专题5.1 导数的概念及其意义【八大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.1 导数的概念及其意义【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 瞬时速度、平均速度】 2 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 3 【题型3 利用导数的定义解题】 4 【题型4 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 6 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 7 【题型6 求在曲线上一点的切线方程、过一点的曲线方程】 9 【题型7 函数图象与导函数的关系】 10 【题型8 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 13 【知识点1 导数的概念】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 3．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 【题型1 瞬时速度、平均速度】 【例1】（23-24高二下·安徽合肥·期末）若质点运动的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系是），那么该质点在 时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用瞬时速度公式即可求得 时的瞬时速度，利用物体在到这段时间内的平均速度为公式即可求得从到这两秒内的平均速度. 【解答过程】， 所以.即该质点在时的瞬时速度为； 从到这两秒内的平均速度为； 故选：D. 【变式1-1】（23-24高二下·福建厦门·期中）如果质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据瞬时变化率的定义求解即可. 【解答过程】， 所以. 故选：D. 【变式1-2】（23-24高二下·重庆·期中）某物体的运动方程为（位移单位：，时间单位：），若，则下列说法中正确的是（    ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度 【解题思路】根据瞬时速度的定义即可得解. 【解答过程】由， 可知，是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C. 【变式1-3】（23-24高二下·江苏·阶段练习）如果说某物体做直线运动的时间与距离满足，则其在时的瞬时速度为（    ） A．4 B． C．4.8 D． 【解题思路】利用导数的定义即可求解. 【解答过程】根据导数的定义可得，在时的瞬时速度为 ， 故选：D. 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 【例2】（23-24高二下·福建龙岩·期中）若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【解题思路】利用平均变化率的定义可得答案. 【解答过程】因为，所以，， 故函数从到的平均变化率为. 故选：B. 【变式2-1】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用瞬时变化率的定义可求得结果. 【解答过程】因为， 所以，函数在处的瞬时变化率为 . 故选：C. 【变式2-2】（23-24高二下·北京海淀·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的时（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平均变化率的计算即可比较大小求解. 【解答过程】对于A，在上的平均变化率为， 对于B，在上的平均变化率为， 对于C, 在上的平均变化率为， 对于D，在上的平均变化率为， 故在上的平均变化率最大， 故选：B. 【变式2-3】（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s 【解题思路】利用导数的定义直接求得. 【解答过程】由，求导得：. 当时，，解得（舍去）. 故当时，液体上升高度的瞬时变化率为. 故选：C. 【题型3 利用导数的定义解题】 【例3】（23-24高二下·河南·期中）若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题思路】根据导数的定义计算即可求解. 【解答过程】由题意知，， 则. 故选：D. 【变式3-1】（23-24高二下·江西萍乡·期中）设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【解题思路】由已知结合导数定义即可求解. 【解答过程】由于，则. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高二下·河北保定·期末）若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （      ） A． B． C． D．6 【解题思路】根据导数的定义和性质即可求解. 【解答过程】, 故选：D. 【变式3-3】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）若，则（    ） A．1 B．2 C． D．8 【解题思路】利用导数定义和导数的计算法则求出，即可得出结果. 【解答过程】根据导数的定义可得， 由可得， 可得，即. 故选：B. 【知识点2 导数的几何意义】 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线的斜率，即f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【题型4 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例4】（23-24高二下·湖北武汉·期末）设是可导函数，且，则在处的切线的斜率等于（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】根据条件得到，再利用导数的几何意义，即可求出结果. 【解答过程】因为，所以， 由导数的几何意义知，在处的切线的斜率为， 故选：B. 【变式4-1】（23-24高二下·全国·课后作业）曲线在点处的切线的倾斜角等于（　　） A． B． C． D． 【解题思路】利用导函数定义求得导函数，根据切线的几何意义以及倾斜角的定义，可得答案. 【解答过程】 ， 所以.又切线的倾斜角的范围为，所以所求倾斜角为. 故选：C. 【变式4-2】（23-24高二下·河南南阳·期中）函数的图象如图所示，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，分析和的几何意义，结合图象分析可得答案． 【解答过程】根据题意的几何意义为在点B处切线的斜率， 的几何意义为在点A处切线的斜率， ，其几何意义为割线AB的斜率， 则有． 故选：C. 【变式4-3】（23-24高二下·广东中山·阶段练习）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（   ） A．6 B．2 C．3 D． 【解题思路】根据导数的定义，结合导数的几何意义求解即可. 【解答过程】由题意，， 即，故，即曲线在点处的切线的斜率是6. 故选：A. 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 【例5】（2024·山西·模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数的几何意义，列方程组求解即可. 【解答过程】由题意知， 所以，解得， 又 ， 所以 ，解得，所以. 故选：C. 【变式5-1】（23-24高二下·福建宁德·期末）已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由切线的几何意义得，将代入切线方程得，从而得解. 【解答过程】由切线方程，得， 将代入切线方程，得，所以， 则. 故选：C. 【变式5-2】（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】设切点为，再根据切点在直线与切线上，导数的几何意义列式求解即可. 【解答过程】的导函数，设切点为，则，故，即，则. 易得函数为增函数，且，故. 故. 故选：A. 【变式5-3】（23-24高二上·江苏·课前预习）若直线是曲线（）的一条切线，则实数b的值为（　 ） A．4 B． C． D． 【解题思路】先求得曲线的导函数，由导函数几何意义及直线方程可求得切点坐标，再代入直线方程即可求得b的值. 【解答过程】∵的导数，∴令，得，∴切点为． 代入直线，得，即 ． 故选：C. 【题型6 求在曲线上一点的切线方程、过一点的曲线方程】 【例6】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意，对函数进行求导，得到，求出切线方程； 【解答过程】已知，函数定义域为， 可得， 此时， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 故选：B. 【变式6-1】（24-25高三上·湖南永州·开学考试）函数在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对求导，得到，从而有，再利用导数的几何意义，即可求解. 【解答过程】由，得到，所以， 所以在点处的切线方程是，即， 故选：A. 【变式6-2】（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线. 【解答过程】设过点的曲线的切线为： ， 有, 解得或, 代入可得或. 故选：C. 【变式6-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对求导，注意是常数，令代入导函数中，可求得，进而可求，可得在处的切线方程. 【解答过程】，令，可得， ， 所以在处的切线方程为. 故选：B. 【题型7 函数图象与导函数的关系】 【例7】（23-24高二下·吉林·阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接由导数的几何意义结合函数图象即可求解. 【解答过程】由导数的几何意义可知，表示曲线在处的切线斜率， 表示曲线在处的切线斜率， 表示，两点连线的斜率， 由图可知，当从0变化到1时，切线斜率越来越大， 所以，对比选项可知，D正确. 