2.第二章 圆与方程-高二数学必刷100题（苏教版2019）

2.第二章 圆与方程必刷100题（苏教版） · 1．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，动圆在的外部，且与线段及两坐标轴均相切，则周长的最小值是（ ） · A．3 B．5 C．10 D．12 · 2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） · A．0 B． C．1 D．2 · 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） · A． B． C． D． · 4．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的范围是（ ） · A． B．或 · C．或 D． · 5．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）方程表示的曲线是（ ） · A．两个圆 B．一个圆和一条直线 · C．一个半圆 D．两个半圆 · 6．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）方程 表示的图形为（ ） · A．一条直线和一个圆 B．一条线段和一个圆 · C．一条线段和半个圆 D．两条线段 · 7．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米，现有一船宽10米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（ ） · A．2.40米 B．2.66米 C．2.80米 D．3.00米 · 8．（24-25高二上·全国·课后作业）设圆，都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆的圆心距等于（ ） · A．32 B．16 C．8 D．1 · 9．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（ ） · A．当时，方程表示圆心为的圆 · B．当时，方程表示圆心为的圆 · C．当时，方程表示的圆的半径为 · D．当时，方程表示的圆与y轴相切 · 10．（23-24高二下·全国·课后作业）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ） · A． B． C． D．6 · 11．（2024·湖北·模拟预测）已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ） · A． B． C．2 D． · 12．（2024·山东济南·三模）圆上的点到直线的距离的最大值为（ ） · A．3 B．4 C．5 D．9 · 13．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（ ） · A． B． C． D． · 14．（21-22高二上·北京·阶段练习）圆与圆的位置关系是（ ） · A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 · 15．（20-21高二上·吉林长春·期中）圆：与圆：的公切线有且仅有（ ） · A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 · 16．（23-24高二下·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ） · A．32 B． C．16 D． · 17．（2024·广东·模拟预测）过圆外一点做圆的切线，切点为，若，则的最大值为（ ） · A． B． C． D．8 · 18．（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（ ） · A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 · 19．（23-24高二下·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（ ） · A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 · 20．（2024·广西贺州·一模）已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（ ） · A． B． C． D． · 21．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知圆过点，且与轴相切，圆心在轴上，则圆的方程为（ ） · A． B． C． D． · 22．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（ ） · A． B． · C． D． · 23．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（ ） · A． B．或 · C．或 D． · 24．（23-24高二上·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（ ） · A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 · 25．（23-24高二上·广西桂林·期末）已知点，、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为（ ） · A． B． C． D． · 26．（23-24高二上·安徽安庆·期中）已知实数满足方程，则下列说法错误的是（ ） · A．的最大值为 · B．的最小值为0 · C．的最大值为 · D．的最大值为 · 27．（23-24高二上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为（ ） · A． B．1 C． D．2 · 28．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ） · A． B． · C． D． · 29．（2019·山东聊城·三模）已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（ ） · A． B． C． D． · 30．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知点，，若圆上存在点P（不同于点A，B）使得，则实数r的取值范围是（ ） · A． B． C． D． · 31．（23-24高二上·陕西·期中）过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（ ） · A． B． · C． D． · 32．（23-24高二上·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（ ） · A． B． · C． D． · 33．（23-24高二上·福建福州·期中）圆关于直线对称的图形轨迹方程为（ ） · A． B． · C． D． · 34．（23-24高二上·福建福州·期中）设，则直线l：与圆的位置关系为（ ） · A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交 · 35．（23-24高二上·湖北武汉·期中）实数，满足，则的取值范围是（ ） · A． B． C． D． · 36．（23-24高二上·吉林四平·期中）已知圆C：上任意一点关于直线的对称点也在圆上.则实数（ ） · A．4 B．6 C． D． · 37．（23-24高二上·广西·阶段练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试着在边上找一点，使得最大”.如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取得最大值时，该圆的方程是（ ） · · A． · B． · C． · D． · 38．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） · A． B． C． D． · 39．（22-23高二上·福建宁德·期中）设是直线：上的动点，过作圆：的切线，则切线长的最小值为（ ） · A．4 B． C． D． · 40．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知圆：（）和两点，.若圆上存在四个不同的点，使得的面积为，则的取值范围是（ ） · A． B． C． D． · 41．（23-24高三上·河南焦作·开学考试）已知圆经过点，，，则该圆的半径为（ ） · A．4 B．5 C．8 D．10 · 42．（21-22高三上·辽宁大连·阶段练习）已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（ ） · A． B．1 C． D． · 43．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）下列结论正确的是（ ） · A．已知点在圆：上，则的最大值是 · B．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为 · C．已知点是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离 · D．已知直线：，：，则存在实数，使得和关于直线对称 · 44．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆，直线.则以下命题正确的有（ ） · A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为 · C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 · 45．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（ ） · A． B． C． D． · 46．（2024高二上·全国·专题练习）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，则下列说法错误的是（ ） · A．