专题09 竖直面内的圆周运动模型-【模型与方法】2025届高考物理热点模型与方法归纳

专题09 竖直面内的圆周运动模型 目录 一．一般圆周运动的动力学分析 1 二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析 1 三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论 2 三.过拱凹形桥模型 35 一．一般圆周运动的动力学分析 如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则由牛顿第二定律，有： v F Fτ Fn ，aτ改变速度v的大小 ，an改变速度v的方向， 作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。 v F Fτ Fn ，aτ改变速度v的大小 ，an改变速度v的方向，，ρ为曲率圆半径。 二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析 轻绳模型（没有支撑） 轻杆模型（有支撑） 常见 类型 过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球能运动即可得v临＝0 对应最低点速度v低≥ 对应最低点速度v低≥ 绳不松不脱轨条件 v低≥或v低≤ 不脱轨 最低点弹力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 最高点弹力 过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN＝m-mg 向下压力 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为向上支持力 (2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN向上支持力，随v的增大而减小 (3)当v＝时，FN＝0 (4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力并随v的增大而增大 在最高 点的FN 图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向 三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论 【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为 要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由可得① 对应C点的速度有机械能守恒 得② 当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O点等高的D位置则由机械能守恒 得③ 小结：(1).当时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力 由牛顿第二定律④ (2).当时小球恰能通过最高点A小球在A点受轨道的支持力为0 由牛顿第二定律。⑤ (3).当时小球不能通过最高点A小球在A点，上升至DA圆弧间的某一位向右做斜抛运动离开圆周，且v越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0 在DA段射重力与半径方向的夹角为则、 (4).当时小球不能通过最高点A上升至CD圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返回。上升的最高点为C永不脱离轨道 【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力 (1)从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒 在C点由牛顿运动定律： 得⑥ (2)从与O等高的D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒 在C点由牛顿运动定律： 得⑦ (3)从A点以初速度释放小球到达最低点 由机械能守恒 在C点由牛顿运动定律： 得⑧ 1．（2025·广西柳州·模拟预测）如图为一小朋友在一个空心水泥管里玩“踢球”游戏，将该过程简化为竖直面内半径为r的固定圆环，在圆环的最低点有一质量为m的小球，现给小球一水平向右的瞬时速度v．小球沿圆环内侧运动，重力加速度为g，不计小球与圆环间的摩擦。下列说法正确的是（    ） A．若，小球可以通过圆环最高点 B．若，小球在最低点对圆环压力大小为4mg C．若，小球脱离圆环的位置与圆心的连线与水平方向夹角的正弦值为 D．若，小球脱离圆环的位置与圆心的连线与水平方向夹角的正弦值为 2．（2024·山东泰安·模拟预测）如图所示，光滑圆环轨道竖直固定放置，轨道半径为R。一小球从最低点以水平速度v0沿轨道运动，在某位置脱离轨道后，恰好经过圆环轨道的圆心。已知重力加速度为g ，不计空气阻力，则v0的大小为 （　　） A． B． C． D． 3．（2024·贵州·三模）某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为1kg的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动，其简化示意图如下。握绳的手离地面高度为1.0m且保持不变，现不断改变绳长使球重复上述运动，每次绳在球运动到最低点时都恰好达到最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离x后落地。已知绳能承受的最大拉力为15N，重力加速度大小取，忽略手的运动半径和空气阻力，则x的最大值为（  ） A．0.4m B．0.5m C．1.0m D．1.2m 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）荡秋千是一项古老的休闲体育运动。如图所示，李明同学某次荡秋千时，O、A两点分别为其运动过程中的最低点和最高点，A到O的过程中，李明的身体姿势保持不变。已知李明和座椅的总质量为m，两根平行的秋千绳长均为L，A点时绳子与竖直方向的夹角为θ，重力加速度大小为g，空气阻力和绳的质量忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．在A位置时，该同学速度为0，处于平衡状态 B．在O位置时，该同学处于失重状态 C．在A位置时，每根秋千绳的拉力大小为 D．在O位置时，每根秋千绳的拉力大小约为 5．如图所示，不可伸长的轻质细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球（视为质点）。在O点正下方一半绳长的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子A。把小球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放小球，当细绳碰到钉子后的瞬间（细绳未断）（　　） A．小球的角速度增大到碰钉子前瞬间角速度的2倍 B．细绳对小球的拉力突然减小 C．小球的线速度突然增大到碰钉子前瞬间线速度的2倍 D．