3.第三章 圆锥曲线-高二数学必刷100题（人教A版2019）

3.高二第三章圆锥曲线必刷100题（人教版） 1．（20-21高二上·山东济南·期中）已知抛物线上一点到其焦点的距离为（    ） A．3 B．-2 C．4 D．-4 2．（20-21高三上·陕西商洛·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·四川内江·期末）椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 4．（19-20高三下·重庆渝中·阶段练习）已知抛物线（），F为抛物线的焦点，O为坐标原点，，为抛物线上的两点，A，B的中点到抛物线准线的距离为5，的重心为F，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（18-19高二下·福建南平·阶段练习）已知双曲线C : (a>0，b>0)， 过点P(3，6) 的直线与C相交于A， B两点， 且AB的中点为N(12，15)， 则双曲线C的离心率为（ ） A．2 B．3 C． D． 6．（2024·全国·模拟预测）已知，为椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的公共点，且.设，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2023·四川泸州·三模）已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 8．（17-18高二下·广东汕头·期末）已知双曲线的一条渐近线恰好是圆的切线，且双曲线的一个焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 9．（2021·重庆九龙坡·三模）如图，已知抛物线：和圆：，过圆圆心的直线与抛物线和圆依次交于A､C､D､B四点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 11．（21-22高二上·湖北武汉·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C．2 D．1 12．（2022·北京房山·二模）双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 13．（19-20高二上·北京·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，它的一个焦点坐标为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 14．（19-20高三上·全国·阶段练习）记抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，若，且，则抛物线C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 15．（21-22高二上·山西太原·期末）已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若，则（    ） A．4 B．4或6 C．3 D．3或7 16．（22-23高三上·江苏徐州·期末）椭圆：经过点，点是椭圆的右焦点，点到左顶点的距离和到右准线的距离相等.过点的直线交椭圆于 两点（A点位于x轴下方），且，则直线的斜率为（    ） A．1 B．2 C． D． 17．（20-21高二上·广西南宁·期末）抛物线：的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 18．（22-23高二上·北京平谷·期末）已知，分别是椭圆（）的左、右焦点，是椭圆上一点，且垂直于轴，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D．2 19．（2023·山东聊城·三模）已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 20．（22-23高二上·上海浦东新·期末）在平面上，定点、之间的距离，曲线C是到定点、距离之积等于的点的轨迹.以点、所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立直角坐标系.已知点是曲线C上一点，下列说法中正确的有（    ） ①曲线C是中心对称图形； ②曲线C上的点的纵坐标的取值范围是； ③曲线C上有两个点到点、距离相等； ④曲线C上的点到原点距离的最大值为 A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①③ 21．（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 22．（20-21高二·全国·假期作业）已知点、是双曲线的两个焦点，过点的直线交双曲线的一支与点、两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ）． A． B． C． D． 23．（2020·海南·模拟预测）已知双曲线：（，）的一条渐近线与直线的夹角为60°，若以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高三上·河北邢台·开学考试）过抛物线 C：焦点 F 且斜率为的直线与C交于A、B两点（点 A 在 x轴上方），已知点，则（    ） A． B．4 C． D．9 25．（2020·全国·一模）设椭圆的两焦点为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．（18-19高三上·湖北·阶段练习）过双曲线的一个焦点的直线与双曲线相交于两点，当轴时，称线段为双曲线的通径．若的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 27．（20-21高二下·河北邢台·开学考试）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（    ） A．离心率为 B．长轴长是 C．焦点在轴上 D．焦点坐标为(-1，0)，(1，0) 28．（20-21高二上·重庆·期末）某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后，进行了如图所示的作图探究： 参考该同学的探究，下列结论正确的有：（    ） A．时，点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点) B．时，点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(不含与x轴的交点) C．时，点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(不含与x轴的交点) D．时，点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(不含与x轴的交点) 29．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线（），则不因k的变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率 30．（20-21高二上·湖南长沙·期中）下列说法正确的是（    ） A．方程表示一条直线 B．到x轴的距离为2的点的轨迹方程为 C．方程表示四个点 D．“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件 31．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且弦的中点到直线的距离为6，则（    ） A． B．两点到抛物线的准线的距离之和为12 C．线段的长为12 D．的最大值为36 32．（23-24高二上·重庆·期末）下列说法不正确的有（    ） A．点满足，则点的轨迹是一个椭圆 B．经过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条 C．过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，则 D．直线的倾斜角的取值范围是 33．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知C：的焦点，过的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则以下说法正确的是（    ） A．为定值 B．AB中点的轨迹方程为 C．最小值为27 D．O在以AB为直径的圆外 34．（20-21高三下·全国·阶段练习）已知曲线.（    ） A．若是双曲线，则 B．若，是离心率为2的双曲线，则 C．若，则是椭圆 D．若是离心率为的椭圆，则 35．（2024·贵州黔西·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．当时，直线的倾斜角为 C．若为抛物线上一点，则的最小值为 D．的最小值为9 36．（23-24高二下·广东·期末）如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（    ） A．点和均在上 B．点的纵坐标的最大值为 C．的最大值与最小值之和为3 D． 37．（20-21高二下·湖南怀化·期中）已知曲线.则（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆 B．若m=n>0，则C是圆 C．若mn<0，则C是双曲线 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 38．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知点椭圆上一点，椭圆的焦点是，则下列说法中正确的是（    ） A．椭圆的长轴长是9 B．椭圆焦距是 C．存在使得 D．三角形的面积的最大值是 39．（21-22高二上·山东济南·期中）设椭圆C：的焦点为、，M在椭圆上，则（    ） A． B．的最大值为7，最小值为1 C．的最大值为16 D．△面积的最大值为10 40．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知曲线，点为曲线上一动点，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则曲线的离心率为 B．若，则曲线的渐近线方程为 C．若曲线是双曲线，则曲线的焦点一定在轴上 D．若曲线是圆，则的最大值为4 41．（2021高三·全国·专题练习）已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的离心率为 B．