的最小值为2 · B．最小时，弦长为 · C．最小时，弦所在直线的斜率为 · D．四边形的面积最小值为 · 47．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（ ） · A． B． · C． D． · 48．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（ ） · A． B． · C． D． · 49．（23-24高二上·四川成都·期中）点是圆上的动点，则下面正确的有（ ） · A．圆的半径为3 · B．既没有最大值，也没有最小值 · C．的范围是 · D．的最大值为72 · 50．（22-23高二上·广东东莞·期中）方程有两个不等实根，则的取值可以是（ ） · A． B． C．1 D． · 51．（24-25高二上·上海闵行·阶段练习）已知圆上恰好存在2个到直线的距离为1的点，则的取值范围是 . · 52．（24-25高二上·山东临沂·阶段练习）已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为 . · 53．（2024高二上·江苏·专题练习）已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上，动圆恒过一个异于点的定点 ． · 54．（2024高二上·江苏·专题练习）过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为 ． · 55．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知点，，，则的外接圆方程为 . · 56．（24-25高二上·上海·课后作业）若点是圆上任意一点，则的最大值是 ． · 57．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． · 58．（24-25高二上·上海·课堂例题）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数k的取值范围是 ． · 59．（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，求的最小值为 . · 60．（23-24高二下·河南·阶段练习）过点的直线l与曲线有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为 ． · 61．（23-24高二下·吉林延边·阶段练习）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为 . · 62．（23-24高二下·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . · 63．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知圆，点，点为圆上的一个动点（异于点），若点在以AB为直径的圆上，则到轴距离的最大值为 . · 64．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . · 65．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的最大值是 . · 66．（2024·浙江·模拟预测）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 . · 67．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知是圆上任意一点，则的取值范围为 ． · 68．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是 ． · 69．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）圆与圆的公共弦长为 . · 70．（23-24高二上·上海·期末）已知为圆上一点，为圆上一点，则点到点的距离的最大值为 . · 71．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知半径为的圆C经过点，则圆心C到直线的距离的最大值为 ． · 72．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知圆，过点的直线l与圆O交于P、Q两点，则的最小值等于 ． · 73．（18-19高三上·广东汕尾·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则 · 74．（2023高二上·全国·专题练习）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为 . · 75．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知是圆：上任意一点，则的取值范围为 ． · 76．（23-24高二上·云南昆明·期中）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为 · 77．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆O：，A，B是圆上两点，点且，则线段AB中点的轨迹方程是 . · 78．（2023·河南郑州·模拟预测）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 . · 79．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与交于点. · (1)求点的轨迹方程； · (2)直线与点的轨迹交于两点，且以为直径的圆恰好经过原点，求直线的方程. · 80．（23-24高二下·全国·随堂练习）当点P在圆上运动时，连接点P与定点，求线段的中点M的轨迹方程． · 81．（23-24高二下·全国·随堂练习）已知圆C：．若点，求过点的圆的切线方程； · 82．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． · (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． · (2)求的最大值和最小值． · (3)求的最大值和最小值 · 83．（22-23高二上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点、，动点P满足． · (1)求动点P的轨迹方程； · (2)若过点的直线l与点P的轨迹（包括点A和点B）有且只有一个交点，求直线l的方程． · 84．（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆. · (1)求圆的方程； · (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. · 85．（2009高二·全国·竞赛）一个圆被轴分成两段，弧长之比为1:3，被轴截得弦长为4，求圆心到直线距离最小时圆的方程. · 86．（2024高三下·全国·专题练习）求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程. · 87．（23-24高二上·北京·期中）已知圆过原点和点，圆心在轴上. · (1)求圆的方程； · (2)直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程. · 88．（23-24高二上·河南周口·期末）的三个顶点坐标是； · (1)的外接圆方程； · (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． · 89．（23-24高二上·甘肃·期末）已知在圆上. · (1)求圆的标准方程； · (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程. · 90．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期末）求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形： · (1)圆心为，且与直线相切； · (2)圆心在直线上，半径为2，且与直线相切； · 91．（2023高二上·全国·专题练习）已知实数x，y满足方程，求的最大值和最小值． · 92．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆过点. · (1)求圆的标准方程； · (2)过点的直线与圆相交于A，两点，当时，求直线的方程. · 93．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）分别根据下列条件求圆的标准方程： · (1)圆心在直线上，半径为2，且与直线相切； · (2)过三点，，. · 94．（23-24高二上·浙江宁波·期中）圆C过点和，圆心C在直线上． · (1)求圆C的标准方程 · (2)直线l经过点，且被圆C所截得的弦长为4，求直线l的方程 · 95．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆，直线. · (1)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为，求证：过点的圆过定点，并求出所有定点的坐标； · (2)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为,求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标. · 96．（22-23高二·全国·课堂例题）过点作圆的切线l，求切线l的方程. · 97．（23-24高二上·全国·课后作业）过原点O作圆的两条切线，设切点分别为P，Q，求线段PQ的长． · 98．（23-24高二上·全国·课后作业）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，求四边形ABCD的面积． · 99．