细绳对小球的拉力增大到碰钉子前瞬间拉力的2倍 6．如图所示，用一根轻绳系着一个可视为质点的小球，轻绳的长度为L。最初小球静止在圆轨迹的最低点A点，现在A点给小球一个初速度v0，使其在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，已知B点与圆心O等高，C点是圆轨迹的最高点，重力加速度为g。不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球做的是匀变速曲线运动 B．若要使得小球做完整的圆周运动，小球运动到C点的速度至少是 C．若小球无法做完整的圆周运动，则小球可能在C点脱离圆轨迹 D．若小球无法做完整的圆周运动，则小球可能在B点和C点之间的某一点脱离圆轨迹 7．如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法，被称为“魔力陀螺”，它可等效为图乙所示的模型，竖直固定的磁性圆轨道半径为R，质量为m的质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，A、C两点分别为轨道的最高点与最低点，B、D两点与轨道圆心等高，质点受到始终指向圆心、大小恒为2mg的磁性引力作用，不计摩擦和空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．若质点经过A点时的速度大小为，则此时质点受到轨道的弹力大小为mg B．若质点经过B点时的速度大小为，则此时质点受到轨道的弹力大小为mg C．若质点经过C点时的速度大小为，则此时质点受到轨道的弹力大小为2mg D．若质点经过D点时的速度大小为，则此时质点受到轨道的弹力大小为2mg 8．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为，小球在最高点时的速度大小为，其图像如图乙所示，重力加速度g取，小球可视为质点，不计一切阻力。则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为2kg B．小球做圆周运动的半径为2.5m C．时，在最高点杆对小球的弹力大小为40N D．时，小球的向心加速度大小为 9.（多选）（2024·河北·三模）如图所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长度为R的水平轨道，BCDE是圆心为O、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点。一可视为质点的小球从A点以某速度（大小未知）水平向左运动，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．当时，小球刚好过最高点D点 B．当时，小球不会脱离圆弧轨道 C．若小球能通过E点，则越大，小球在B点与E点所受的弹力之差越大 D．小球从E点运动到A点的最长时间为 10．（多选）（2024·山东·模拟预测）如图所示，一轻绳系一质量为m小球，竖直悬挂在O点，现将小球沿圆弧拉至与O等高的A点，由静止自由释放。小球运动过程中经过C点时，绳与竖直方向的夹角为，以下判断正确的是（　　） A．小球下摆到最低点的过程中，重力平均功率为0，细绳拉力一直增大 B．小球运动至C点时，其加速度大小为 C．小球运动至C点时，轻绳对小球的拉力大小为 D．若小球经过C点时重力功率最大，则 11．（多选）如图甲所示，长为L轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球。在小球静止时给小球一个瞬时速度v，此时轻绳拉力为，图像如图乙所示。已知重力加速度g取，小球可视为质点，不计一切阻力。下列说法正确的是（    ） A．小球的质量为1kg B．小球做圆周运动的半径为1.0m C．当时，小球能做完整的圆周运动 D．当时，小球通过最高点时受到轻绳拉力的大小为10N 12．（多选）如图，光滑管形固定圆轨道半径为R（管径远小于R），小球a、b大小相同，质量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动。两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（　　） A．速度v应满足，才能使两球在管内做圆周运动 B．当时，小球b在轨道最高点对轨道无压力 C．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg D．只要，小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg 13．（多选）如图所示，有一竖直放置、内壁光滑的圆环，可视为质点的小球在竖直平面内做圆周运动，已知圆环的半径为R，重力加速度为g，小球在最低点Q的速度为v0，不计空气阻力，则（   ） A．小球运动到最低点Q时，处于超重状态 B．小球的速度越大，则在P、Q两点小球对圆环内壁的压力差越大 C．当时，小球在P点受内壁压力为 D．当时，小球一定能通过最高点P 14．（多选）如图所示，倾角45°的光滑轨道AB和水平轨道BC平滑相连，右侧是光滑的半圆轨道CDE，半径R=0.4m。一可视为质点的质量为m=0.2kg的滑块从轨道AB上高度处由静止释放。滑块与BC间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g取10m/s2，滑块恰好能通过最高点E之后，恰好落到B点。下列选项中正确的是（　　） A．水平轨道BC的长度为0.8m B．滑块释放点的高度为h0=1.0m C．如果增加释放点的高度h0，滑块有可能垂直打到斜面上 D．如果将释放点的高度调整为，滑块在半圆轨道CDE上运动过程中有可能脱离轨道 15．（多选）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，管道半径为R，小球半径为r，R远大于r，且r略小于管道内径，重力加速度为g，则下列说法正确的是（    ） A．小球通过最高点时的最小速度 B．小球通过最高点时的最小速度 C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力 16．（2024·北京海淀·二模）如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在距离水平地面高为h的O点，另一端系有质量为m，可视为质点的小球，将小球拉至O点正上方的A点，给其一水平方向的初速度，使其恰好通过A点后，在竖直平面内以O点为圆心做半径为r的圆周运动。当小球运动到最低点B时，绳恰好被拉断，小球水平飞出。不计空气阻力及绳断时的能量损失，重力加速度为g。求： （1）小球初速度的大小。 （2）绳能承受拉力的最大值。 （3）小球落地时的速度大小v。 17．（2024·湖南·模拟预测）如图所示，竖直平面内的光滑轨道由两部分拼接而成，其中MNP为半径半圆弧轨道，PQ为半径的圆轨道，将质量的小球A从M点正上方的某点由静止释放，小球无碰撞地从M点进入轨道后，与静止在轨道最低点N处的小球B发生弹性正碰，小球A反弹后恰好能回到M点，小球B沿轨道运动到Q点水平飞出后又恰好经过M点。