专题07 抛体运动模型-【模型与方法】2025届高考物理热点模型与方法归纳

专题07 抛体运动模型 目录 【平抛运动模型的构建及规律】 1 【三类常见的斜面平抛模型】 11 【半圆模型的平抛运动】 23 【平抛与圆相切模型】 29 【台阶平抛运动模型】 33 【体育生活中平抛运动的临界模型】 35 【对着竖直墙壁的平抛模型】 40 【斜抛运动模型】 47 【平抛运动模型的构建及规律】 1、平抛运动的条件和性质 （1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度。 （2）性质：加速度恒定，竖直向下，是匀变速曲线运动。 2、平抛运动的规律 规律：（按水平和竖直两个方向分解可得） 水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动， 竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动， 平抛运动的轨迹：是一条抛物线 合速度：大小：即， 方向：v与水平方向夹角为，即 合位移：大小：即， 方向：S与水平方向夹角为，即 一个关系： ，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。如图所示: 3、对平抛运动的研究 （1）平抛运动在空中的飞行时间 由竖直方向上的自由落体运动可以得到时间 可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。 （2）平抛运动的射程 由平抛运动的轨迹方程可以写出其水平射程 可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。 （3）平抛运动轨迹的研究 平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）正在高空水平匀速飞行的飞机，每隔1 s释放一个小球，先后共释放5个，不计空气阻力，则（　　） A．这5个小球在空中排成一条倾斜直线 B．这5个小球在空中处在同一抛物线上 C．在空中，第1、2两个球间的距离保持不变 D．相邻两球的落地点间距相等 2．（2024·海南·高考真题）在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越长的河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取，则两平台的高度差h为（　　） A．0.5m B．5m C．10m D．20m 3．（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 4．（2023·湖南·高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为，且轨迹交于点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（    ）    A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于 C．两谷粒从到的运动时间相等 D．两谷粒从到的平均速度相等 5.（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 6．（2023·全国·高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g） 7.如图所示，轴在水平地面上，轴在竖直方向，图中画出了从轴上不同位置沿轴正向水平抛出的三个小球、和的运动轨迹。小球从抛出，落在处；小球、均从抛出，分别落在和处。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．和的初速度相同 B．和的运动时间相同 C．的初速度是的2倍 D．的运动时间是的2倍 8.如图所示，虚线是小球由空中某点水平抛出的运动轨迹，A、B为其运动轨迹上的两点。小球经过A点时，速度大小为10 m/s、与竖直方向夹角为60°；它运动到B点时，速度方向与竖直方向夹角为30°，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法中正确的是 (　　) A．小球通过B点的速度为12 m/s B．小球的抛出速度为5 m/s C．小球从A点运动到B点的时间为1 s D．A、B之间的距离为6 m 9．（2025·安徽·一模）如图所示，一小球从O点水平抛出后途经A、B两点的轨迹，已知小球从O到A的时间等于从A到B的时间，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．小球从O到B的位移是从O到A位移的4倍 B．小球在B点速度的大小是A点速度大小的2倍 C．小球从O到B速度的变化量是从O到A速度的变化量的2倍 D．小球在B点速度与水平方向的夹角是A点速度与水平方向的夹角的2倍 10.（2024·江苏盐城·模拟预测）如图所示，某物体做平抛运动的一部分轨迹。每小格的边长表示物体的速度大小为10m/s，各点所标的带箭头的线段长短表示速度的大小。重力加速度的大小取。则该物体从A点运动到B点的时间是（    ） A．1s B．3s C．4s D．5s 11．（2024·江苏南通·模拟预测）如图所示，一个沙漏沿水平方向以速度v做匀速直线运动，沿途连续漏出沙子，单位时间内漏出的沙子质量恒定为Q，出沙口距水平地面的高度为H。忽略沙子漏出瞬间相对沙漏的初速度，沙子落到地面后立即停止，不计空气阻力，已知重力加速度为g，在已有沙子落地后，下列说法正确的是（    ） A．沙子在空中形成的几何图形是一条抛物线 B．不同时刻下落的两粒沙子之间的竖直间距保持不变 C．沙子落到地面时与沙漏的水平距离为 D．在空中运动的沙子的总质量为 【三类常见的斜面平抛模型】 类型一：沿着斜面平抛 1.斜面上平抛运动的时间的计算 斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形） x＝v0t ，v0 θ( )α )α y＝gt2， tan θ＝， 可求得t＝。 2.斜面上平抛运动的推论 根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。 3.与斜面的最大距离问题 两种分解方法： v0 θ( v )θ dm x y v0 θ( v )θ dm )θ g θ x y 【构建模型】如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点以初速度v0水平抛出一个物体，物体落在斜面上的B点，不计空气阻力． 法一：(1) 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，如图(a)所示 vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ， ax＝gsin θ，ay＝gcos θ. 物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy、加速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动． 令v′y＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝. (2)当t＝时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝， A、B间距离s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2＝. 法二：(1) 如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v0交点为此时横坐标的中点P， 则tan θ＝＝， t＝. (2) ＝y＝gt2＝，而∶＝1∶3，所以＝4y＝，A、B间距离s＝＝. 法三：(1)设物体运动到C点离斜面最远，所用时间为t，将v分解成vx和vy，如图(c)所示，则由tan θ＝＝，得t＝.　 (2)设由A到B所用时间为t′，水平位移为x，竖直位移为y，如图(d)所示，由图可得 tan θ＝，y＝xtan θ ① y＝gt′2 ② x＝v0t′ ③ 由①②③式得：t′＝ 而x＝v0t′＝， 因此A、B间的距离s＝＝. 类型二：垂直撞斜面平抛运动 方法：分解速度． vx＝v0， vy＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝. 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形 v0 )θ H H-y x 类型三：撞斜面平抛运动中的最小位移问题 v0 )θ θ 过抛出点作斜面的垂线，如图所示， 当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则 水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t 竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ. 1．用如图a所示的圆弧一斜面装置研究平抛运动，每次将质量为m的小球从半径为R的四分之一圆弧形轨道不同位置静止释放，并在弧形轨道最低点水平部分处装有压力传感器测出小球对轨道压力的大小F。已知斜面与水平地面之间的夹角，实验时获得小球在斜面上的不同水平射程x，最后作出了如图b所示的图像，g取10m/s2，则由图可求得圆弧轨道的半径R为（　　） A．1.0m B．0.50m C．0.25m D．0.125m 2.如图所示，小球从斜面底端A点正上方h高处，以某一速度正对倾角为θ的斜面水平抛出时，小球到达斜面的位移最小(重力加速度为g)，则(　　) A．小球平抛的初速度v0＝sin θ B．小球平抛的初速度v0＝sin θ C．飞行时间t＝cos θ D．飞行时间t＝ 3.如图所示，从固定斜面顶端A处水平抛出一个小球，经过一段时间后小球落在斜面上的B点。当把小球的初速度变为原来的两倍后，依然从顶端A处水平抛出，小球落在斜面上的C点，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．小球做平抛运动落在B点的时间是落在C点时间的 D．小球做平抛运动落在B点的时间是落在C点时间的 4．（2024·四川眉山·模拟预测）如图所示，将一质量为m的小球从地面上方A点向左水平抛出时，小球落在地面上B点；将该小球以大小相同的初速度向右水平抛出时，小球落在地面上C点，且落地时速度方向竖直向下，虚线AB、AC为小球抛出点与两落点的连线，已知，小球抛出后始终受到水平向左的恒定风力作用，重力加速度为g ，则小球所受水平风力的大小为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·江西·模拟预测）如图所示，某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机以的速度水平向右飞行，经过倾角为45°的斜面底端O点正上方的A点时，释放了一个小球，结果小球打在斜面上的C点。