若的离心率为，则 C．若F1，F2分别为的两个焦点，直线过点F1且与交于点A，B，则△ABF2的周长为 D．若A1，A2分别为的左、右顶点，P为上异于点A1，A2的任意一点，则PA1，PA2的斜率之积为 42．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．离心率 D．若，则 43．（22-23高三上·云南·开学考试）已知，是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C交于，M、N两点，且，则下列说法正确的是（    ） A．是等边三角形 B．双曲线C的离心率为 C．双曲线C的渐近线方程为 D．点到直线的距离为 44．（21-22高二上·福建泉州·期末）已知曲线，分别为C的左、右焦点，点P在C上，且是直角三角形，下列判断正确的是（    ） A．曲线C的焦距为 B．若满足条件的点P有且只有4个，则m的取值范围是且 C．若满足条件的点P有且只有6个，则 D．若满足条件的点P有且只有8个，则m的取值范围是 45．（2023·湖南邵阳·三模）已知双曲线C的左､右焦点分别为，，双曲线具有如下光学性质：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程为，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线C的方程为 B．若，则 C．若射线n所在直线的斜率为k，则 D．当n过点M（8，5）时，光由所经过的路程为10 46．（23-24高二上·湖北武汉·期中）椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为、.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程为 B．若点在椭圆上，则的最大值为 C．若点在椭圆上，的最大值为 D．过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点 47．（20-21高三上·湖北武汉·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线过圆的圆心，则双曲线的渐近线方程为 ． 48．（23-24高三上·江西·期末）请写出一个焦点在轴上，焦距为4的椭圆的标准方程 . 49．（22-23高二上·四川绵阳·阶段练习）如果椭圆的焦点在轴上，且，则此椭圆的标准方程为 50．（16-17高二上·河北衡水·期末）抛物线的准线方程为 ． 51．（21-22高二·全国·课后作业）椭圆的方程为，则此椭圆的长半轴的长为______，短轴长为______，焦距为______，顶点坐标为______，焦点坐标为______，离心率为______． 请在下边的坐标系中画出该椭圆的大致图像． 52．（21-22高三上·河北沧州·阶段练习）已知点，都在抛物线上，则直线AB的斜率的取值范围是 . 53．（21-22高二·全国·课后作业）点到双曲线渐近线的距离是 ． 54．（21-22高二·江苏·单元测试）已知点为双曲线的右焦点，定点为双曲线虚轴的一个顶点，直线与双曲线的一条渐近线在轴左侧的交点为，若，则此双曲线的离心率是 55．（22-23高二上·安徽滁州·期末）已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，是上异于左，右顶点的一点，记直线，的斜率分别为，，若，则的方程为 ． 56．（2021·江西·模拟预测）已知双曲线的中心为，左焦点为，左顶点为，点为双曲线右支上一点，直线交双曲线于另一点，若直线恰好平分线段，则该双曲线的离心率为 ． 57．（22-23高二上·上海金山·期末）已知椭圆C：的面积公式为，若抛物线上到焦点的距离为2的一点P在椭圆C：上，则该椭圆面积的最小值为 ． 58．（2024·全国·模拟预测）如图，分别为双曲线的左、右焦点，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，，直线与双曲线的另一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为 . 59．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线和椭圆，写出满足条件“直线与椭圆有两个公共点”的的一个值为 ． 60．（22-23高三上·广东广州·阶段练习）过抛物线的焦点作圆的切线，切点为．若，则 ． 61．（2017·湖北武汉·三模）设抛物线 （）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足.若，且三角形的面积为，则的值为 . 62．（2024·河南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于轴上方的两点，为原点，若直线垂直平分，则 . 63．（2016·山东济宁·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，若抛物线与该双曲线在第一象限的交点为，当时，该双曲线的离心率为 64．（2017·湖南长沙·一模）已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，已知点坐标，双曲线上点满足，则 ． 65．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 66．（18-19高二下·重庆沙坪坝·期中）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于不同的两点，，为抛物线的准线与轴的交点，若，则 . 67．（2021·江苏·一模）已知双曲线C的渐近线方程为，写出双曲线C的一个标准方程： . 68．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）抛物线的准线方程为 ． 69．（18-19高三上·上海奉贤·期中）已知抛物线，则抛物线的焦点坐标为 . 70．（20-21高二下·四川内江·期中）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的离心率为 . 71．（2008·湖南·高考真题）已知椭圆的右焦点为F，右准线为，离心率．过顶点作，垂足为，则直线的斜率等于 ． 72．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 73．（17-18高二·全国·课后作业）已知双曲线的一个焦点为.若已知点，点是双曲线上的任意一点，则|MN|的最小值为 . 74．（20-21高一上·北京海淀·阶段练习）已知椭圆.四点，，，恰有三点在椭圆C上，则椭圆C的方程为 . 75．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 76．（11-12高二上·海南·期末）与双曲线 共焦点，且过点（2，1）的圆锥曲线的方程为 . 77．（2018·山东威海·二模）抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，线段的中点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，若，则的最大值为 ． 78．（21-22高二·全国·课后作业）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是 . 79．（2023·全国·模拟预测）用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．已知某圆锥的轴截面是正三角形，平面与该圆锥的底而所成的锐二面角为，则平面截该圆锥所得椭圆的离心率为 ． 80．（17-18高二上·天津·期末）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为 ． 81．（21-22高三上·全国·阶段练习）已知椭圆（，）在左、右焦点分别为，，点在椭圆上，是坐标原点，，，则椭圆的离心率是 . 82．（2020高三·上海·专题练习）等轴双曲线的焦点坐标是 . 83．（24-25高三上·全国·单元测试）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，若是两条曲线的一个交点，且，则的最小值为 ． 84．（17-18高二上·山东枣庄·阶段练习）若定长为的线段的两端点在抛物线上移动，则线段的中点到轴的最短距离为 . 85．（21-22高二上·广西贺州·阶段练习）设P是椭圆=1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是 86．（2023·上海闵行·一模）已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ． 87．（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知椭圆C：（）的离心率为，左顶点A到右焦点的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程. 88．（2024·吉林·二模）设 分别为椭圆: 的左、右焦点，是椭圆 短轴的一个顶点，已知 的面积为 . (1)求椭圆的方程； (2)如图， 是椭圆上不重合的三点，原点是的重心 （i）当直线 垂直于 轴时，求点 到直线 的距离； （ii）求点 到直线 的距离的最大值. 89．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为且焦距为2，上顶点为，且直线的斜率之积为. (1)求椭圆的方程： (2)设直线不经过点且与相交于两点， (i)证明：直线过定点； (ii)设为①中点关于轴的对称点，过点作直线交于椭圆于两点，且，求四边形面积的取值范围. 90．（2023·浙江·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足. (1)化简曲线的方程； (2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值. 91．（23-24高二上·福建漳州·阶段练习）已知圆，圆，动圆P与圆内切，与圆外切，动圆圆心P的运动轨迹记为C； (1)求C方程； (2)若，直线过圆的圆心且与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值． 92．（23-24高二上·广西梧州·期中）已知曲线上的点满足. (1)化简曲线的方程； (2)已知点，点，过点的直线（斜率存在）与椭圆交于不同的两点，直线与轴的交点分别为，证明：三点在同一圆上. 93．