1.第一章 空间向量与立体几何-高二数学必刷100题（人教A版2019）

1.高二第一章空间向量与立体几何必刷100题（人教版） 1．（24-25高二上·福建南平·阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（   ） A．与BD不垂直 B． C．与夹角是 D．直线AC与直线的距离是 2．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）斗拱是中国建筑上特有的构件，是较大建筑物的柱与屋顶之间的过渡部分，用于支撑上部突出的屋檐，如图（1），其简化结构如图（2），其中是两两互相垂直的线段，为斗拱，满足，且和都为钝角．若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（19-20高二上·陕西商洛·阶段练习）已知，则下列向量中与平行的是（    ） A． B． C． D． 4．（19-20高二上·宁夏·期中）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高二上·全国·课后作业）已知非零向量分别为平面的法向量，且，，则与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合 6．（22-23高二上·山东潍坊·期中）已知棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（    ） A．0 B． C． D． 7．（2023·山东·模拟预测）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（    ）    A． B．4 C． D． 8．（20-21高二下·湖北荆州·阶段练习）已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（19-20高二·全国·课后作业）已知非零向量，不共线，若，则A，B，C，D四点（    ） A．一定共圆 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．一定共面 D．一定不共面 10．（22-23高二下·安徽阜阳·阶段练习）在棱长为2的正方体中，下列说法不正确的是（    ） A．直线与平面所成的角为 B． C．三棱锥外接球的表面积为 D．平面与平面的距离为 11．（19-20高三上·浙江杭州·期中）已知直三棱柱ABC﹣A'B'C'的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P是侧棱AA'上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与直线B'C所成的角为β，二面角P﹣B'B﹣C的平面角为γ，则（　　） A．α＞β＞γ B．α＜β＜γ C．α＞γ＞β D．β＞α＞γ 12．（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点满足； ②存在点满足与平面所成角的大小为； ③存在点满足； 其中正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 13．（23-24高二下·湖北·开学考试）如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2021高二·全国·专题练习）已知向量，，若，则的值是（    ） A． B． C．3 D．26 15．（23-24高二上·四川泸州·期末）向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 16．（20-21高二·全国·单元测试）已知，，，是空间不共面的四点，且满足，，点为的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能 17．（23-24高二上·北京丰台·期中）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列选项中能使成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 18．（20-21高二下·浙江绍兴·期末）如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（    ）    A． B． C． D． 19．（2023·四川宜宾·模拟预测）已知长方体中，，，为的中点，则下列判断不正确的是（    ） A．平面 B．点到平面的距离是 C．平面 D．异面直线与所成角的余弦值为 20．（19-20高二上·浙江绍兴·期末）已知，，是上的点，将沿翻折到，设点在平面上的射影为，当点在上运动时，点（    ） A．位置保持不变 B．在一条直线上 C．在一个圆上 D．在一个椭圆上 21．（2015·浙江绍兴·二模）在四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则 A．对任意的，，存在点，使得 B．当且仅当时，存在点，使得 C．当且仅当时，存在点，使得 D．当且仅当时，存在点，使得 22．（23-24高三下·山西·阶段练习）在棱长为4的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球半径的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 23．（20-21高一下·宁夏吴忠·期末）设点，关于面对称的点为，则线段的中点到点的距离为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 25．（20-21高二上·山东德州·阶段练习）已知向量，则下列向量中与同向的单位向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 26．（10-11高三·陕西·阶段练习）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 A． B． C． D． 27．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（2024·安徽·模拟预测）设与为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为且，点M在线段AC上，且，将异面直线PD，QM所成的角记为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．（20-21高二上·北京·期中）已知向量，，且，那么等于（    ） A． B． C． D．5 30．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，若点是中点，则四棱锥体积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 31．（23-24高二上·河北保定·期中）一只蚂蚁从点出发，在Oxy和Oxz平面上爬行，则这只蚂蚁爬到点的最短距离为（    ） A． B．3 C． D． 32．（21-22高二下·安徽·期末）直角梯形中，是边的中点，将三角形沿折叠到位置，使得二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 33．（22-23高二上·广东清远·期中）在平行六面体中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱的长为b，且.则（     ） A．的长为 B．直线与AC所成角的余弦值 C．的长为 D．直线与BC所成角的余弦值 34．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知,则下列说法不正确的是（    ） A．三点可构成直角三角形 B．三点可构成锐角三角形 C．三点可构成钝角三角形 D．三点不能构成任何三角形 35．（15-16高二上·陕西西安·期末）（多选题）已知直线l过点，平行于向量，平面过直线l与点，则平面的法向量可能是（   ） A．(1，－4，2) B． C． D．(0，－1，1) 36．（21-22高二上·重庆·期中）已知空间向量，，且，则(    ) A． B． C． D． 37．（23-24高二上·广东清远·阶段练习）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（22-23高三上·江苏·开学考试） 在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（    ） A． 异面直线与所成角的余弦值为 B． C． 四面体的外接球体积为 D． 平面截正方体所得的截面是四边形 39．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知空间三点，设.则下列结论正确的是（ ） A．若，且，则 B．和的夹角的余弦值 C．若与互相垂直，则的值为2； D．若与轴垂直，则，应满足 40．（23-24高二上·山东日照·期中）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ）    A．当P在侧面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 D．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足平面时，PF长度的取值范围是 41．（23-24高二上·广东东莞·期中）如图（1）是一副直角三角板．现将两个三角板沿它们的公共边翻折成图（2）的四面体，设，与面所成角分别为，，在翻折的过程中，下列叙述正确的是（    ）    A．若，当时，点到面的距离是2 B．存在某个位置使得 C．若，当二面角时，则 D．当在面的射影在三角形的内部（不含边界），则 42．（2020·山东枣庄·一模）在长方体中，，，、、分别是、、 上的动点，下列结论正确的是（    ） A．对于任意给定的点，存在点使得 B．对于任意给定的点，存在点使得 C．当时， D．当时，平面 43．（23-24高二下·福建莆田·阶段练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，过的截面与棱分别交于点，则下列说法中正确的是（    ） A．存在点，使得 B．线段长度的取值范围是 C．当点与点重合时，四棱锥的体积为2 D．当为线段中点时，三棱锥外接球的表面积为 44．