（23-24高二上·全国·课后作业）判断圆与圆的位置关系． · 100．（23-24高二上·全国·课后作业）已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，求该圆的方程． · 2 学科网（北京）股份有限公司 · 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C D C B C A B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D C A C B D B C A B 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 B D B C B C B A B A 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答案 D D D C C B C B D B 题号 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 答案 B D AD CD ABC ACD BC ABC BC BC · · 1．C · 【难度】0.65 · 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 · 【分析】结合直线与圆相切的性质可得所以，当圆与直线相切于点处时，圆半径最小，结合两点间距离公式即可求解． · 【详解】设动圆的圆心坐标为，即圆半径， · · 设圆与直线相切于点，则 · 所以， · 即周长为， · 所以的周长最小值即为圆的直径最小值， · 又因为 · 则即，解得或， · 当时，圆心在的内部，不合题意； · 当时，符合题意，即圆的半径的最小值是，的周长最小值为， · 故选：C. · 2．A · 【难度】0.65 · 【知识点】判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程 · 【分析】由两条切线的夹角是，得圆的半径是2，从而可求. · 【详解】圆，设圆心，半径， · 如图所示，过点与圆相切的直线，切点为， · 连接,显然 · 由题意，可知相切的两直线垂直，且， · 所以四边形是正方形， · 因此 · 故选：A. · · 3．B · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 · 【分析】根据题意，利用直径所对的圆周角为直角，将问题等价转化为两圆的位置关系，结合圆心距与两圆的位置关系，可得答案. · 【详解】设以原点为圆心，以为半径作圆，则其方程为，则点A、B，点P在该圆上， · 当两圆用公共点时，圆上一定存在点，使得， · 由圆，则圆心，半径， · ，则，解得. · 故选：B. · 4．C · 【难度】0.65 · 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 · 【分析】把曲线方程整理后可知表示半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于和另一个点，及与曲线交于点，分别求出，则的范围可得． · 【详解】曲线，即，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）． · · 如图，、、， · 当直线经过点时，，求得； · 当直线经过点、点时，，求得； · 当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得，或（舍去）， · 故要求的实数的范围为或， · 故选：C． · 5．D · 【难度】0.65 · 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由方程求曲线的图形 · 【分析】方程可化为，去绝对值分，两种情况解决即可. · 【详解】方程可化为， · 因为， · 所以或， · 若时，则方程为,是以为圆心，以1为半径的左半圆； · 若时，则方程为，是以为圆心，以1为半径的右半圆; · 总之，方程表示的曲线是以为圆心，以1为半径的右半圆与以为圆心，以1为半径的左半圆合起来的图形. · 故选：D · 6．C · 【难度】0.65 · 【知识点】由方程求曲线的图形 · 【分析】先确定的取值范围，再由与可得答案. · 【详解】由方程， · 得:或且满足， · 即或且满足， · 所以方程表示半个圆和一条线段， · 故选：C · 7．B · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、坐标法的应用——直线与圆的位置关系 · 【分析】建立平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的方程，令，求出相应的y值，即可求得答案. · 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为x轴，过桥的最高点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系， · · 设图中矩形为船刚好能通过桥下时的位置， · 则， · 设圆拱桥所在圆的方程为， · 将坐标代入，得，解得， · 即圆的方程为， · 令，则， · 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为（米）， · 故选：B · 8．C · 【难度】0.65 · 【知识点】求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 · 【分析】根据题意设出两圆圆心坐标，然后构造方程，结合韦达定理利用两点距离公式求解即可. · 【详解】∵两圆与两坐标轴都相切，且都过点， · ∴两圆的圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等. · 设两圆的圆心坐标分别为，， · 则有，， · ∴为方程的两个实数根， · 即为方程的两个实数根， · ∴，， · ∴， · ∴. · 故选：C. · 9．A · 【难度】0.65 · 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆的一般方程确定圆心和半径 · 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解. · 【详解】由题意，方程，可化为， · 当时，，方程表示点，故A错误； · 当时，，方程表示圆心为的圆，故B正确； · 当时，，方程表示的圆的半径为，故C正确； · 当时，，方程表示的圆的半径为，圆心为，与轴相交，故D正确， · 故选：A. · 10．B · 【难度】0.65 · 【知识点】二倍角的余弦公式、求平面两点间的距离、过圆外一点的圆的切线方程 · 【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解. · 【详解】由得， · 所以圆心为，半径为， · 设切点分别为，连接，则为两切线的夹角， · 由于， · 所以， · 由二倍角公式可得， · 故选：B. · · 11．D · 【难度】0.65 · 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 · 【分析】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案. · 【详解】连接，则. · · 又，所以四边形为正方形，， · 于是点在以点为圆心，为半径的圆上. · 又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切， · 所以点到直线的距离，解得. · 故选：D. · 12．C · 【难度】0.65 · 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） · 【分析】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案. · 【详解】圆的圆心为，半径， · 则圆心到直线的距离为， · 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. · 故选：C. · 13．A · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 · 【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有交点，结合图形可得. · 【详解】因为圆C上存在点P，使得， · 所以，以为直径的圆与圆有交点， · 又以为直径的圆，圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为2， · 所以，即，即. · 故选：A · · 14．C · 【难度】0.65 · 【知识点】判断圆与圆的位置关系 · 【分析】根据条件，先求出两圆的圆心和半径，再利用两圆位置关系的判断方法，即可求解. · 【详解】因为圆的圆心为，半径为， · 圆的圆心为，半径为， · 又，所以两圆的位置关系为外切， · 故选：C. · 15．B · 【难度】0.65 · 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 · 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． · 【详解】解：圆，则圆心，半径， · 圆，则圆心，半径， · 得两圆的圆心距为：， · 则， · 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． · 故选：B · 16．D · 【难度】0.65 · 【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围）、圆的弦长与中点弦、由圆的一般方程确定圆心和半径 · 【分析】分析可知，计算出，即可求得四边形的面积. · 【详解】由，则圆心坐标是，半径是3．因为圆心到点的距离为， · 所以点在圆内，最长弦为圆的直径， · 由垂径定理，得最短弦和最长弦（即圆的直径）垂直， · 故最短弦的长为，最长弦即直径， · 所以四边形的面积为． · 故选：D · 17．