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆，直线过的左顶点与上顶点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，（异于点）是椭圆上不同的两点，且，过作的垂线，垂足为，求到直线的距离的最大值． 94．（23-24高二下·全国·随堂练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 95．（2024高三·全国·专题练习）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整． (1)圆上点处的切线方程为 ?请说明理由. (2)椭圆上一点处的切线方程为 ? (3)是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，则直线的方程是 ?这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和．两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程；    (4)问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，得，化简得，得．若，则由这个方程可知点一定在一个圆上，这个圆的方程为 ? 96．（23-24高三上·甘肃白银·阶段练习）已知是椭圆的右焦点，是上一点. (1)求的方程； (2)记为坐标原点，过的直线与交于两点，若，求的值. 97．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知动点满足：. (1)指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程； (2)若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 98．（2024高三·全国·专题练习）圆x2+(y-b)2=4与椭圆x2+(2y-b)2=4有怎样的位置关系？试说明理由． 99．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为. (1)求的方程； (2)过作直线与交于两点，为坐标原点，若，求的方程. 100．（23-24高二上·云南·阶段练习）已知圆与直线相切，与圆交于两点，且为圆的直径，圆心的轨迹为． (1)求轨迹的方程； (2)设点是上不同的两点，且直线的斜率均为为轴上一动点，且，求的最小值． 试卷第18页，共18页 试卷第2页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A D C C C D C D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D C C B D C C A A B 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 D A A D C A AD BCD BD CD 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答案 BD BCD ABD AB AD ABD ABCD BCD ABC AC 题号 41 42 43 44 45 46 答案 BCD ABD ABCD AC AC ACD 1．A 【难度】0.94 【知识点】抛物线的焦半径公式 【解析】利用焦半径公式可求距离. 【详解】因为抛物线的方程为，故， 又点到其焦点的距离为， 故选：A. 2．A 【难度】0.94 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【解析】根据焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为求解. 【详解】因为双曲线的方程为，故双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 3．A 【难度】0.85 【知识点】椭圆中的通径问题、求椭圆的焦点、焦距 【分析】先求出、的坐标，再由轴，可求出，再由勾股定理可求出，然后利用等面积法可求得结果. 【详解】由，得， 所以， 所以，， 当时，，解得， 因为轴，所以， 所以， 设到直线的距离为， 因为，所以， 解得， 故选：A 4．D 【难度】0.85 【知识点】抛物线的中点弦 【分析】由A，B的中点到抛物线准线的距离为5可得，由的重心为可得，即可解出. 【详解】A，B的中点到抛物线准线的距离为5，，即， ，的重心为F ，，即， ，. 故选：D. 【点睛】本题考查抛物线性质的应用，属于基础题. 5．C 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】利用点差法求出，再由a，b，c的关系由求离心率e. 【详解】设，，由已知可得，， 相减化简可得， 又AB的中点N(12,15)，直线AB过点P(3,6)， ∴  ，，， ∴  ， ∴  ， ∴ 离心率， 故选：C. 6．C 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、余弦定理解三角形 【分析】在椭圆中满足，在双曲线中满足，消去，可求得，进而可得，利用，可求的最小值. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为. 在椭圆中满足 =， 在双曲线中满足 ， 消去，得，整理得， 则， 所以， 当，时等号成立. 故选：C. 7．C 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解 【分析】根据抛物线的定义分析可得为正三角形，进而可求直线的方程，与抛物线的方程联立求交点纵坐标，即可得结果. 【详解】由题意得：抛物线C：y²=8x的焦点为，准线为， 设准线l与x轴的交点为， 由抛物线定义知，而，故为正三角形，可得， 不妨令直线，设， 联立方程，消去x得，解得或， 即，可得， 所以． 故选：C. 8．D 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据题意，求出双曲线的渐近线方程，再根据焦点到渐近线的距离为，求得双曲线的参数，即可确定双曲线方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径为， 且，可知原点在圆上，直线的斜率， 又因为双曲线的一条渐近线恰好是圆切线， 则双曲线的一条渐近线方程的斜率为，可知，即， 根据对称性不妨取一条渐近线的方程为，即，焦点为， 由题意可得：，解得， 又因为，可得，， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 9．C 【难度】0.4 【知识点】抛物线的范围 【分析】利用图形的特点将转化为，联立方程组求出，结合换元法即可得到，利用导函数判断出函数的单调性，求出最小值. 【详解】设抛物线焦点为 ，圆心为 ，半径 ， ， 设 ，则 ，， . 设AB所在直线方程为 ，联立抛物线方程得 ，解得 求的最小值，即 的最小值， 令 ，那么 ， 在 上大于0，在 上小于0， 故 ， 故的最小值为. 故选：C 10．D 【难度】0.4 【知识点】已知两点求斜率、椭圆的对称性、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的长轴、短轴 【分析】设，则，设直线l方程为，，，由得①，联立可得，由点P的任意性知，即可求得椭圆方程. 【详解】由长轴长为4得，解得， 设，直线l方程为，，， 则，， 由得，，即， 所以①， 又P在椭圆上，所以，即， 代入①式得，即， 因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与无关， 所以，解得， 所以所求椭圆方程为． 故选：D． 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 11．D 【难度】0.94 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程，从而可得焦点到准线距． 【详解】由可得抛物线的标准方程：， 可知抛物线的焦点在轴上，开口向下， 则焦点坐标为，准线方程为， 焦点到准线距离， 故选：D． 12．C 【难度】0.94 【知识点】求双曲线的焦点坐标 【分析】根据双曲线焦点坐标公式求解即可 【详解】双曲线的焦点在轴上，坐标为，即 故选：C 13．C 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据题意得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出所求双曲线的方程. 【详解】由题意可得，解得，因此，所求双曲线的方程为. 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，解题的关键就是求出、的值，考查方程思想的应用，属于基础题. 14．B 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、相等向量 【分析】根据中点坐标公式求出点，代入抛物线方程求出即可求解. 【详解】因为，故点N为线段MF的中点； 因为，则， 代入中，得，即．解得． 故抛物线C的准线方程为． 故选：B 【点睛】本题主要考查了求抛物线的准线方程，需熟记抛物线的定义，属于基础题. 15．D 【难度】0.85 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线的定义有，注意、范围，即可得结果. 【详解】由双曲线定义知：，而，又且， ∴3或7， 故选：D. 16．C 【难度】0.65 【知识点】根据韦达定理求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】由题意确定，即而根据点到左顶点的距离和到右准线的距离相等列式求得a,即得椭圆方程，设直线l的方程，并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合化简，即可求得答案. 【详解】设椭圆：的焦距为，由题意知， 由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得， 又 ，联立，解得， ∴椭圆C的标准方程为， 由题意可知直线l的斜率一定存在，， 由于，（A点位于x轴下方），可知直线l的斜率， 设直线l的方程为 ，设 ， 联立 ，可得将， ． 则 ， 由，得，即，联立， 解得，代入中，即， 解得，（舍去）， 故选：C. 17．C 【难度】0.65 【知识点】求抛物线的轨迹方程、根据抛物线方程求焦点或准线 【解析】设出过焦点的直线方程，与抛物线方程联立求出两根之和，可得中点的坐标，消去参数可得中点的轨迹方程． 