已知A点与O点的距离，无人机的飞行速度不变，空气阻力忽略不计，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．增大，小球落到斜面的速度方向不变 B．小球打在C点时，无人机恰好飞到斜面上的B点 C．小球打在C点前瞬间的速率为22m/s D．小球从A点运动到C点用时2s 6.（2024·河南·模拟预测）无人机的应用日益广泛。如图所示，某次表演中一架无人机正对山坡匀加速水平飞行，加速度大小为10m/s2，山坡倾角为45°。无人机先后释放两颗相同的小球，两小球均落到山坡上，重力加速度为g＝10m/s2，不考虑小球所受空气阻力。则下列说法正确的是（  ）    A．两颗小球可能都垂直落在山坡上 B．两颗小球同时落在山坡上 C．两颗小球不会同时落在山坡上 D．两颗小球落到山坡上的动能可能相等 7.（2024·四川德阳·模拟预测）为了采集某行星岩石内部的物质样品，先将岩石用行星探测车运往高处，然后水平抛出，让岩石重重地砸在行星表面，这样就可以将坚硬的岩石撞碎，进而采集到岩石内部的物质样品，如图所示，O点为斜坡底端，现将一块质量为m=1kg的岩石从O点正上方高度为处以初速度为 水平抛出，岩石垂直打在倾角为的斜坡上，由于斜坡并不完全平滑，岩石沿竖直方向向上反弹，上升的最大高度为，求： （1）该行星表面的重力加速度大小； （2）若岩石与斜坡在接触过程中相互作用的时间为0.1s，则接触过程中岩石所受到平均合外力的大小。 8．（2024·河南三门峡·一模）如图所示，倾角为的光滑斜面AB固定在水平面上，现将一弹力球从斜面的顶端A点以的初速度水平向右抛出，弹力球恰好落在斜面的底端B点。若弹力球与斜面碰撞时，沿斜面方向的速度不变，垂直斜面方向的速度大小不变，方向反向，现仅调整弹力球从A点水平抛出时的速度大小，使弹力球与斜面碰撞1次后仍能落到B点，已知重力加速度g取，不计空气阻力。求调整后弹力球水平抛出的速度大小。 【半圆模型的平抛运动】 （1） 在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。 （2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=v0t，y: Rsinθ=½gt2，联立两方程可求t或v0。 1.（2024·江苏·模拟预测）如图所示，半球面半径为R，A点与球心O等高，小球两次从A点以不同的速率沿AO方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B点和C点，速度偏转角分别为和，不计空气阻力。则小球（  ） A．运动时间 B．两次运动速度变化 C．在C点的速度方向可能与球面垂直 D． 2.如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为，在轴上有一点P，坐标为（0，6m）。从P点将一小球水平抛出，初速度为1m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为（不计空气阻力）（　　）    A．（3m，3m） B．（2m，4m） C．（1m，1m） D．（1m，2m） 3.如图所示，半径为5m的四分之一圆弧ABC固定在水平地面上，O为圆心。在圆心O右侧同一水平线上某点处，水平向左抛出一个小球，小球可视为质点，恰好垂直击中圆弧上的D点，D点到水平地面的高度为2m，g取10 m/s2，则小球的抛出速度是（　　） A． B． C． D． 4.（2024·全国·模拟预测）如图所示，水平地面上有一半径为5m的半球形曲面，球心A点正下方2m的P处有一喷泉沿水平方向喷出水流，设水流垂直落到半球形曲面上，喷口横截面积为，重力加速度，水的密度为，，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．水流初速度的大小为 B．任意相等时间内水流的速度变化量一定相等 C．水流落到半球形曲面上的位置离地面高度为1m D．水流喷出的过程中，喷泉装置对水流做功的功率为 5.（2024·辽宁·模拟预测）如图所示，AB为竖直放置的半圆环ACB的水平直径，O为半圆环圆心，C为环上的最低点，环半径为R，两个质量相同的小球分别从A点和B点以初速度和水平相向抛出，初速度为的小球落到a点所用时间为，初速度为的小球落到b点所用时间为，a点高度大于b点高度，不计空气阻力。则下列判断正确的是（    ） A．两小球的初速度一定有 B．两小球落到圆环上所用的时间满足 C．不论和满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上 D．若两小球同时水平抛出，不论和满足什么关系，两小球都能在空中相遇 【平抛与圆相切模型】 1.如图所示，OAB为四分之一圆柱体的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为53°，则C点到B点的距离为(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　) A. B. C. D. 2.如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则(　　) A.＝2 B.＝2 C.tan θ1tan θ2＝2 D.＝2 3.如图，一半径为R的圆环固定于竖直平面内，圆心为O。现从圆环上距离圆心O竖直高度为的A点以水平初速度向右抛出一个质量为m的小球，一段时间后，小球落在圆环上的B点（图中未画出）；当大小不同时，小球的落点B也不同．重力加速度为g，不计空气阻力，小球可视为质点。以下说法正确的是（　　） A．当大小不同时，小球从A点运动到B点的时间可能相同 B．当时，小球可以经过O点 C．当时，A、B两点位于一条直径上 D．当时，小球从A到B的运动过程中速度变化量最大 4.如图所示，竖直平面内有一光滑管道口径很小的圆弧轨道，其半径为R＝0.5 m，平台与轨道的最高点等高。一质量m＝0.8 kg可看做质点的小球从平台边缘的A处平抛，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2。试求： (1)小球从A点开始平抛运动到P点所需的时间t； (2)小球从A点水平抛出的速度大小v0和A点到圆弧轨道入射点P之间的水平距离l； (3)小球到达圆弧轨道最低点时的速度大小； (4)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的内壁还是外壁有弹力？并求出弹力的大小。 【台阶平抛运动模型】 方法 ①临界速度法 ②虚构斜面法 示意图 v0 h s v0 h s θ( )θ 1.如图所示，一小球从某一高度水平抛出后，恰好落在第1级台阶的紧靠右边缘处，反弹后再次下落至第3级台阶的紧靠右边缘处．已知小球第一、二次与台阶相碰之间的时间间隔为0.3 s，每级台阶的宽度和高度均为18 cm.小球每次与台阶碰撞后速度的水平分量保持不变，而竖直分量大小变为碰前的，取g＝10 m/s2，则小球(　　) A．第一次落点与小球抛出点间的水平距离为0.144 m B．第一次落点与小球抛出点间的竖直距离为0.72 m C．抛出时的初速度为1.0 m/s D．会与第5级台阶相撞 2.（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，甲同学爬上山坡底端C点处的一棵树，从树上Q点正对着山坡水平抛出一个小石块，石块正好垂直打在山坡中点P。乙同学（身高不计）在山坡顶端的A点水平抛出一个小石块，石块也能落在P点。已知山坡长度，山坡与水平地面间夹角为，重力加速度为g，空气阻力不计，，，则（　　） A．甲同学抛出的小石块初速度大小为 B．甲同学抛出的小石块初速度大小为 C．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 D．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 3.一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度v飞出，g取10 m/s2，欲打在第四台阶上，则v的取值范围是(　　) A． m/s＜v≤2 m/s B．2 m/s＜v≤3.5 m/s C． m/s＜v＜ m/s D．2 m/s＜v＜ m/s 【体育生活中平抛运动的临界模型】 1． 平抛运动中的临界速度问题 从网上擦过的临界速度h1 v2 s2 h2 s1 v1 出界的临界速度h1 s2 h2 s1 2． 既擦网又压线的双临界问题 根据，可得比值： 1．（2025·湖南永州·一模）2024年8月3日，中国选手郑钦文在巴黎奥运会网球女单决赛中战胜克罗地亚选手维基奇夺冠，为中国网球赢得史上首枚女单奥运金牌。如图所示，网球比赛中，运动员甲某次在点直线救球倒地后，运动员乙将球从距水平地面上点高度为的点水平击出，落点为。乙击球瞬间，甲同时沿直线奔跑，恰好在球落地时赶到点。已知，网球和运动员甲均可视为质点，忽略空气阻力，则甲此次奔跑的平均加速度大小与当地重力加速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·河北·模拟预测）如图所示，某同学在练习“擦板投篮”时，篮球恰好在轨迹最高点击中篮板上的A点，A点与篮球被抛出时球心的高度差为1.8m，球经篮板反弹后进入篮筐，当篮球球心与篮筐中心的连线垂直篮板时，球离开篮板的距离是30cm。已知篮球与篮板碰撞后，平行于篮板方向的速度分量大小不变，垂直于篮板方向的速度分量大小变为碰前的一半。已知篮板上的O1点与A点在同一水平线上，O2点是篮筐中心在篮板上的投影，O1点在O2点正上方，且O1A=40cm，O1O2=20cm，不计篮球与板碰撞时的形变与碰撞时间，忽略空气的阻力和篮球的旋转，已知重力加速度g=10m/s2，则该同学投篮时，篮球离开手时的速度大小是（　　） A．7m/s B．8m/s C．9m/s D．10m/s 3．（2024·辽宁鞍山·一模）如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网高1m。图2为对应的俯视图，其中L1=12m，L2=9m。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为（忽略一切阻力，重力加速度g=10m/s2）（　　） A． B．15m/s C． D． 4.（2024·吉林·一模）利用如图简易装置可以探测在真空环境内微粒在重力场中的能量。P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h的探测屏竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h。 (1)若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系； (2)若在界线OA以下加一个方向水平向右，大小是微粒重力的倍的恒定外力（图中未画出），某一微粒恰好能沿直线打在B处，求L与h的关系。 