故选：D. 【变式7-1】（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】结合图形，利用曲线上两点所在直线的斜率和过两点的切线斜率的比较即可得到. 【解答过程】    如图，设函数的图象上有两点，经过点的切线分别为, 则直线的斜率依次为 ， 由图知直线的倾斜角满足，， 因函数在上递增，故， 即. 故选：B. 【变式7-2】（2024·福建泉州·模拟预测）如图是函数的部分图象，记的导数为，则下列选项中值最大的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由函数的图象，结合导数的几何意义，即可判断. 【解答过程】 由图可知，为负数，为正数，故不选， 设在处的点为，显然的斜率大于， 则，可转化为， 所以的值最大. 故选：A． 【变式7-3】（23-24高二下·江西上饶·阶段练习）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　）    A． B． C． D． 【解题思路】作曲线在点，，处的切线，结合导数的几何意义比较的大小，可得结论. 【解答过程】作曲线在点，，处的切线，记其斜率依次为， 结合图象可得， 由导数的几何意义可得， 所以. 故选：D. 【题型8 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 【例8】（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【解题思路】求导，与直线垂直，求出的值. 【解答过程】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D. 【变式8-1】（23-24高二下·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．26 B．23 C．15 D．11 【解题思路】先由，利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线与的切点为，利用切线斜率为-1和切点在切线上求解. 【解答过程】解：因为， 所以，由，解得或（舍去）， 所以切点为， 因为切点在切线上，解得， 所以切线方程为， 设切点为， 由题意得，解得， 所以， 故选：D. 【变式8-2】（23-24高二下·陕西汉中·期中）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再求切线方程； （2）根据（1）的结果，再根据两直线平行的几何关系，列式求解. 【解答过程】（1），，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为， 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，从而. 【变式8-3】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）当时，，，故，再根据点斜式方程求解即可； （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则根据切点在切线上，也在曲线上得，整理得，再分当时和时两种情况求解即可. 【解答过程】（1）当时，，， 曲线在点处的切线方程为：， 代入整理得：. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，， 曲线在点处的切线为： 与曲线相切于点，则 由①得：，则 将、代入②得：， 整理得： 当时，，即 当时，，，因此，即 存在这样的直线，直线为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 导数的概念及其意义【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 瞬时速度、平均速度】 2 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 2 【题型3 利用导数的定义解题】 3 【题型4 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 4 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 4 【题型6 求在曲线上一点的切线方程、过一点的曲线方程】 5 【题型7 函数图象与导函数的关系】 5 【题型8 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 6 【知识点1 导数的概念】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 3．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 【题型1 瞬时速度、平均速度】 【例1】（23-24高二下·安徽合肥·期末）若质点运动的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系是），那么该质点在 时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·福建厦门·期中）如果质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·重庆·期中）某物体的运动方程为（位移单位：，时间单位：），若，则下列说法中正确的是（    ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度 【变式1-3】（23-24高二下·江苏·阶段练习）如果说某物体做直线运动的时间与距离满足，则其在时的瞬时速度为（    ） A．4 B． C．4.8 D． 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 【例2】（23-24高二下·福建龙岩·期中）若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【变式2-1】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·北京海淀·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的时（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s 【题型3 利用导数的定义解题】 【例3】（23-24高二下·河南·期中）若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3-1】（23-24高二下·江西萍乡·期中）设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【变式3-2】（23-24高二下·河北保定·期末）若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （      ） A． B． C． D．6 【变式3-3】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）若，则（    ） A．1 B．2 C． D．8 【知识点2 导数的几何意义】 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线的斜率，即f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【题型4 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例4】（23-24高二下·湖北武汉·期末）设是可导函数，且，则在处的切线的斜率等于（    ） A．2 B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二下·全国·课后作业）曲线在点处的切线的倾斜角等于（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二下·河南南阳·期中）函数的图象如图所示，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二下·广东中山·阶段练习）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（   ） A．6 B．2 C．3 D． 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 【例5】（2024·山西·模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二下·福建宁德·期末）已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·江苏·课前预习）若直线是曲线（）的一条切线，则实数b的值为（　 ） A．4 B． C． D． 【题型6 求在曲线上一点的切线方程、过一点的曲线方程】 【例6】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高三上·湖南永州·开学考试）函数在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【题型7 函数图象与导函数的关系】 【例7】（23-24高二下·吉林·阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·福建泉州·模拟预测）如图是函数的部分图象，记的导数为，则下列选项中值最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高二下·江西上饶·阶段练习）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　）    A． B． C． D． 【题型8 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 【例8】（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式8-1】（23-24高二下·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．26 B．23 C．15 D．11 【变式8-2】（23-24高二下·陕西汉中·期中）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【变式8-3】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$