【详解】由抛物线的方程可得焦点，可得过焦点的直线的斜率不为0， 设直线方程为：， 设直线与抛物线的交点，，，，设的中点， 联立直线与抛物线的方程可得： ，，， 所以可得，消去可得的轨迹方程：， 故选：C． 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有：1、定义法；2、待定系数法；3、直接求轨迹法；4、反求法；5、参数方程法等等. 18．A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】在直角中，由得到的等量关系，结合计算即可得到离心率. 【详解】由已知，且垂直于轴 又在椭圆中通径的长度为，， 所以, 故, 即, ,又因为 解得 故选： 19．A 【难度】0.65 【知识点】双曲线的对称性、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设点在第一象限，根据双曲线的性质得到和关于轴对称，结合直线的方程求出点的坐标，再将点代入双曲线的方程得到关于和的齐次的方程，即可求解. 【详解】由题意，不妨设点在第一象限， 由双曲线的性质可得，直线和直线关于轴对称， 所以和关于轴对称，又，则设，， 又直线的方程为：， 所以代入点得：，解得：， 即点， 将点代入双曲线的方程得：， 化解得：，解得：或， 又因为，所以， 则双曲线的离心率， 故选：A. 20．B 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、已知数量积求模、由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程 【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，再利用各项的条件计算、判断作答. 【详解】依题意，令，设点是曲线C上任意一点， 则有， 显然， 即点关于原点对称点在曲线C上，因此曲线C是中心对称图形，①正确； 当时，，即， 当且仅当，即，亦即时取等号， 此时，而点在曲线C上，即成立，因此， 曲线C上的点的纵坐标的取值范围是，②正确； 曲线C上点P满足，则点P在y轴上，由得，解得， 因此曲线C上只有一个点到点、距离相等，③不正确； 因为，则， 当时，由余弦定理得， 于是得，， 当时，或，有或， 因此曲线C上的点到原点距离的最大值为，④正确， 所以说法中正确的有①②④. 故选：B 【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，(1)如果，则曲线C关于y轴对称；(2)如果，则曲线C关于x轴对称；(3)如果，则曲线C关于原点对称. 21．D 【难度】0.94 【知识点】充要条件的证明、双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解. 【详解】， 当点在左支时，的最小值为， 当点在右支时，的最小值为， 因为，则点在双曲线的左支上， 由双曲线的定义，解得； 当，点在左支时，；在右支时，；推不出； 故为充分不必要条件， 故选：D. 22．A 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【解析】由等边三角形得及双曲线的对称性得，在这个等边三角形中结合双曲线的定义可得关系，求得离心率． 【详解】为等边三角形，则，设的边长为，则，则， 则，，， 故选：A． 23．A 【难度】0.85 【知识点】根据顶点或实虚轴关系求参数、根据a、b、c求双曲线的标准方程、直线的倾斜角 【分析】由双曲线方程写出渐近线方程，根据题设有，，即可求参数a、b，进而写出双曲线方程. 【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程为，而一条渐近线与直线的夹角为60°， ∴一条渐近线与轴的夹角为30°，即， ∵双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8， ∴，即，而， ∴，即双曲线的标准方程为. 故选：A. 24．D 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、求直线与抛物线的交点坐标、求平面两点间的距离 【分析】由题可得，联立抛物线方程可得，然后利用两点间距离公式即得. 【详解】由题可得，故直线，即， 由，可得， 解得或，又点 A 在 x 轴上方， 所以，又， ∴，， 所以. 故选：D. 25．C 【难度】0.65 【分析】根据椭圆几何性质得短轴端点对长轴张角最大，再根据，，求解. 【详解】当是椭圆的上下顶点时，最大， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， 则椭圆的离心率的最小值为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质以及离心率的求法，,属于中档题. 26．A 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】分别求出直线与双曲线交在一支的最小值和交在两支的最小值，建立关于的齐次不等式，即可求出离心率的范围. 【详解】当经过焦点F的直线与双曲线的交点在同一支上，易知为双曲线的通径时取值最小， 令，得，则，故，即有最小值为； 当直线与双曲线的交点在两支上，易知直线的斜率为0时，即为实轴时最小，最小为2a； 由题意可得，即为，即有，则离心率, 又双曲线的离心率，故． 故选：A． 27．AD 【难度】0.94 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的焦点、焦距 【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项. 【详解】将椭圆方程化为标准方程为 所以该椭圆的焦点在轴上，故C错误； 焦点坐标为，故D正确； 长轴长是故B错误 因为所以离心率故A正确. 故选：AD. 28．BCD 【难度】0.94 【知识点】判断方程是否表示椭圆、判断方程是否表示双曲线 【解析】首先设，由，整理可得（），再根据各个选项中的取值范围，结合椭圆和双曲线的标准方程，进行分析判断即可得解. 【详解】设，， 整理可得（）， 对A，若，点M的轨迹为圆(不含与x轴的交点)，故A错误； 对B，若，由（），则，故B正确； 对C，若，由（），则，故C正确； 对D，，（），，故D正确. 故选：BCD. 29．BD 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的焦距、求双曲线的顶点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】把方程化成标准形式，再逐项分析判断即得. 【详解】双曲线化为：，实半轴长，虚半轴长， 双曲线的顶点随k的变化而变化，焦距随k的变化而变化，AC不是； 而，渐近线方程不因k的变化而变化，离心率为常数，BD是. 故选：BD 30．CD 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、求平面轨迹方程、由方程求曲线的图形 【解析】对A，根据特殊点进行分析并判断对错；对B，注意多解的情况并判断对错；对C，根据平方和为零的特殊性进行分析并判断对错；对D，根据椭圆的定义判断对错. 【详解】解：对A，， 即，表示直线去掉一点，故A错误； 对B，根据题意可知，满足要求的的轨迹方程为，故B错误； 对C，， 即，即表示，，，四个点，故C正确； 对D，若表示椭圆，则 ， 即或， “”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故D正确. 故选：CD. 31．BD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】根据抛物线的焦点求出即可判断A；设，由条件得出，求出准线方程，进而可判断B；由题意取即可判断C；根据抛物线的定义得，利用基本不等式即可判断D. 【详解】由抛物线的焦点为，所以，则，故A错误； 设，∵弦的中点到直线的距离为6， ∴，即， ∵抛物线的准线方程为， ∴两点到抛物线的准线的距离之和为，故B正确； 因为，不妨取，即，故C错误； 由抛物线的定义得与两点到抛物线的准线的距离之和相等， 则， ∴，当且仅当时等号成立， 故的最大值为36，故D正确. 故选：BD. 32．BCD 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、轨迹问题——椭圆、双曲线中的通径问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】 对于A：利用椭圆定义来判断；对于B：分斜率存在和不存在两种情况求与抛物线有且只有一个公共点的直线；对于C：对于两点在同一支和不在同一支两种情况说明；对于D：倾斜角的取值不能有. 【详解】对于A：表示点到点和点的距离和为，根据椭圆的定义可得点的轨迹是一个椭圆，正确； 对于B：当经过点的直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线相切，有且只有一个公共点， 当经过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去得， 当时，方程为，解得，此时，满足与抛物线有且只有一个公共点， 当时，，解得，此时直线与抛物线相切，有且只有一个公共点， 故经过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有三条，B错误； 对于C：过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点， 当两点在双曲线的同一支上时，为通径，且， 当两点在双曲线的两支上时，实轴长，且， 又，正负不确定，所以不能说，C错误； 对于D：倾斜角的取值范围，不能取，D错误； 故选：BCD. 33．ABD 【难度】0.65 【知识点】根据韦达定理求参数、直线与抛物线交点相关问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】根据题设条件，先求出抛物线方程，然后设出直线方程，利用韦达定理求出两点纵坐标的表达式，代入斜率表达式即可判断选项；利用中点坐标公式求出的中点的坐标，进而得出AB中点的轨迹方程；利用抛物线的定理和基本不等式即可判断选项C；利用平面向量数量积的大小判断出与的夹角为锐角，进而判断选项D. 【详解】由题意可知：抛物线方程为C：，设直线l的方程为：， 联立，则有，所以， 对于A：，故选项A正确； 对于B：设的中点为， 则有， 所以满足，故选项B正确； 对于C： （当且仅当取等号），故选项C错误； 对于D：，所以选项D正确． 故选：ABD. 34．AB 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的标准方程，双曲线的标准方程， 对于A，是双曲线，则，； 对于B， ， ，得； 对于C，根据椭圆方程的形式，须 ； 对于D，当时正确，但当时错误. 