专题5.2 导数的运算【七大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.2 导数的运算【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 基本初等函数的导数】 2 【题型2 导数的四则运算法则】 2 【题型3 复合函数的求导方法】 3 【题型4 求曲线的切线方程（斜率）】 3 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 4 【题型6 函数图象的判断及应用】 4 【题型7 导数运算的新定义问题】 6 【知识点1 导数的运算】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【题型1 基本初等函数的导数】 【例1】（2024·湖北·一模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·北京通州·期中）下列求导运算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·江苏淮安·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 导数的四则运算法则】 【例2】（23-24高二下·江苏扬州·期中）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）已知函数，求（    ） A．0 B． C． D．120 【题型3 复合函数的求导方法】 【例3】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）下列求导运算不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）设定义在上的函数的导函数为，且，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式3-2】（23-24高二下·湖北·期中）下列求导不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二下·四川自贡·期中）设 ，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 求曲线的切线方程（斜率）】 【例4】（24-25高三上·北京房山·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知，则在点处切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高三上·山西运城·开学考试）曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数的图象在处的切线与轴垂直，则函数的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 【例5】（24-25高三上·北京·阶段练习）若直线是曲线的切线，则（    ） A． B． C．1 D．e 【变式5-1】（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）已知函数，在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·全国·课后作业）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024高三·全国·专题练习）已知，若直线 是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 【题型6 函数图象的判断及应用】 【例6】（23-24高二下·辽宁鞍山·阶段练习）函数的导数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．     【变式6-1】（23-24高二上·安徽芜湖·期末）若函数的图象的顶点在第三象限，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高三下·福建·阶段练习）设函数的导函数为，则图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二下·天津河北·期中）下列四个图象中，有一个图象是函数的导数的图象，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型7 导数运算的新定义问题】 【例7】（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二上·河北·阶段练习）曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记是的导函数，是的导函数，那么曲线在点处的曲率，则曲线在点处的曲率为（    ） A．0 B． C． D． 【变式7-2】（2024·河南南阳·模拟预测）对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题： (1)求函数的“拐点”A的坐标； (2)求证：的图像关于“拐点”A对称，并求的值. 【变式7-3】（2024·安徽·一模）给出以下三个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，； ②若，定义； ③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式. 例如在点处的泰勒展开式为 根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的泰勒展开式； (2)用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位； (3)现已知，试求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 导数的运算【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 基本初等函数的导数】 2 【题型2 导数的四则运算法则】 3 【题型3 复合函数的求导方法】 4 【题型4 求曲线的切线方程（斜率）】 6 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 8 【题型6 函数图象的判断及应用】 9 【题型7 导数运算的新定义问题】 12 【知识点1 导数的运算】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【题型1 基本初等函数的导数】 【例1】（2024·湖北·一模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，通过赋值逐项判断即可. 【解答过程】因为，所以， 则，所以， 则，所以. 故选：C. 【变式1-1】（23-24高二下·北京通州·期中）下列求导运算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据初等函数的导数公式逐项判定，可得答案. 【解答过程】对于A，，故A错误；     对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确；     对于D，，故D正确. 故选：A. 【变式1-2】（23-24高二下·江苏淮安·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本初等函数的导数公式计算可得. 【解答过程】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D． 【变式1-3】（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接基本初等函数求导法则计算即可. 【解答过程】因为，，，. 故选：C. 【题型2 导数的四则运算法则】 【例2】（23-24高二下·江苏扬州·期中）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 【变式2-1】（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，解得，对函数求导，令，解得，即可求得. 【解答过程】令，得，解得， 所以， 令，得，解得， 所以，所以，所以. 故选：D. 【变式2-2】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据求导公式逐个分析判断. 【解答过程】对于A，，所以A错误， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C错误， 对于D，，所以D正确. 故选：D. 【变式2-3】（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）已知函数，求（    ） A．0 B． C． D．120 【解题思路】令，则，求导后赋值即可. 【解答过程】令，则，两边求导得到，令，得到. 故选：B. 【题型3 复合函数的求导方法】 【例3】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）下列求导运算不正确的是（     ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数运算法则及求导公式，逐项求导判断即可. 【解答过程】对于A：，A错误； 对于B，令，B正确； 对于C：，C正确； 对于D：，D正确. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）设定义在上的函数的导函数为，且，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【解题思路】两边求导，运用复合函数导数规则，再结合累乘计算即可. 【解答过程】两边对求导，得，即， 所以，累乘可得． 故选：D. 【变式3-2】（23-24高二下·湖北·期中）下列求导不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用求导公式分别求出各个选项的导数，即可得出答案． 【解答过程】对于A，，故A正确； 对于B，是常数，导数为0，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：C． 【变式3-3】（23-24高二下·四川自贡·期中）设 ，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，依次求出,...,寻找出规律即可. 【解答过程】因为， 所以, , , , ... 因为, 所以. 故选：C. 【题型4 求曲线的切线方程（斜率）】 【例4】（24-25高三上·北京房山·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导后由导数的意义求切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可； 【解答过程】求导可得， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 故选：B. 【变式4-1】（24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知，则在点处切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的导函数，再把点的横坐标代入求解即可. 【解答过程】因为， 所以， 所以函数在点处切线的斜率为， 故选：D. 【变式4-2】（24-25高三上·山西运城·开学考试）曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求得，得到且，进而求得切线方程，得到答案. 【解答过程】由函数，可得， 则且，即切点为，切线的斜率为， 所以函数在处的切线方程为. 故选：A. 【变式4-3】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数的图象在处的切线与轴垂直，则函数的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由函数在处的切线与轴垂直，可求得，再根据导数的几何意义求解即可. 【解答过程】解：因为， 所以， 又因为函数在处的切线与轴垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 即切点为， 又因为， 所以在处的切线的斜率， 所以在处的切线方程为：， 即，. 故选：B. 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 【例5】（24-25高三上·北京·阶段练习）若直线是曲线的切线，则（    ） A． B． C．1 D．e 【解题思路】利用导数，根据切点及切线的斜率求得正确答案. 【解答过程】，， 依题意，直线是曲线的切线， 设切点为，则，， 通过对比系数可得，则. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）已知函数，在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由导数的几何意义可得出，即可求得实数的值. 【解答过程】因为，则， 因为函数在点处的切线方程为，则，解得， 且，则点在直线上，合乎题意. 因此，. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高二上·全国·课后作业）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出曲线在点处的切线方程,设切线与曲线的切点为，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果. 【解答过程】的导数，令，则， 所以曲线在处的切线方程为， 即 的导数，设直线与曲线切于点， 则曲线在点处的切线方程为， 即，所以解得． 故选：D. 【变式5-3】（2024高三·全国·专题练习）已知，若直线 是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 【解题思路】根据题意，分别设出与曲线以及与曲线的切点坐标，然后结合导数的几何意义，代入计算，即可求解. 【解答过程】设直线与曲线相切于点 ，与曲线相切于点. 由知，又两曲线的公切线斜率为，则，解得或（舍去）. 所以，解得. 由知，又两曲线的公切线斜率为，则，即，故，整理得，故， 所以，故. 故选：C. 【题型6 函数图象的判断及应用】 【例6】（23-24高二下·辽宁鞍山·阶段练习）函数的导数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．     【解题思路】根据已知，利用函数的求导公式以及函数的奇偶性、函数值进行排除. 【解答过程】因为，所以， 令，，则， 所以函数是奇函数，故A，C错误； 又，故B错误. 故选：D. 【变式6-1】（23-24高二上·安徽芜湖·期末）若函数的图象的顶点在第三象限，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意可得，再求出，即可判断. 【解答过程】因为函数的图象的顶点在第三象限， 则，所以，又，则的图象单调递增，且与轴交于正半轴. 故选：C. 【变式6-2】（23-24高三下·福建·阶段练习）设函数的导函数为，则图象大致是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求导数得，再根据奇偶性舍去B,C，根据过原点，舍去A.即可得结果. 【解答过程】因为，所以，所以， 所以函数是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以选项B，C错误；又因为其图象过原点，所以舍去A. 故选：D. 【变式6-3】（23-24高二下·天津河北·期中）下列四个图象中，有一个图象是函数的导数的图象，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的导数，由导函数的特性确定函数图象，进而求出a值作答. 【解答过程】函数，求导得， 于是函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，①②不满足， 又，即函数的图象对称轴不是y轴，④不满足，因此符合条件的是③， 函数的图象过原点，且，显然，从而， ，所以. 故选：D. 【题型7 导数运算的新定义问题】 【例7】（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给出的导数新定义逐项判断即可. 【解答过程】对于A：，，， 则在上恒有，故A错误； 对于B：，，， 则在上恒有，故B错误； 对于C：，，， 则在上恒有，故C错误； 对于D：，，， 则在上恒有，故D正确. 故选：D. 【变式7-1】（23-24高二上·河北·阶段练习）曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记是的导函数，是的导函数，那么曲线在点处的曲率，则曲线在点处的曲率为（    ） A．0 B． C． D． 【解题思路】 根据曲线的曲率定义，对函数求导得出，再对求导得出，将代入求解即可. 【解答过程】对函数求导，得， 对求导，得，所以， 所以曲线在点处的曲率. 故选：D. 【变式7-2】（2024·河南南阳·模拟预测）对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题： (1)求函数的“拐点”A的坐标； (2)求证：的图像关于“拐点”A对称，并求的值. 【解题思路】（1）根据“拐点”的定义求出的根，然后代入函数解析式可求出“拐点” 的坐标． （2）设出点的坐标，根据中心对称的定义即可证明，利用对称性可得结果. 【解答过程】（1）∵，，∴令， 得. 有，∴“拐点”A为. （2）证明：设，是图像上任意一点，则. ，是关于“拐点”的对称点为. 把点坐标代入得左边， 右边，∴左边＝右边. ∴点在的图像上. ∴关于“拐点”A对称. 由对称性可得 . 【变式7-3】（2024·安徽·一模）给出以下三个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，； ②若，定义； ③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式. 例如在点处的泰勒展开式为 根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的泰勒展开式； (2)用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位； (3)现已知，试求的值. 【解题思路】（1）利用阶泰勒展开式的定义，可求， （2）由（1）可求； （3）由（1）可得，进而可得，结合已知可得结论. 【解答过程】（1），，，， 所以，，，， 由 所以 （2）由（1）可得 （3）因为 ①， 对， 两边求导可得：， 所以， 所以②， 比较①②中的系数，可得： ， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$