B · 【难度】0.65 · 【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数 · 【分析】先确定动点的轨迹，再结合基本（均值）不等式或直线与圆的位置关系求最大值. · 【详解】如图： · · 依题意，，即. · 解法一：，当且仅当时等号成立，故的最大值为. · 故选：B · 解法二：设，由题意知直线与圆：有公共点，令，解得，故的最大值为. · 故选：B · 18．C · 【难度】0.65 · 【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系 · 【分析】根据题意可得直线表示过定点，且除去的直线，点在圆上，可判断直线与圆相交. · 【详解】因为直线，即， · 当时，，解得， · 所以直线表示过定点，且除去的直线， · 将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上， · 所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意， · 所以直线与圆相交. · 故选：C. · 19．A · 【难度】0.65 · 【知识点】判断直线与圆的位置关系 · 【分析】利用圆心到直线的距离与半径的比较即可判断位置关系. · 【详解】因为圆的圆心为，半径为， · 则圆心到直线的距离为， · 所以直线与圆的位置关系是相交. · 故选：A · 20．B · 【难度】0.65 · 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、判断圆与圆的位置关系 · 【分析】先求出点的轨迹方程，再判断两圆的位置关系，即可求出的取值范围. · 【详解】因为点为直线与直线的交点， · 所以由可得，且过定点，过定点， · 所以点的轨迹是以点与点为直径端点的圆(去除)，圆心为， · 半径. · 而圆的圆心为，半径为， · 所以两个圆心的距离，且，所以两圆相离， · 所以的最大值为：， · 因为不在圆上，故， · 所以的取值范围是. · 故选：B . · 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据直线垂直以及过定点得到点的轨迹是圆，从而得解. · 21．B · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 · 【分析】设圆心为，半径为，根据条件，建立方程组且，求出，即可求出结果. · 【详解】由题可设圆心为，半径为， · 所以且，解得， · 故圆的方程为，即， · 故选：B. · 22．D · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 · 【分析】根据题意设出圆心的坐标，利用求出点坐标，进而求出半径，得解. · 【详解】由题意，设（），圆的半径为， · ，解得， · 所以圆心，半径， · 所以圆的方程为. · 故选：D. · 23．B · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求直线与圆交点的坐标 · 【分析】为直角，故在以为直径的圆上，确定圆方程，取计算得到答案. · 【详解】为直角，故在以为直径的圆上， · 圆心为，半径为， · 圆方程为，取得到或， · 即点坐标为或. · 故选：B. · 24．C · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 · 【分析】根据给定条件，判断以点为圆心，为半径的圆与已知圆的位置关系即可得解. · 【详解】根据题意可知与点的距离为的直线始终与以点为圆心，为半径的圆相切， · 而此直线又与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线， · 又两圆圆心距离等于两圆半径和， · 所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数为3， · 故选：C · 25．B · 【难度】0.65 · 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） · 【分析】分析可知，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动，利用圆的几何性质可知，当为射线与圆的交点时，取最大值，即可得解. · 【详解】如下图所示： · · 圆的圆心为原点，半径为， · 因为、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点， · 由垂径定理可知，，则， · 所以，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动， · 则. · 当且仅当为射线与圆的交点时，等号成立， · 故的最大值为. · 故选：B. · 26．C · 【难度】0.65 · 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、由直线与圆的位置关系求参数 · 【分析】对于ABD，结合点到直线的距离公式，即可求解，对于C，结合两点之间的距离公式，即可求解． · 【详解】实数，满足方程， · ， · 对于ABD，令，， · 则两条直线都与圆有公共点， · ，，解得，， · 故的最大值为，的最大值为，故ABD正确， · 对于C，原点到圆心的距离为， · 则圆上的点到原点的距离为， · ， · ， · 故的最大值为，故C错误． · 故选：C · 27．B · 【难度】0.65 · 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 · 【分析】首先确定以为直径的圆过原点，则以原点到直线的距离为直径的圆的半径最小，利用点到直线的距离公式，即可求解. · 【详解】因为是直径，， · 所以原点在圆上， · 过作垂直直线，垂足为点， · 因为圆与直线相切， · 所以要使圆的半径最小，此时为圆的直径， · 点到直线的距离 · 所以圆的半径的最小值为1. · · 故选：B · 28．A · 【难度】0.65 · 【知识点】轨迹问题——圆、求圆的一般方程 · 【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程. · 【详解】设， · 由题意可知，所以， · 又因为， · 所以， · 化简可得， · 所以的轨迹方程为， · 故选：A. · 29．B · 【难度】0.65 · 【知识点】基本不等式求和的最小值、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数、基本不等式“1”的妙用求最值 · 【分析】求出圆的标准方程，根据三条公切线，推出两个圆外切，求出，利用基本不等式求解. · 【详解】根据题意可得，两圆的标准方程为和， · 圆心为和，半径分别为2，1， · 若两圆恰有三条公切线， · 则等价为两圆外切， · 则满足圆心距， · 即 · 则， · 则 · , · 当且仅当，即，取等号. · 故选：B · 30．A · 【难度】0.65 · 【知识点】轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围 · 【分析】由题意可得两圆相交，而以AB为直径的圆的方程为，圆心距为3，由两圆相交的性质可得，由此求得的范围． · 【详解】根据直径对的圆周角为， · 结合题意可得以AB为直径的圆和圆有交点， · 因为点P（不同于点A，B），显然两圆相切时不满足条件，故两圆相交． · 而以AB为直径的圆的方程为，两个圆的圆心距为3， · 故|，求得， · 故选：A． · 31．D · 【难度】0.65 · 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化 · 【分析】求出过四点，，，中的三点的所有圆的方程可得答案. · 【详解】设过点，，的圆的方程为， · 所以，解得， · 即方程为，或； · 设过点，，的圆的方程为， · 所以，解得， · 即方程为，或； · 设过点，，的圆的方程为， · 所以，解得， · 即方程为，； · 设过点，，的圆的方程为， · 所以，解得， · 即方程为，或， · 故选：D. · 32．D · 【难度】0.65 · 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程、由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 · 【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.根据已知求出对称点的坐标，即可得出答案. · 【详解】将圆的方程化为标准方程可得，， · 所以，圆心，半径. · 设， · 由已知可得，，解得， · 所以，圆的圆心为，半径， · 所以，圆的方程为. · 故选：D. · 33．D · 【难度】0.65 · 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化 · 【分析】先将已知圆化为标准方程得出圆心、半径，根据点关于直线对称点坐标关系列出方程组，求解即可得出对称圆的圆心，进而得出答案. · 【详解】圆关于直线对称的图形的轨迹仍为圆. · 将圆的方程化为标准方程可得，， · 圆心，半径. · 设点关于直线对称的点为， · 则有，解得， · 即对称圆的圆心为. · 又半径， · 所以，轨迹方程为. · 故选：D. · 34．C · 【难度】0.65 · 【知识点】直线过定点问题、判断点与圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系 · 【分析】先求得直线恒过点，检验可得该点在圆上，即可得出答案. · 【详解】直线可化为， · 由可得，，所以直线恒过点. · 又，即点在圆上， · 所以，过点的直线与圆相交或相切. · 故选：C. · 35．C · 【难度】0.65 · 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 · 【详解】判断出点的轨迹，根据斜率、直线与圆的位置关系等知识求得正确答案. · 【分析】方程，即， · 所以是以，半径为的圆上的点， · 表示点与点连线的斜率， · 设直线与圆相切， · 到直线的距离， · 解得或， · 所以的取值范围是. · 故选：C · · 36．