【详解】若曲线是双曲线，则，故A项正确； 若是离心率为2的双曲线，当时，，则，，故B项正确； 当，时，，曲线不是椭圆，故C项错误； 若是离心率为的椭圆，当时，则，； 当时，，，故D项错误. 故选：AB 35．AD 【难度】0.4 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线的焦半径公式、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、基本不等式求和的最小值 【分析】A选项，先得到和抛物线方程，由焦半径公式得到；B选项，设直线，联立，得到两根之和，两根之积，根据，得到直线的斜率为；C选项，根据焦半径公式转化为，数形结合得到最小值，得到C错误；D选项，在B选项基础上得到，由基本不等式得到. 【详解】A选项，由题意得，故抛物线方程为， 由抛物线定义得，A正确； B选项，由于直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去， 设直线，联立，得， 设，则 由韦达定理得， 故，解得， 故直线的斜率为，倾斜角不为，B错误； C选项，由题意得，准线方程为，过点作⊥于点， 由抛物线定义得， 故， 要想求得的最小值，则过点作⊥于点， 故的最小值为，最小值为，C错误； D选项，由题意得， 由于，故， ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为9，D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 36．ABD 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、基本不等式求积的最大值、求椭圆中的最值问题 【分析】点代入曲线判断A，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D. 【详解】令，得出，则 对于A：时，得或， 时，得，所以和均在L上，A选项正确； 对于B：因为曲线关于y轴对称，当时，，所以， ， 所以时，最大，最大值为，B选项正确； 对于C：， 因为曲线关于y轴对称，当时，设， 所以 ， 因为可取任意角， 所以取最小值，取最大值，所以和为，C选项错误； 对于D：等价为点在椭圆内， 即满足，即， 整理得，即恒成立，故D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可. 37．ABCD 【难度】0.94 【知识点】判断方程是否表示双曲线、判断方程是否表示椭圆、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、直线的方程的概念 【分析】结合椭圆、圆、双曲线、直线的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A选项，当时，， ，方程表示焦点在轴上的椭圆，A选项正确. B选项，当时，，表示圆，B选项正确. C选项，当时，，表示双曲线，C选项正确. D选项，当时，，表示两条直线，D选项正确. 故选：ABCD 38．BCD 【难度】0.94 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】 根据椭圆的几何性质逐个判断即可. 【详解】， 所以， 对于A：因为，所以长轴为，A错误； 对于B：因为，所以焦距为，B正确； 对于C：当取到上顶点时此时取到最大值， 此时，， 所以，所以此时为钝角， 所以存在使得，C正确； 对于D：当取到上顶点时此时三角形的面积取到最大值， 此时，D正确， 故选：BCD 39．ABC 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆定义及辨析 【分析】由椭圆方程可得，根据椭圆的性质结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】由椭圆方程知：， ∴，故A正确. ，，故B正确. ，此时在椭圆左右顶点上，同时△面积也最大，为，故C正确，D错误. 故选：ABC 40．AC 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由方程研究曲线的性质、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】对于AB选项，只需代入值后根据方程特征进行计算判断即可，而CD两项，需要对双曲线方程和圆的方程的本质特征掌握后才能进行判断，D项先设，将的最大值问题转化成直线的截距最小问题，而这可以利用直线与圆的相切时得到. 【详解】对于选项A，时，曲线为，故， 则曲线的离心率为，故A选项正确； 对于选项B，时，曲线为，双曲线焦点在轴上， 则曲线的渐近线方程为，故B选项错误； 对于选项C，若曲线是双曲线，则，解得：，因， 则曲线的焦点一定在轴上，故C选项正确； 对于选项D，若曲线是圆，则，即， ，设 ，则得， 如图，要求的最大值，即求直线的纵截距的最小值，又因为曲线上一动点， 故可考虑直线与圆相切时的情况，由圆心到直线的距离为，解得， 结合图象知，即的最大值为，故D选项错误． 故选：AC． 41．BCD 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题 【分析】选项AB,直接利用离心率的变形公式，直接计算即可，选项C利用定义直接判断，选项D需要设代入椭圆公式计算可得. 【详解】选项A, ，若， ，所以不正确.选项B离心率,则，所以正确.选项C根据椭圆定义可以知道是正确的.选项D设 则，由方程可知，所以 ，正确. 故选：BCD. 42．ABD 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据点F到两条渐近线的距离相等，结合对称性几面积关系即可判断A；根据长度关系可求得，进而可判断；根据渐近线的斜率可算出离心率，进而了判断C；解三角形可得，所以，，，求出直角三角形的面积，列出方程即可判定D. 【详解】 如图，∵，∴，， ∵点F到两条渐近线的距离相等，∴，故A正确； ∵AB⊥OA，，∴，，，，故B正确； 由B知，一条渐近线的斜率，则，故C不正确； 由C知，，所以，，，∴，∴，，，故D正确， 故选：ABD． 43．ABCD 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求点到直线的距离、余弦定理解三角形 【分析】先利用焦点三角形的性质求出，再求出，即可判断出A选项；在利用即可判断B和C；再利用点到直线的距离公式即可判断D. 【详解】设，，则， 由双曲线的定义的得 所以，， 所以是等边三角形，选项A正确； 在中，， 即，，所以选项B正确， 由得，所以双曲线C的渐近线方程为所以选项B正确， 渐近线方程为，所以选项C正确， 点到直线的距离为， 所以选项D正确． 故选：ABCD． 44．AC 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求双曲线的焦距、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】依次对所给选项利用数形结合的思想进行判断即可. 【详解】A.当C表示椭圆时，因为，所以C的焦点在x轴上，且， 所以，即，所以焦距为； 当C表示双曲线时，因为，即，所以C的焦点在x轴上， 所以，即，所以焦距为；故A正确； B.若满足条件的点P有且只有4个，则C表示椭圆，如图1，以为直径的圆O与C没有公共点， 所以，即，所以m的取值范围是，故B错误； C.若满足条件的点P有且只有6个，则C表示椭圆，如图2，以为直径的圆O与C有2个公共点， 所以，即，所以m的取值范围是，故C正确； D.若满足条件的点P有且只有8个，则当C表示椭圆时，如图3，以为直径的圆O与C有4个公共点， 所以，即，所以m的取值范围是； 当C表示双曲线时，如图4，以为直径的圆O与C恒有8个公共点， 所以，综上m的取值范围是或；故D错误. 故选：AC 45．AC 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】利用双曲线的渐近线方程及勾股定理，结合双曲线的定义及两点间的距离公式即可求解. 【详解】对于A ，由题意可知，因为双曲线C的一条渐近线的方程为， 所以，即，所以双曲线的方程为故A正确； 对于B，由，得，解得， 在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，， 即，解得，故B错误； 对于C，由题意可知，双曲线的渐近线方程为， 由双曲线的性质可得射线所在直线的斜率范围为，故C正确； 对于D，由题意可知，，当过点时， 由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D错误. 故选：AC. 46．ACD 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】利用椭圆的定义及离心率大小可求得椭圆方程，判断,利用余弦定理，可得顶角的最大为钝角，故最大值为，可判断;设出点的坐标为，利用两点间的距离公式求得范围即可判断;利用椭圆在点处的切线方程为，及点在直线上，求出，两点满足的方程，即可求得所过定点，判断 【详解】一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，如下图所示： 所以可得即 又椭圆的离心率为，可得， 所以， 故椭圆方程为，所以正确； 由椭圆的定义知， 不妨设， ， 因为，可得 所以， 当且仅当时等号成立，此时最大为钝角设为， 则，故当时， 的最大值为，故错误； 易得,设点， 则 当时，，故正确； 易知椭圆在点处的切线方程为， 证明如下：当切线斜率存在时， 设直线与相切与点， 联立， 所以， 整理可得， 又易知，即， 所以 整理可得①； 又切点在椭圆上，即， 整理可得②， 联立①②，可得 即， 所以切线方程为， 化简得， 经检验，直线斜率不存在时也符合上式， 即椭圆在点处的切线方程为， 设， 所以椭圆在点处的切线的方程为， 在点处的切线的方程为， 两线相交于点，所以可得 ， 即点满足方程， 所以直线的方程为， 整理可得， 令， 故直线的方程过定点，故正确，    故选： 【点睛】关键点睛：本题在求解直线过定点问题时，关键是利用结论:椭圆在点处的切线方程为，分别求得两个切线方程即可得出直线过的定点. 47． 【难度】0.94 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【解析】根据圆的一般方程求解圆心坐标，根据双曲线渐近线方程求解即可. 【详解】依题意，圆的圆心为， 故过点，则， 故双曲线的渐近线方程为． 故答案为：． 48．（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据给定条件，结合椭圆的标准方程写出得解. 【详解】依题意，设椭圆方程为，其半焦距，显然， 令，得，所以椭圆的标准方程为. 