（23-24高二上·广东深圳·期中）给出下列命题，其中正确的有（   ） A．空间任意三个向量都可以作为一个基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得 D．如果，是两个单位向量，则 45．（21-22高二上·河南濮阳·阶段练习）已知空间直角坐标系中，点A的坐标为，坐标原点为O，且与方向相反，则（    ） A．x+y+z=0 B．x=3y C．x+z=0 D．4y+z=0 46．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）下列结论正确的是（    ） A．若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间的一组基底 B．两个不同的平面α，β的法向量分别是，，则 C．直线l的方向向量，平面α的法向量，则 D．若，，，则P点在平面内 47．（21-22高二上·河北石家庄·期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设，，，若，，AB=AC=AA1=1，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．直线AB1和直线BC1相互垂直 D．直线AB1和直线BC1所成角的余弦值为 48．（22-23高二下·江苏连云港·期中）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．，，两两不共线，但两两共面 B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得 C．，，能构成空间另一个基底 D．若，则实数，，全为零 49．（23-24高三下·河南·开学考试）在正方体中，分别为棱的中点，则（   ） A． B．四点共面 C．平面 D．平面 50．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知正方体的棱长为，点分别是棱，的中点，点是侧面内一点含边界 若平面，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹为一条线段 B．三棱锥的体积为定值 C．的取值范围是 D．直线与所成角的余弦值的最小值为 51．（23-24高二上·浙江·期中）如图，在直三棱柱中，分别是的中点，是与的交点，为线段上的动点（包含线段的端点），则以下说法正确的是（    ） A．为线段的中点时， B．存在点，使得平面 C．与平面所成的角可能为 D．与所成角的正弦值为 52．（23-24高二上·全国·课后作业）给出下列命题，其中正确的命题为（　　） A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B．若，则可知 C．若Q为的重心，则 D．非零向量，，满足与，与，与都是共面向量，则，，必共面 53．（2023·广东汕头·模拟预测）如图，点M是棱长为l的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（    ） A．不存在点M满足平面 B．存在无数个点M满足 C．当点M满足时，平面截正方体所得截面的面积为 D．满足的点M的轨迹长度是 54．（23-24高二上·辽宁·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 55．（21-22高二上·福建泉州·期末）已知边长为的正三角形中，为中点，动点在线段上（不含端点），以为折痕将折起，使点到达的位置．记，异面直线与所成角为，则对于任意点，下列成立的是（    ） A． B． C．存在点，使得 D．存在点，使得平面 56．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，下列化简结果正确的是（    ）    A． B． C． D． 57．（19-20高二·全国·单元测试）已知α，β为两个不重合的平面，设平面与向量＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量＝(－2，4，－8)垂直，则平面与β的位置关系是 ． 58．（21-22高二上·湖南·期末）如图，在直棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 59．（21-22高二·全国·课后作业）在长方体中，若，，，则与有相等模的向量共有 个． 60．（22-23高二上·天津蓟州·阶段练习）已知，则= . 61．（19-20高二下·上海松江·期末）如图，两个棱长为1的正方体排成一个四棱柱，AB是一条侧棱，是正方体其余的10个顶点，则的不同值的个数为 个. 62．（21-22高二下·江苏连云港·期中）已知点，，，，则向量在向量上的投影向量的模为 ． 63．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则异面直线ON，AM所成的角是 .    64．（19-20高二·全国·课后作业）如图所示，在直平行六面体中，，，点在上，且，则点到平面的距离为 . 65．（2024高三·全国·专题练习）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．设D为的中点，，平面平面，则二面角的正弦值为 ． 66．（22-23高二上·重庆·阶段练习）如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为4，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为 . 67．（21-22高二上·山东济南·期中）正方体的棱长为1，P点满足，则P到的距离为 68．（23-24高二上·上海·期中）正四棱锥的侧面是等边三角形，为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 . 69．（19-20高二·全国·课后作业）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=2BC=2，D为AA1上一点.若二面角B1-DC-C1的大小为30°，则AD的长为 . 70．（23-24高二上·全国·课后作业）已知是异面直线，，，且，则与所成的角为 ． 71．（19-20高二下·天津·阶段练习）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为 ． 72．（16-17高二下·江西南昌·期中）如图，已知边长为1的正的顶点在平面内，顶点在平面外的同一侧，点分别为在平面内的投影，设，直线与平面所成的角为.若△是以角为直角的直角三角形，则的最小值 . 73．（2024·北京西城·一模）如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论： ①存在点，使； ②存在点，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 74．（18-19高二下·河北衡水·期末）如图所示，正方体的棱长为1，,为线段,上的动点，过点,,的平面截该正方体的截面记为,则下列命题正确的是 . ①当且时,为等腰梯形; ②当,分别为,的中点时，几何体的体积为; ③当为中点且时，与的交点为,满足; ④当且时, 的面积. 75．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）已知空间向量，，两两夹角均为，且，.若向量，满足，，则的最大值是 ． 76．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）在棱长为的正方体中，点，，，分别为线段，，，的中点，点为线段的动点，则下列说法正确的是 . ①异面直线与所成角的余弦值为；②当为线段的中点时，点，，，四点共面：③对任意点的点，都有平面平面；④三棱锥的外接球的表面积为. 77．（23-24高二上·湖北·开学考试）已知基底，，，若，则 . 78．（23-24高二下·上海嘉定·期末）在空间直角坐标系中一点关于坐标平面的对称点的坐标为 79．（21-22高二·全国·课后作业）若和分别是平面的一个法向量，则与所成二面角的大小为 . 80．（17-18高二上·安徽宿州·期末）已知，则 ． 81．（22-23高二上·天津蓟州·阶段练习）在长方体中，，若在上存在点，使得平面，则 82．（2021·浙江绍兴·一模）如图，在棱长为4的正方体中，M是棱上的动点，N是棱的中点.当平面与底面所成的锐二面角最小时， . 83．（23-24高二下·江西·阶段练习）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的大小为 . 84．（19-20高二·全国·课后作业）如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为 ． 85．（18-19高二上·海南海口·期末）已知，，则 . 86．（23-24高二上·全国·课后作业）在直三棱柱中，，，平面的一个法向量为，则棱的长为 ． 87．（18-19高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝1，则PC与底面ABC所成角的正切值为 . 88．（24-25高二上·上海·课后作业）在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时， ． 89．（21-22高二上·上海浦东新·阶段练习）若、、是空间中的三个向量，，，，且，则的最小值为 ． 90．（23-24高二上·天津静海·阶段练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，，求异面直线与所成角的余弦值 ．    91．（17-18高二·全国·单元测试）已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为 . 92．（2023高三·全国·专题练习）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB=BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形．在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF．以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，则平面CDF的一个法向量 ． 