【对着竖直墙壁的平抛模型】 1.如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝. 2.撞墙平抛运动的时间的计算 v0 x 若已知x和v0。，根据水平方向匀速运动，可求得时间t=x/v0。，则竖直速度为v=gt、高度为h=½gt2. 3.撞墙平抛运动的推论 撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。 v0 x x/2 5.如图所示，网球发球机水平放置在距地面某高度处，正对着竖直墙面发射网球，两次发射网球分别在墙上留下A、B两点印迹．测得＝.OP为水平线，若忽略网球在空中受到的阻力，则下列说法正确的是(　　) A．两球发射的初速度vOA∶vOB＝1∶2 B．两球碰到墙面前运动的时间tA∶tB＝1∶2 C．两球碰到墙面时的动量可能相同 D．两球碰到墙面时的动能可能相等 6.如图所示是网球发球机，某次室内训练时从距地面一定的高度向竖直墙面发射完全相同的网球。假定网球水平射出，某两次射出的网球碰到墙面时速度方向与水平方向夹角分别为30°和60°，若不考虑网球在空中受到的阻力，则(　　) A.两次发射的初速度之比为3∶1 B.碰到墙面前在空中运动时间之比为1∶ C.下降高度之比为1∶3 D.碰到墙面时动能之比为3∶1 7.如图所示，将一小球从水平面MN上方A点以初速度v1向右水平抛出，经过时间t1打在前方竖直墙壁上的P点，若将小球从与A点等高的B点以初速度v2向右水平抛出，经过时间t2落在竖直墙角的N点，不计空气阻力，下列选项中正确的是(　　) A．v1>v2 B．v1<v2 C．t1>t2 D．t1＝t2 8.(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(　　) A．初速度大小之比是∶∶ B．初速度大小之比是1∶∶ C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶ D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶ 【平抛的相遇模型】 平抛与自由落体 平抛与竖直上抛 平抛与平抛 平抛与匀速 v2 v1 v3 v4 x:l=vt; y:空中相遇t< 联立得 x:s=v1t; y:½gt2+v2t-½gt2=H, t=H/v2 联立得H/v2=s/t 球1比球2先抛 t1>t2、v1<v2； 球3、4同时抛 t1=t2、v3>v4； x:l=(v1-t2)t; y:t= 1.如图所示，A、B两小球分别从距地面高度为h、2h处以速度vA、vB水平抛出，均落在水平面上CD间的中点P，它们在空中运动的时间分别为tA、tB.不计空气阻力，下列结论正确的是(　　) A．tA∶tB＝1∶ B．tA∶tB＝1∶2 C．vA∶vB＝1∶ D．vA∶vB＝1∶2 2．（2025·广东·一模）如图所示，将a、b两小球以不同的初速度同时水平抛出，它们均落在水平地面上的P点，a球抛出时的高度比b球的高。P点到两球起抛点的水平距离相等，不计空气阻力，与b球相比，a球（　　） A．初速度较大 B．速度变化率较大 C．落地时速度方向与其初速度方向的夹角较小 D．落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大 3.如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，它们在下落高度为9 m时，在空中相遇．若两球的抛出速度都变为原来的3倍，不计空气阻力，则自抛出到它们在空中相遇时，两球下落的高度为(　　) A．6 m B．3 m C．3 m D．1 m 4.如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移之比为1∶2，则下列说法正确的是 (　　) A．A、B两球的初速度之比为1∶4 B．A、B两球的初速度之比为1∶2 C．若两球同时抛出，则落地的时间差为 D．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为(－1) 5.（2024·吉林·一模）利用如图简易装置可以探测在真空环境内微粒在重力场中的能量。P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h的探测屏竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h。 (1)若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系； (2)若在界线OA以下加一个方向水平向右，大小是微粒重力的倍的恒定外力（图中未画出），某一微粒恰好能沿直线打在B处，求L与h的关系。 【斜抛运动模型】 1、运动规律 水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动 水平位移； 竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动 任意时刻的速度和位移分别是 2、轨迹方程 ，是一条抛物线如图所示： Y V0y V0 o V0x X 3、对斜抛运动的研究 （1）斜抛物体的飞行时间： 当物体落地时，由 知，飞行时间 （2）斜抛物体的射程： 由轨迹方程 令y=0得落回抛出高度时的水平射程是 两条结论： ①当抛射角时射程最远， ②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。 （3）斜上抛运动的射高： 斜上抛的物体达到最大高度时=0，此时 代入即得到抛体所能达到的最大高度 可以看出，当时，射高最大 1.学校运动会上，参加铅球项目的运动员，把5kg的铅球以6m/s的初速度从某一高度投掷出去，如图所示，抛射角，铅球落地速度与水平地面夹角53°，不计空气阻力，重力加速度g取，则铅球从抛出到落地的时间是（　　） A．0.5s B．0.8s C．1.0s D．1.5s 2.（2024·福建·模拟预测）掷铅球是一个需要力量和灵活性的运动，今年的学校运动会，某同学要参加掷铅球比赛，傍晚来到运动场训练，热身后（不计空气阻力，重力加速度取10m/s2，，sin53°=0.8，cos53°=0.6） （1）她在第一次投掷中把铅球水平推出，高度为h=1.5m，速度为v0=10m/s，则铅球被推出的水平距离是多少米？ （2）第一次投掷后体育老师给了建议，让她投掷时出手点高一点，斜向上推出铅球。于是，第二次她从离地高为H=1.8m处推出铅球，出手点刚好在边界线上方，速度方向与水平方向成53°，如图所示，此次推出铅球时铅球的速度大小仍为10m/s，则这次投掷的成绩为多少米？ 3.狞猫弹跳力惊人，栖息在干燥的旷野和沙漠中，善于捕捉鸟类。一只狞猫以某一初速度斜向上与水平地面成θ角跳离地面，落地前其最大高度为h，最大水平位移为x。不考虑空气阻力。下列说法正确的是　(　　) A．保持起跳速度大小不变，增大θ角，狞猫在空中的运动时间不变 B．保持起跳速度大小不变，增大θ角，狞猫在空中的最大高度h增大 C．保持起跳角度θ不变，增大起跳速度，x与h的比值减小 D．保持起跳角度θ不变，增大起跳速度，x与h的比值增大 4.某同学练习定点投篮，篮球从同一位置出手，两次均垂直撞在竖直篮板上，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．第1次击中篮板时的速度小 B．两次击中篮板时的速度相等 C．球在空中运动过程第1次速度变化快 D．球在空中运动过程第2次速度变化快 5.（2025·福建漳州·一模）篮球比赛中，一同学某次跳起投篮，出手点与篮板的水平距离为，离地面高度为，篮球垂直打在竖直篮板上的位置离地面的高度为。将篮球看成质点，忽略空气阻力，取。求： (1)篮球从出手到垂直打在篮板上的运动时间； (2)出手时篮球速度的大小。 6．（2024·山西晋中·模拟预测）自由式滑雪女子大跳台比赛场地可简化为如图所示的示意图，在比赛的空中阶段可将运动员视为质点，运动员从倾角为的斜面顶端O点以的初速度飞出，初速度方向与斜面的夹角为，图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，A为轨迹的最高点，B为轨迹上离斜面最远的点，不计空气阻力，取重力加速度大小。求： （1）运动员从O点运动到A点的时间； （2）B点与斜面之间的距离l。 7．（2024·山西晋中·二模）如图甲，为某学校举行定点投篮比赛的场景，某同学正在进行定点投篮，投出的篮球在空中划出一道漂亮的弧线，穿网而过。如图乙，为篮球在空中运动轨迹，在篮球运动所在的竖直平面内建立直角坐标系xOy，篮球从A点投出，A、B、C、D是篮球运动轨迹上的4个点，C点为篮球运动的最高点，D点是篮筐位置，A、B、D点的坐标分别为（-2L，-3L）、（-L，0）、（L，0）。篮球质量为m，重力加速度大小为g，空气阻力忽略不计。求： （1）C点的纵坐标yC； （2）该同学将篮球投出时，篮球的速度v。 8．（2024·湖北武汉·二模）在滑雪比赛中，某运动员从跳台上的A点以速度与水平方向成角斜向上起跳，落在倾角的斜坡上的B点，着陆时速度方向与斜坡的夹角，如图所示。已知运动员和装备（均可视为质点）总质量，着陆缓冲的时间，着陆缓冲过程运动员不反弹、沿斜坡方向的速度不变，重力加速度大小，不计空气阻力，，，，。求： （1）运动员在空中飞行的时间； （2）运动员着陆缓冲过程受到的平均支持力大小。 9.学校篮球队组织篮球比赛，一同学作为球队的主力投手在三分线外起跳，球以与水平面夹角为θ（cosθ=0.8）的仰角抛出，运动1s后通过篮框中心入网，已知篮框距离水平地面的高度H=3.05m，篮球被投出时，距离地面的高度h（未知）、与篮框中心点的水平距离d=7.20m，若将篮球视为质点，且忽略篮球的旋转与空气阻力，重力加速度g=10m/s2。求：（答案可以用根号表示） （1）篮球被投出时的初速度大小； （2）篮球入网时的速度大小； （3）篮球被投出时距离地面的高度。 10.某喷灌机进行农田喷灌的示意图如图所示，喷口出水速度的大小和方向均可调节。该喷灌机的最大功率为2000W，机械效率为80%，喷口的横截面积：，水的密度，重力加速度，，忽略喷头距离地面的高度及空气阻力，不考虑供水水压对水速的影响。求 （1）喷灌机的最大喷水速度 （2）该喷灌机的最大喷灌面积 11．（2024·广东·一模）如图，运动员练习单杠下杠：双手抓住单杠与肩同宽，伸展身体，其重心以单杠为轴做圆周运动，重心通过单杠正上方A点时速率，转至点时脱离单杠，重心经过最高点，最后落到地面，点为落地时的重心位置。已知运动员的质量，做圆周运动时其重心到单杠的距离；脱离单杠后运动员在空中上升与下降的时间之比为5：7，B、D两点的高度差为，重心在点时速率；g取，A、B、C、D在同一竖直平面，忽略空气阻力，不考虑体能的消耗与转化。求： （1）运动员在A点时，单杠对每只手的弹力大小和方向； （2）C、D两点间的水平距离； （3）从A点运动至B点过程中合外力对运动员做的功。 