故答案为：（答案不唯一）. 49． 【难度】0.94 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】直接由题意求出椭圆的标准方程． 【详解】椭圆的焦点在轴上，且，则此椭圆的标准方程为：． 故答案为：． 50． 【难度】0.94 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线标准方程的形式 【分析】求出即得解. 【详解】解：依题意，故， 所以准线方程为. 故答案为： 51．答案见解析 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的焦点、焦距、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】将椭圆方程化为标准方程，分别求出，从而可求出答案. 【详解】解：化椭圆方程为标准方程得， 则， 所以长半轴长为5，短轴长为6，焦距为8， 顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为， 图像如图所示： 52． 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、已知两点求斜率 【分析】根据条件求出抛物线的方程，然后，即可得到答案. 【详解】因为点在抛物线上，所以，即抛物线的方程为 所以，因为 所以，所以 故答案为： 53． 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求点到直线的距离 【分析】由双曲线方程可得渐近线方程，利用点到直线距离公式可求得结果. 【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，即， 点到渐近线的距离. 故答案为：. 54． 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用直线的斜截式方程得直线的方程，再利用双曲线的性质及几何意义得双曲线的一条渐近线方程，最后利用平面向量的坐标运算，结合双曲线的性质计算得结论． 【详解】因为过点，的直线方程为 ， 双曲线的一条渐近线方程为 ， 联立，解得交点， 由，，得， 解得，故． 故答案为：． 55． 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】 设出点的坐标，根据的坐标表示出，，结合已知条件求得的值，进而求解. 【详解】 设（），所以，即， 所以，， 则， 解得，所以的方程为． 故答案为：. 56． 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设的中点为，连接，分析可知且，进而可得出，可得出关于、所满足的等式，由此可求得双曲线的离心率. 【详解】设的中点为，连接， 、分别为、的中点，则且，所以，， 即，，因此，该双曲线的离心率为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的方法： （1）若可求得、，直接利用求解； （2）若已知、，可直接利用得解； （3）若得到的是关于、的齐次方程（、、为常数，且），则转化为关于的方程求解. 57． 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的最值问题、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解、条件等式求最值 【分析】设，根据抛物线的定义可求，代入抛物线方程可得，代入椭圆方程可得，利用基本不等式可得，根据椭圆面积公式即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设，由题意可得，解得. 所以. 因为在上， 所以，即. 所以，可得，当且仅当时取等号. 所以，即该椭圆面积的最小值为. 故答案为:. 58． 【难度】0.65 【知识点】双曲线的对称性、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，则由双曲线的定义及勾股定理得，由是以为底边的等腰三角形得，连接，利用双曲线定义得，从而利用勾股定理列方程得，即可求解离心率. 【详解】连接，易知点在双曲线的右支上，且四边形为矩形， 故，不妨设， 则，由，得，所以， 则， 且. 因为是以为底边的等腰三角形，所以， 连接，则，所以, 在Rt中，由，得， 化简得，即，所以. 所以，化简得, 所以双曲线的离心率. 故答案为： 59．3（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】由题意将直线与椭圆方程联立，令，求出的范围即可得解. 【详解】由题意联立直线与椭圆方程有，即， 消去化简并整理得，， 由题意若直线与椭圆有两个公共点， 则当且仅当，解得或. 故答案为：3（答案不唯一）. 60． 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、切线长、由标准方程确定圆心和半径 【分析】由题意可知，即，求解即可 【详解】由题可知抛物线的焦点为， 圆心的坐标为，圆的半径， 由题意可知. 即， 解得或. 又， 所以. 故答案为： . 61． 【难度】0.65 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线的焦半径公式 【详解】设，因为直线过焦点，所以（不妨设在第一象限），又由，所以，即，所以，，，所以，解得． 点睛：抛物线的焦点弦具有许多性质，记住这些性质可以快速准确的解决焦点弦问题．如是抛物线的焦点弦，设，在准线上的射影分别为， 则： （1）； （2）； （3）若倾斜角为，则； （4）以为直径的圆与准线相切； （5）； （6）若是中点，则，； （7）共线，共线； （8）． 62． 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由题意作出图象，结合图形的结构特征即可计算. 【详解】    因为垂直平分， 所以，又， 所以， 故， 因为分别为，的中点， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 63．/ 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的定义及抛物线的定义得到点的坐标，再代入双曲线中，得到齐次式，再化简即可求解. 【详解】抛物线的焦点为准线方程为， 由双曲线的定义可得， 由抛物线的定义可得解得 代入双曲线的方程，可得由， 可得令，即， 化为即有 即为即有解得（负的舍去）， 可得离心率． 故答案为： 64．2 【难度】0.4 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、数量积的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算表达可得，再将代入双曲线化简可得，故有，再计算可得点到轴，直线的距离均为，进而可求得. 【详解】由条件，得．又，由向量的坐标运算可得，即，即，解得. 又在双曲线上，所以把代入双曲线，得，即，故，解得或(舍去)． 所以，所以直线的方程为，所以点到直线的距离，易知点到轴，直线的距离均为，所以点是的内心，所以． 故答案为：． 65．/ 【难度】0.4 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 66．6 【难度】0.4 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线的对称性的应用 【分析】抛物线的焦点为，设直线方程为，与抛物线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，设，不妨设，根据韦达定理得出关系，可证，可得，设的倾斜角为，求出，进而求出直线的方程，根据对称性，直线与抛物线的另一个交点与关于轴对称，将直线方程与抛物线方程联立，消去，根据韦达定理，求出，即可得出结论. 【详解】抛物线的焦点为， 设直线方程为， 联立，消去，得， ，， 不妨设，， ， 设直线的倾斜角为， 整理得， 解得或（舍去） 直线方程为， 根据对称性，直线与抛物线的另一个交点与关于轴对称， 联立消去得，， ，由抛物线的定义得. 故答案为:6. 【点睛】本题考查抛物线的性质，利用抛物线的对称性是解题的关键，本题考查直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握相交弦长公式，考查计算能力，属于较难题. 67．(答案不唯一) 【难度】0.94 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【解析】根据渐近线方程求得，从而可写出符合题意的标准方程. 【详解】依题意，双曲线C的渐近线方程为， 不妨设双曲线焦点在轴上，则， 可令，可得双曲线C的一个标准方程为. 也可令等等. 故答案为：(答案不唯一) 68． 【难度】0.94 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据题意，由抛物线的标准方程即可得到其准线方程. 【详解】因为，所以，所以抛物线的准线方程为． 故答案为： 69． 【难度】0.94 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线方程可直接得出. 【详解】由抛物线方程，可得，即， 且焦点在x轴正半轴，则焦点坐标为. 故答案为： 70． 【难度】0.94 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题得c=2，根据双曲线中的等式关系可求得，然后再求离心率即可. 【详解】由题可得：c=2， ，由 故离心率 ， 故答案为： 71．/0.5 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的准线 【分析】根据题意求得，，再由离心率求得，从而可求得直线的斜率. 【详解】因为椭圆方程为，所以，右准线为，如图， 又因为，，垂足为，所以， 因为，所以，，即， 所以. 故答案为：. 72． 【难度】0.85 【知识点】利用椭圆定义求方程 【分析】应用椭圆定义可判断顶点C的轨迹，应用待定系数法求轨迹方程，要注意排除三点共线情况. 【详解】因为，，所以， 又因为 的周长为16， 所以，并且. 所以顶点在以，为焦点的椭圆上， 设椭圆方程为， 因为，，，所以，， 又因为三点不共线，所以顶点的轨迹方程为. 故答案为： 73． 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 【分析】根据双曲线的焦点坐标求出，再由两点间的距离公式得到，由或即可得出结果. 【详解】由题意得到，所以,因此得，由两点间的距离公式得到：. 又或 ∴当时，取得最小值3. 