两小球均可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度大小，求： （1）两小球碰撞后小球B的速度大小 （2）小球B经过Q点时对轨道的压力大小。 18．（2024·辽宁大连·二模）如图所示，竖直平面内的轨道由直轨道AB和半圆弧轨道BC平滑连接组成，C点为半圆弧轨道最高点。小球从直轨道上的A点由静止开始滑下，A点距轨道最低点的竖直高度为，滑到轨道底端后又滑上半径为的半圆弧轨道（不考虑经过连接处的速率变化），小球质量为。（） （1）若接触面均光滑，求小球滑到C点时速度和对轨道的压力。 （2）若接触面不光滑，小球运动到C点时对轨道的压力为1N，求全过程中克服摩擦力做的功。 19．如图所示，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直平面内，O为圆心、a、b、c、d为圆形轨道上的点，其中ac为竖直直径，b与圆心等高，d和圆心的连线与水平方向的夹角为。一小球静止在圆形轨道底端a点，某时刻小球获得一个水平向右的瞬时初速度（未知），已知重力加速度为g，回答下列问题： (1)若使小球运动过程中不脱离轨道，求小球的初速度的范围； (2)若小球在d点脱轨，求小球的初速度； (3)以d点为坐标原点，水平方向为x轴（向右为正），竖直方向为y轴（向上为正）建立平面直角坐标系。若小球仍在d点脱轨，求小球脱离轨道后的运动轨迹方程。 20．如图所示，光滑竖直圆轨道ABCD与光滑的水平轨道平滑连接，圆弧轨道A、D为最低点，位置稍错开。轻质弹簧左侧与墙面拴接，右侧与物块不拴接。已知物块的质量为，物块将弹簧压缩后，使弹簧储存的弹性势能。解除弹簧锁定，物块被弹出后进入圆轨道。已知物块可以看做质点，不计空气阻力，g取。求： (1)物块离开弹簧时的速度大小； (2)为保证物块在运动中不脱离轨道，求圆轨道半径R的取值范围。 21．某校科技小组参加了如图所示的轨道游戏项目，图中P为弹性发射装置，AB为倾角为的倾斜轨道，BC为水平轨道，为竖直圆轨道，为足够长的倾斜曲线轨道，各段轨道均平滑连接，AB、BC段动摩擦因数为，其余各段轨道均光滑。已知滑块质量为，圆轨道半径R大小可以调整，轨道AB长为1m，BC长为1.2m，弹射装置P把滑块以为速度水平弹出，恰好从A点沿斜面方向无碰撞进入斜面，滑块可视为质点。g取） (1)弹射装置P离A点的竖直高度； (2)若滑块从A点进入轨道后运动不脱离轨道，圆轨道半径R应满足的条件。 22．如图所示，长为不可伸长的轻绳一端固定于点，另一端系有质量为的小球（可视为质点），使小球在竖直平面内以点为圆心做圆周运动。已知重力加速度为，忽略空气阻力的影响。 (1)若小球经过圆周最高点A点时绳对小球的拉力大小，求：小球经过圆周最高点A点时速度大小； (2)加大小球的速度后，在最低点轻绳恰好被小球拉断，小球立即做平抛运动，落地点与点之间的水平距离，B点距水平地面的高度为（图中未画出），求： a.小球经过圆周最低点点时速度大小； b.轻绳能承受的最大拉力为。 23．如图所示，质量的小物块静置在粗糙的水平平台的A点，在大小为3N的恒力作用下，从平台的B点以3m/s的速度水平飞出，恰好从C点无碰撞的进入半径为R的光滑圆形轨道。已知CF是圆形轨道的一条直径，从F点到轨道的最高点是一个光滑圆管，，小物块与平台的动摩擦因数，取重力加速度。 (1)若平台AB的长度，求恒力作用的时间； (2)求BC两点间的高度差； (3)若小物块能够进入圆管，试分析轨道半径R的取值范围。 24．如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R，A端与圆心O等高，AD 为水平面，B端在O 的正下方，小球自 A 点正上方由静止释放，自由下落至 A 点时进入管道 (1)如果管道与小球接触的内侧壁（图中较小的圆周）始终对小球没有弹力，小球释放点距离A点的最小高度为多大? (2)如果小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍。求： a. 小球运动到管道最高点E时对管道的弹力； b. 落点C与A的水平距离。 三.过拱凹形桥模型 拱形桥 圆轨外侧 凹形桥 示意图 v 作用力 最高点(失重)：FN＝G－mv2/R，可知： （1）当v=0时，即汽车静止在最高点，FN=G； （2）当汽车的速度增大到mv2/R=mg 即v= 时，FN=0，汽车在桥顶只受重力G，又具水平速度v，因此开始做平抛运动； （3）当0≤v≤时，0≤FN≤mg，且速度v越大，FN越小； （4）当v>时，汽车将脱离桥面，将在最高点做平抛运动，即所谓的“飞车”。 最高点(超重)：FN＝G+mv2/R可知： （1）当v=0时，即汽车静止在最高点，FN=G； （2）当汽车的速度v≠0时，FN>mg，且速度v越大，FN越大。 1．（多选）资料显示，质量为的某型号小汽车，其轮胎的最大承重为，超过该值将会爆胎。某次汽车以的速度匀速通过一段凸凹不平的路面时，将这段路面简化为弧形，其最高点和最低点分别为A、B，对应圆弧的半径均为，两圆弧的圆心连线与竖直方向间的夹角为，取，则汽车（　　） A．从点到点的过程中重力做功约为 B．通过最高点时对路面的压力为 C．通过最低点时不会爆胎 D．若以的速度匀速通过该路段时，不会脱离路面 2．如图所示，一光滑绝缘的半圆柱体固定在水平地面上，其横截面是半径为R的半圆。现让质量为m、带电量为的小球从半圆柱体顶端Q由静止沿圆柱体表面滑下，当滑至与竖直方向的夹角为的位置P时，恰好离开半圆柱体。若在空间加上方向竖直向下的匀强电场（图中未画出），电场强度大小，重力加速度为g，其他条件不变，则下列说法正确的是（    ） A．未加电场时，角的余弦值为 B．未加电场时，小球在P点恰好离开圆柱体时的速度大小为 C．加上电场时，小球将在QP之间某位置离开圆柱体 D．加上电场时，小球恰好离开圆柱体时的速度大小为 3．如图所示是游乐场里的过山车，过山车运动过程中经过A、B两点（　　） A. 在A点时对轨道压力较小 B. 在A点时所受摩擦力较大 C. 在B点时所受向心力较大 D. B点时合外力方向竖直向下 4.一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为(　　) A．3∶1　　　　　　　 B．3∶2 C．1∶3 D．1∶2 5.如图，在一固定在水平地面上A点的半径为R的球体顶端放一质量为m的物块，现给物块一水平初速度v0，则(　　) A．若v0＝，则物块落地点距离A点为 R B．若球面是粗糙的，当v0<时，物块一定会沿球面下滑一段，再斜抛离开球面 C．若v0<，则物块落地点离A点为R D．若v0≥，则物块落地点离A点至少为2R 6.一段倾斜角的斜面AB与光滑弧面BC相切于B点。质量为的汽车从斜面底部A点由静止开始沿着斜面AB起动，如图甲所示。已知汽车受到斜面的阻力与车对斜面的压力的比值为。汽车在斜面AB上运动的加速度随时间变化如图乙所示。12.0s时汽车达到额定功率，随后汽车保持额定功率继续运动，汽车到达B点前已经达到最大速度。此后关闭发动机，汽车继续沿着圆弧向上滑行。不计空气阻力，已知g取，，汽车可视作质点。求： （1）汽车匀加速直线运动过程中的最大速度及牵引力F； （2）汽车在斜面AB上能到达的最大速度； （3）若汽车能够沿弧面BC通过最高点C，圆弧半径R的取值范围是多少。 2 / 17 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 竖直面内的圆周运动模型 目录 一．