28 / 29 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 抛体运动模型 目录 【平抛运动模型的构建及规律】 1 【三类常见的斜面平抛模型】 11 【半圆模型的平抛运动】 23 【平抛与圆相切模型】 29 【台阶平抛运动模型】 33 【体育生活中平抛运动的临界模型】 35 【对着竖直墙壁的平抛模型】 40 【斜抛运动模型】 47 【平抛运动模型的构建及规律】 1、平抛运动的条件和性质 （1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度。 （2）性质：加速度恒定，竖直向下，是匀变速曲线运动。 2、平抛运动的规律 规律：（按水平和竖直两个方向分解可得） 水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动， 竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动， 平抛运动的轨迹：是一条抛物线 合速度：大小：即， 方向：v与水平方向夹角为，即 合位移：大小：即， 方向：S与水平方向夹角为，即 一个关系： ，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。如图所示: 3、对平抛运动的研究 （1）平抛运动在空中的飞行时间 由竖直方向上的自由落体运动可以得到时间 可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。 （2）平抛运动的射程 由平抛运动的轨迹方程可以写出其水平射程 可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。 （3）平抛运动轨迹的研究 平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）正在高空水平匀速飞行的飞机，每隔1 s释放一个小球，先后共释放5个，不计空气阻力，则（　　） A．这5个小球在空中排成一条倾斜直线 B．这5个小球在空中处在同一抛物线上 C．在空中，第1、2两个球间的距离保持不变 D．相邻两球的落地点间距相等 【答案】D 【详解】ABD.释放的每个小球都做平抛运动，水平方向的速度与飞机的飞行速度相等，所以这5个小球在空中排成一条竖直直线，由于释放时间间隔相等，则相邻小球落地点间距相等，选项AB错误，D正确； C.竖直方向5个小球均为自由落体运动，由于第2个球释放时第1个小球的速度已经为 v0＝gt＝10 m/s 故之后经时间t，两小球间距为 Δh＝（v0t＋gt2）－gt2＝v0t 故两小球间距逐渐增大，选项C错误。 故选D。 2．（2024·海南·高考真题）在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越长的河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取，则两平台的高度差h为（　　） A．0.5m B．5m C．10m D．20m 【答案】B 【详解】车做平抛运动，设运动时间为，竖直方向 水平方向 其中 、 解得 故选B。 3．（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设出水孔到水桶中心距离为x，则 落到桶底A点时 解得 故选C。 4．（2023·湖南·高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为，且轨迹交于点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（    ）    A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于 C．两谷粒从到的运动时间相等 D．两谷粒从到的平均速度相等 【答案】B 【详解】A．抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误； C．谷粒2做斜向上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相同。在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同故谷粒2运动时间较长，C错误； B．谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。与谷粒1比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小即最高点的速度小于，B正确； D．两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。 故选B。 5.（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向 解得水从管口到水面的运动时间 （2）由平抛运动规律得，水平方向 解得水从管口排出时的速度大小 （3）管口单位时间内流出水的体积 6．（2023·全国·高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g） 【答案】 【详解】石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有 可得落到水面上时的竖直速度 由题意可知 即 石子抛出速度的最小值为。 7.如图所示，轴在水平地面上，轴在竖直方向，图中画出了从轴上不同位置沿轴正向水平抛出的三个小球、和的运动轨迹。小球从抛出，落在处；小球、均从抛出，分别落在和处。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．和的初速度相同 B．和的运动时间相同 C．的初速度是的2倍 D．的运动时间是的2倍 【答案】BC 【解析】BD．a、b和c小球竖直方向下落高度分别为2L、L、L，由 可得它们运动时间分别为 故B正确，D错误；AC．a、b和c小球水平方向位移分别为2L、2L、L，由可得它们初速度分别为 故A错误，C正确。故选BC。 8.如图所示，虚线是小球由空中某点水平抛出的运动轨迹，A、B为其运动轨迹上的两点。小球经过A点时，速度大小为10 m/s、与竖直方向夹角为60°；它运动到B点时，速度方向与竖直方向夹角为30°，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法中正确的是 (　　) A．小球通过B点的速度为12 m/s B．小球的抛出速度为5 m/s C．小球从A点运动到B点的时间为1 s D．A、B之间的距离为6 m 【答案】　C 【解析】　由平抛运动规律知v0＝vAsin 60°，v0＝vBsin 30°，解得v0＝5 m/s，vB＝10 m/s，选项A、B错误；竖直速度vAy＝vAcos 60°，vBy＝vBcos 30°，vBy＝vAy＋gt，解得t＝1 s，选项C正确；由v－v＝2gy，x＝v0t，s＝，解得s＝5 m，选项D错误。 9．（2025·安徽·一模）如图所示，一小球从O点水平抛出后途经A、B两点的轨迹，已知小球从O到A的时间等于从A到B的时间，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．小球从O到B的位移是从O到A位移的4倍 B．小球在B点速度的大小是A点速度大小的2倍 C．小球从O到B速度的变化量是从O到A速度的变化量的2倍 D．小球在B点速度与水平方向的夹角是A点速度与水平方向的夹角的2倍 【答案】C 【详解】A．小球做平抛运动，可得 ，，， 可知 ， 根据小球的位移 可知小球从O到B的位移不是从O到A位移的4倍。故A错误； B．依题意，小球竖直方向做自由落体运动，有 ， 由小球运动的速度 可知小球在B点速度的大小不是A点速度大小的2倍。故B错误； C．小球速度的变化量 可知 故C正确； D．速度偏转角的正切值 可知 故D错误。 故选C。 10.（2024·江苏盐城·模拟预测）如图所示，某物体做平抛运动的一部分轨迹。每小格的边长表示物体的速度大小为10m/s，各点所标的带箭头的线段长短表示速度的大小。重力加速度的大小取。则该物体从A点运动到B点的时间是（    ） A．1s B．3s C．4s D．5s 【答案】B 【详解】又图可知物体在A点和B点的竖直分速度分别为 ， 则物体从A点运动到B点的时间为 故选B。 11．（2024·江苏南通·模拟预测）如图所示，一个沙漏沿水平方向以速度v做匀速直线运动，沿途连续漏出沙子，单位时间内漏出的沙子质量恒定为Q，出沙口距水平地面的高度为H。忽略沙子漏出瞬间相对沙漏的初速度，沙子落到地面后立即停止，不计空气阻力，已知重力加速度为g，在已有沙子落地后，下列说法正确的是（    ） A．沙子在空中形成的几何图形是一条抛物线 B．不同时刻下落的两粒沙子之间的竖直间距保持不变 C．沙子落到地面时与沙漏的水平距离为 D．在空中运动的沙子的总质量为 【答案】D 【详解】A．由于沙子下落时，沙子与沙漏均具有水平向右的初速度v，所以漏出的沙子在水平方向上均与沙漏以相同的速度向右移动，因此沙子在空中形成的几何图形是一条直线。故A错误； B．下落的沙子在竖直方向做自由落体运动，下落时间间隔为的两粒沙子竖直间距为 可知二者间距随下落时间的增加而增加。故B错误； C．因为沙子与沙漏在水平方向上以相同的速度v运动，所以沙子落地与沙漏的水平距离为0。故C错误； D．从第一粒沙子漏出开始到这粒筛子刚落地，这一过程中在竖直方向上，有 这一过程的时间为 由于单位时间内漏出的沙子质量恒定为Q，则这一过程中落下的沙子总质量 故D正确。 故选D。 【三类常见的斜面平抛模型】 类型一：沿着斜面平抛 1.斜面上平抛运动的时间的计算 斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形） x＝v0t ，v0 θ( )α )α y＝gt2， tan θ＝， 可求得t＝。 2.斜面上平抛运动的推论 根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。 3.与斜面的最大距离问题 两种分解方法： v0 θ( v )θ dm x y v0 θ( v )θ dm )θ g θ x y 【构建模型】如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点以初速度v0水平抛出一个物体，物体落在斜面上的B点，不计空气阻力． 法一：(1) 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，如图(a)所示 vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ， ax＝gsin θ，ay＝gcos θ. 物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy、加速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动． 