93．（21-22高二上·广东东莞·阶段练习）在正方体中，点分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若=a，=b，=c，则= 94．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，分别是侧棱，上的点，平面与平面所成的（锐）二面角为，则当最小时 ．    95．（22-23高一下·北京西城·期末）如图，在棱长为4的正方体中，点P是线段AC上的动点（包含端点），点E在线段上，且，给出下列四个结论：    ①存在点P，使得平面平面； ②存在点P，使得是等腰直角三角形； ③若，则点P轨迹的长度为； ④当时，则平面截正方体所得截面图形的面积为18． 其中所有正确结论的序号是 ． 96．（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论中正确结论的序号是 ． ①若保持，则点在底面内运动路径的长度为 ②三棱锥体积的最大值为 ③若，则二面角的余弦值的最大值为 ④若则与所成角的余弦值的最大值为 97．（24-25高二上·天津·开学考试）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点.    (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)棱上是否存在点，使其到平面的距离为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 98．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 99．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． (3)设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 100．（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为等边三角形，为棱中点，平面平面．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 试卷第2页，共25页 试卷第1页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B A B A C C A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D D A A A C B C C C 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 C C D A B B D A C D 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答案 C D C BCD ABC CD AD BC BD AC 题号 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 答案 ACD ABD BCD BD ABD ABD ABD ABD AC ABD 题号 51 52 53 54 55 56 答案 BCD BC BCD AC ABC ABD 1．B 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法、点到直线距离的向量求法 【分析】设，依题得运用向量数量积的运算律计算即可判断A,B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项. 【详解】 如图，设， 则. A项，因， 则， 则，故A错误； B项，因，， 则， 故B正确； C项，， 则， 且 设与夹角为， 则， 因，则，即C错误； D项,在平行六面体中，易得, 则得四边形是平行四边形,故, 故点到直线的距离即直线与直线的距离. 因， 且， 则，故D错误. 故选：B. 2．D 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，设点，得到，根据题意，列出方程，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，可得， 所以， 设点，可得，则， 由，可得， ，可得， 所以， 即，所以. 故选：D. 3．B 【难度】0.94 【知识点】空间向量共线的判定 【分析】利用共线向量基本定理，判断即可. 【详解】因为，所以与平行. 故选：B. 【点睛】本题考查了空间向量共线的判断，属于基础题. 4．B 【难度】0.94 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】由向量垂直关系的坐标表示可构造方程求得结果. 【详解】由已知得：，又， ，解得：. 故选：B. 5．A 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据已知可推得，即，即可得出答案. 【详解】因为， 所以，使得. 因为， 所以， 所以，， 所以，， 所以，， 即，与的位置关系是垂直. 故选：A. 6．B 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法、空间位置关系的向量证明、求直线与平面的距离、求点面距离 【分析】利用坐标法，由题可得平面，然后利用点到平面的距离的向量求法即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以，即，又平面， 所以平面， 故点到平面的距离即为直线到平面的距离，又 所以点到平面的距离为，即直线与平面之间的距离为. 故选：B. 7．A 【难度】0.65 【知识点】正棱锥及其有关计算、线面垂直证明线线垂直、求空间向量的数量积 【分析】根据题中条件确定，设底面△ABD的中心为O，则CO⊥平面ABD，可求得，又的方向与相同，代入计算可得答案． 【详解】， ， 设底面△ABD的中心为O，连接CO，AO，则OC⊥平面ABD， 又AO，AB，AD 平面ABD，故OC⊥AO， OC⊥AB，OC⊥AD， ，， 在中，， 则，又的方向与相同， 所以． 故选：A． 8．C 【难度】0.65 【知识点】已知线线角求其他量 【分析】建立空间直角坐标系， 【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围. 设正方体的棱长为1， 则有 ∴，∴设， ∴， ， 由图知不是平角，∴为钝角等价于， ∴， ∴， 解得 ∴的取值范围是 故选：C. 9．C 【难度】0.65 【知识点】空间向量基本定理及其应用、判定空间向量共面 【分析】先利用共面向量定理得到，知C 正确，B、D错误；再由作为基底，判断四点位置形成凹四边形，四点不共圆，A错误． 【详解】因为非零向量不共线，，，， 所以，所以， 由共面向量定理可知，A，B，C，D四点共面，故A 正确，B、D错误； 不妨设是该平面内向量的单位正交基底，易知A、B、C、D四点构成一个凹四边形，此时四点不共圆，故A错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理，属于中档题. 10．A 【难度】0.65 【知识点】平行平面距离的向量求法、空间位置关系的向量证明、求异面直线所成的角、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据线面角的定义即可判断A，建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算即可判断BD，由三棱锥外接球与正方体的外接球相同即可判断C. 【详解】 连接，与相交于点，因为平面，且平面， 所以，又因为，，所以平面， 即直线与平面所成的角为，且，故A错误； 连接，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则，解得，取，则 所以，则，所以平面， 且平面，则，故B正确； 因为三棱锥外接球就是正方体的外接球， 设其外接球的半径为，则，即， 所以，故C正确； 因为平面平面所以平面 同理平面 又平面, 所以平面平面， 由B选项可知，平面的法向量为，且， 则两平面间的距离，故D正确. 故选:A 11．D 【难度】0.4 【知识点】线面角的向量求法、异面直线夹角的向量求法 【分析】取中点，以、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量，设出点的坐标，求出三个角，再比较大小即可． 【详解】解：设直三棱柱的棱长与底面边长为2，如图，取中点， 以、所在直线分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， ∴， ， 由题意，，，则二面角的平面角为，则， 当时，由二次函数的单调性知，． ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角、二面角的求法，考查了利用角的余弦值比较角的大小，属于中档题． 12．D 【难度】0.4 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法一一计算可得. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则，，，， 设，，则， 若，则，解得， 所以存在点满足，故①正确； 因为，，设平面的法向量为， 则，取， 设与平面所成角为，， 则， 令，，则，所以， 令，，则，所以， 所以存在点满足与平面所成角的大小为，故②正确； 因为，， 所以，所以， 所以存在点满足，故③正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是建立空间直角坐标系，将几何关系转化为代数计算. 13．A 【难度】0.94 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据空间向量基本定理得到，故. 【详解】为四面体的棱的中点，为的中点， 故，， ， 因为，所以， . 故选：A 14．A 【难度】0.94 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】由空间向量垂直的坐标表示求参数x，再利用空间向量模长的坐标求法求. 【详解】由题设，，可得， ∴，故. 故选：A 15．A 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、求空间向量的数量积 【分析】根据投影向量的概念进行运算即可求得． 