一般圆周运动的动力学分析 1 二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析 1 三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论 2 三.过拱凹形桥模型 35 一．一般圆周运动的动力学分析 如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则由牛顿第二定律，有： v F Fτ Fn ，aτ改变速度v的大小 ，an改变速度v的方向， 作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。 v F Fτ Fn ，aτ改变速度v的大小 ，an改变速度v的方向，，ρ为曲率圆半径。 二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析 轻绳模型（没有支撑） 轻杆模型（有支撑） 常见 类型 过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球能运动即可得v临＝0 对应最低点速度v低≥ 对应最低点速度v低≥ 绳不松不脱轨条件 v低≥或v低≤ 不脱轨 最低点弹力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 最高点弹力 过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN＝m-mg 向下压力 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为向上支持力 (2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN向上支持力，随v的增大而减小 (3)当v＝时，FN＝0 (4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力并随v的增大而增大 在最高 点的FN 图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向 三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论 【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为 要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由可得① 对应C点的速度有机械能守恒 得② 当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O点等高的D位置则由机械能守恒 得③ 小结：(1).当时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力 由牛顿第二定律④ (2).当时小球恰能通过最高点A小球在A点受轨道的支持力为0 由牛顿第二定律。⑤ (3).当时小球不能通过最高点A小球在A点，上升至DA圆弧间的某一位向右做斜抛运动离开圆周，且v越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0 在DA段射重力与半径方向的夹角为则、 (4).当时小球不能通过最高点A上升至CD圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返回。上升的最高点为C永不脱离轨道 【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力 (1)从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒 在C点由牛顿运动定律： 得⑥ (2)从与O等高的D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒 在C点由牛顿运动定律： 得⑦ (3)从A点以初速度释放小球到达最低点 由机械能守恒 在C点由牛顿运动定律： 得⑧ 1．（2025·广西柳州·模拟预测）如图为一小朋友在一个空心水泥管里玩“踢球”游戏，将该过程简化为竖直面内半径为r的固定圆环，在圆环的最低点有一质量为m的小球，现给小球一水平向右的瞬时速度v．小球沿圆环内侧运动，重力加速度为g，不计小球与圆环间的摩擦。下列说法正确的是（    ） A．若，小球可以通过圆环最高点 B．若，小球在最低点对圆环压力大小为4mg C．若，小球脱离圆环的位置与圆心的连线与水平方向夹角的正弦值为 D．若，小球脱离圆环的位置与圆心的连线与水平方向夹角的正弦值为 【答案】D 【详解】A．小球恰好通过最高点时满足 根据动能定理有 解得 若，小球不能通过圆环最高点，故A错误； B．根据牛顿第二定律有 解得 故B错误； CD．若，设小球脱离圆环的位置与圆心的连线与水平方向夹角的正弦值为，则有 根据动能定理有 解得 故C错误，D正确； 故选D。 2．（2024·山东泰安·模拟预测）如图所示，光滑圆环轨道竖直固定放置，轨道半径为R。一小球从最低点以水平速度v0沿轨道运动，在某位置脱离轨道后，恰好经过圆环轨道的圆心。已知重力加速度为g ，不计空气阻力，则v0的大小为 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图 小球刚好脱离轨道时，此时轨道的压力为零，重力沿圆心的分力提供向心力，则 由动能定理得 解得 ， 小球脱离轨道后做斜抛运动，小球到达圆心，则水平方向 竖直方向 解得 则 故选B。 3．（2024·贵州·三模）某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为1kg的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动，其简化示意图如下。握绳的手离地面高度为1.0m且保持不变，现不断改变绳长使球重复上述运动，每次绳在球运动到最低点时都恰好达到最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离x后落地。已知绳能承受的最大拉力为15N，重力加速度大小取，忽略手的运动半径和空气阻力，则x的最大值为（  ） A．0.4m B．0.5m C．1.0m D．1.2m 【答案】B 【详解】设小球圆周运动半径r 绳断后小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动有 联立得 可知，当时 故选B。 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）荡秋千是一项古老的休闲体育运动。如图所示，李明同学某次荡秋千时，O、A两点分别为其运动过程中的最低点和最高点，A到O的过程中，李明的身体姿势保持不变。已知李明和座椅的总质量为m，两根平行的秋千绳长均为L，A点时绳子与竖直方向的夹角为θ，重力加速度大小为g，空气阻力和绳的质量忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．在A位置时，该同学速度为0，处于平衡状态 B．在O位置时，该同学处于失重状态 C．