B · 【难度】0.65 · 【知识点】圆的对称性的应用、由直线与圆的位置关系求参数 · 【分析】根据圆的对称性可知直线要经过圆心. · 【详解】圆C：的标准方程为， · 要使得圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上， · 则直线经过圆心，即，解得， · 故选：B · 37．C · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 · 【分析】首先求出线段的垂直平分线，依题意圆的圆心在直线上， · 故设该圆圆心为，又因为该圆与轴相切，所以圆的半径，根据，得到方程求出的值，即可得解. · 【详解】由题意可知，点为过两点且和轴相切的圆的切点，线段中点坐标为，又， · 所以线段的垂直平分线方程为， · 所以以为弦的圆的圆心在直线上， · 故设该圆圆心为，又因为该圆与轴相切，所以圆的半径， · 又，所以，解得或， · 当时，是钝角，故舍去. · 所以此时圆的方程为. · · 故选：C · 38．B · 【难度】0.65 · 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 · 【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可. · 【详解】直线即，恒过定点， · 曲线即表示以点为圆心，半径为1， · 且位于直线上方的半圆（包括点，）， · 当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为； · 当与半圆相切时，由，得，切线记为， · 分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是. · · 故选：B. · 39．D · 【难度】0.65 · 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、切线长、过圆外一点的圆的切线方程、求点到直线的距离 · 【分析】由题意得当最小时，CP连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案. · 【详解】圆的圆心为，半径为，切点为 · 由题意得当最小时，CP连线与直线垂直， · 所以， · 由勾股定理得， · 所以的最小值为， · 故选：D. · 40．B · 【难度】0.65 · 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 · 【分析】根据两点的坐标求出直线的方程和，再根据的面积得到点到直线距离为，从而将问题转化为圆上存在四个不同的点到直线的距离为，结合圆的方程和圆的性质得到圆心到直线的距离小于，即可求解. · 【详解】由和，得直线的方程为，即， · 且， · 设点到直线的距离为，则，解得：， · 因为圆上存在四个不同的点，使得的面积为， · 所以圆上存在四个不同的点到直线的距离为， · 又圆：（）的圆心，半径， · 则圆心到直线的距离小于，即，解得：， · 所以的取值范围是， · 故选：B. · 41．B · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、求平面两点间的距离、垂直关系的向量表示 · 【分析】根据垂直关系得出直径即可求出半径. · · 【详解】因为， · 所以该圆的直径为，所以半径为5． · 故选：B. · · 42．D · 【难度】0.65 · 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） · 【分析】利用圆的性质及“将军饮马”模型计算最值即可. · 【详解】 · · 如图所示，易知，两圆半径分别为， · 取点关于横轴的对称点A，则，在横轴上任取一点，连接， · 连接交横轴于P，交圆于E(圆上靠近横轴一点)，连接交圆于F(圆上靠近横轴一点)， · 则， · 当且仅当，，对应重合时等号成立， · 此时的最小值为. · 故选：D · 43．AD · 【难度】0.65 · 【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点、由直线与圆的位置关系求参数、直线与线段的相交关系求斜率范围 · 【分析】利用三角代换可判断A；求出直线所过定点，结合图形可判断B； · 利用点到直线的距离公式可判断C；转化为寻找对称点问题，即可判断D. · 【详解】A选项：因为点在圆上，所以 · 当时，取得最大值，故A 正确； · B选项：由所以，即直线过点， · 因为直线和线段相交，故只需或，故B 错误； · · C选项：圆的圆心到直线的距离为，而点是圆的圆外一点， · 所以，即，故直线与圆相交，故C错误； · D选项：在上任取点，则关于直线对称的点坐标， · 代入方程，得：①当时，，②当时，为任意实数；故D正确. · 故选：AD. · 44．CD · 【难度】0.65 · 【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 · 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和y轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最长时，直线过圆心从而判断选项D. · 【详解】对于A，直线，即， · 由，解得，故直线过定点，故A错误； · 对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误； · 对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确； · 对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得， · 故直线方程为：，即，故D正确. · 故选：CD · 45．ABC · 【难度】0.65 · 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数、圆的公切线方程 · 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. · 【详解】由题知，两圆半径， · 所以， · · 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， · 当直线过的中点，且与垂直时， · 因为，所以直线的方程为，即； · 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， · 所以，解得或， · 所以直线的方程为或． · 故选：ABC． · 46．ACD · 【难度】0.65 · 【知识点】圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 · 【分析】当时，最短，则最小，求出的最小值即可求得的最小值，可判断选项A；根据等面积法，可判断选项B；求出直线与直线及直线l位置关系，可判断选项C；当最小时，四边形的面积最小，可判断选项D. · 【详解】由圆的方程可知，圆心，半径. · ， · 当时，最小，此时最小. · 对于选项A，，所以，故A错误； · 对于选项B，，即，解得，故B正确； · 对于选项C，因为，，所以，所以，故C错误； · 对于选项D，四边形的面积， · 所以当最小时，四边形的面积最小，，故D错误. · 故选：ACD. · · 47．BC · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 · 【分析】设圆心，由题意可知，，，求出、的值，可得出圆心的坐标以及圆的半径，由此可得出圆的方程. · 【详解】设圆心，由题意可知，，即，解得， · 因为为直角三角形，则为直角三角形，则， · 即，解得，则圆的半径为， · 圆心为，因此，圆的方程为或， · 故选：BC. · 48．ABC · 【难度】0.65 · 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 · 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. · 【详解】设圆的方程为， · 当圆过三点时， · 则，解得， · 所以圆的方程为， · 当圆过三点时， · 则，解得， · 所以圆的方程为， · 当圆过三点时， · 则，解得， · 所以圆的方程为， · 当圆过三点时， · 则，解得， · 所以圆的方程为. · 故选：ABC. · 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法： · （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． · 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； · ②圆心在任意弦的中垂线上； · ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线； · （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． · 49．BC · 【难度】0.65 · 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 · 【分析】将圆方程化为标准方程可判断选项A错误.设 ，则转化为直线与圆有交点，可算得既没有最大值，也没有最小值，选项B正确.对于选项C和D，可用三角换元化简，再结合辅助角公式即可判断. · 【详解】圆转化为， · 则圆的圆心为，半径为2，选项A错误. · 设，则直线与圆有交点，即， · 整理得，解得或. · 既没有最大值，也没有最小值，选项B正确. · 设，， · 则，其中. · 则的取值范围为，选项C正确. · 又，则， · 因此 · · 其中. · 则的最大值为，选项D错误. · 故选：BC. · 50．