【详解】由题意，，， 则向量在向量上的投影向量为． 故选：A． 16．C 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】根据题意，结合向量的线性运算与数量积，可得，进而可知为直角三角形. 【详解】∵点为的中点，∴， ∴， ∴，∴为直角三角形. 故选：C. 17．B 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】只需判断是否成立，即可得出答案. 【详解】要使，则应有. 对于A项，由已知可知不成立，故A项错误； 对于B项，由已知可得，所以，故B项正确； 对于C项，由已知可知不成立，故C项错误； 对于D项，由已知可知不成立，故D项错误. 故选：B. 18．C 【难度】0.65 【知识点】共面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，通过表示出点坐标，利用数量积求出夹角余弦值的范围，进而得出答案. 【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，    则，，， 设(0 ≤ λ ≤ 1)得：， ， ， 由， ∴，则. 故选：C. 19．C 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法、异面直线夹角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，计算给点坐标，得到平面的法向量为，再根据公式依次计算每个选项得到答案. 【详解】如图所示，以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设平面的法向量为，则， 取得到， 对选项A：，，平面，故平面，正确； 对选项B：，点到平面的距离是，正确； 对选项C：，与不平行，错误； 对选项D：，，与所成角的余弦值为，正确. 故选：C 20．C 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】为计算简便，不妨设为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，取中点，利用，即可得到轨迹方程. 【详解】为计算简便，不妨设为等腰直角三角形，令，且令， 以中点为空间原点，为轴，建立空间直角坐标系， 设，，设， 则，，，， 所以y，)，，， 因为，所以， 同理，所以， 两式相减得，代入得， 故选：C． 【点睛】本题考查点的轨迹方程，考查空间向量位置关系等，建立空间直角坐标系是关键，属于中档题． 21．C 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量垂直的坐标表示、求空间图形上的点的坐标 【分析】建立空间直角坐标系，根据，利用向量的数量积等于0，求得结果. 【详解】以 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，则 ， 设 ， 所以 ， 所以，令，， 由 得 ， 所以当且仅当时，存在点，使得， 故选:C． 22．C 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、多面体与球体内切外接问题、空间距离公式的应用 【分析】取的中点，根据题意分析可知：三棱锥外接球的球心在过垂直于平面的直线上，设，建系，结合空间两点距离公式可得，进而利用基本不等式运算求解. 【详解】连接，取的中点，可知为的外心， 过作平面的垂线，可知三棱锥外接球的球心在该垂线上， 设， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为，即， 整理得，当且仅当，即时，等号成立， 所以三棱锥外接球半径的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知三棱锥外接球的球心在过垂直于平面的直线上，再以空间直角坐标系为依托，分析求解. 23．D 【难度】0.94 【知识点】求空间中两点间的距离、求空间两点的中点坐标、求空间图形上的点的坐标 【分析】根据空间直角坐标系的性质，以及空间中两点间的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，点， 由关于面对称的点， 由线段的中点， 所以. 故选：D. 24．A 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法，列公式求解即可； 【详解】如图，为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴， 设直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为； 故选: A 25．B 【难度】0.94 【知识点】空间向量模长的坐标表示 【分析】求得，进而可计算得出与同向的单位向量的坐标. 【详解】，则， 所以，与同向的单位向量的坐标是. 故选：B. 【点睛】本题考查与向量同向的单位向量的坐标，考查计算能力，属于基础题. 26．B 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】设的中点为，连接、、，易知即为异面直线与所成的角（或其补角）．由余弦定理，计算得即可． 【详解】如图，设的中点为，连接、、， 易知即为异面直线与所成的角（或其补角） 设三棱柱的侧棱与底面边长均为1， 则，，， 由余弦定理，得 故应选B. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好作，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.解答本题时，易知即为异面直线与所成的角（或其补角），进而通过计算的各边长，利用余弦定理求解即可． 27．D 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量与立体几何综合 【分析】建立空间直角坐标系，设点的坐标，由线面垂直转化成向量垂直，列方程组，表示出，利用模长公式计算即可. 【详解】结合题意：以分别为建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，可得. 设， 则， 因为平面，所以, 即，解得， 所以，所以， 所以， 因为，结合复合函数单调性可得在单调递增. 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用平面，找到，从而得到. 28．A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、异面直线夹角的向量求法 【分析】建立适当空间站直角坐标系后，借助空间向量表示出的余弦值，结合基本不等式计算即可得解. 【详解】连接交于点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方形的边长为，所以， 因为，所以为的中点， 设，在直角中，有，故， 所以， 则， 所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为， 因此的最小值为.    故选：A. 29．C 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】先根据向量垂直数量积为零求坐标，再根据坐标求模长计算即可. 【详解】因为，，且， 所以，即，所以， 所以， 故选：C． 30．D 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、已知面面角求其他量 【分析】先根据两两垂直建立空间直角坐标系，然后得到各点的坐标，再应用二面角的空间向量解法得到参数的关系式，最后根据体积公式得到最值即可. 【详解】因为平面且， 所以以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，     ， 因为已知是四边形内部一点，所以设， 其中且（即点在平面内部）， 则， 因为平面平面，所以平面的法向量为， 又因为， 设平面的法向量为， 则，即，由题易得，令，则， 所以， 因为二面角的平面角大小为， 所以， 即，解得①， 因为点是中点，所以到平面的距离为， 所以要使得四棱锥体积的最大， 则，即要取到最大值， 由①知时， 此时点不在四边形内部，矛盾， 故当时体积取到最大值，此时， 所以， 故选：D 【点睛】方法点睛：碰到两两垂直的线段时，往往可以借助空间向量法来解决，需要在求解法向量的时候注意不求错即可. 31．C 【难度】0.94 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、求空间两点的中点坐标 【分析】根据空间直角坐标系的坐标表示求解. 【详解】    如图，在棱长为2的正方体中， 为正方形的中心，为点， 将正方体的面展开，如图，    所以这只蚂蚁爬到点的最短距离为展开图中, 故选:C. 32．D 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系求解即可 【详解】建如图所示空间直角坐标系，得，，所以，所以. 故选：D 33．C 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量的运算逐项进行计算即可判断. 【详解】对于A，， ， 所以，故选项A错误； 对于B，由题意可知：，， 所以， ， 所以， 故选项B错误； 对于C，，， ， 所以，故选项C正确； 对于D，由选项B的分析可知：，由题意可知：， ， 所以， 故选项D错误， 故选：C. 34．BCD 【难度】0.94 【知识点】求空间中两点间的距离 【分析】先根据两点间距离公式分别求出的长,再由勾股定理即可得到答案. 【详解】根据题意, 同理可得, 因为, 所以是直角三角形,即仅有A正确. 故选:BCD. 35．ABC 【难度】0.94 【知识点】平面法向量的概念及辨析、求平面的法向量 【分析】由题可知所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，所以利用向量垂直的判定验证即可 【详解】解：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量， 而， 选项A，满足垂直，故正确； 选项B，满足垂直，故正确； 选项C，满足垂直，故正确； 选项D，，但，故错误． 故选：ABC 【点睛】此题考查平面的法向量，向量的数量积运算，属于基础题. 