在A位置时，每根秋千绳的拉力大小为 D．在O位置时，每根秋千绳的拉力大小约为 【答案】D 【详解】A．在A位置时，该人受到重力和秋千绳的拉力，合力不为零，不是平衡状态，故A错误； B．在O位置时，重力和秋千绳拉力的合力产生向上的向心加速度，该人处于超重状态，故B错误； C．在A位置时，已知绳子与竖直方向成θ，有 解得 故C错误； D．在O位置时，由牛顿第二定律可得 从A到O，由动能定理 可知每根秋千绳的拉力大小为 故D正确。 故选D。 5．如图所示，不可伸长的轻质细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球（视为质点）。在O点正下方一半绳长的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子A。把小球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放小球，当细绳碰到钉子后的瞬间（细绳未断）（　　） A．小球的角速度增大到碰钉子前瞬间角速度的2倍 B．细绳对小球的拉力突然减小 C．小球的线速度突然增大到碰钉子前瞬间线速度的2倍 D．细绳对小球的拉力增大到碰钉子前瞬间拉力的2倍 【答案】A 【详解】AC．细绳碰到钉子后的瞬间，小球的线速度不变，小球做圆周运动的半径减小一半，由 可知角速度增大为碰钉子前瞬间的2倍，故A正确，C错误； BD．由 可知增大到碰钉子前瞬间的2倍，又 则细绳对小球的拉力增大，但小于碰钉子前瞬间的2倍，故BD错误。 故选A。 6．如图所示，用一根轻绳系着一个可视为质点的小球，轻绳的长度为L。最初小球静止在圆轨迹的最低点A点，现在A点给小球一个初速度v0，使其在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，已知B点与圆心O等高，C点是圆轨迹的最高点，重力加速度为g。不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球做的是匀变速曲线运动 B．若要使得小球做完整的圆周运动，小球运动到C点的速度至少是 C．若小球无法做完整的圆周运动，则小球可能在C点脱离圆轨迹 D．若小球无法做完整的圆周运动，则小球可能在B点和C点之间的某一点脱离圆轨迹 【答案】D 【详解】A．小球做圆周运动时，加速度方向时刻变化，比如小球在A点时加速度竖直向上，小球在C点时加速度竖直向下，所以小球不是做的是匀变速曲线运动，故A错误； B．若要使得小球做完整的圆周运动，设小球运动到C点的速度至少为vC，此时只由重力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得 故B错误； CD．若小球无法做完整的圆周运动，则小球可能在B点和C点之间某一点时重力沿半径方向的分力大于小球做圆周运动所需要的向心力，此时小球将脱离轨道，所以小球可能在B点和C点之间的某一点脱离圆轨迹，故C错误，D正确。 故选D。 7．如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法，被称为“魔力陀螺”，它可等效为图乙所示的模型，竖直固定的磁性圆轨道半径为R，质量为m的质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，A、C两点分别为轨道的最高点与最低点，B、D两点与轨道圆心等高，质点受到始终指向圆心、大小恒为2mg的磁性引力作用，不计摩擦和空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．若质点经过A点时的速度大小为，则此时质点受到轨道的弹力大小为mg B．若质点经过B点时的速度大小为，则此时质点受到轨道的弹力大小为mg C．若质点经过C点时的速度大小为，则此时质点受到轨道的弹力大小为2mg D．若质点经过D点时的速度大小为，则此时质点受到轨道的弹力大小为2mg 【答案】B 【详解】A．若质点经过A点时的速度大小为，根据牛顿第二定律有 解得 故A错误； B．若质点经过B点时的速度大小为，根据牛顿第二定律有 解得 故B正确； C．若质点经过C点时的速度大小为，根据牛顿第二定律有 解得 故C错误； D．若质点经过D点时的速度大小为，根据牛顿第二定律有 解得 故D错误。 故选B。 8．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为，小球在最高点时的速度大小为，其图像如图乙所示，重力加速度g取，小球可视为质点，不计一切阻力。则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为2kg B．小球做圆周运动的半径为2.5m C．时，在最高点杆对小球的弹力大小为40N D．时，小球的向心加速度大小为 【答案】B 【详解】A．由图乙知，当时，对小球有 解得小球的质量为 故A错误； B．当，，根据牛顿第二定律有 求得小球做圆周运动的半径为 故B正确； C．由图乙，可知当时，，根据牛顿第二定律有 求得 当时，根据牛顿第二定律有 求得此时杆对小球的弹力大小为 故C错误； D．当时，小球的向心加速度大小为 故D错误。 故选B。 9.（多选）（2024·河北·三模）如图所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长度为R的水平轨道，BCDE是圆心为O、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点。一可视为质点的小球从A点以某速度（大小未知）水平向左运动，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．当时，小球刚好过最高点D点 B．当时，小球不会脱离圆弧轨道 C．若小球能通过E点，则越大，小球在B点与E点所受的弹力之差越大 D．小球从E点运动到A点的最长时间为 【答案】AD 【详解】A．由题知，小球刚好过最高点D点，则由圆周运动知 在A到D过程中，由动能定理可知 联立解得 A正确； B．当时，设上升高度为，假设小球不会脱离圆弧轨道，则必须满足，由动能定理知 代入得 假设不成立，故当时，小球会脱离圆弧轨道，B错误； C．B到E运动过程中，由动能定理知 在B点时，小球所受弹力为 在E点时，小球所受弹力为 则小球在B点与E点所受的弹力之差为 故小球在B点与E点所受的弹力之差不变，C错误； D．在D到E过程中，由动能定理知 代入得 从E到A运动过程中，小球做竖直下抛运动，则 代入得 D正确； 故选AD。 10．（多选）（2024·山东·模拟预测）如图所示，一轻绳系一质量为m小球，竖直悬挂在O点，现将小球沿圆弧拉至与O等高的A点，由静止自由释放。小球运动过程中经过C点时，绳与竖直方向的夹角为，以下判断正确的是（　　） A．小球下摆到最低点的过程中，重力平均功率为0，细绳拉力一直增大 B．小球运动至C点时，其加速度大小为 C．小球运动至C点时，轻绳对小球的拉力大小为 D．若小球经过C点时重力功率最大，则 【答案】CD 【详解】AC．小球下摆到最低点的过程中，重力平均功率为 小球下降高度不为0，可知，重力平均功率不为0。令轻绳长为L，根据动能定理有 对小球进行分析，小球做圆周运动，则有 解得 小球向下运动过程中，减小，则细绳拉力一直增大，故A错误，C正确； B．