 因为， 所以，点的轨迹为以为焦点的椭圆. 设椭圆方程为，则，解得， 所以，. 所以，曲线的方程为. （2）四边形的面积为定值，理由如下： 如图： 当直线的斜率不存在时，直线轴，此时四边形为矩形，且. 因为，不妨设，则. 取， 则四边形的面积. 当直线的斜率存在时，设，且. 联立直线与椭圆的方程，消去并整理，得. 由，得. 所以. 所以. 所以. 因为，所以，即. 因为， 所以. 因为原点到直线的距离，且四边形为平行四边形， 所以四边形的面积. 所以，四边形的面积为定值. 95．(1) (2)①点Q在定直线上；②的最大值为 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定直线、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据椭圆离心率公式、焦半径范围和求出、即可得解. （2）①先由（1）得，，，设直线、、， 则可得，，结合点、在直线上联立直线与直线得点横坐标是一个定值从而得解. ②由①以及，可分别求出和，结合（1）中韦达定理将其直接带入计算即可求解. 【详解】（1）由题意得，， 所以椭圆E的方程为. （2）①由（1），，，故可设直线， 联立， 则，设， 则，，， 由题意可知直线与直线斜率存在， 则，， 联立 ， 所以，故点Q在定直线上. ②由上以及，得： ，， 故，， 即，， 所以， 因为，故，所以最大值为，即的最大值为. 【点睛】思路点睛：证明点Q在定直线上只需本着求点即求直线与直线的交点的方向去即可求解. 96．(1) (2)和 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，求出的值，可得椭圆的方程. （2）设直线l的方程为，根据直线与圆相切，确定的关系；把直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到，，用表示出，化简可得为定值，进一步求出的值，得直线方程. 【详解】（1）由，且可得，又椭圆过点，则有， 将两方程联立，解得， 故椭圆E的方程为. （2）如图： 依题意，设，因直线与圆相切， 故有:，整理得，，① 由消去，整理得，， 显然，设，则， 则， 于是，将① 式代入得，， 即恒成立，则，代入① 式，可得，， 故直线l的方程为. 97．(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、求椭圆上点的坐标、椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）先根据点在椭圆上，求出的值，再求的面积. （2）根据点在椭圆上，先明确的关系，再由余弦定理，表示出，由求的范围. （3）把直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，并用它们表示出，进行化简整理即可. 【详解】（1）因为点在椭圆上，所以，因为，所以， 因为，，所以，，， 所以. （2）如图： 因为点M在椭圆上，所以， 由余弦定理得 因为是钝角，所以， 又因为，所以，解得， 的范围为. （3）如图： 设，， 由得， ，，， 又，，所以 ， 即有为定值. 98．(1) (2)（i）；（ii）. 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值. （2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到和，把直线与倾斜角互补，转化成,可求的值；（ii）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，，所以 ， 所以 抛物线的方程为. （2）（i）如图： 设，将直线的方程代入得： ，所以， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. （ii）由（i）可知，所以， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为 . 99．(1)； (2)400． 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）利用双曲线的定义与性质即可求解. （2）设出直线与双曲线方程联立，表达出韦达定理，再表示面积，利用函数性质即可求解最值. 【详解】（1）由题意可知，解得， 所以双曲线的标准方程为 （2）由（1）知，，则直线是线段AF的垂直平分线．    因为以线段MN为直径的圆恰过点，所以以线段MN为直径的圆恰过点． 所以，故． 设直线， 由双曲线的对称性可得B，C必在轴两侧，则，故． 将代入，得， 则①，②， 由B，C必在轴两侧，可得， 因为，所以，所以，所以， ③， 将①②代入③中并整理，得，解得（舍去）或， 所以直线过定点 所以 令，则， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，， 所以，当且仅当，即时取等号，所以面积的最小值为400. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中三角形面积最值.关键点是设出直线方程与双曲线方程联立，根据韦达定理和函数性质求解面积的最值. 100．错误 【难度】0.65 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】通过讨论过的直线斜率是否存在及是否与渐近线平行即可判断. 【详解】设，联立，得， 当时，，解得：， 当，，此时方程有一个解， 当斜率不存在时，直线与双曲线没有公共点， 综上可知，过点和双曲线只有一个公共点的直线有4条. 故答案为：错误 答案第10页，共73页 答案第74页，共74页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$