36．CD 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】由已知条件和数量积公式可知，然后利用数量积的坐标运算求出，然后利用模长公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以． 故选：CD. 37．AD 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算并判断. 【详解】对于A，向量，，则，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，由数量积的定义得，C错误； 对于D，，所以，D正确. 故选：AD. 38．BC 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法、多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算、判断正方体的截面形状 【分析】利用坐标法可判断AB，利用正方体的性质可判断CD. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， ∴，， ∴，A错误； ∴，，，∴，B正确； 由题可知四面体的外接球即为正方体的外接球， 所以外接球半径满足，，∴，C正确； 延长交延长线与，连接交于，延长交延长线于，连接交于， 则五边形为平面截正方体所得的截面，D错误. 故选：BC. 39．BD 【难度】0.65 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用空间向量的基本定理及坐标表示判断即可. 【详解】依题意，，， 对于A，因为，所以，又，所以，解得，所以或，A不正确； 对于B，，B正确； 对于C，因与互相垂直，则， 解得或，C不正确； 对于D，因为，轴的一个方向向量， 依题意，即，D正确； 故选：BD 40．AC 【难度】0.65 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、异面直线夹角的向量求法、立体几何中的轨迹问题 【分析】对于,根据面平面，可知点到平面的距离不变，结合方形的面积不变，可判断正确；对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角余弦值范围即可求得；对于，分析点的位置，确定点的轨迹，求出轨迹长度，求和即可；对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据平面，则，从而有， 利用坐标求得，即可求出其范围. 【详解】对于,因为平面平面， 所以当P在侧面上运动时，点到平面的距离不变， 而正方形的面积不变，所以当P在侧面上运动时， 四棱锥的体积不变，故正确； 对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，    设，则， 设与所成角为， 则， ，当时，； 当时, ， 则，综上，. 所以当在线段上运动时，与所成角的取值范围是，故错误； 对于，因为直线与平面所成角为， 若点在平面和平面内， 最大，不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，作平面,    因为,所以 因为所以所以 点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一圆， 所以点的轨迹长度为 所以点的轨迹总长度为故正确； 对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，, 则， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 则， 因为平面,所以， 即， 所以， 当时，等号成立，故错误. 故选： 41．ACD 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】根据等体积法求点面距离判断A，根据射影的性质判断B，根据空间点的坐标求两点间的距离判断C，分类讨论点在平面上射影的位置判断D. 【详解】当时，，， ，， 当时，又，平面， 所以平面，设点到面的距离为，因为， 所以，即，解得，故A正确； 若，因，平面， 故平面，而平面，故， 这与矛盾，故B错误； 以原点，建立如图示的空间直角坐标系，    当时，，三角形斜边上的中线为， 取中点，中点，连接， 则由平面图可知，则为二面角的平面角， 二面角知，， 所以，， 则，，故，故C正确； 由C的证明可得，而平面， 故平面，而平面，故平面平面， 如图，过作，因为平面平面， 平面，故平面， 故为与平面所成的角，为与平面所成的角， 又， ， 故，故即， 而为锐角，故，故D正确.      故选：ACD 42．ABD 【难度】0.4 【知识点】空间线段点的存在性问题、求平面的法向量、空间位置关系的向量证明 【分析】本题先建立空间直角坐标系，再运用空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，， 设，得到，. ，，，当时，，正确； ，，取时，，正确； ，则，解得：，此时，不成立，错误； ，则，，设平面的法向量为，则，解得，故，故平面，正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，是偏难题. 43．BCD 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、空间向量垂直的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，设点，，利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；求出与的关系式，利用反比例函数的基本性质可确定线段长度的取值范围；利用锥体和台体的体积公式可求得锥体的体积；设外接球球心，列方程求解可得球心，即可得球的表面积. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设点，，其中，， 若存在点，使得， 则，解得，不合题意，A错； 对于B选项，设，其中、， 即，即，可得， ，则，所以，，B对； 对于C选项，当点与点重合时，，则，此时点为的中点，如图所示： 在直三棱柱中，四边形为矩形，则且， 、分别为、的中点，则且， 所以，且， 同理且，且， 所以，，故几何体为三棱台， ，， ， ， 因此，，C对； 对于D选项，当为线段中点时，，则，此时点与点重合， 此时三棱雉外接球球心必在过中点且与面垂直的线上，如图： 设，所以，即，解得 所以三棱雉外接球半径为， 所以外接球的表面积为，D对. 故选：BCD. 44．BD 【难度】0.94 【知识点】零向量与单位向量、空间向量基底概念及辨析、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据共线向量、空间向量的基本定理、基底、单位向量概念等知识对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】对于，因为是空间的一组基底，所以,,为不共线的非零向量，故选项错误; 对于，因为,所以与共线，故,与任何向量都不能构成空间的一个基底，故选项正确; 对于，当为空间的一组基底时，对于空间任一向量，则存在唯一的有序实数组，使得，故选项错误; 对于，若,都是单位向量，则模长都为，故，故选项正确. 故选：. 45．ABD 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量的坐标表示 【分析】先由向量反向得到，，，再验证每个选项即可求解. 【详解】由题意，得：， 且， 其中，则，，， 则：，即选项A正确； ，即选项B正确； ，即选项C错误； ，即选项D正确. 故选：ABD. 46．ABD 【难度】0.85 【知识点】判定空间向量共面、空间位置关系的向量证明 【分析】利用基底的定义可判定A项，利用空间向量研究空间位置关系可判定B、C项，利用空间向量共面定理可判定D项. 【详解】若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间一组基底， 故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，所以，或，因为不能确定直线l是否在平面α内，故C错误； 因为，故D正确． 故选：ABD． 47．ABD 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、异面直线夹角的向量求法 【分析】利用向量的线性运算可判断A的正误，利用数量积可判断BCD的正误. 【详解】A： ， 又，∴. B：∵，∴. ∵，∴. ∵，∴， ∴，∴. 对于C、D：， ， 所以D正确，C错误， 故选：ABD. 48．ABD 【难度】0.85 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以，，两两不共线，但两两共面，故A正确； 对空间任一向量，总存在有序实数组，使得，故B正确； 因为， 所以，，共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误； 根据空间向量基本定理可知，若，则实数，，全为零，故D正确； 故选：ABD 49．AC 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐项判断即得. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则， 对于A，，，即有，因此，A正确； 对于B，，向量不共线，直线不平行，而直线平面， 平面，又平面平面，因此直线是异面直线，B错误； 对于C，，设平面的法向量， 则，取，得，显然， 而平面，因此平面，C正确； 对于D，，显然向量与不共线，直线不垂直于平面，D错误. 故选：AC 50．ABD 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面平行、异面直线夹角的向量求法、立体几何中的轨迹问题 【分析】对于A：通过证明面面可得点的轨迹；对于B：根据到平面的距离为定值来判断；对于C：利用面积法来判断；对于D：建立空间直角坐标系，求出线线角的余弦，然后求最小值即可. 