结合上述可知，小球沿半径方向的加速度为 解得 小球沿圆周切线方向有 小球的加速度 解得 故B错误； D．小球重力的瞬时功率 结合上述解得 若有 对函数求导有 当导数值为0时，重力的瞬时功率达到最大，解得 故D正确。 故选CD。 11．（多选）如图甲所示，长为L轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球。在小球静止时给小球一个瞬时速度v，此时轻绳拉力为，图像如图乙所示。已知重力加速度g取，小球可视为质点，不计一切阻力。下列说法正确的是（    ） A．小球的质量为1kg B．小球做圆周运动的半径为1.0m C．当时，小球能做完整的圆周运动 D．当时，小球通过最高点时受到轻绳拉力的大小为10N 【答案】ACD 【详解】A．由乙图可知，当时，小球处于静止状态，可得 解得 故A正确； B．由乙图可知，当时，根据牛顿第二定律，可得 解得 故B错误； C．小球做完整的圆周运动时，在最高点的临界速度满足 解得 小球从最低点运动至最高点过程，由机械能守恒可知 解得 故C正确； D．当时，根据机械能守恒 又 联立，解得 即小球通过最高点时受到轻绳拉力的大小为10N。故D正确。 故选ACD。 12．（多选）如图，光滑管形固定圆轨道半径为R（管径远小于R），小球a、b大小相同，质量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动。两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（　　） A．速度v应满足，才能使两球在管内做圆周运动 B．当时，小球b在轨道最高点对轨道无压力 C．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg D．只要，小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg 【答案】ABD 【详解】A．当小球经过最高点的速度为0时，根据动能定理可得 解得小球在最低点的速度为 则速度v应满足，才能使两球在管内做圆周运动，故A正确； B．当时，从最低点到最高点过程，根据动能定理可得 解得小球b在轨道最高点的速度大小为 此时重力刚好提供向心力 可知小球b在轨道最高点对轨道无压力，故B正确； C．当小球b在最高点对轨道无压力时，此时小球b在最高点的速度为，小球a在最低点的速度为，则有 故C错误； D．只要，可知两球在管内可以做完整的圆周运动，设小球a在轨道最低点的速度为，根据牛顿第二定律可得 小球b在轨道最高点的速度为，根据牛顿第二定律可得 根据动能定理可得 联立可得 可知小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg，故D正确。 故选ABD。 13．（多选）如图所示，有一竖直放置、内壁光滑的圆环，可视为质点的小球在竖直平面内做圆周运动，已知圆环的半径为R，重力加速度为g，小球在最低点Q的速度为v0，不计空气阻力，则（   ） A．小球运动到最低点Q时，处于超重状态 B．小球的速度越大，则在P、Q两点小球对圆环内壁的压力差越大 C．当时，小球在P点受内壁压力为 D．当时，小球一定能通过最高点P 【答案】AD 【详解】A．小球运动到最低点Q时，加速度向上，处于超重状态，故A正确； B．经过最高点P时满足 经过最低点Q时满足 从最低点到最高点过程，据动能定理可得 联立解得 故在、两点小球对圆环内壁的压力差与无关，故B错误； D．小球恰好过最高点时满足 解得在最高点的速度为 当时，代入B解析中的动能定理，可得小球经过最高点的速度为 故小球一定能通过最高点，故D正确； C．当时，代入B解析中的动能定理，可得小球经过最高点的速度为 小球在P点受内壁压力为零，选项C错误。 故选AD。 14．（多选）如图所示，倾角45°的光滑轨道AB和水平轨道BC平滑相连，右侧是光滑的半圆轨道CDE，半径R=0.4m。一可视为质点的质量为m=0.2kg的滑块从轨道AB上高度处由静止释放。滑块与BC间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g取10m/s2，滑块恰好能通过最高点E之后，恰好落到B点。下列选项中正确的是（　　） A．水平轨道BC的长度为0.8m B．滑块释放点的高度为h0=1.0m C．如果增加释放点的高度h0，滑块有可能垂直打到斜面上 D．如果将释放点的高度调整为，滑块在半圆轨道CDE上运动过程中有可能脱离轨道 【答案】AC 【详解】A．滑块恰好能通过最高点E时，由牛顿第二定律可得 解得 滑块离开E点后做平抛运动，则有 解得 选项A正确； B．从滑块释放点到半圆轨道最高点E过程中，由动能定理可得 解得 选项B错误； C．如果增加释放点的高度h0，则滑块过轨道最高点E点时的速度增大，有可能垂直打到斜面上，选项C正确； D．如果释放点的高度为，则滑块运动到D点时，由动能定理可得 解得 可知滑块恰好能滑到D点，然后返回，不会离开轨道，D错误。 故选AC。 15．（多选）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，管道半径为R，小球半径为r，R远大于r，且r略小于管道内径，重力加速度为g，则下列说法正确的是（    ） A．小球通过最高点时的最小速度 B．小球通过最高点时的最小速度 C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力 【答案】AC 【详解】AB．小球在最高点时，由于管道内侧能提供支持力，其通过的速度可以为零，故A正确，B错误； C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力与小球的重力在背离圆心方向的分力的合力提供向心力，即 因此，外侧管壁对球一定有作用力，此时内侧管壁对球一定无作用力，故C正确； D．小球在水平线ab以上管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，当速度非常大时，内侧管壁没有作用力，此时外侧管壁有作用力，当速度比较小时，内侧管壁有作用力，故D错误。 故选AC。 16．（2024·北京海淀·二模）如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在距离水平地面高为h的O点，另一端系有质量为m，可视为质点的小球，将小球拉至O点正上方的A点，给其一水平方向的初速度，使其恰好通过A点后，在竖直平面内以O点为圆心做半径为r的圆周运动。当小球运动到最低点B时，绳恰好被拉断，小球水平飞出。不计空气阻力及绳断时的能量损失，重力加速度为g。求： （1）小球初速度的大小。 （2）绳能承受拉力的最大值。 （3）小球落地时的速度大小v。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）小球刚好通过A点，绳子拉力为零，仅重力提供向心力 解得 （2）从A点到B点，由动能定理 解得 在B点，由绳子拉力和小球重力共同提供向心力 解得 再由牛顿第三定律可得 （3）小球从B点到落地的过程中，只有重力做功，由动能定理 解得 17．（2024·湖南·模拟预测）如图所示，竖直平面内的光滑轨道由两部分拼接而成，其中MNP为半径半圆弧轨道，PQ为半径的圆轨道，将质量的小球A从M点正上方的某点由静止释放，小球无碰撞地从M点进入轨道后，与静止在轨道最低点N处的小球B发生弹性正碰，小球A反弹后恰好能回到M点，小球B沿轨道运动到Q点水平飞出后又恰好经过M点。