BC · 【难度】0.65 · 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 · 【分析】由题意可得，函数的图象和直线有2个交点，数形结合求得的范围． · 【详解】方程有两个不等实根， · 即函数的图象和直线有2个交点． · 而函数是以原点为圆心，半径等于1的上半圆（位于轴及轴上方的部分）， · 直线，即 的斜率为，且经过点， · 当直线和半圆相切时，由，求得． · 当直线经过点时，由求得． · 数形结合可得的范围为,， · 故选：BC． · . · 51． · 【难度】0.65 · 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 · 【分析】由圆的方程可得圆心与半径，整理直线方程为一般式，求得圆心到直线的距离，结合题意，可得答案. · 【详解】由圆，则圆心，半径为， · 由直线，则一般式为， · 圆心到直线的距离， · 由题意可知，解得. · 故答案为：. · 52． · 【难度】0.65 · 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、求平面轨迹方程 · 【分析】利用代入法求解动点的轨迹方程，以及中点公式等知识点，即可求解. · 【详解】由题意，设， · 则，所以，代入圆的方程， · 整理得，即. · 故答案为：. · 53． · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 · 【分析】先根据条件，得到圆的方程：，设该圆过定点，则对任意恒成立，整理成，根据且可求定点坐标. · 【详解】因为圆心在直线上，可设圆心坐标为：， · 则圆的半径满足， · 所以圆的标准方程为： · 整理得：. · 设定点坐标， · 所以， · 即， · 因为当为变量时，，能使该等式恒成立， · 所以只可能且 · 即解方程组可得：，或者，（舍去） · 所以圆恒过一定点. · 故答案为： · 54． · 【难度】0.65 · 【知识点】轨迹问题——圆、切线长、圆的弦长与中点弦 · 【分析】作出图形，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，计算出圆的圆心到直线的距离为，可知圆内不在任何切点弦上的点形成以原点为圆心，半径为的圆的内部，利用圆的面积公式可求得结果. · 【详解】如下图所示，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、， · · 则，，， · 则，且为锐角，所以，同理可得， · 所以，，则为等边三角形，连接交于点， · 为的角平分线，则为的中点，， · 且，， · 若圆内的点不在任何切点弦上，则该点到圆的圆心的距离应小于， · 即圆内的这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部， · 因此，圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为. · 故答案为： · 55． · 【难度】0.65 · 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 · 【分析】利用待定系数法进行求解即可. · 【详解】设外接圆的方程为， · 因为，，， · 所以，解得， · 因此外接圆的方程为，， · 故答案为：. · 56．/ · 【难度】0.65 · 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、定点到圆上点的最值（范围）、由圆的一般方程确定圆心和半径 · 【分析】将圆化为标准方程，根据目标式的几何意义求解． · 【详解】解：圆化为标准方程为：， · 记圆心为，半径为， · 令， · 则， · 得为点到原点的距离，其最大值为：， · 则的最大值为：， · 故答案为： · 57．6 · 【难度】0.65 · 【知识点】相交圆的公共弦方程 · 【分析】将两圆方程作差，得两圆的公共弦所在的方程，即可求解． · 【详解】解：将两圆方程联立，得：， · 得， · 两式相减，得：， · 则两圆的公共弦所在的方程为：， · 因为公共弦所在的直线经过原点， · 所以：， · 得， · 故答案为：6 · 58． · 【难度】0.65 · 【知识点】已知切线求参数、由直线与圆的位置关系求参数 · 【分析】首先判断表示的曲线，再利用数形结合表示直线与圆的位置关系，求参数的取值范围. · 【详解】根据题意得为恒过定点的直线， · 由曲线，可得，所以曲线表示圆心为，半径为1的上半圆， · 如图所示． · · 当直线与圆C相切时，有，解得（舍去）或． · 把代入得，解得． · 因为直线与曲线恰有两个公共点，由图可得， · 即k的取值范围是． · 故答案为： · 59． · 【难度】0.65 · 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 · 【分析】根据圆的切线的几何性质可推出，可看作点到的距离的和，结合几何意义即可求得答案. · 【详解】由题意知的圆心为，半径， · 的圆心为，半径， · · 设，则， · ， · 则， · 设，则， · 当且仅当三点共线时取等号， · 此时的最小值为， · 故答案为： · 60．． · 【难度】0.65 · 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 · 【分析】根据题意，将曲线，变形为，，分析可得其为圆的上部分， · 结合直线与圆的位置关系即可． · 【详解】由题意可设直线，又曲线可化为，， · 作出直线l与曲线的图象如图所示： · · 设图中直线，，，的斜率分别为，，，， · 则，，， · 又直线的方程为， · 圆心到直线的距离为， · 解得（舍去）或， · 要使两图象有两个不同的交点，则． · 故答案为： · 61． · 【难度】0.65 · 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） · 【分析】根据题意作图，结合圆的性质，通过三角形的三边关系，可得答案. · 【详解】由题意可作图如下： · 表示点P到原点O的距离，由， · 有，可得， · 故的取值范围为. · 故答案为：. · 62．或 · 【难度】0.65 · 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 · 【分析】注意分斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式以及垂径定理即可求得答案. · 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， · 此时直线l截圆所得弦长为，满足题意， · 设直线l的方程为，即. · 由垂径定理，得圆心到直线l的距离， · 结合点到直线距离公式，得， · 化简得，解得，即直线l的方程为. · 故答案为：或. · 63． · 【难度】0.65 · 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 · 【分析】设，则AB中点，当在上方，且轴时，到轴距离取得最大值，由此即可得解. · 【详解】设，则， · 则AB中点， · 当在上方，且轴时，到轴距离取得最大值， · · 此时，设到轴距离为，则， · 设，则，则， · 所以当，即时，取得最大值， · 即到轴距离的最大值为. · 故答案为：. · 【点睛】关键点点睛：根据题意得出当在上方，且轴时，到轴距离取得最大值，是解决本题的关键. · 64．（中任意一个皆可以，答案不唯一） · 【难度】0.65 · 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、圆内接三角形的面积 · 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． · 【详解】的圆心为，半径， · 设点到直线的距离为，由弦长公式得， · 所以，解得或， · 由，所以或， · 解得或． · 故答案为：（中任意一个皆可以，答案不唯一）． · 65． · 【难度】0.4 · 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦、圆内接三角形的面积 · 【分析】依题设出直线方程，计算中边上的高，利用直线过定点求出的范围，列出的面积表达式，利用二次函数的图象特点求出在 的范围上的面积最大值. · 【详解】 · · 如图，过点的直线不过圆心，所以该直线的斜率存在，设直线方程为，即， · 所以圆心到该直线的距离为易得当时，，当直线经过圆心时，，故， · 又因，故. · 因时，可知函数单调递增，故. · 即面积的最大值是. · 故答案为：. · 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系产生的面积的最值问题,属于较难题. · 解题的关键是在求得圆心到直线的距离表达式后，对距离的范围的界定，这需要看出含参的直线经过的定点，以及经过圆内定点的直线与圆产生的最短，最长弦情况的理解，借此求得参数范围，将面积转化为求二次函数在给定区间上的最值问题. · 66． · 【难度】0.65 · 【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数 · 【分析】首先求对称点，再根据点与圆的位置关系，列式求解. · 【详解】设点关于直线的对称点为， · 则，得， · 又题意可知，，解得：. · 故答案为： · 67． · 【难度】0.65 · 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 · 【分析】设，变形可得，利用的几何意义转化为直线与圆的位置关系即可求解． · 【详解】设，变形可得， · 则的几何意义为直线的斜率， · 是圆上任意一点，圆心，半径为， · 则，解得， · 即的取值范围为. · 故答案为：. · 68． · 【难度】0.65 · 【知识点】轨迹问题——圆 · 【分析】设出点，结合距离公式计算即可得. · 【详解】设，由题意可得， · 化简可得，即. · 故答案为：. · 69． · 【难度】0.65 · 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、相交圆的公共弦方程 · 【分析】两圆方程相减即可得公共弦所在直线，分别求出其中一圆的圆心到直线的距离与半径，再利用直线与圆的相交弦长公式即可求出答案. · 【详解】联立方程组，， · 两式相减，得，为公共弦长所在直线的方程， · 又圆的圆心为，， · 圆心到直线的距离为， · 所以两圆公共弦长. · 故答案为：. · 70． · 【难度】0.65 · 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） · 【分析】确定出两圆的圆心和半径，然后根据四点共线求解出的最大值. · 【详解】圆的圆心为，半径， · 圆的圆心为，半径， · 所以， · 当且仅当共线，且在中间时取等号， · 所以点到点的距离的最大值为， · 故答案为：. · · 71． · 【难度】0.65 · 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） · 【分析】确定圆心C的轨迹方程，利用点到直线的距离公式，求出到直线l的距离，加上轨迹的半径，即得答案. · 【详解】设圆心C的坐标为，因为半径为的圆C经过点, · 所以，所以点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆， · · 故圆心C到直线的距离的最大值为点A到直线l的距离加上半径， · 即， · 故答案为： · 72． · 【难度】0.65 · 【知识点】圆的弦长与中点弦 · 【分析】根据圆的性质分析出为中点时最短，再根据勾股定理求解出的最小值. · 【详解】由圆的性质可知，当点A是弦PQ的中点时，最短， · 此时，所以， · 故答案为：. · 73．