令v′y＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝. (2)当t＝时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝， A、B间距离s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2＝. 法二：(1) 如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v0交点为此时横坐标的中点P， 则tan θ＝＝， t＝. (2) ＝y＝gt2＝，而∶＝1∶3，所以＝4y＝，A、B间距离s＝＝. 法三：(1)设物体运动到C点离斜面最远，所用时间为t，将v分解成vx和vy，如图(c)所示，则由tan θ＝＝，得t＝.　 (2)设由A到B所用时间为t′，水平位移为x，竖直位移为y，如图(d)所示，由图可得 tan θ＝，y＝xtan θ ① y＝gt′2 ② x＝v0t′ ③ 由①②③式得：t′＝ 而x＝v0t′＝， 因此A、B间的距离s＝＝. 类型二：垂直撞斜面平抛运动 方法：分解速度． vx＝v0， vy＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝. 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形 v0 )θ H H-y x 类型三：撞斜面平抛运动中的最小位移问题 v0 )θ θ 过抛出点作斜面的垂线，如图所示， 当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则 水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t 竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ. 1．用如图a所示的圆弧一斜面装置研究平抛运动，每次将质量为m的小球从半径为R的四分之一圆弧形轨道不同位置静止释放，并在弧形轨道最低点水平部分处装有压力传感器测出小球对轨道压力的大小F。已知斜面与水平地面之间的夹角，实验时获得小球在斜面上的不同水平射程x，最后作出了如图b所示的图像，g取10m/s2，则由图可求得圆弧轨道的半径R为（　　） A．1.0m B．0.50m C．0.25m D．0.125m 【答案】B 【详解】由图可知，当时，小球的速度是0时，即小球静止时，小球对轨道的压力是，结合牛顿第三定律有 解得 设小球水平抛出时的速度为，由牛顿运动定律得 由平抛运动规律和几何关系有，小球的水平射程 小球的竖直位移为 由几何关系有 联立解得 结合图像有 解得 故选B。 2.如图所示，小球从斜面底端A点正上方h高处，以某一速度正对倾角为θ的斜面水平抛出时，小球到达斜面的位移最小(重力加速度为g)，则(　　) A．小球平抛的初速度v0＝sin θ B．小球平抛的初速度v0＝sin θ C．飞行时间t＝cos θ D．飞行时间t＝ 【答案】AC. 【解析】：过抛出点作斜面的垂线，如图所示， 当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则 水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t 竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ. 3.如图所示，从固定斜面顶端A处水平抛出一个小球，经过一段时间后小球落在斜面上的B点。当把小球的初速度变为原来的两倍后，依然从顶端A处水平抛出，小球落在斜面上的C点，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．小球做平抛运动落在B点的时间是落在C点时间的 D．小球做平抛运动落在B点的时间是落在C点时间的 【答案】C 【详解】设小球的初速度为，斜面的倾角为，竖直方向上有 水平方向上有 根据几何关系 联立可得 说明小球的飞行时间与初速度成正比，所以 即 根据可得小球做平抛运动落在B点的时间是落在C点时间的。 故选C。 4．（2024·四川眉山·模拟预测）如图所示，将一质量为m的小球从地面上方A点向左水平抛出时，小球落在地面上B点；将该小球以大小相同的初速度向右水平抛出时，小球落在地面上C点，且落地时速度方向竖直向下，虚线AB、AC为小球抛出点与两落点的连线，已知，小球抛出后始终受到水平向左的恒定风力作用，重力加速度为g ，则小球所受水平风力的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设A点到地面的高度为h，小球受水平风力作用产生的加速度为a，方向向左，从A点向左和向右抛出时落地的时间相同，设为t，则从A到B， 从A到C 其中 联立解得 则小球所受水平风力的大小为 故选A。 5．（2024·江西·模拟预测）如图所示，某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机以的速度水平向右飞行，经过倾角为45°的斜面底端O点正上方的A点时，释放了一个小球，结果小球打在斜面上的C点。已知A点与O点的距离，无人机的飞行速度不变，空气阻力忽略不计，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．增大，小球落到斜面的速度方向不变 B．小球打在C点时，无人机恰好飞到斜面上的B点 C．小球打在C点前瞬间的速率为22m/s D．小球从A点运动到C点用时2s 【答案】D 【详解】A.增大，则下落时间减小，根据 可知小球落到斜面时的竖直速度减小，根据 则小球落到斜面时的速度方向改变，故A错误； B．小球的运动轨迹如图所示 小球的水平速度与无人机的速度相等，小球打在C点时，飞机刚好在C点正上方F点，故B错误； D．设小球从A点到C点的运动时间为t，则 由几何关系可知 解得 故D正确； C．小球打在C点前瞬间的速率 故C错误。 故选D。 6.（2024·河南·模拟预测）无人机的应用日益广泛。如图所示，某次表演中一架无人机正对山坡匀加速水平飞行，加速度大小为10m/s2，山坡倾角为45°。无人机先后释放两颗相同的小球，两小球均落到山坡上，重力加速度为g＝10m/s2，不考虑小球所受空气阻力。则下列说法正确的是（  ）    A．两颗小球可能都垂直落在山坡上 B．两颗小球同时落在山坡上 C．两颗小球不会同时落在山坡上 D．两颗小球落到山坡上的动能可能相等 【答案】BD 【详解】BD．设扔下第一个小球时，飞机的速度大小为，此时到山坡的竖直高度为，则水平匀速直线，位移为 竖直方向 因为山坡倾角为，则 即 设从仍第一个小球开始计时，经过时间后扔下第二个小球，在时刻第二个小球落到山坡上，则第二个小球的初速度为 水平方向 竖直方向 其中 化简得 所以 故B正确，C错误； A．两球运动时间相同，第二个小球水平方向运动水平位移长，即水平分速度大；竖直方向运动位移小，即竖直分速度小，所以两小球落到山坡末速度方向一定不同，故A错误； D．两球运动时间相同，第二个小球水平方向运动水平位移长，即水平分速度大；竖直方向运动位移小，即竖直分速度小，则两球的合速度大小可能相同，即两球的动能可能相同，故D正确。 故选BD。 7.（2024·四川德阳·模拟预测）为了采集某行星岩石内部的物质样品，先将岩石用行星探测车运往高处，然后水平抛出，让岩石重重地砸在行星表面，这样就可以将坚硬的岩石撞碎，进而采集到岩石内部的物质样品，如图所示，O点为斜坡底端，现将一块质量为m=1kg的岩石从O点正上方高度为处以初速度为 水平抛出，岩石垂直打在倾角为的斜坡上，由于斜坡并不完全平滑，岩石沿竖直方向向上反弹，上升的最大高度为，求： （1）该行星表面的重力加速度大小； （2）若岩石与斜坡在接触过程中相互作用的时间为0.1s，则接触过程中岩石所受到平均合外力的大小。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）小球从抛出到垂直打在斜坡过程，根据平抛运动规律有 ， 垂直打在斜坡时，有 根据几何关系有 联立解得 ， （2）小球垂直打在斜坡时的竖直分速度大小为 根据题意可知，岩石与斜坡在接触过程后水平速度减为0，竖直速度变为竖直向上，大小为，根据题意有 解得 则岩石与斜坡在接触过程中，水平方向根据动量定理可得 解得 竖直方向根据动量定理可得 解得 则接触过程中岩石对小球的平均作用力大小为 则接触过程中岩石所受到平均合外力的大小为。 8．（2024·河南三门峡·一模）如图所示，倾角为的光滑斜面AB固定在水平面上，现将一弹力球从斜面的顶端A点以的初速度水平向右抛出，弹力球恰好落在斜面的底端B点。若弹力球与斜面碰撞时，沿斜面方向的速度不变，垂直斜面方向的速度大小不变，方向反向，现仅调整弹力球从A点水平抛出时的速度大小，使弹力球与斜面碰撞1次后仍能落到B点，已知重力加速度g取，不计空气阻力。求调整后弹力球水平抛出的速度大小。 【答案】 【详解】弹力球做平抛运动，竖直方向有 水平方向有 解得斜面的长度 将平抛运动分解为沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的类竖直上抛运动，设调整后弹力球水平抛出时的速度大小沿垂直斜面方向的分速度大小为 沿斜面方向的分速度大小为 垂直斜面方向的加速度大小为 沿斜面方向的加速度大小为 弹力球每次从斜面离开到再次落回斜面的过程中用时为 沿斜面方向有 解得 【半圆模型的平抛运动】 （1） 在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。 （2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=v0t，y: Rsinθ=½gt2，联立两方程可求t或v0。 1.（2024·江苏·模拟预测）如图所示，半球面半径为R，A点与球心O等高，小球两次从A点以不同的速率沿AO方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B点和C点，速度偏转角分别为和，不计空气阻力。则小球（  ） A．运动时间 B．两次运动速度变化 C．在C点的速度方向可能与球面垂直 D． 【答案】D 【详解】A．根据 则运动时间 故A错误； B．根据 两次运动速度变化 故B错误； C．若在C点的速度方向与球面垂直，则速度方向所在直线经过圆心，速度方向反向延长线一定经过水平位移的中点，显然不符合，故C错误； D．速度偏转角分别为和，位移偏转角分别为和，水平位移分别为、，有 可得 如图 可知 所以 故D正确。 故选D。 2.如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为，在轴上有一点P，坐标为（0，6m）。从P点将一小球水平抛出，初速度为1m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为（不计空气阻力）（　　）    A．（3m，3m） B．（2m，4m） C．（1m，1m） D．（1m，2m） 【答案】C 【详解】小球做平抛运动，水平方向有 竖直方向有 球第一次打在曲面上的坐标为，有 解得 ，， 故球第一次打在曲面上的坐标为（1m，1m）。 故C正确。 3.