两小球均可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度大小，求： （1）两小球碰撞后小球B的速度大小 （2）小球B经过Q点时对轨道的压力大小。 【答案】（1）7.5m/s；（2）0.875N 【详解】（1）小球B从Q点做平抛运动经过M点，则 解得 则从N到Q由机械能守恒可知 解得 （2）小球A碰后的速度 碰撞过程由动量守恒和能量守恒 解得 mB=0.7kg 小球B经过Q点时 解得 则对轨道的压力大小 18．（2024·辽宁大连·二模）如图所示，竖直平面内的轨道由直轨道AB和半圆弧轨道BC平滑连接组成，C点为半圆弧轨道最高点。小球从直轨道上的A点由静止开始滑下，A点距轨道最低点的竖直高度为，滑到轨道底端后又滑上半径为的半圆弧轨道（不考虑经过连接处的速率变化），小球质量为。（） （1）若接触面均光滑，求小球滑到C点时速度和对轨道的压力。 （2）若接触面不光滑，小球运动到C点时对轨道的压力为1N，求全过程中克服摩擦力做的功。 【答案】（1）；；竖直向上；（2） 【详解】（1）若接触面均光滑，小球从A点到C点过程，根据动能定理可得 解得 在C点，根据牛顿第二定律可得 解得 根据牛顿第三定律可知，小球滑到C点时对轨道的压力大小为，方向竖直向上。 （2）若接触面不光滑，小球运动到C点时对轨道的压力为1N，在C点，根据牛顿第二定律可得 解得 小球从A点到C点过程，根据动能定理可得 解得 19．如图所示，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直平面内，O为圆心、a、b、c、d为圆形轨道上的点，其中ac为竖直直径，b与圆心等高，d和圆心的连线与水平方向的夹角为。一小球静止在圆形轨道底端a点，某时刻小球获得一个水平向右的瞬时初速度（未知），已知重力加速度为g，回答下列问题： (1)若使小球运动过程中不脱离轨道，求小球的初速度的范围； (2)若小球在d点脱轨，求小球的初速度； (3)以d点为坐标原点，水平方向为x轴（向右为正），竖直方向为y轴（向上为正）建立平面直角坐标系。若小球仍在d点脱轨，求小球脱离轨道后的运动轨迹方程。 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）小球不脱离轨道分两种情况：小球在下半圆往复运动或小球可以做完整圆周运动。小球在下半圆往复运动的临界情况为小球运动至圆心等高处b时速度为0，由动能定理得 解得 小球可以做完整圆周运动的临界情况为小球在轨道最高点c时 又由动能定理得    解得 所以若使小球在运动过程中不脱离轨道，小球获得的初速度范围为 或 （2）若小球在d点脱轨，则小球在d点时满足 又由动能定理得 解得 （3）小球在d点向左上方方向脱离轨道做斜抛运动，此时 小球在水平方向做匀速直线运动 竖直方向做竖直上抛运动 消去参数t，解得 20．如图所示，光滑竖直圆轨道ABCD与光滑的水平轨道平滑连接，圆弧轨道A、D为最低点，位置稍错开。轻质弹簧左侧与墙面拴接，右侧与物块不拴接。已知物块的质量为，物块将弹簧压缩后，使弹簧储存的弹性势能。解除弹簧锁定，物块被弹出后进入圆轨道。已知物块可以看做质点，不计空气阻力，g取。求： (1)物块离开弹簧时的速度大小； (2)为保证物块在运动中不脱离轨道，求圆轨道半径R的取值范围。 【答案】(1)10m/s (2)或 【详解】（1）物块与弹簧系统在解除弹簧锁定至弹簧恢复原长过程中，由机械能守恒定律 解得物块离开弹簧时的速度大小为 （2）若物块恰好能达到与圆心等高的B点，则物块与弹簧分离后上升到B点过程中，由机械能守恒定律 解得 为了保证物块进入圆形轨道的过程中不脱离轨道，则圆形轨道半径满足 若物块恰好能到达圆形轨道的最高点C，则物体在最高点有 物块与弹簧分离后上升到C点过程中，由机械能守恒定律 联立解得 为了保证物块进入圆形轨道的过程中不脱离轨道，则圆形轨道半径满足 综上所述，为保证物块在运动中不脱离轨道，圆轨道半径R的取值范围为或。 21．某校科技小组参加了如图所示的轨道游戏项目，图中P为弹性发射装置，AB为倾角为的倾斜轨道，BC为水平轨道，为竖直圆轨道，为足够长的倾斜曲线轨道，各段轨道均平滑连接，AB、BC段动摩擦因数为，其余各段轨道均光滑。已知滑块质量为，圆轨道半径R大小可以调整，轨道AB长为1m，BC长为1.2m，弹射装置P把滑块以为速度水平弹出，恰好从A点沿斜面方向无碰撞进入斜面，滑块可视为质点。g取） (1)弹射装置P离A点的竖直高度； (2)若滑块从A点进入轨道后运动不脱离轨道，圆轨道半径R应满足的条件。 【答案】(1)0.45m (2)0＜R≤0.34m，R≥0.85m 【详解】（1）弹射装置将滑块弹射出去后滑块做平抛运动，恰好从A点沿斜面方向无碰撞进入斜面 则可知进入A点时竖直方向的速度与水平方向的速度关系有 解得 vy=3m/s 竖直方向做自由落体运动，有 解得 h=0.45m （2）由平抛运动特点得A点速度 滑块刚好不脱离轨道，有两种临界情况，一是刚好能够到达圆轨道最高点，二是刚好到达与圆轨道圆心等高的地方。 第一种情况：在最高点有 从A到圆轨道最高点，由动能定理 解得 R=0.34m 第二种情况：从A到与圆心等高的位置，由动能定理 解得 R=0.85m 则可知滑块从A点进入后不脱离轨道时R应满足 0＜R≤0.34m，R≥0.85m 22．如图所示，长为不可伸长的轻绳一端固定于点，另一端系有质量为的小球（可视为质点），使小球在竖直平面内以点为圆心做圆周运动。已知重力加速度为，忽略空气阻力的影响。 (1)若小球经过圆周最高点A点时绳对小球的拉力大小，求：小球经过圆周最高点A点时速度大小； (2)加大小球的速度后，在最低点轻绳恰好被小球拉断，小球立即做平抛运动，落地点与点之间的水平距离，B点距水平地面的高度为（图中未画出），求： a.小球经过圆周最低点点时速度大小； b.轻绳能承受的最大拉力为。 【答案】(1) (2)a． ；b． 【详解】（1）小球在A点时，由牛顿第二定律 解得 （2）a．经过B点平抛可得 ， 解得 b．小球在B点时，由牛顿第二定律 解得 23．如图所示，质量的小物块静置在粗糙的水平平台的A点，在大小为3N的恒力作用下，从平台的B点以3m/s的速度水平飞出，恰好从C点无碰撞的进入半径为R的光滑圆形轨道。已知CF是圆形轨道的一条直径，从F点到轨道的最高点是一个光滑圆管，，小物块与平台的动摩擦因数，取重力加速度。 (1)若平台AB的长度，求恒力作用的时间； (2)求BC两点间的高度差； (3)若小物块能够进入圆管，试分析轨道半径R的取值范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当小物块在恒力作用下时，根据牛顿第二定律 解得 撤去恒力后，根据牛顿第二定律 解得 设恒力作用的时间为，撤去恒力后在平台上继续运动时间为，则 联立，解得 （2）由于小物块恰好从C点无碰撞的进入半径为R的光滑圆形轨道，则 所以，小物块从B点到C点运动过程中，在竖直方向根据速度位移公式可得 （3）为保证小物块能够进入圆管，则小物块运动到F点时不能脱离轨道，则此时根据动能定理 根据牛顿第二定律 代入数据，解得 24．