故答案为： 74． 【难度】0.85 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程 【分析】根据椭圆的对称性可知点，，在椭圆上，代入椭圆的方程，解方程组即可求解. 【详解】由椭圆的几何性质可得：点，，在椭圆上， 代入椭圆的方程可得解得：， 所以椭圆的方程为：， 故答案为：. 75． 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果. 【详解】抛物线： ()的焦点, ∵P为上一点，与轴垂直， 所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为, 不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧， 又， 因为，所以, ， 所以的准线方程为 故答案为：. 【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 76．或 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】分双曲线和椭圆两种求解方程 【详解】由题曲线的焦点为F（，0） 若曲线为椭圆，由题意设所求的椭圆方程为，（a＞b＞0） ∵椭圆过点（2，1）， ∴， 解得a2＝8，b2＝2，∴所求椭圆为． 若曲线为双曲线，设所求的双曲线方程为，（a＞0，b＞0） ∵双曲线过点（2，1）， ∴， 解得a2＝3，b2＝3， ∴所求双曲线为． 故答案为：或． 77．/ 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的参数范围及最值、抛物线定义的理解、余弦定理解三角形 【分析】设，，由抛物线定义得，由余弦定理可得，进而根据基本不等式，求得的取值范围，从而得到本题答案 【详解】解：设，， 由抛物线定义，得，， 在梯形中，， ， ， 设，由余弦定理得， ， ，当且仅当时取等号， ， 故答案为：． 78． 【难度】0.65 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】利用双曲线方程的特点，可得，解不等式，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，即或， 解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 79． 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据几何性质，分别求出椭圆的长半轴a和半轴b，进而求出c，即可求出离心率. 【详解】如图1,不妨令正△ABC边长为,重心G,椭圆中心N,中线BD,底面圆心M.PG与长轴垂直. 则.，所以.所以，. PG为过G与底面平行的圆的半径,如图2在△AMC,作GE∥MC,由相似可得： ,所以，所以. 如图3,即,代入方程得：,又,解得, 所以，所以，所以离心率. 故答案为： 80．12 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】求出抛物线的焦点，由题意得，根据双曲线的离心率求得m，由a，b，c的关系求得n． 【详解】抛物线的焦点坐标为 ∵双曲线有一个焦点与抛物线的焦点重合，∴ ∵双曲线的离心率为2，∴，∴ 又，∴，即，则， ∵，∴ 故答案为：12． 81． 【难度】0.65 【知识点】余弦定理及辨析、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】用椭圆半焦距c表示出、，再借助余弦定理列式即可计算作答. 【详解】令椭圆半焦距为c，因，则，由椭圆定义得， 在中，由余弦定理得：， 即，整理得， 因此有，而，解得， 所以椭圆的离心率是. 故答案为： 82．， 【难度】0.65 【知识点】等轴双曲线、求双曲线的焦点坐标 【解析】由等轴双曲线关于直线对称，可求出双曲线的顶点坐标，进而求出，和的值，可得出结果. 【详解】等轴双曲线的对称轴为直线， 联立得或， 故双曲线的顶点坐标为：和， 故，， ∴焦点坐标是和， 故答案为：，. 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，得到，和的值是解题的关键，属于基础题. 83．/ 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线、椭圆定义以及离心率公式，在焦点三角形中利用余弦定理可得的关系，进一步结合基本不等式即可求解. 【详解】不妨设椭圆方程为， 双曲线的方程为， 设是两条曲线在第一象限内的一个交点，则有，， 所以． 则在中，由余弦定理知 ， 整理得． 所以， 则， 当且仅当，即时等号成立．    故答案为：. 84．/1.5 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解 【详解】如图,设为抛物线的焦点,M为AB的中点，分别过作抛物线准线的垂线,垂足为. 在直角梯形中,因为,所以. 又,所以. 由平面几何的性质,知.当且仅当过焦点时取等号, 所以当为焦点弦时,有最小值,此时点到轴的距离最短,且最短距离为. 85． 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、求椭圆中的最值问题 【分析】方法一：当点是椭圆的短轴的端点时,取得最大值,此时可取得最小值. 【详解】方法一：（二级结论应用） 椭圆,. 当点是椭圆的短轴的端点时,取得最大值, , 的最小值. 故答案为：. 方法二：在中，因为，， . 当且仅当时取等号. 故答案为：. 86． 【难度】0.4 【知识点】求点面距离、立体几何中的轨迹问题、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】确定在平面上，根据得到的轨迹为平面内的一条抛物线，建立坐标系确定抛物线方程，计算交点得到答案. 【详解】若P到平面ABCD、距离相等，根据对称性知在平面上， 平面，平面，故平面平面， 故到平面的距离即到的距离， 设正方体的中心为，即，故的轨迹为平面内的一条抛物线， 不妨取正方体边长为，中点为，以所在的直线为轴， 以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 抛物线方程为，时，，故抛物线与棱和相交， 故共有个点满足条件. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何，抛物线的轨迹方程，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中根据题意得到动点的轨迹方程是解题的关键， 87．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求平面轨迹方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）由题目条件列出方程组，求出参数的值，得椭圆的方程； （2）分直线l斜率是否存在两种情况讨论，与椭圆的方程联立，根据直线和的斜率之积建立参数的关系式，得直线l过定点，得点的轨迹是以为直径的圆（除去点），建立点H的轨迹方程. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2） 当直线的斜率存在时，可设l：，，， 与椭圆方程联立，， 得， ，，， 因为直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数， 所以， 得，即， 所以或， 当时，经过定点，与A重合，舍去， 当时，，经过定点， 当直线的斜率不存在时，l：，此时，，满足条件， 因为，， 所以点的轨迹是以为直径的圆（除去点），圆心坐标为，半径为， 所以点的轨迹方程为. 【点睛】设直线l的方程，得到参数的关系式后，代回直线方程消去一个参数即可得直线过定点；求动点H的轨迹方程注意除去不合题意的点F. 88．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据已知列出关于的方程组，结合解出椭圆方程. （2）（i）设出三点坐标根据重心坐标公式和已知条件列出方程得到的纵坐标为，从而解出横坐标，进而解出结果. （ii）讨论直线有无斜率两种情况，有斜率时设出直线的方程，与椭圆联立，结合根与系数关系，重心坐标表示出的坐标，代入椭圆得到一个关系式，利用点到直线距离公式表示点 到直线 的距离并化简，结合式子结构，综合两种情况解出结果. 【详解】（1）（1）由题意得整理得解得 所以椭圆得方程为. （2）（i）设,根据题意有. 因为原点是的重心，所以， 即，. 将，代入解得，所以. 所以到直线 的距离为. （ii）由（i）知当直线斜率不存在时到直线 的距离为. 当斜率存在时，设所在直线方程为，. 由得， 且，即. 所以. 因为原点是的重心，所以 所以，所以. 将点代入椭圆方程得并整理可得 所以点到直线的距离为 . 综上所述，当与轴垂直时点到直线的距离最大为 89．(1)； (2)（i）;(ii) 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）根据直线与的斜率之积得到，故，结合焦距得到，，得到椭圆方程； （2）（i）设直线,椭圆方程整理为,利用直线的方程将椭圆的方程齐次化，然后转化为关于斜率的方程，此方程的两根为.利用椭圆的性质，结合已知条件得到，进而利用韦达定理求得，从而得到直线经过定点；（ii）设，利用弦长公式求得，同理得,利用由对角线及其夹角所表示的四边形的面积公式得到四边形面积关于的表达式，进而进行变换，利用基本不等式和函数单调性求得其面积的取值范围. 【详解】（1）由题意有，， 设，，化简得，结合， 可得， 由椭圆焦距为2，有，得，， 椭圆E的标准方程为； （2）(i)由题意可知直线不过椭圆的右顶点， 故可设直线①, 椭圆方程整理为, 整理得：②, 联立①②得：③， 设,这两点坐标都满足方程③， , 方程③两边同除以得：, 即，此方程的两根为. ∵点在椭圆上，∴， 又∵，∴，∴，∴, ∴直线，，与轴交点坐标为, ∴直线恒过定点. (ii)关于原点的对称点为. 当直线的斜率不为零时，设其方程为. 将直线代入椭圆E的标准方程为， 整理得：，， ，同理得. 又∵，∴四边形面积为： ，当时，取到， 又∵当直线的斜率为零时，必经过椭圆的左右顶点，与题意矛盾， ∴四边形面积的取值范围是.      【点睛】（2）（i）中的齐次化方法转化为关于斜率的方程是求解类似此题中的定点问题的简洁的方法，使得运算量得到较大的减少，值得注意学习和掌握. 90．(1)； (2) 【难度】0.4 【知识点】求双曲线中的最值问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线的轨迹方程 【分析】（1）移项平方可化简方程，注意变量的范围； （2）设，直线方程是，由垂直得直线方程为，由直线与圆相切得，直线方程是与曲线方程联立，消去后得关于的二次方程，由此方程有两个正根据得或，由韦达定理得，计算出弦长，求出原点到直线的距离，计算出三角形面积后，设，换元后应用基本不等式得最小值． 