如图所示，半径为5m的四分之一圆弧ABC固定在水平地面上，O为圆心。在圆心O右侧同一水平线上某点处，水平向左抛出一个小球，小球可视为质点，恰好垂直击中圆弧上的D点，D点到水平地面的高度为2m，g取10 m/s2，则小球的抛出速度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】小球在竖直方向做自由落体运动，则竖直分速度 vy=m/s=2m/s 垂直击中D点，速度反向延长线过圆心，如下图所示 根据几何关系，有 sin θ= 解得 θ=37° 则在D点，分解速度可得 v0=m/s 故选C。 4.（2024·全国·模拟预测）如图所示，水平地面上有一半径为5m的半球形曲面，球心A点正下方2m的P处有一喷泉沿水平方向喷出水流，设水流垂直落到半球形曲面上，喷口横截面积为，重力加速度，水的密度为，，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．水流初速度的大小为 B．任意相等时间内水流的速度变化量一定相等 C．水流落到半球形曲面上的位置离地面高度为1m D．水流喷出的过程中，喷泉装置对水流做功的功率为 【答案】BC 【详解】A．依题意，水流做平抛运动，设垂直落到半球形曲面上时速度与水平方向夹角为，如图所示 可得 由几何关系，可得 ， 联立解得 ， 故A错误； B．根据 可知任意相等时间内水流的速度变化量一定相等，故B正确； C．水流落到半球形曲面上的位置离地面高度为 故C正确； D．水流喷出的过程中，喷泉装置对水流做功的功率为 又 联立解得 故D错误。 故选BC。 5.（2024·辽宁·模拟预测）如图所示，AB为竖直放置的半圆环ACB的水平直径，O为半圆环圆心，C为环上的最低点，环半径为R，两个质量相同的小球分别从A点和B点以初速度和水平相向抛出，初速度为的小球落到a点所用时间为，初速度为的小球落到b点所用时间为，a点高度大于b点高度，不计空气阻力。则下列判断正确的是（    ） A．两小球的初速度一定有 B．两小球落到圆环上所用的时间满足 C．不论和满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上 D．若两小球同时水平抛出，不论和满足什么关系，两小球都能在空中相遇 【答案】BC 【详解】AB. 根据，因为b下落高度大，所以b平抛运动的时间长，即有 水平位移 由图中b的水平位移小，所以b球的初速度小于a球的初速度，即，故A错误，B正确； C. 设速度与水平方向的夹角α，位移与水平方向的夹角β，有 可以证明速度反向延长线交水平位移的中点，若该选项中假设小球垂直打在圆环上，则速度反向延长线交点在圆心，但不是水平位移的中点，故C正确； D. 如果两球的初速度非常小，两球不能在空中相遇，如图所示 故D错误。 故选BC。 【平抛与圆相切模型】 1.如图所示，OAB为四分之一圆柱体的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为53°，则C点到B点的距离为(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　) A. B. C. D. 【答案】　B 【解析】　由题意知，小球通过D点时速度与圆柱体相切，则有 vy＝v0tan 53° 小球从C到D，水平方向有 Rsin 53°＝v0t 竖直方向上有y＝t 联立解得y＝R 根据几何关系得，C点到B点的距离 yCB＝y－R(1－cos 53°)＝R 故B正确，A、C、D错误． 2.如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则(　　) A.＝2 B.＝2 C.tan θ1tan θ2＝2 D.＝2 【答案】　C 【解析】　做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动.由题知，速度方向与水平方向的夹角为θ1，则tan θ1＝＝，位移方向与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝＝＝，所以tan θ1tan θ2＝2，所以选C. 3.如图，一半径为R的圆环固定于竖直平面内，圆心为O。现从圆环上距离圆心O竖直高度为的A点以水平初速度向右抛出一个质量为m的小球，一段时间后，小球落在圆环上的B点（图中未画出）；当大小不同时，小球的落点B也不同．重力加速度为g，不计空气阻力，小球可视为质点。以下说法正确的是（　　） A．当大小不同时，小球从A点运动到B点的时间可能相同 B．当时，小球可以经过O点 C．当时，A、B两点位于一条直径上 D．当时，小球从A到B的运动过程中速度变化量最大 【答案】ACD 【详解】A．当大小不同时，小球的落点B可能位于同一水平面上，所以运动时间可能相同，故A正确； B．运动过程中经过O点，满足 解得 故B错误； C．A、B两点位于一条直径上，满足 解得 故C正确； D．当B点位于O点正下方时，满足 解得 此时小球运动的时间最长，则由 可知此时速度变化量最大，故D正确。 故选ACD。 4.如图所示，竖直平面内有一光滑管道口径很小的圆弧轨道，其半径为R＝0.5 m，平台与轨道的最高点等高。一质量m＝0.8 kg可看做质点的小球从平台边缘的A处平抛，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2。试求： (1)小球从A点开始平抛运动到P点所需的时间t； (2)小球从A点水平抛出的速度大小v0和A点到圆弧轨道入射点P之间的水平距离l； (3)小球到达圆弧轨道最低点时的速度大小； (4)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的内壁还是外壁有弹力？并求出弹力的大小。 【答案】　(1)0.4 s　(2)3 m/s　1.2 m　(3) m/s (4)外壁　6.4 N 【解析】　(1)从A到P过程中，小球做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动， 有R＋Rcos 53°＝gt2， 解得t＝0.4 s。 (2)根据分运动公式，有vy＝gt，tan 53°＝， 解得v0＝3 m/s， 在水平方向上，有l＝v0t，解得l＝1.2 m。 (3)从A到圆弧轨道最低点，根据机械能守恒定律，有 mv＝2mgR＋mv， 解得v1＝ m/s。 (4)小球从A到达Q时，根据机械能守恒定律可知 vQ＝v0＝3 m/s； 在Q点，根据牛顿第二定律，有 FN＋mg＝m，得FN＝6.4 N 根据牛顿第三定律可得 小球对外壁有弹力FN′＝FN＝6.4 N。 【台阶平抛运动模型】 方法 ①临界速度法 ②虚构斜面法 示意图 v0 h s v0 h s θ( )θ 1.如图所示，一小球从某一高度水平抛出后，恰好落在第1级台阶的紧靠右边缘处，反弹后再次下落至第3级台阶的紧靠右边缘处．已知小球第一、二次与台阶相碰之间的时间间隔为0.3 s，每级台阶的宽度和高度均为18 cm.小球每次与台阶碰撞后速度的水平分量保持不变，而竖直分量大小变为碰前的，取g＝10 m/s2，则小球(　　) A．第一次落点与小球抛出点间的水平距离为0.144 m B．第一次落点与小球抛出点间的竖直距离为0.72 m C．抛出时的初速度为1.0 m/s D．会与第5级台阶相撞 【答案】　A 【解析】　设第一次落在第1级台阶时，竖直方向的速度为vy1，水平方向的速度为v0，由于第一、二次与台阶相撞的时间间隔为Δt＝0.3 s，所以v0＝ m/s＝1.2 m/s，选项C错误；在竖直方向上，小球做匀变速直线运动，以向下为正方向，有－vy1Δt＋g(Δt)2＝2×0.18 m，即vy1＝1.2 m/s(与第1级台阶碰撞前在空中平抛的时间为0.12 s)，设第一次从抛出到落地过程下落高度为h，有vy12＝2gh，解得h＝0.072 m，水平位移x＝1.2×0.12 m＝0.144 m，选项A正确，B错误；设落到第3级台阶时竖直方向的速度为vy3，vy3＝－vy1＋gΔt＝2.7 m/s.假设小球可以到达第5台阶右边缘处，第3台阶与第5台阶的竖直高度为0.36 m，两边缘处水平距离为0.36 m，即x′＝v0t＝0.36 m，解得t＝0.3 s，小球离开第3台阶后再运动0.3 s到达第5台阶，竖直位移y′＝－t＋gt2＝0.247 5 m＜0.36 m，所以小球不能到达第5台阶，D选项错误. 2.（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，甲同学爬上山坡底端C点处的一棵树，从树上Q点正对着山坡水平抛出一个小石块，石块正好垂直打在山坡中点P。乙同学（身高不计）在山坡顶端的A点水平抛出一个小石块，石块也能落在P点。已知山坡长度，山坡与水平地面间夹角为，重力加速度为g，空气阻力不计，，，则（　　） A．甲同学抛出的小石块初速度大小为 B．甲同学抛出的小石块初速度大小为 C．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 D．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 【答案】AD 【详解】设甲抛出小石子的初速度为v0，Q点相对于P点的竖直高度为H，则 甲抛出的小石块落在P点时竖直方向的速度 甲抛出小石块的水平位移 联立可得 对乙同学 解得 甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 选项BC错误，AD正确。 故选 AD。 3.一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度v飞出，g取10 m/s2，欲打在第四台阶上，则v的取值范围是(　　) A． m/s＜v≤2 m/s B．2 m/s＜v≤3.5 m/s C． m/s＜v＜ m/s D．2 m/s＜v＜ m/s 【答案】A. 【解析】：根据平抛运动规律有：x＝vt，y＝gt2，若打在第3台阶与第4台阶边沿，则根据几何关系有：vt＝gt2，得v＝gt，如果落到第四台阶上，有：3×0.4＜gt2≤4×0.4，代入v＝gt，得 m/s＜v ≤2 m/s，A正确． 【体育生活中平抛运动的临界模型】 1． 平抛运动中的临界速度问题 从网上擦过的临界速度h1 v2 s2 h2 s1 v1 出界的临界速度h1 s2 h2 s1 2． 既擦网又压线的双临界问题 根据，可得比值： 1．（2025·湖南永州·一模）2024年8月3日，中国选手郑钦文在巴黎奥运会网球女单决赛中战胜克罗地亚选手维基奇夺冠，为中国网球赢得史上首枚女单奥运金牌。如图所示，网球比赛中，运动员甲某次在点直线救球倒地后，运动员乙将球从距水平地面上点高度为的点水平击出，落点为。乙击球瞬间，甲同时沿直线奔跑，恰好在球落地时赶到点。已知，网球和运动员甲均可视为质点，忽略空气阻力，则甲此次奔跑的平均加速度大小与当地重力加速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设甲此次奔跑的平均加速度大小为，当地重力加速度大小为，对甲有 对网球有 联立可得 故选A。 2．