如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R，A端与圆心O等高，AD 为水平面，B端在O 的正下方，小球自 A 点正上方由静止释放，自由下落至 A 点时进入管道 (1)如果管道与小球接触的内侧壁（图中较小的圆周）始终对小球没有弹力，小球释放点距离A点的最小高度为多大? (2)如果小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍。求： a. 小球运动到管道最高点E时对管道的弹力； b. 落点C与A的水平距离。 【答案】(1)1.5R (2)a．3mg，方向竖直向上；b． 【详解】（1）如果管道与小球接触的内侧壁始终对小球没有弹力，则小球到达最高点时的最小速度满足 从开始下落到到达管的最高点，由机械能守恒 解得 则小球释放点距离A点的最小高度为1.5R。 （2）a．在B点，管壁对小球的弹力 F=9mg 小球做圆周运动，由牛顿第二定律可得 小球从B点到达管道最高点E的过程中，由动能定理可得 在E点由牛顿第二定律可得 联立解得 根据牛顿第三定律可知小球运动到管道最高点E时对管道的弹力为3mg，方向竖直向上。 b．小球从B点到达管道最高点过程中，由动能定理可得 小球离开管道后做平抛运动，在竖直方向上有 在水平方向上 解得 则落点C与A的水平距离为。 三.过拱凹形桥模型 拱形桥 圆轨外侧 凹形桥 示意图 v 作用力 最高点(失重)：FN＝G－mv2/R，可知： （1）当v=0时，即汽车静止在最高点，FN=G； （2）当汽车的速度增大到mv2/R=mg 即v= 时，FN=0，汽车在桥顶只受重力G，又具水平速度v，因此开始做平抛运动； （3）当0≤v≤时，0≤FN≤mg，且速度v越大，FN越小； （4）当v>时，汽车将脱离桥面，将在最高点做平抛运动，即所谓的“飞车”。 最高点(超重)：FN＝G+mv2/R可知： （1）当v=0时，即汽车静止在最高点，FN=G； （2）当汽车的速度v≠0时，FN>mg，且速度v越大，FN越大。 1．（多选）资料显示，质量为的某型号小汽车，其轮胎的最大承重为，超过该值将会爆胎。某次汽车以的速度匀速通过一段凸凹不平的路面时，将这段路面简化为弧形，其最高点和最低点分别为A、B，对应圆弧的半径均为，两圆弧的圆心连线与竖直方向间的夹角为，取，则汽车（　　） A．从点到点的过程中重力做功约为 B．通过最高点时对路面的压力为 C．通过最低点时不会爆胎 D．若以的速度匀速通过该路段时，不会脱离路面 【答案】BCD 【详解】A．根据做功的公式可知重力做功为 J 故A错误； B．根据牛顿第二定律有 解得 N 根据牛顿第三定律可知，通过最高点时对路面的压力为，故B正确； C．在最低点，根据牛顿第二定律有 解得 N 根据牛顿第三定律可知，通过B时对路面的压力为N，不会爆胎，故C正确； D．脱离路面的最小速度满足 解得 m/s 若以38m/s的速度匀速通过该路段时，不会脱离路面，故D正确； 故选BCD。 2．如图所示，一光滑绝缘的半圆柱体固定在水平地面上，其横截面是半径为R的半圆。现让质量为m、带电量为的小球从半圆柱体顶端Q由静止沿圆柱体表面滑下，当滑至与竖直方向的夹角为的位置P时，恰好离开半圆柱体。若在空间加上方向竖直向下的匀强电场（图中未画出），电场强度大小，重力加速度为g，其他条件不变，则下列说法正确的是（    ） A．未加电场时，角的余弦值为 B．未加电场时，小球在P点恰好离开圆柱体时的速度大小为 C．加上电场时，小球将在QP之间某位置离开圆柱体 D．加上电场时，小球恰好离开圆柱体时的速度大小为 【答案】D 【详解】AB．未加电场时，小球恰好从P点脱离圆柱体，由题意则有 解得 ， 故AB错误； CD．加上电场时，设小球恰好脱离圆柱体时与竖直方向的夹角为，由题意则有 解得 所以加上电场时，小球仍在P点离开圆柱体，小球恰好离开圆柱体时的速度大小为，故C错误，D正确。 故选D。 3．如图所示是游乐场里的过山车，过山车运动过程中经过A、B两点（　　） A. 在A点时对轨道压力较小 B. 在A点时所受摩擦力较大 C. 在B点时所受向心力较大 D. B点时合外力方向竖直向下 【答案】B 【解析】A．由向心力公式 解得 ，在A点时对轨道压力最大，A错误； B．摩擦力为 ，则 在A点时所受摩擦力较大，B正确； C．向心力为 所以 ，在A点时所受向心力较大，C错误；D．在B点人受竖直向下的重力，竖直向下的弹力，水平方向的摩擦力，合力的方向斜向下，D错误。故选B。 4.一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为(　　) A．3∶1　　　　　　　 B．3∶2 C．1∶3 D．1∶2 【答案】选C. 【解析】：汽车过圆弧形桥的最高点(或最低点)时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力．如图甲所示，汽车过圆弧形拱形桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，即FN1＝F′N1① 所以由牛顿第二定律可得 mg－F′N1＝② 同样，如图乙所示，F′N2＝FN2，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有F′N2－mg＝③ 由题意可知FN1＝mg④ 由①②③④式得FN2＝mg，所以FN1∶FN2＝1∶3. 5.如图，在一固定在水平地面上A点的半径为R的球体顶端放一质量为m的物块，现给物块一水平初速度v0，则(　　) A．若v0＝，则物块落地点距离A点为 R B．若球面是粗糙的，当v0<时，物块一定会沿球面下滑一段，再斜抛离开球面 C．若v0<，则物块落地点离A点为R D．若v0≥，则物块落地点离A点至少为2R 【答案】D. 【解析】：若v0≥，物块将离开球面做平抛运动，由y＝2R＝、x＝v0t，得x≥2R，A错误，D正确；若v0<，物块将沿球面下滑，若摩擦力足够大，则物块可能下滑一段后停在球面上某位置，若摩擦力较小，物块将在球心上方球面上某处离开，向下做斜抛运动，落地点到A点距离大于R，B、C错误． 6.一段倾斜角的斜面AB与光滑弧面BC相切于B点。质量为的汽车从斜面底部A点由静止开始沿着斜面AB起动，如图甲所示。已知汽车受到斜面的阻力与车对斜面的压力的比值为。汽车在斜面AB上运动的加速度随时间变化如图乙所示。12.0s时汽车达到额定功率，随后汽车保持额定功率继续运动，汽车到达B点前已经达到最大速度。此后关闭发动机，汽车继续沿着圆弧向上滑行。不计空气阻力，已知g取，，汽车可视作质点。求： （1）汽车匀加速直线运动过程中的最大速度及牵引力F； （2）汽车在斜面AB上能到达的最大速度； （3）若汽车能够沿弧面BC通过最高点C，圆弧半径R的取值范围是多少。 【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】（1）汽车匀加速直线运动过程中的最大速度 汽车受到的阻力为 根据牛顿第二定律 解得牵引力为 （2）汽车额定功率为 汽车在斜面AB上能到达的最大速度 （3）若汽车在B点不脱离弧面，根据牛顿第二定律，在B点应满足 解得圆弧半径R的取值范围为 若汽车能够沿弧面BC通过最高点C，根据动能定理有 在最高点C，根据牛顿第二定律 且 解得圆弧半径R的取值范围为 综合上述可得圆弧半径R的取值范围为 2 / 17 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$