/ · 【难度】0.65 · 【知识点】两圆的公共弦长 · 【分析】求得以为直径的圆的方程，根据圆与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求得正确答案. · 【详解】圆即， · 所以圆心为，半径为，，所以在圆外. · 线段中点坐标为，， · 以为直径的圆的方程为， · 即， · 由、两式相减并化简得：， · 到直线的距离为， · 所以. · 故答案为： · · 74． · 【难度】0.65 · 【知识点】求圆的一般方程 · 【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. · 【详解】设圆的方程为， · 圆过点，和，所以，解得， · 所以所求圆的方程为. · 故答案为：. · 75． · 【难度】0.65 · 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 · 【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. · 【详解】设，变形可得， · 则的几何意义为直线的斜率， · 是圆：上任意一点， · 则，解得， · 即的取值范围为． · 故答案为：． · 76． · 【难度】0.4 · 【知识点】轨迹问题——圆、直线与圆的位置关系求距离的最值 · 【分析】先利用圆切线的性质推得、、、四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. · 【详解】圆：可化为， · ，， · ，是圆的两条切线，则，， · 、、、四点共圆，且，， · ， · ， · 当最小，即时，取得最小值， · 此时方程为， · 联立，解得，，即， · 以为直径的圆的方程为， · 即， · 圆：，两圆相交， · 两圆方程相减即为的方程. · 故答案为：. · · 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将转化为，从而确定最小时的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解. · 77． · 【难度】0.65 · 【知识点】轨迹问题——圆 · 【分析】依题意设是线段的中点，则，可得，在中利用勾股定理计算可得. · 【详解】如图所示，是线段的中点，则， · 因为，于是， · 在中，，，， · 由勾股定理得， · 整理得的轨迹是. · 故答案为：. · · 78．（写出或或其中一条即可） · 【难度】0.65 · 【知识点】圆的公切线方程 · 【分析】设两圆的公切线方程为，根据圆心到直线的距离均为求解方程. · 【详解】解：因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， · 因为，所以，圆和圆外切， · 故圆和圆有三条公切线， · 若两圆公切线的斜率不存在，设公切线的方程为，则，无解. · 所以，两圆公切线的斜率存在，设公切线方程为，即， · 由题意可得，可得，所以，或， · 当时，可得； · 当，代入可得，解得， · 所以，两圆公切线方程为或或. · 故答案为：（写出或或其中一条即可） · 79．(1) · (2)或. · · 【难度】0.4 · 【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数、求平面轨迹方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 · 【分析】（1）利用两直线的垂直关系，判断点的轨迹是圆，进而求解； · （2）根据直线与圆的位置关系，结合韦达定理和判别式＞0，求出的取值范围，进而求解. · 【详解】（1）由已知得 · 所以两直线恒垂直， · 又恒过点恒过点， · 所以点的轨迹是以为直径的圆， · 从而点的轨迹方程为 · （2）设 · 因为以为直径的圆恰好经过原点，所以 · 即 · · 即① · 把代入 · 整理，得 · 所以，即② · 而 · 代入①得，解得或 · 都满足② · 所以直线的方程为或. · 80． · 【难度】0.65 · 【知识点】轨迹问题——圆、求平面轨迹方程 · 【分析】根据相关点法，利用中点坐标找到动点的关系，代入已知点的轨迹方程化简即可求解. · 【详解】设,由中点坐标公式可得, · 可得， · 由于在圆上运动，所以， · 即， · 所以M的轨迹方程为. · 81．或 · 【难度】0.65 · 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 · 【分析】求出圆的圆心与半径，分过点的直线的斜率不存在和存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径，即可求出切线方程； · 【详解】解：由题意知圆心的坐标为，半径， · 当过点的直线的斜率不存在时，方程为． · 由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切． · 当过点的直线的斜率存在时，设方程为， · 即．由题意知， · 解得，∴方程为． · 故过点的圆的切线方程为或． · 82．(1)最大值为，最小值为 · (2)最大值为，最小值为 · (3)最大值为，最小值为 · · 【难度】0.65 · 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 · 【分析】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； · （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； · （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， · 【详解】（1）圆心到直线的距离为． · ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． · （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， · ∴，解得， · 则，即的最大值为，最小值为． · 解法二：设，则，其中， · ∴得，即的最大值为，最小值为． · （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， · 设，即，直线与圆有交点， · 设， · 解得． · 则，即的最大值为，最小值为． · 83．(1) · (2)或 · · 【难度】0.65 · 【知识点】轨迹问题——圆、过圆外一点的圆的切线方程 · 【分析】（1）先设点，再根据向量垂直的坐标运算即可求解，也可以根据圆的定义得到P点的轨迹为以AB中点O为圆心,半径为1的圆去掉A、B得到的，进而得出P点的轨迹方程； · （2）根据直线与完整的圆相切时，只有一个交点，即可求解. · 【详解】（1）法一：设，因为， · 所以由，得， · 所以动点P轨迹方程为. · 法二：由题，所以P点的轨迹是以AB中点O为圆心,半径为1的圆去掉A、B得到的， · 所以P点的轨迹方程为 · （2）因为直线l与点P的轨迹（并上点A和点B）有且只有一个交点（如图）， · ①若斜率不存在，此时直线l方程为：，与圆切于点B， · ②当直线l与圆相切斜率存在时，设，即， · 根据圆心到切线距离等于半径可得，得， · 所以此时直线l方程为. · · 综上，直线l方程为或. · 84．(1) · (2)和圆相交，理由见解析， · · 【难度】0.65 · 【知识点】求圆的一般方程、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程 · 【分析】（1）先设出圆的一般方程，把已知点代入，可求解； · （2）先确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和、差的关系，确定两圆的位置关系.再用直线与圆相交求弦长的方法求公共弦长. · 【详解】（1）设圆的一般方程为：，把已知点代入得： · ， · 所以圆的方程为： · （2）由（1）得圆的标准方程为：. · ∴，，， · ∵ · 所以圆和圆相交， · 设交点为A，B，直线AB方程为即： ， · 所以到直线AB的距离所以. · 两圆公共弦的长. · 85． · 【难度】0.4 · 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 · 【分析】先设圆的圆心，半径为.根据条件，得到之间的关系.再由圆心到直线的距离，得到之间的关系，消去，可得的一个二次关系，看成关于的一元二次方程，由可得的最小值，进一步确定的值，得到圆的标准方程. · 【详解】解:设圆心，半径为.因圆被轴分成的弧长之比为1:3， · · 所以，，① · 又，所以.② · 由①、②得:. · 又到直线的距离. · 所以 · 所以，即有实根， · 所以 · 所以所以， · 此时，，，. · 因为，所以同号. · 圆的方程为或 · 【点睛】方法点睛：通常求点到直线距离最小的问题，多数是通过转化，利用基本（均值）不等式求最值以及此时对应的参数的值，而本题是把点到直线的距离当成一个一元二次方程的系数，利用方程有解，从而，得到关于的不等式，进而得到的最值. · 86． · 【难度】0.65 · 【知识点】求圆的一般方程、由圆与圆的位置关系确定圆的方程 · 【分析】根据题意，设出圆的方程为，求得圆的半径，结合二次函数的性质，即可求解. · 【详解】设过直线和圆的交点的圆系方程， · 可设为， · 即， · 可得圆的半径为， · 故当时对应圆的半径最小，且最小半径为. · 故所求圆的方程为. · 87．