（2024·河北·模拟预测）如图所示，某同学在练习“擦板投篮”时，篮球恰好在轨迹最高点击中篮板上的A点，A点与篮球被抛出时球心的高度差为1.8m，球经篮板反弹后进入篮筐，当篮球球心与篮筐中心的连线垂直篮板时，球离开篮板的距离是30cm。已知篮球与篮板碰撞后，平行于篮板方向的速度分量大小不变，垂直于篮板方向的速度分量大小变为碰前的一半。已知篮板上的O1点与A点在同一水平线上，O2点是篮筐中心在篮板上的投影，O1点在O2点正上方，且O1A=40cm，O1O2=20cm，不计篮球与板碰撞时的形变与碰撞时间，忽略空气的阻力和篮球的旋转，已知重力加速度g=10m/s2，则该同学投篮时，篮球离开手时的速度大小是（　　） A．7m/s B．8m/s C．9m/s D．10m/s 【答案】A 【详解】篮球与篮板碰撞后，有 解得 ，， 所以碰前的速度大小为 ， 碰前在竖直方向有 所以 所以篮球抛出时的速度大小为 故选A。 3．（2024·辽宁鞍山·一模）如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网高1m。图2为对应的俯视图，其中L1=12m，L2=9m。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为（忽略一切阻力，重力加速度g=10m/s2）（　　） A． B．15m/s C． D． 【答案】A 【详解】当发球机有效发球且发出网球的速率最小时，球应恰好到达有效区域的边缘，如答图所示，网球从A点发出后落在C点。网球从A点发出后，在竖直方向做自由落体运动，有 解得 若网球恰不触网，则有 解得 网球在水平方向上做匀速直线运动，即 因与为相似三角形，则有 因、，可得 则发球机有效发球时发出网球的最小速率为 故选A。 4.（2024·吉林·一模）利用如图简易装置可以探测在真空环境内微粒在重力场中的能量。P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h的探测屏竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h。 (1)若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系； (2)若在界线OA以下加一个方向水平向右，大小是微粒重力的倍的恒定外力（图中未画出），某一微粒恰好能沿直线打在B处，求L与h的关系。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设打在A点的微粒的初速度为，则有 ， 可得 同理可得打在B点的微粒的初速度为 打在A和B两点的动能一样，根据动能定理可得 则有 联立可得L与h的关系为 （2）若在界线OA以下加一个方向水平向右，大小是微粒重力的倍的恒定外力，微粒恰好能沿直线打在B处，则微粒在界线OA以下受到的合力与水平方向的夹角满足 可得 微粒进入界线OA前做平抛运动，根据平抛规律结合几何关系可得 ， 又 联立可得L与h的关系为 【对着竖直墙壁的平抛模型】 1.如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝. 2.撞墙平抛运动的时间的计算 v0 x 若已知x和v0。，根据水平方向匀速运动，可求得时间t=x/v0。，则竖直速度为v=gt、高度为h=½gt2. 3.撞墙平抛运动的推论 撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。 v0 x x/2 5.如图所示，网球发球机水平放置在距地面某高度处，正对着竖直墙面发射网球，两次发射网球分别在墙上留下A、B两点印迹．测得＝.OP为水平线，若忽略网球在空中受到的阻力，则下列说法正确的是(　　) A．两球发射的初速度vOA∶vOB＝1∶2 B．两球碰到墙面前运动的时间tA∶tB＝1∶2 C．两球碰到墙面时的动量可能相同 D．两球碰到墙面时的动能可能相等 【答案】　D 【解析】　设＝＝h，忽略空气阻力，则两球做平抛运动，竖直方向：h＝gtA2，2h＝gtB2，整理可得：tA∶tB＝1∶，水平方向为匀速运动，而且水平位移大小相等，则x＝vOAtA，x＝vOBtB，整理可得：vOA∶vOB＝∶1，故A、B错误；动量为矢量，由题图可知，两球与墙碰撞时速度方向不相同，故两球碰到墙面时的动量不可能相同，故C错误；设两球的质量相等，均为m，从抛出到与墙碰撞，根据动能定理有：mgh＝EkA－mvOA2，2mgh＝EkB－mvOB2，整理可得：EkA＝mgh＋mvOA2，EkB＝2mgh＋mvOB2，由于m、h以及初速度的大小等具体数据未知，可能存在EkA＝EkB，故D正确． 6.如图所示是网球发球机，某次室内训练时从距地面一定的高度向竖直墙面发射完全相同的网球。假定网球水平射出，某两次射出的网球碰到墙面时速度方向与水平方向夹角分别为30°和60°，若不考虑网球在空中受到的阻力，则(　　) A.两次发射的初速度之比为3∶1 B.碰到墙面前在空中运动时间之比为1∶ C.下降高度之比为1∶3 D.碰到墙面时动能之比为3∶1 【答案】　BC 【解析】　由题知，两次平抛运动的水平位移相同，设为x，根据平抛运动规律有＝tan θ，y＝gt2，联立得t＝，当θ＝30°时，t1＝，当θ＝60°时，t2＝，故两次运动的时间之比为＝＝，根据x＝v0t，得＝＝，根据y＝gt2，得＝＝，第一次平抛的合速度为v1＝，第二次平抛的合速度为v2＝，故碰到墙面时动能之比＝＝，又v01＝＝，v02＝＝，vy1＝gt1＝，vy2＝gt2＝，代入得＝1，故A、D错误，B、C正确。 7.如图所示，将一小球从水平面MN上方A点以初速度v1向右水平抛出，经过时间t1打在前方竖直墙壁上的P点，若将小球从与A点等高的B点以初速度v2向右水平抛出，经过时间t2落在竖直墙角的N点，不计空气阻力，下列选项中正确的是(　　) A．v1>v2 B．v1<v2 C．t1>t2 D．t1＝t2 【答案】　A 【解析】　小球在竖直方向上为自由落体运动，则根据t＝可知，t1<t2；在水平方向上为匀速直线运动，根据v＝，因x1>x2，则v1>v2，故选A. 8.(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(　　) A．初速度大小之比是∶∶ B．初速度大小之比是1∶∶ C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶ D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶ 【答案】　AC 【解析】　水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动，又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误． 【平抛的相遇模型】 平抛与自由落体 平抛与竖直上抛 平抛与平抛 平抛与匀速 v2 v1 v3 v4 x:l=vt; y:空中相遇t< 联立得 x:s=v1t; y:½gt2+v2t-½gt2=H, t=H/v2 联立得H/v2=s/t 球1比球2先抛 t1>t2、v1<v2； 球3、4同时抛 t1=t2、v3>v4； x:l=(v1-t2)t; y:t= 1.如图所示，A、B两小球分别从距地面高度为h、2h处以速度vA、vB水平抛出，均落在水平面上CD间的中点P，它们在空中运动的时间分别为tA、tB.不计空气阻力，下列结论正确的是(　　) A．tA∶tB＝1∶ B．tA∶tB＝1∶2 C．vA∶vB＝1∶ D．vA∶vB＝1∶2 【答案】　A 【解析】　竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2，得t＝，故tA∶tB＝∶＝1∶，A正确，B错误；水平方向做匀速直线运动，根据x＝v0t知，水平位移x相等，则vA∶vB＝tB∶tA＝∶1，故C、D错误． 2．（2025·广东·一模）如图所示，将a、b两小球以不同的初速度同时水平抛出，它们均落在水平地面上的P点，a球抛出时的高度比b球的高。P点到两球起抛点的水平距离相等，不计空气阻力，与b球相比，a球（　　） A．初速度较大 B．速度变化率较大 C．落地时速度方向与其初速度方向的夹角较小 D．落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大 【答案】D 【详解】A．两个小球都做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由 得 则 小球水平方向都做匀速直线运动，由 由题意x相等，又，则知 故A错误。 B．根据 则知速度变化率相同，故B错误。 CD．落地时速度 落地时速度方向与其初速度方向的夹角正切 则知a的h大，小，大，落地时速度方向与其初速度方向的夹角大，故C错误，D正确。 故选D。 3.如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，它们在下落高度为9 m时，在空中相遇．若两球的抛出速度都变为原来的3倍，不计空气阻力，则自抛出到它们在空中相遇时，两球下落的高度为(　　) A．6 m B．3 m C．3 m D．1 m 【答案】　D 【解析】　两球同时抛出，竖直方向上做自由落体运动，相等时间内下降的高度相同，始终在同一水平面上，设两球抛出点之间的距离为l，自抛出到相遇所用时间为t，根据l＝vAt＋vBt以及l不变知，当两球的抛出速度都变为原来的3倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为，根据h＝gt2，H＝g()2，得：H＝＝1 m，故选D. 4.如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移之比为1∶2，则下列说法正确的是 (　　) A．A、B两球的初速度之比为1∶4 B．A、B两球的初速度之比为1∶2 C．若两球同时抛出，则落地的时间差为 D．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为(－1) 【答案】　D 【解析】　由x＝v0t和y＝gt2知v1＝＝，v2＝＝x，因此两球的初速度之比为1∶2，A、B项错误；若两球同时抛出，则落地的时间差为－＝(－1)，C项错误；若两球同时落地，则两球抛出的时间差也为(－1)，D项正确。 5.（2024·吉林·一模）利用如图简易装置可以探测在真空环境内微粒在重力场中的能量。P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h的探测屏竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h。 (1)若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系； (2)若在界线OA以下加一个方向水平向右，大小是微粒重力的倍的恒定外力（图中未画出），某一微粒恰好能沿直线打在B处，求L与h的关系。