【详解】对于A：取的中点分别为，由正方体的性质易得， 又面，面，面，面， 所以面，面，又，面， 所以面面，又平面，点是侧面内一点含边界， 所以点的轨迹为线段，A正确； 对于B：的面积为定值，因为平面， 所以点到平面的距离为定值，则点到平面的距离为定值， 所以为定值，B正确； 对于C：，， 所以点到的距离，C错误； 对于D：如图建立空间直角坐标系，设，，又， 所以，所以 令，则，所以 当，即时，取最大值，则取最小值， 即直线与所成角的余弦值的最小值为，D正确. 故选：ABD. 51．BCD 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量的加减运算、求线面角 【分析】对于A，由向量的加法、减法及数乘运算即可判断； 利用空间向量解答B，D； 对于C，由题意可得为与平面所成的角，当运动到点时，取得最大，且，从而即可判断. 【详解】对于， ，故错误； 对于，以为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 所以 设平面的法向量为 则， 令，可得， 设， 则， 所以， 当时，可得∥平面， 所以，即. 所以在线段上存在点，且，故B正确； 对于C，在中，为的中点，所以， 又平面平面， 可得，而， 平面，平面，所以平面， 与平面所成的角即为， 由题可得当运动到点时，取得最大，且， 所以与平面所成的角可能为，此时，故C正确. 对于D，， 所以与所成角的正弦值为，故D正确； 故选：BCD. 52．BC 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面、用基底表示向量、向量减法的法则、相等向量 【分析】根据向量相等不能得出线段相等判断A选项，根据向量减法得出判断B选项，根据重心性质得出向量关系判断C选项，应用特殊向量判断共面判断D选项. 【详解】在平行四边形ABDC中，满足，但不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD不为同一线段，A不正确. 因为，所以，所以，所以，所以，即，B正确. 若Q为的重心，则，所以，所以，即，C正确. 在三棱柱中，令，，，满足与，与，与都是共面向量，但，，不共面，D不正确. 故选：BC. 53．BCD 【难度】0.4 【知识点】求平面轨迹方程、空间位置关系的向量证明、证明线面垂直、判断正方体的截面形状 【分析】 对于A：根据线面垂直关系可得，分析判断；对于B：根据线面垂直关系可得，分析判断；对于C：根据平行线的性质以及利用空间向量分析运算求截面，进而可求截面面积；对于D：利用空间向量求点M的轨迹，进而求点M的轨迹长度. 【详解】 对于选项A：连接， 因为四边形ABCD是正方形，所以， ∵，且平面，所以， ，平面， 所以平面，且平面， 可得， 同理可证， ，平面，所以， 又点M是面上的一个动点（包含边界），所以当M与A1重合时， 故A错误； 对于选项B：连接， ，，则， 又因为，，， 所以， 可知当M在线段上时，有故存在无数个点满足，故B正确； 对于选项C：延长交于点， ∵，则为线段靠近点的三等分点， 且，则，则为线段的中点， 如图，以D点为原点建立空间直角坐标系， 则，可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， 设平面，点，则， 则，解得， 则，故， 可得，即， 且， 故截面面积，故C正确； 对于选项D： 因为正方体的棱长为l，所以设 所以，， 因为，所以 化简得：， 所以点M的轨迹是一段以为圆心，半径为的圆弧， 设圆弧与分别交于点， 取，则，即；取，则，即； 则，则， 且，即， ∴轨迹长度是，故D正确． 故选：BCD. 54．AC 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、空间向量基本定理及其应用 【分析】A、B选项考查的是空间向量基本定理的应用，以，，为基底表示，就可以得到结论；C选项考查利用空间向量数量积求向量夹角的余弦，先用基底表示和，再求它们的数量积和模，利用可判断C是否正确；对D选项，先用基底表示，再结合可求的长. 【详解】 ∵，故A正确. ∵.故B错误. 又∵，. ，； ， . . ∴.故C正确. ∵，∴.故D错误. 故选：AC. 55．ABC 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积、线面垂直证明线线垂直、判断线面是否垂直 【分析】利用空间向量数量积的运算性质可判断A选项；利用空间向量夹角的数量积表示可判断B选项；利用线面垂直的性质可判断C选项；利用反证法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 由图可知，为锐角，故，A对； 对于B选项，因为，因为， ，所以，， 因为、均为锐角且函数在上单调递减，故，B对； 对于C选项，，过直线作平面，使得平面，设，连接， 因为平面，平面，则， 在翻折的过程中，当时，，故存在点，使得，C对； 对于D选项，若平面，平面，则， ，事实上，，矛盾，故假设不成立，D错. 故选；ABC. 56．ABD 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量加减法则及其几何意义判断各项的正误. 【详解】A：，对； B：，对； C：，错； D：，对. 故选：ABD 57．平行 【难度】0.94 【知识点】平面法向量的概念及辨析、空间位置关系的向量证明、空间向量共线的判定 【分析】根据题意判断，即可得到两平面的位置关系. 【详解】，，， 所以，又分别是平面的法向量， 所以. 故答案为：平行 58． 【难度】0.94 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系后求相关的向量后再用夹角公式运算即可. 【详解】 如图，以C为坐标原点，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则， 所以， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为， 故答案为:. 59．7 【难度】0.94 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】长方体体对角线相等，故可得到与有相等模的向量 【详解】如图，与有相等模的向量有，共7个 故答案为：7 60．5 【难度】0.94 【知识点】空间向量模长的坐标表示 【分析】空间向量的坐标表示求的坐标，再应用空间向量模长的坐标求法求. 【详解】由题设， ， ∴. 故答案为： 61．2 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】分类讨论，根据向量的垂直和向量的数量积即可求出． 【详解】解：当，2，3，4，5时，故， 当，7，8，9，10时，， ， ， ， ， 的不同值的个数为2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查向量的数量积运算，属于基础题． 62．/ 【难度】0.85 【知识点】求投影向量、空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】首先求出，的坐标，再根据向量数量积、向量模的坐标表示求出，，最后根据求出投影向量的坐标，最后求模即可； 【详解】解：因为，，，， 所以，， 所以，， 所以向量在向量上的投影为； 所以向量在向量上的投影向量为 即向量在向量上的投影向量的模为； 故答案为： 63．/ 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间坐标系，利用向量垂直即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2， 则, 所以, 故， 所以，故异面直线ON，AM所成的角为， 故答案为：    64． 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用点到平面的距离计算，即可得答案； 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，. 设平面的法向量为， 则，令，则，， ∴. ∴点到平面的距离. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用空间向量法求点到面的距离，考查运算求解能力，求解时注意坐标系的建立. 65． 【难度】0.65 【知识点】柱体体积的有关计算、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】 取的中点E，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定证明平面，再建立空间直角坐标系，求出棱长，利用面面角的向量求法求解即得. 【详解】在直三棱柱中，取的中点E，连接AE，由，得， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，平面，平面，则，， 又平面且相交，因此平面，直线两两垂直， 以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 而，又， 解得，则，的中点， 则，，设平面的一个法向量， 则，令，得， 设平面的一个法向量，则，令，得， 则，所以二面角的正弦值为. 故答案为： 66．3 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，由空间向量法求点线距． 【详解】连接．以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， ，是等边三角形，点在直线上的射影在边上（靠近的四等分点）， 由平面，平面，得， 又，，平面， 所以平面，而平面，所以，∴为锐角， ，为异面直线与所成角，即. 在菱形中，，， ，．设，则， ， ，，，，， 点到直线的距离为. 故答案为：3. 67． 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示、棱柱及其有关计算 【分析】根据题设向量的线性关系，结合正方体的性质易知为底面中心，进而求P到的距离即可. 【详解】若分别是上下底面中心，如下图示， ∴，即与为同一点， ∴P到的距离. 故答案为： 68．/ 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】设等边的边长为，设，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线和所成角的余弦值. 