(1) · (2)或 · · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求圆的一般方程、已知圆的弦长求方程或参数 · 【分析】（1）设圆的圆心坐标为，由已知列出方程，求得，进而求得半径，即可得出结果； · （2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果. · 【详解】（1）设圆的圆心坐标为.依题意，在，解得 · 从而圆的半径为，所以圆的方程为. · （2）依题意，圆C的圆心到直线的距离为4， · 显然直线符合题意. · 当直线的斜率存在时，设其方程为，即 · 所以解得，所以直线的方程为 · 综上，直线的方程为或. · 88．(1) · (2) · · 【难度】0.65 · 【知识点】轨迹问题——圆、求过已知三点的圆的标准方程 · 【分析】（1）用待定系数法可求圆的方程； · （2）定义代入法求线段MN的中点P的轨迹方程． · 【详解】（1）设△ABC的外接圆方程为 . · 把A（0，1），B（2，1），C（3，4）代入圆的方程得: · 解此方程组，得. · ∴△ABC的外接圆方程是 · （2）设点，， · ∵点P是MN的中点，∴. · ∵点M在上运动，∴. · 即，整理得：. · 所以，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. · 89．(1) · (2)或 · · 【难度】0.65 · 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、已知圆的弦长求方程或参数 · 【分析】确立圆的方程需要三个独立的变量，求解时，可以先确定圆心的坐标，再求圆的半径，也可以运用圆的一般方程，通过待定系数法求得. · 【详解】（1）设圆的方程为，因为点在圆上， · 所以，解得，， · 所以圆的方程为， · 故圆的标准方程为. · （2）由题意可知，圆心到直线的距离. · 若直线的斜率不存在，则直线的方程为； · 若直线的斜率存在，设其为，则直线的方程为, · 所以，解得，,所以直线的方程为， · 综上所述，直线的方程为或. · 【点睛】对于本题而言，选择圆的一般式方程方程求解较易，求直线方程时要防止漏掉斜率不存在的情况，重视数形结合的运用. · 90．(1)，图像见解析 · (2)或，图像见解析 · · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 · 【分析】（1）已知圆心及切线，求出圆的半径，写出圆的方程； · （2）设圆心，根据半径与切线，求得值，写出圆方程. · 【详解】（1）因为圆M与直线相切， · 所以圆心到直线的距离即为圆的半径， · 即， · 所以圆心为，且与直线相切的圆的方程是. · · （2）因为圆心在直线上，所以可设圆心坐标为. · 因为圆的半径为2，且与直线相切，所以， · 解得或，所以圆心坐标为或. · 所以圆的方程为或. · · 91．最大值为，最小值为 · 【难度】0.65 · 【知识点】求平方和型目标函数的最值、定点到圆上点的最值（范围） · 【分析】根据方程表示以（2，0）为圆心，为半径的圆以及表示圆上的一点与原点距离的平方即可求解. · 【详解】方程表示以（2，0）为圆心，为半径的圆． · 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心所连的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值（如图）． · · 又圆心到原点的距离为， · 所以的最大值为，最小值为， · 即的最大值为，最小值为． · 92．(1) · (2)或. · · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数 · 【分析】（1）由圆过点，可得圆心在这两点连线中垂线上，结合圆心在直线上可得圆心坐标与圆的半径； · （2）由结合垂径定理可得直线到圆心距离.注意到直线的斜率不存在时，满足题意；当直线的斜率存在时， 设过点的直线为：，后由点到直线距离公式可得k. · 【详解】（1）点中点坐标为：，两点连线斜率为. · 则两点连线中垂线斜率为，故这两点中垂线方程为：. · 将中垂线方程与联立，， · 即圆心坐标为，则半径， · 故圆的标准方程为：. · （2）设直线到圆心距离为d，由垂径定理，.则. · 当直线斜率不存在时，方程为，到圆心距离为2，满足题意； · 当直线斜率存在时，设，由其到圆心距离为2，结合点到直线距离公式，可得. · 则此时，直线方程为. · 故直线方程为：或 · 93．(1)或 · (2). · · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化 · 【分析】（1）由半径为2，且与直线相切，可得圆心纵坐标，后结合圆心在直线上可得圆心坐标即可得答案； · （2）设相应圆方程为，代入三点坐标，解相应三元一次方程可得答案. · 【详解】（1）因圆半径为2，且与直线相切，则圆心纵坐标为或. · 又圆心在直线上，则圆心坐标为或. · 故相应圆的标准方程为：或； · （2）设相应圆方程为，代入三点，，， · 则，即圆的一般方程为：. · 故圆的标准方程为：. · 94．(1) · (2)或 · · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数 · 【分析】（1）由题可得AB的中垂线方程，将其与直线联立，可得圆心坐标，后可得半径，即可得答案； · （2）当斜率不存在时，易知满足题意；当斜率存在时，由弦长公式可得直线到圆心距离， · 结合点到直线距离公式可得直线斜率，即可得答案. · 【详解】（1）由题，AB的中点坐标为，直线斜率为. · 则AB中垂线方程斜率为，又过点，则AB中垂线方程为， · 联立，知.则. · ∴圆C的标准方程是. · （2）若直线l的斜率不存在，则直线l：， · 其到圆心距离为1，则相应弦长，满足题意； · 若直线l的斜率存在，设直线l：，设其到圆心距离为. · 则，即圆心C到直线l的距离为1. · 由点到直线距离公式，，，则直线l： · 综上，直线l：或 · · 95．(1)证明见解析；和 · (2)证明见解析； · · 【难度】0.65 · 【知识点】相交圆的公共弦方程、圆过定点问题 · 【分析】（1）利用几何关系得到点在以为直径的圆上，然后求出圆的方程即可； · （2）利用两个圆的方程，求出公共弦的方程，即可求出定点. · 【详解】（1）是圆O的切线切点为 · 所以. · 所以点在以为直径的圆上， · 点P在直线l上运动，所以设点， · 则以为直径的圆方程为：， · 即：， · 令，解得或 · 所以圆过定点和 · （2）由（1）知，过的圆方程为：， · 同时点在圆上， · 所以直线AB即两个圆的公共弦方程所在的直线方程， · 两个圆的方程相减得：，即两个圆的公共弦方程所在的直线方程； · 令，解得. · 故直线过定点 · · 96．或 · 【难度】0.65 · 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 · 【分析】易得切线的斜率存在，设切线方程为， · 解法1：根据圆心到切线的距离等于半径求出即可. · 解法2：联立直线与圆的方程，根据求出即可. · 【详解】解法1：当切线斜率不存在时，方程为，与圆不相切， · 所以切线斜率存在， · 设切线方程为，即， · 由圆心到切线l的距离等于圆的半径1， · 得， 解得或， · 所以所求切线l的方程为或. · 解法2：当切线斜率不存在时，方程为，与圆不相切， · 所以切线斜率存在， · 设切线方程为， · 因为直线l与圆相切， · 所以方程组只有一组解， · 消得， · 则，解得或， · 所以所求切线l的方程为或. · 97． · 【难度】0.65 · 【知识点】切线长、切点弦及其方程 · 【分析】由圆的方程确定圆心C、半径r，根据切线段长与半径r、OC的几何关系，求切线段长，利用等面积法求切点弦的长即可. · 【详解】 · 由题意，可化为， · ∴圆心，半径，则有，故切线段长， · 若线段的长为，则，得. · 98． · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的弧长、面积、圆心角等计算、过圆内定点的弦长最值（范围） · 【分析】先分析已知点与圆的位置关系，再判断出最长弦和最短弦的位置，然后利用三角形的面积公式即可求出四边形ABCD的面积. · 【详解】 · · 设圆圆心为M，由题可得圆心坐标是，半径是5，圆心到点的距离为1． · 所以点在圆内，最长弦为圆的直径， · 由垂径定理得：最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直， · 故最短弦的长为， · 最长弦即直径，即， · 所以四边形的面积为． · 99．相交 · 【难度】0.65 · 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、判断圆与圆的位置关系 · 【分析】根据圆心间距离与半径和，半径差的关系判断两个圆的位置关系. · 【详解】把圆的方程化成标准方程，得． · 圆的圆心是点，半径． · 把圆的方程化成标准方程，得． · 圆的圆心是点，半径． · 两圆心之间的距离， · 从而， · 所以圆与圆相交，它们有两个公共点． · · 100． · 【难度】0.65 · 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 · 【分析】利用待定系数法即可联立方程求解，或者利用几何法，求解圆心为两条直线的交点，即可求解. · 【详解】（方法一）设圆心为，半径为r， · 则圆的标准方程为． · 由题意可得方程组． · 解此方程组，得，故所求圆的方程为． · （方法二）如图，由于圆心M到点A，B的距离相等（都等于半径）， · · 因此圆心M在AB的垂直平分线l上，并且处于直线l与直线的交点处． · 因为，所以是l的法向量， · 故可设直线l的方程为． ① · 又直线l过AB的中点N，而N的坐标为， · 即，将其代入①式，解得． · 所以直线l的方程为，即． · 圆心M的坐标是方程组的解， · 解此方程组，得．所以圆心M的坐标为． · 圆的半径． · 故所求圆的方程为． · 答案第4页，共5页 答案第5页，共68页 学科网（北京）股份有限公司 $$