【详解】（1），由得． 所以曲线的方程是； （2）设，直线方程是，则直线方程为，即, 直线与已知圆相切，所以，则， 由得，， 由题意（∵）， ，，∴或， ， 又原点到直线的距离为， ∴， 由或得，设， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ∴时，， ∴，即时，．    【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交中三角形面积最值问题，一般设交点坐标为，直线方程为，由直线满足的其它性质得出关系，直线方程与圆锥曲线方程联立后消元，应用韦达定理得（或），由弦长公式求得弦长，由点到直线距离公式求出三角形的高，从而求得三角形的面积，并化表达式为一元函数，然后利用函数的知识，基本不等式或导数求得最值． 91．(1) (2)3 【难度】0.4 【知识点】利用椭圆定义求方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）由圆与圆的位置关系得出点轨迹是椭圆，求出后可得轨迹方程； （2）设，，设直线方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，由求出面积化为的函数，用换元法求得最大值． 【详解】（1）设动圆P的半径为， ∵动圆P与圆内切，与圆外切， ∴，且. 于是， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆. 圆与内切于点，因此点与点不重合，， 从而，所以.故动圆圆心的轨迹的方程为． （2）设，，设直线方程为， 联立方程组整理得， 则，，． 因为过点，所以 ．令，，， 设，则，即，所以在上单调递增， 则当时，，则的最大值为3． 故面积的最大值为3． 【点睛】方法点睛：椭圆中最值问题，一般设交点坐标为，设出直线方程为（或），代入椭圆方程应用韦达定理得（或）然后用两交点坐标表示出要求最值的量，如本题中三角形面积，转化为关于其中某个参数（两个参数时需要由条件寻找参数间关系）的函数，然后由函数的性质或不等式的知识求得最值． 92．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据韦达定理求参数、求平面轨迹方程、由直线与圆的位置关系求参数、判断点与圆的位置关系 【分析】（1）根据已知曲线方程，进行移项平方，化简的方法，即可得曲线的方程； （2）设直线的方程，并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，进而表示点的坐标，从而可得以为直径的圆的方程，并化简，求出该圆与x轴交点坐标，即可证明结论. 【详解】（1）由题意知曲线上的点满足， 则， 故， 即，故， 即，即化简曲线的方程为； （2）证明：由题意知直线斜率存在，故设，联立， 得，    由于直线l过点，而点在椭圆内，故必有， 设，则， 直线AM的方程为，直线AN的方程为， 令，可得， 故以为直径的圆的方程为， 即， 而 ， 即以为直径的圆的方程为， 令，则， 即在以为直径的圆上，故三点在同一圆上. 【点睛】难点点睛：本题考查了曲线方程的化简以及直线和椭圆的位置关系的应用，解答的难点在于证明三点，解答的思路时利用设直线方程并联立椭圆方程，表示相关点坐标，进而求出以为直径的圆的方程，从而求得该圆与x轴的交点，从而证明结论. 93．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）先根据已知条件得到之间的关系，再根据三角形的面积求得的值，进而得椭圆的标准方程； （2）分类讨论，当直线的斜率存在时，设出直线的方程和的坐标，利用根与系数的关系求出两点坐标间的关系，接着根据得到直线过定点；当直线的斜率不存在时得直线也过点，最后根据圆的性质求得结果. 【详解】（1）在中， 令，得，令，得， 因为直线过的左顶点与上顶点，所以． 因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1，所以， 得，则， 所以椭圆的标准方程为． （2）当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，， 由可得， 则，即， ， 则， ． 由可得， 故， 即， 即， 化简可得， 所以或． 若时，直线的方程为，直线过点，不符合题意； 若时，直线的方程为，直线过定点． 当直线的斜率不存在时，设其方程为， 则可令，， 由得， 即 ， 解得或（直线过点，舍去）， 此时直线的方程为，显然也过点． 由可得点在以为直径的圆上， 圆心为的中点，半径为， 故点在圆上， 则到直线的距离的最大值为． 94．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可． 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为：． （2）设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为． 95．(1)，理由见解析； (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、过圆上一点的圆的切线方程、求椭圆的切线方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）分情况讨论斜率存在与否，斜率存在时根据直线垂直的斜率表示，利用点斜式即可求得方程，易知斜率不存在时也满足方程，即可得出结果； （2）斜率存在时设出直线方程，联立直线和椭圆方程利用得出表达式，代入整理即可得切线方程，当斜率不存在时切线方程为满足上式； （3）根据同构方程可知点都满足方程，即可知直线的方程； （4）由可知方程的两根乘积为，即可得，即可知点一定在圆上. 【详解】（1）圆上点处的切线方程为． 理由如下： ①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则，所以， 又过点，由点斜式可得， 化简可得，， 所以切线的方程为； ②若切线的斜率不存在，则， 此时切线方程为，满足方程； 综上所述，圆上点处的切线方程为． （2）①当切线斜率存在时，设过点的切线方程为， 联立方程，整理得， 由可得， 所以 由韦达定理可知，即， 把代入中，得， 所以 化简得． ②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式． 综上，椭圆上一点的切线方程为． （3）在，两点处，椭圆的切线方程为和， 因为两切线都过点， 所以得到了和， 由这两个“同构方程”得到了直线的方程为； （4）问题（3）中两切线斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为 由，可得， 由，得，（*） 因为， 则， 所以（*）式中关于的二次方程有两个解，且其乘积为， 则， 可得， 所以圆的半径为2，圆心为原点，其方程为． 96．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）将P点带入椭圆方程，再根据椭圆中a、b、c的关系列式计算即可； （2）分类讨论的斜率存在与不存在两种情况，不存在根据对称性即可求出两点坐标，通过向量法即可证明是否垂直；斜率存在时，联立直线与椭圆方程，运用韦达定理解出直线斜率，最后用弦长公式计算得出答案. 【详解】（1）由题可知，解得 则的方程为. （2）若的斜率不存在，根据对称性，不妨令，则，不符合条件. 若的斜率存在，设的方程为， 联立方程组整理得， 则. 因为，所以 ，解得， 则. 97．(1)椭圆，的方程是： (2) 【难度】0.65 【知识点】利用椭圆定义求方程、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）根据椭圆的定义即可判断点的轨迹，并求解方程； （2）先利用点差法求得直线l的斜率，进而求得直线l的方程. 【详解】（1）设，，，因为， 所以，且， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆. 设椭圆C的方程为，记，则，， 所以，，所以，所以的标准方程为. （2）设点，则， 作差得，除以得， 又由点是AB的中点，则有，所以， 变形可得，所以直线的方程是即， 经检验符合题意，故直线的方程为. 98．圆与椭圆，当或时没有公共点；当时恰有一个公共点；当或或时恰有二个公共点；当时恰有三个公共点；当或时恰有四个公共点． 【难度】0.65 【知识点】平面解析综合 【分析】将圆和椭圆的方程联立组成方程组，根据解的个数判断位置关系. 【详解】解方程组得， （一）当时以上方程组的只有一个解，此时解得，则圆与椭圆有两个公共点. （二）当时方程组的有两个不同的解或. 当时，. （1）若或，圆与椭圆没有公共点； （2）若，圆与椭圆恰有一个公共点； （3）若，圆与椭圆恰有二个公共点． 当时，， （1）若或，圆与椭圆没有公共点； （2）若，圆与椭圆恰有一个公共点； （3）若，圆与椭圆恰有二个公共点． 综上所述，圆与椭圆，当或时没有公共点；当时恰有一个公共点；当或或时恰有二个公共点；当时恰有三个公共点；当或时恰有四个公共点． 99．(1) (2)或. 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1））由离心率和焦点坐标即可求得的方程. （2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，根据求出直线的方程. 【详解】（1）由已知得，离心率， 得， 则的方程为. （2）由题可知，若面积存在，则斜率不为0，    所以设直线的方程为显然存在， ， 联立消去得， 因为直线过点，所以显然成立， 且， 因为. ， 化简得， 解得或（舍）， 所以直线的方程为或. 100．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求抛物线的轨迹方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）设圆心，得到圆的半径为，再根据为圆的直径，由求解； （2）根据直线的斜率均为，得到三点共线，设直线的方程为，与抛物线方程联立，求得弦长，再根据，得到点在线段的垂直平分线上，从而求得求解. 【详解】（1）设圆心，则圆的半径为， 所以为圆的直径时，由 得，， 则，故轨迹的方程． （2）如图所示： 因为直线的斜率均为，所以三点共线， 则直线的方程为， 由可得， 设，则， 所以 ， 因为，所以点在线段的垂直平分线上， 又， 所以线段的中点坐标为， 则线段的垂直平分线方程为， 令，得，故． 又，所以， 所以， 令，则，所以． 则 当时，的最大值为， 故的最小值为． 答案第48页，共79页 答案第48页，共79页 学科网（北京）股份有限公司 $$