【详解】设等边的边长为，设，则平面， 又因为四边形为正方形，则，且， 易知为的中点，则， 因为平面，平面，则， 所以，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 所以，，， 所以，， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 69． 【难度】0.65 【知识点】已知面面角求其他量 【分析】建立空间直角坐标系，设出D的坐标，进而通过空间向量的夹角运算求出答案. 【详解】如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz，则C(0，0，0)，B1(0，1，2)，B(0，1，0)，∴=(0，1，2)，=(0，1，0).设AD=a(0≤a≤2)，则点D的坐标为(2，0，a)，=(2，0，a). 设平面B1CD的法向量为=(x，y，z)，则⇒令z=-1，得=.又平面C1DC的一个法向量为=(0，1，0)，记为，则由，解得a=(负值舍去)，故AD=. 故答案为：. 70． 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法、求空间向量的数量积、空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用，求出，再应用两向量的夹角公式即可求解. 【详解】设，由已知， 得，又， 则 ， 又，. 又，.所以异成直线的夹角为. 故答案为：. 71．4 【难度】0.65 【知识点】已知线面角求其他量 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系, 设，求出平面的一个法向量，则，则可以得到答案. 【详解】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，故，，， 设平面的一个法向量为，则，可取， 故， 又直线与平面所成角的正弦值为， ，解得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题. 72． 【难度】0.65 【知识点】求线面角、已知线线角求其他量 【分析】建立空间坐标系，利用坐标法解，建立出的函数，利用单调性求出的最小值. 【详解】建立如图示的空间直角坐标系. 设，则，可得且，故. 又因为，故. 又,故. 又因为为关于m的减函数， 所以当时，最小. 故答案为：. 73．①③④ 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、求空间中两点间的距离、空间位置关系的向量证明 【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量研究位置关系，结合距离公式、三棱锥体积公式逐项判断即可得. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、、， 设，，其中，， 对①：，则， 当，，时，有， 故存在点，使，故①正确； 对②：，， 若，则有， 由，，故当时，，， 此时有，即，即， 此时与重合，与重合，故不存在点，使，故②错误； 对③：点到直线的距离为，点到直线的距离为， 即有，即，由， 故其轨迹为双曲线的一部分，即点有无数个，故③正确； 对④：，， 由，故有，则， 又， 故，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：第④个结论的关键点在于借助四面体的体积公式，分别求出高与底面三角形的最大值. 74．①② 【难度】0.4 【知识点】点到平面距离的向量求法、求平面的法向量、判断正方体的截面形状 【分析】将①③④三个命题逐一画出图像进行分析,即可判断出真命题,从而得到正确的序号；②利用空间向量求点面距，进而得体积. 【详解】①:作图如下所示,过 作,交于,截面为 即 即截面为等腰梯形.故①正确. ②:以 为原点,、、分别为、、 轴,建立空间直角坐标系,则 ,,, ,, 设平面 的法向量为,则 不妨设,则法向量.则点到平面 的距离 .故②正确. ③:延长 交 的延长线于一点,连接 交 于点 .故③错误 ④:延长 交 的延长线于,连接交于,则截面为四边形 根据面积比等于相似比的平方得 . 在 中,, 边上的高为 故④错误 故答案为: ①②. 【点睛】本题考查了正方体截面有关命题真假性的判断,考查锥体体积计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力.对于求体积求高时,往往建立空间直角坐标系,采用法向量的思想进行求解思路比较明确. 75． 【难度】0.4 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】由空间向量数量积的运算律化简得，，再由向量的三角不等式求解． 【详解】解：法1：构造三棱锥，令，故，令， 由已知条件可知，，即，设中点为，故， 故：，当且仅当四点共线且依次排列时等号成立． 法2： 即，即， 同理， 所以 故答案为： 76．①②③④ 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法分别判断①②③，根据三棱锥性质确定外接球球心，可判断④. 【详解】如图建立空间直角坐标系，    则，，，，，，，， 由点，，，分别为线段，，，的中点，点为线段的动点， 得，，，，，， 对于①：，， 则， 异面直线与直线所成角的余弦值为，①正确； 对于②：由为中点，得， 则，， 所以， 即、、共面， 所以、、、四点共面，②正确； 对于③，，，， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 所以，即， 所以平面平面，③正确； 对于④：如图所示， 分别取，中点，，连接，， 则平面，平面， 由已知为等腰直角三角形，所以为的外接圆圆心， 设三棱锥的球心为，则平面，即， 在中，，， 所以， 设其外接圆圆心为，则，，且在上， 所以平面，即， 所以四边形为矩形，， 所以外接球半径， 表面积为，④正确； 故答案为：①②③④. 77． 【难度】0.94 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】根据向量平行的判定定理运算求解. 【详解】因为，且，则存在唯一实数，使得， 即， 可得，解得或， 所以. 故答案为：. 78． 【难度】0.94 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】由空间直角坐标系中点关于面对称的性质计算即可得. 【详解】由关于坐标平面对称的点的横坐标相反，纵坐标与竖坐标相等可得. 故答案为：. 79．或 【难度】0.94 【知识点】面面角的向量求法、求二面角 【分析】根据二面角的向量计算公式即可求解． 【详解】设，， 则 所以与所成二面角的大小为或． 故答案为：或． 80． 【难度】0.94 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的加减运算 【详解】因为， 所以, 所以． 答案： 81．/0.5 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】因为，所以两两垂直，建立如图所示坐标系： 所以， 则， 设平面的法向量为，则，解得， 当平面时，解得. 故答案为：. 82． 【难度】0.85 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，分别得到平面、平面的法向量，然后按照公式计算进行判断即可. 【详解】如图 设， 设平面的一个法向量为 令，，则 平面的法向量的一个法向量为 设平面与底面所成的锐二面角为 所以 当时，有最大，则有最小，所以 故答案为： 83． 【难度】0.85 【知识点】线面角的向量求法 【分析】设直线与平面所成角为，由计算可得. 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则，又，所以. 故答案为： 84． 【难度】0.85 【知识点】求线面角、空间向量垂直的坐标表示 【分析】以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，由可得，从而可得，进而可求出的最大值 【详解】 以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，， ， ， ，的最大值为. 故答案为： 【点睛】此题考查线面角问题，考查空间向量的应用，属于基础题 85．. 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标表示 【分析】本道题关键抓住，代入向量的坐标，计算，即可． 【详解】，即可． 【点睛】本道题考查了向量的坐标运算，考查了向量的加减法，难度较容易． 86．2 【难度】0.85 【知识点】求平面的法向量 【分析】建立空间直角坐标系，设出，从而由结合得到答案. 【详解】以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由题意可知，，， 所以，，因为， 所以根据法向量的定义可得，，解得， 且，所以. 故答案为：. 87． 【难度】0.65 【知识点】求线面角 【分析】根据条件可得是与底面所成的角，然后根据直角三角形的边角关系求正切值即可． 【详解】解：底面， 是在底面上的射影， 是与底面所成的角． ，， ， ．即与底面所成角的正切值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直线和平面所成角的大小求法，利用线面角的定义确定线面角是解决本题的关键． 88． 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据题意可知，平面，直线，从而得出：当、最短时，点为的中心，为线段的中点，从而可得出，并可得出，代入进行数量积的运算即可求出答案． 【详解】解：由共面向量定理和共线向量定理可知，平面，直线， 当、最短时，平面，， 所以为的中心，为的中点， 此时， 平面，平面， ， ． 又， ． 故答案为：． 89． 【难度】0.65 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】建立平面直角坐标系，求得点的轨迹，结合圆的知识求得的最小值. 【详解】设，，，∴，求的最值，、、、在同一平面时，有最值， 如图建系，不妨设，，，中点， 可知，，， ，由可知， 消参可得，即点轨迹为， 点的轨迹是为圆心，半径为的圆. 所以，即． 故答案为： 90． 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】设，，，根据向量加减法运算法则将分别用表示，再根据空间向量的数量积运算和夹角公式计算可得结果. 