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设打在A点的微粒的初速度为，则有 ， 可得 同理可得打在B点的微粒的初速度为 打在A和B两点的动能一样，根据动能定理可得 则有 联立可得L与h的关系为 （2）若在界线OA以下加一个方向水平向右，大小是微粒重力的倍的恒定外力，微粒恰好能沿直线打在B处，则微粒在界线OA以下受到的合力与水平方向的夹角满足 可得 微粒进入界线OA前做平抛运动，根据平抛规律结合几何关系可得 ， 又 联立可得L与h的关系为 【斜抛运动模型】 1、运动规律 水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动 水平位移； 竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动 任意时刻的速度和位移分别是 2、轨迹方程 ，是一条抛物线如图所示： Y V0y V0 o V0x X 3、对斜抛运动的研究 （1）斜抛物体的飞行时间： 当物体落地时，由 知，飞行时间 （2）斜抛物体的射程： 由轨迹方程 令y=0得落回抛出高度时的水平射程是 两条结论： ①当抛射角时射程最远， ②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。 （3）斜上抛运动的射高： 斜上抛的物体达到最大高度时=0，此时 代入即得到抛体所能达到的最大高度 可以看出，当时，射高最大 1.学校运动会上，参加铅球项目的运动员，把5kg的铅球以6m/s的初速度从某一高度投掷出去，如图所示，抛射角，铅球落地速度与水平地面夹角53°，不计空气阻力，重力加速度g取，则铅球从抛出到落地的时间是（　　） A．0.5s B．0.8s C．1.0s D．1.5s 【答案】C 【详解】把v0沿水平方向、竖直方向分解，在竖直方向，铅球以初速度做竖直上抛运动，水平方向以做匀速直线运动，规定竖直向下为正方向，铅球落地时竖直方向的速度 铅球的落地速度v与水平地面夹角，则有 解得 t=1.0s 故选C。 2.（2024·福建·模拟预测）掷铅球是一个需要力量和灵活性的运动，今年的学校运动会，某同学要参加掷铅球比赛，傍晚来到运动场训练，热身后（不计空气阻力，重力加速度取10m/s2，，sin53°=0.8，cos53°=0.6） （1）她在第一次投掷中把铅球水平推出，高度为h=1.5m，速度为v0=10m/s，则铅球被推出的水平距离是多少米？ （2）第一次投掷后体育老师给了建议，让她投掷时出手点高一点，斜向上推出铅球。于是，第二次她从离地高为H=1.8m处推出铅球，出手点刚好在边界线上方，速度方向与水平方向成53°，如图所示，此次推出铅球时铅球的速度大小仍为10m/s，则这次投掷的成绩为多少米？ 【答案】（1）5.5m；（2） 【详解】（1）由平抛运动知识 铅球被推出的水平距离为 解得 （2）被推出的铅球在竖直方向做竖直上抛运动，则有 解得 ，（舍去） 铅球在水平方向做匀速直线运动      这次投掷的成绩为 3.狞猫弹跳力惊人，栖息在干燥的旷野和沙漠中，善于捕捉鸟类。一只狞猫以某一初速度斜向上与水平地面成θ角跳离地面，落地前其最大高度为h，最大水平位移为x。不考虑空气阻力。下列说法正确的是　(　　) A．保持起跳速度大小不变，增大θ角，狞猫在空中的运动时间不变 B．保持起跳速度大小不变，增大θ角，狞猫在空中的最大高度h增大 C．保持起跳角度θ不变，增大起跳速度，x与h的比值减小 D．保持起跳角度θ不变，增大起跳速度，x与h的比值增大 【答案】B 【解析】：狞猫做斜抛运动，在竖直方向有vy＝v0sin θ＝gt1，狞猫在空中的运动时间t＝2t1＝，保持起跳速度大小不变，增大θ角，狞猫在空中的运动时间增大，故A错误；狞猫在空中的最大高度h＝gt＝，保持起跳速度大小不变，增大θ角，狞猫在空中的最大高度增大，故B正确；狞猫最大水平位移为x＝vxt＝，最大水平位移与最大高度的比值为＝；保持起跳角度θ不变，增大起跳速度，x与h的比值不变，故C、D错误。 4.某同学练习定点投篮，篮球从同一位置出手，两次均垂直撞在竖直篮板上，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．第1次击中篮板时的速度小 B．两次击中篮板时的速度相等 C．球在空中运动过程第1次速度变化快 D．球在空中运动过程第2次速度变化快 【答案】A 【解析】：将篮球的运动反过来看，则篮球两次做平抛运动，由于第1次平抛运动的高度更大，由h＝gt2得t＝，所以第1次运动的时间更长，由于两次的水平位移相等，则时间越长的水平初速度越小，故第1次击中篮板时的速度小，故A正确，B错误；球在空中运动过程速度变化快慢即为加速度，由于球只受重力作用，加速度为重力加速度，则两次速度变化快慢相同，故C、D错误。 5.（2025·福建漳州·一模）篮球比赛中，一同学某次跳起投篮，出手点与篮板的水平距离为，离地面高度为，篮球垂直打在竖直篮板上的位置离地面的高度为。将篮球看成质点，忽略空气阻力，取。求： (1)篮球从出手到垂直打在篮板上的运动时间； (2)出手时篮球速度的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）篮球从出手到垂直打在篮板上的逆过程可视为平抛运动，则 解得 （2）由题意可知，水平初速度 竖直初速度 初速度 解得 6．（2024·山西晋中·模拟预测）自由式滑雪女子大跳台比赛场地可简化为如图所示的示意图，在比赛的空中阶段可将运动员视为质点，运动员从倾角为的斜面顶端O点以的初速度飞出，初速度方向与斜面的夹角为，图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，A为轨迹的最高点，B为轨迹上离斜面最远的点，不计空气阻力，取重力加速度大小。求： （1）运动员从O点运动到A点的时间； （2）B点与斜面之间的距离l。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）A为轨迹的最高点，说明运动员在A点速度方向水平向右，设O到A时间为，由斜抛运动规律，竖直方向上有 得 （2）运动员从O到B过程，将运动分解为沿斜面向下方向和垂直斜面向上方向，运动员到B点时速度平行于斜面向下，垂直斜面方向有 B点与斜面之间的距离 7．（2024·山西晋中·二模）如图甲，为某学校举行定点投篮比赛的场景，某同学正在进行定点投篮，投出的篮球在空中划出一道漂亮的弧线，穿网而过。如图乙，为篮球在空中运动轨迹，在篮球运动所在的竖直平面内建立直角坐标系xOy，篮球从A点投出，A、B、C、D是篮球运动轨迹上的4个点，C点为篮球运动的最高点，D点是篮筐位置，A、B、D点的坐标分别为（-2L，-3L）、（-L，0）、（L，0）。篮球质量为m，重力加速度大小为g，空气阻力忽略不计。求： （1）C点的纵坐标yC； （2）该同学将篮球投出时，篮球的速度v。 【答案】（1）L；（2），速度与水平方向夹角的正切值为4 【详解】（1）篮球做斜抛运动，由图乙可知，从A到B、B到C、C到D的水平距离相等，水平方向分运动为匀速直线运动，可知，相邻位置的运动时间相等，设为t，利用逆向思维则有 ， 解得 （2）设该同学在A点将篮球抛出的水平分速度和竖直分速度分别为vx，和vy，则有 ，， 则篮球的速度 结合上述解得 设将篮球投出时，篮球的速度与水平方向夹角为，则有 解得 8．（2024·湖北武汉·二模）在滑雪比赛中，某运动员从跳台上的A点以速度与水平方向成角斜向上起跳，落在倾角的斜坡上的B点，着陆时速度方向与斜坡的夹角，如图所示。已知运动员和装备（均可视为质点）总质量，着陆缓冲的时间，着陆缓冲过程运动员不反弹、沿斜坡方向的速度不变，重力加速度大小，不计空气阻力，，，，。求： （1）运动员在空中飞行的时间； （2）运动员着陆缓冲过程受到的平均支持力大小。 【答案】（1）2.5s；（2）1152N 【详解】（1）运动员在空中做斜抛运动，根据抛体运动规律 解得 （2）运动员着陆时，由动量定理 解得 9.学校篮球队组织篮球比赛，一同学作为球队的主力投手在三分线外起跳，球以与水平面夹角为θ（cosθ=0.8）的仰角抛出，运动1s后通过篮框中心入网，已知篮框距离水平地面的高度H=3.05m，篮球被投出时，距离地面的高度h（未知）、与篮框中心点的水平距离d=7.20m，若将篮球视为质点，且忽略篮球的旋转与空气阻力，重力加速度g=10m/s2。求：（答案可以用根号表示） （1）篮球被投出时的初速度大小； （2）篮球入网时的速度大小； （3）篮球被投出时距离地面的高度。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）篮球被投出后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，水平速度为 篮球被投出时的初速度大小为 （2）篮球入网时竖直方向的速度为 篮球入网时的速度大小为 （3）篮球通过篮框中心时，竖直方向的位移为 篮球被投出时距离地面的高度为 10.某喷灌机进行农田喷灌的示意图如图所示，喷口出水速度的大小和方向均可调节。该喷灌机的最大功率为2000W，机械效率为80%，喷口的横截面积：，水的密度，重力加速度，，忽略喷头距离地面的高度及空气阻力，不考虑供水水压对水速的影响。求 （1）喷灌机的最大喷水速度 （2）该喷灌机的最大喷灌面积 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）研究单位时间的能量转化 代入数据有 （2）设当喷灌头与地面夹角为时对应射程为，水在空中的运动时间为。 竖直方向有 水平方向有 联立得 则当且取最大值时，有最大值。 则最大喷灌面积为 11．（2024·广东·一模）如图，运动员练习单杠下杠：双手抓住单杠与肩同宽，伸展身体，其重心以单杠为轴做圆周运动，重心通过单杠正上方A点时速率，转至点时脱离单杠，重心经过最高点，最后落到地面，点为落地时的重心位置。已知运动员的质量，做圆周运动时其重心到单杠的距离；脱离单杠后运动员在空中上升与下降的时间之比为5：7，B、D两点的高度差为，重心在点时速率；g取，A、B、C、D在同一竖直平面，忽略空气阻力，不考虑体能的消耗与转化。求： （1）运动员在A点时，单杠对每只手的弹力大小和方向； （2）C、D两点间的水平距离； （3）从A点运动至B点过程中合外力对运动员做的功。 【答案】（1），方向竖直向上；（2）；（3） 【详解】（1）设单杠对每只手的弹力大小为，方向竖直向上，则运动员在A点时，由牛顿第二定律 代入数据解得 方向竖直向上。 （2）设运动员从到的时间为，从到的时间为，B、C两点的高度差设为，C、D两点的高度差设为。由合运动与分运动的关系可知，运动员从到的运动可看做是水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动；从到的运动可看做是水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，则 B、D两点间的高度差 C、D两点的水平距离为 联立解得C、D两点间的水平距离为 （3）设运动员在点时速度为，则 又 ， 运动员从A到点的过程中，根据动能定理可知 联立解得从A点运动至B点过程中合外力对运动员做的功为 28 / 29 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$