【详解】设，，， 则， 则， ， 所以， ， 因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：． 91． 【难度】0.65 【知识点】求直线的方向向量、求平面的法向量、线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后，求出直线AE的方向向量=(0,1,1)和平面A1ED1的法向量，然后利用向量的共线可得直线AE与平面A1ED1垂直，于是得所求角为． 【详解】以D为原点,以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则A(1,0,0),E(1,1,1),A1(1,0,2),D1(0,0,2), 于是=(0,1,1),=(0,1,-1),=(-1,0,0)． 设平面A1ED1的法向量为， 则得 令，得． 所以∥, 故直线AE与平面A1ED1垂直,即所成角为90°. 故答案为90° 【点睛】本题考查空间位置关系的向量解法，将几何问题转化为数的运算的问题处理，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系、正确地求出直线的方向向量和平面的法向量，由于解题时需要进行数的运算，因此还要注意计算的准确性． 92．（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】求平面的法向量 【分析】以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法得出平面CDF的一个法向量. 【详解】解：以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz， 由题意得A（0，0，2），C（2，4，0），D（0，2，2），F（0，3，0）， ， 设平面CDF的一个法向量为， 则，取x=-1，得， 故答案为：（答案不唯一） 93． 【难度】0.65 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的加减法则得到，带入计算化简得到答案. 【详解】. 故答案为：. 94．/60o 【难度】0.65 【知识点】已知面面角求其他量 【分析】建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法求二面角的方法求解． 【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：    设，，则，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 又平面的一个法向量为， 所以，即， 当最小时，，， 所以，所以， 故答案为：． 95．①③④ 【难度】0.65 【知识点】立体几何中的轨迹问题、空间向量垂直的坐标表示、判断面面平行、判断正方体的截面形状 【分析】①利用面面平行的判定定理求解，②利用空间直角坐标系求解，③分析点P在上运动时的变化情况即可求解，④根据图中的几何关系作出平面截正方体截面即可求解. 【详解】对于①，当点和点重合时，平面平面， 连接交于点，连接交于点，连接,,,, ∵∥,且∥,∴四边形平行四边形，∴∥, ∵平面，平面，∴∥， ∵∥, 平面，平面，∴∥, 又∵,,平面，∴平面； 故①正确；    对于②，分别以所在的直线为轴，轴，轴， 由几何关系可知，要使是等腰直角三角形，则, 由已知得,,设点， 则，， ∵，∴，此方程无解，则不存在点P，使得是等腰直角三角形，故②不正确；    对于③，因为，则,,, 即,则P轨迹是在上的线段，不包括端点、，如下图所示， 由已知得△为等腰三角形，则△底边上的高，随着P向点运动，逐渐减小， 故在线段上存在一点P使得， 同理可知靠近点处也存在一点P使得， 设线段，由勾股定理可知,所以点P轨迹的长度为，故③正确；    对于④，连接,过点作的平行线交于点,连接, 则为平面截正方体所得的截面图形， 由已知得,由△∽△可知， 又因为,且∥,所以四边形为等腰梯形， 其中梯形的高，所以截面面积为，故④正确；      故答案为：①③④ 96．①②④ 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、异面直线夹角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】对于①，易知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在底面内的四分之一圆，即可知①正确；对于②，的面积为定值，建立空间直角坐标系求得到平面的距离最大值为，可得②正确；对于③，若，由空间向量可得二面角的余弦值的最大值为，即③错误；异面直线与所成角的余弦值的最大值为，即④正确. 【详解】对于①，根据题意可知平面，所以为直角三角形，即，且 若保持，可知， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在底面内的部分，即为四分之一圆， 因此点在底面内的运动路径长度为，即①正确； 对于②，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：易知，则， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即； 可设，则， 所以到平面的距离为，易知当时，距离最大值为； 又在中，易知，所以边上的高为； 其面积为定值，即； 所以到平面的距离最大时，三棱锥体积的最大为，即②正确； 对于③，根据正方体性质可知平面，又是棱的中点，， 所以可得点在平面，又点在底面内，平面平面，所以； 根据B中的坐标系可知，所以可得，； 则， 设平面的一个法向量为，可得， 令，则，即； 易知平面的一个法向量为， 所以， 易知当时，， 当时，， 令， 可得在上恒成立，即在上单调递增； 此时时，最大， 当，，易知在上单调递减， 所以时，， 又由图可知，当时，点与重合， 综上二面角的余弦值的取值范围为，故③错误； 对于④，根据选项C易知， 可得， 当时，， 当时，，易知当时，取到最大值为， 综上可知，与所成角的余弦值的最大值为，即④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：在求解二面角以及线面角最值问题时，一般需要借助空间向量得出空间角余弦值的表达式，再利用基本不等式或函数单调性求出最值即可. 97．(1)证明见解析； (2)； (3)存在，与重合时. 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证. （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解. （3）设出点的坐标，利用空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【详解】（1）四棱柱中，取中点，连接，， 由是的中点，得，且， 由是的中点，得，且， 则、，于是四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. （2）四棱柱中，平面，，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 取，得、， 则， 所以平面与平面的夹角余弦值为. （3）假定在棱上存在点，使其到平面的距离为，设， 则，由（2）知，平面的法向量为， 则，解得，即点与点重合， 所以在棱上存在点与点重合，，使其到平面的距离为. 98．(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）结合题目条件，借助线面垂直的判定定理可得平面，即可得，再利用线面垂直的判定定理可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，可计算出直线的方向向量与平面的法向量，借助向量夹角公式即可得两向量夹角余弦值，即可得直线与平面所成的角的正弦值. 【详解】（1）侧面为正方形，， 直三棱柱， 平面， 平面， 平面， 平面 平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 又由， 设平面的一个法向量为， 则有， 令，则，于是， 又由， 设直线与平面所成的角为， 所以， 故直线与平面所成的角的正弦值为. 【点睛】 99．(1)证明见解析 (2)直线在平面内，理由见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、空间向量共面求参数、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【分析】（1）由⊥平面可得，结合利用线面垂直判定定理可证； （2）由代入坐标建立方程组，由方程组有解可得直线在平面内； （3）由点G是线段PB上的一点．设，进而得坐标，求平面的一个法向量，由向量方法表示出，再利用换元法求函数值域可得. 【详解】（1）因为⊥平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面. （2）在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系. 则，，，， 、、、. ，，， 若平面，则且，使得， 则有，解得，故. 所以直线平面. （3）由（2）可知，. 设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而，， 故. 100．(1)证明见解析； (2). 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、求线面角、线面角的向量求法 【分析】（1）利用线线平行证明线面平行； （2）建立直角坐标系，利用向量法，即可求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：连接交于，连接， ∵底面为菱形，∴是中点，又∵E为棱中点，故， 又∵平面，平面；∴平面. （2）取的中点O，连接∵为等边三角形，∴ ∵平面平面，平面平面，平面 ∴平面， 又∵底面为菱形，，∴， 故以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则 则设平面的一个法向量为 则，令则， ∴平面的一个法向量为 又∵， 设直线与平面所成角为， ∴ 故直线与平面所成角的正弦值为．    答案第8页，共88页 答案第80页，共88页 学科网（北京）股份有限公司 $$